关于极小极大社会选择对应的反向偏差

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英文标题：
《On the reversal bias of the Minimax social choice correspondence》
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作者：
Daniela Bubboloni, Michele Gori
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We introduce three different qualifications of the reversal bias in the framework of social choice correspondences. For each of them, we prove that the Minimax social choice correspondence is immune to it if and only if the number of voters and the number of alternatives satisfy suitable arithmetical conditions. We prove those facts thanks to a new characterization of the Minimax social choice correspondence and using a graph theory approach. We discuss the same issue for the Borda and Copeland social choice correspondences.
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中文摘要：
在社会选择对应的框架下，我们介绍了反转偏向的三种不同条件。对于每一种情况，我们证明了当且仅当投票者数量和备选方案数量满足适当的算术条件时，极小极大社会选择对应关系对其免疫。我们用图论的方法证明了这些事实，这得益于对极大极小社会选择对应关系的一个新的刻画。我们为博尔达和科普兰的社会选择通讯讨论同样的问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Combinatorics        组合学
分类描述：Discrete mathematics, graph theory, enumeration, combinatorial optimization, Ramsey theory, combinatorial game theory
离散数学，图论，计数，组合优化，拉姆齐理论，组合对策论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> On_the_reversal_bias_of_the_Minimax_social_choice_correspondence.pdf (247.04 KB)

2022-5-9 02:31:04 上传

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关键词：社会选择 Optimization alternatives Quantitative mathematics

论最小社会选择对应的逆向偏差*Daniela Bubbolonidi Partitiono di Scienze per l\'Economia e l\'Impersonaniversation\'a degli Studi di Firenzevia d elle Pandette 9，50127，Firenze，Italy电子邮件：Daniela。bubboloni@unifi.ittel:+39 055 2759667米歇尔·戈里迪门托科学研究院（michele Goridipartmento di Scienze per’Economia e l’Impersonaniversation’a degli Studi di Firenzevia d elle Pandette 9，50127，Firenze，Italy）电子邮件：米歇尔。gori@unifi.ittel:+39 055 2759707 2018年10月24日摘要我们在社会选择对应关系的框架内介绍了反转偏差的三种不同定性。对于每一种情况，我们证明了当且仅当投票者数量和备选方案数量满足合适的算术条件时，极小极大社会选择对应关系对其免疫。我们用图论的方法证明了这些事实，这要归功于最小社会选择对应关系的一个新特征。我们讨论了博尔达和科普兰社会选择通讯的相同问题。关键词：反转偏倚；极小极大社会选择对应；有向图。JEL分类：D71。理学硕士学位：05C20。1引言考虑一个委员会有h≥ 2个必须在一组n中选择一个或多个元素的成员≥ 2种选择。通常，做出选择的程序只取决于委员会成员对替代品的偏好。

我们假设委员会成员的偏好以一组备选方案的严格排名（线性顺序）来表示，并将其称为偏好h偏好列表，每个偏好都与委员会中的一个人相关。因此，无论个人偏好是什么，选择一个或多个备选方案作为社会结果的过程都可以用社会选择对应（scc）来表示，也就是说，从偏好集到备选方案集的非空子集集的函数。*Daniela Bubboloni得到了INdAM的GNSAGA的部分支持。对不同scc的评估及其比较通常基于哪些属性，在社会选择观点下被认为是可取或不可取的属性中，哪些属性是有scc的。从Saari（1994）最初提出的想法出发，然后由Saari和Barney（2003）深化，我们在此重点关注scc可能遇到的一个非常不愉快的属性，并且在我们看来，还没有得到应有的重视。为了描述这种属性，可以这样说，偏好文件的平均值是假设每个委员会成员对备选方案的排名的想法发生了完全的变化而获得的偏好文件（即，最佳备选方案的排名最差，次优备选方案的排名第二差，依此类推）。现在假设一个给定的scc与一个单身者的特定偏好相关联，也就是说，它选择了一个独特的替代方案。如果我们接下来考虑由所考虑的偏好文件的平均值决定的结果，我们会期望与之前的单身人士有一些不同，因为要求与偏好文件及其逆转相关的结果之间存在一定程度的差异似乎是自然的。

正如萨里安·巴尼（Saariand Barney，2003年，第17页）所建议的那样，假设在宣布一次重要的部门选举的获胜者后，发现每个人都误解了主席的指示。在对这三位候选人进行排名时，每个人都会按照第一、第二和第三的自然顺序列出排名靠前、第二和第三的候选人。由于只有主席才能理解的原因，他希望选民以相反的方式投票。因此，在计票时，他将第一名和最后一名候选人分别视为选民的最后和第一选择。试想一下，如果在对选票进行报复后，主席报告说[…]同一个人赢了。换言之，常识表明，我们应该对SCC的质量表示怀疑，因为SCC将同一个单身者与偏好偏好及其反转联系在一起，也就是说，这支持了我们所说的反转偏见。在经典的scc中，这种偏差是由Minimax scc体验到的，即scc选择那些最大失败率最小的替代方案。事实上，假设一个有六名成员（h=6）的委员会必须在一组由1、2、3和4（n=4）表示的四个备选方案中选择一些备选方案。然后考虑一个由thematrix表示的偏好文件1 1 1 2 3 42 3 4 3 4 23 4 2 4 2 34 2 3 1 1 1在哪里，每一次我∈ {1,2,3,4,5,6}，第i列重新表示第i个成员的偏好，根据规则，选项越高越好。一个简单的检查表明，Minimax scc既与偏好文件相关，也与同一集合{1}的反转相关。

另一方面，如果我们只考虑两种替代方案，那么Minimax scc与简单多数一致，并且无论委员会成员的数量是多少，都可以立即验证它不受反转偏差的影响。基于这样的原因，我们解决了个体数量和替代品数量的确定条件问题，这些条件使得Minimax scc不受反转偏差的影响。我们的主要结果是以下定理。定理A.当且仅当h≤ 3或n≤ 3或（h，n）∈ {(4, 4), (5, 4), (7, 4), (5, 5)}.定理A特别表明，不仅当存在两个备选方案时，而且在其他情况下，Minimax scc不显示反转偏差。值得注意的是，该属性也被称为辛普森·克雷默或康多塞特scc。定理A是对j=1的定理2的改写。当备选方案为三个时，独立于个体数量，当个体为三个时，独立于备选方案数量。定理A的证明需要一定的工作量，需要使用图论中的语言和方法。事实上，标准的社会选择理论论证自然可以证明，对于许多对（h，n），极小极大scc会影响反转偏差。另一方面，除了三种情况n=2外，它们很难应用于证明，对于剩余的对s，极小极大scc不受反转偏差的影响。特别是，没有简单的直觉指示如何治疗病例（h，n）∈ {(4, 4), (5, 4), (7, 4), (5, 5)}.

为此，我们首先提出了极大极小scc的一个新特征，表明对于每个偏好文件，极大极小scc选择替代x，当且仅当对于每个多数阈值u不超过个体数量但超过其一半，如果有至少u个个体引用x的替代品，则对于每个替代品，还有一个问题至少有人提到过（命题1）。然后，我们将每个偏好文件p和每个多数阈值ua有向图Γu（p）关联起来，称为多数图，其垂直度是备选方案，其弧线是备选方案之间的u-多数关系（第5.2节）。通过对这些图的连通性和非循环性的分析，我们找到了一种通用的、唯一的方法来逼近定理a的证明。该方法特别允许避免类似参数的引用和对非常长的案例和子案例列表的讨论。图ΓΓu（p）的几何表示也是进行此类分析以及定理a证明所需的复杂步骤中有用的思维指南。我们强调，与图论相关的结果涉及相当普遍的大多数问题，因此它们的意义不限于本文中考虑的特定问题。我们相信，这些结果可能是一个智能工具，在未来管理许多其他问题，不仅与Minimax scc有关。我们还介绍了反转偏差的两个较弱的版本。

也就是说，如果存在一个偏好文件，使得与scc相关的结果和它的普遍性结果不是不一致的，并且两个结果中的一个是单亲的，那么我们认为scc支持类型2的普遍性偏见；相反，我们说，如果存在偏好文件，且与scc及其反转相关的结果不是不相交的，且两者都不是整个备选方案集，则scc支持类型3的反转偏差。可以立即观察到，反转偏差（也就是所谓的1型通用偏差）意味着2型反转，而2型反过来又意味着3型反转偏差。使用证明定理A所使用的相同工具和技术，我们得到以下结果。定理B.当且仅当h=2 orn时，Minimax scc对类型2的反转偏差免疫≤ 3或（h，n）=（4，4）。定理C.当且仅当n=2或（h，n）=（3，3）时，Minimax scc对类型3的反转偏差免疫。我们强调，上文所述的失败者的不同资格与康多塞失败者的概念之间存在有趣的联系。事实上，让C成为满足条件原则的scc，也就是说，当存在条件时，总是选择Condorcet赢家作为唯一的结果。如果C对1型的普遍偏见免疫，那么它永远不会选择Condorcet loseras唯一的结果，也就是说，C完全满足弱Condor C et loser属性；如果C不受类型2的一般偏差的影响，那么它永远不会选择Condorcet loser，即C full fils Condorc e tloser属性。因此，由于极小极大scc满足Condorcet原理，定理A和B特别提供了（h，n）上的条件，这些条件足以使极小极大scc分别满足弱Condorcet损失性质和Condorcet损失性质。

当然，正如它所指出的那样，在社会选择理论中使用图表已经很成熟（例如，见Laslier（1997））。位置23和24确定了一大组对（h，n），对于这些对，极小极大scc支持反转，它们基于一个直观的论证，可以在没有图论机制的情况下进行。定理B和C分别是定理2对j=2和j=3的改写。不知道这些条件是否也是必要的，确定使极小极大scc满足这些性质的所有对（h，n）是一个有趣的问题，我们认为，可以使用本文描述的方法对其进行有效的攻击。最后要注意的是，如果存在一个scc Calways选择Condorcet赢家（不一定是唯一的结果），我们发现如果C不受类型2的反转偏差的影响，那么它就满足了弱Condorcet输家的属性；如果C对类型3的逆转偏差免疫，那么当结果集与整个选择集不同时，它永远不会选择Condorcet失败者。现在注意到，即使我们论文的主要概念主要是受到萨里和巴尼（2003）思想的启发，我们所考虑的框架以及我们使用的术语与作者所使用的不同。事实上，它们涉及选举方法，即从个人偏好的有限序列集（仍然称为偏好文件）到备选方案集上的完整和传递关系集的函数。在这个框架下，他们说，如果选举方法将选举关系与偏好文件及其反转关联起来，那么选举方法会对反转偏见产生影响，前提是这种关系不是一个完整的关系，因此在他们的论文中，表达反转偏见的使用具有不同的含义。

每k≤ N-1.他们还引入了k-赢家逆转偏差（k=1时称为顶级赢家偏差）的概念，即当选举方法与偏好文件及其逆转两种关系相关联时，会出现这种现象，这两种关系会削弱属性，从而使k-顶级替代者具有相同的k。无论如何，尽管存在差异，但很明显，他们关于某一选举方法的头号赢家逆转偏差的任何结果都暗示了该方法产生的scc类型1逆转偏差的一些信息，该方法将其域限制在具有h项的个人偏好序列中，并且只关注排名靠前的备选方案。另一方面，很明显，他们的理论都没有将类型2和类型3的反转偏差简化为直接副产品。特别是，根据Saari和B arney（2003）中的定理8，我们推断Borda和Copeland SCC不受类型1的反转偏差的影响，但无法推断其他类型的反转偏差。下面的结果很有趣。定理D.Borda和Copeland SCC不受类型3的反转偏差的影响。我们以观察作为结论。回想一下，位置法是一种选举方法，每次n个备选方案被一个人排在第k位时，它都会获得wkpoints，然后根据他们获得的分数对备选方案进行排名；向量w=（wk）nk=1∈ 与该方法相关的R被称为其投票向量，并假设满足关系式w≥ W≥ . . . ≥ wn和w>wn。假设n≥ 3考虑一个投票向量w，使得存在k，k∈ 带wk+wn的{1，…，n}-k6=wk+wn-k、 然后，根据Saari和Barney（2003）中的定理1，我们推断，如果个体数h足够大，由与w相关的位置方法产生的scc会影响1型的普遍偏差。

这一事实是显著的，因为它意味着许多scc的存在不同于极大极小scc、似是而非和反多元化scc，它们支持这种偏见。当然，由于所考虑的定理没有给出关于h的确切值的信息，因此类型1的反转偏差实际上是oc曲线，因此发现h的这些值是一个值得仔细研究的有趣问题。更一般地说，考虑到任何经典的scc和任何社会选择属性，人们可以考虑确定个体数量和替代品数量的条件，这对于充分利用该属性是必要和有效的。我们认为，调查这些问题是一个有趣且有前景的研究项目，因为我们关于普遍偏见的结果特别显示了这一点，比较差异萨里（1994）为选举方法引入了另一个有趣的概念，称为反转对称，它与现在讨论的概念相关。也就是说，如果结果与任何偏好文件相关，且其反转是另一个的反转，则称选举方法为反转对称。当然，如果一个选举方法是反向对称的，它既不能支持反向偏差，也不能支持k-winner反向偏差。最近，Llamazares和Pena（2015）研究了位置方法的反转对称性，Bubboloni和Gori（2015）研究了具有线性顺序集值的社会福利函数的反转对称性。定理D是命题3的改写。SCC基于自身的正当关系，不能忽视有多少个人和本地人参与了决策过程。2初步定义= {a∈ N:a≥ 2}. 从现在开始，让n，h∈ N是固定的，让N={1，…，N}是备选方案集，H={1。