分数阶随机变量对Black-Scholes公式的修正

注意，ρ通常被认为是有益的。随着成熟时间相对于特征扩散时间变小，对数moneynes项变得相对更重要。在短期和长期到期制度中，我们对杠杆期限有：A（τ）h1+log（K/Xt）τ/=灰分（τ/τ）+H+（τ/τ）-+Hlog（K/Xt）ifor aτ<< 1，alh（τ/’τ）-+H+（τ/τ）-+Hlog（K/Xt）ifor aτ>> 1，（1.8）其中As=Δρ′τH√2Γ（H+），al=Δρ′τH-1.√2aΓ（H+）。（1.9）此外，对于预测的有效波动率项，我们还有：σt，t≡ EhT- tZTtσsds | Fti=aτ的σt<< 1，aτ的‘∑>> 1.（1.10）需要注意的是，我们只假设τ=T-t>0，因此在fac t中，对于短范围依赖的过程，小时间到成熟期的隐含可用性可能非常大。这反映了一个事实，即对于短程依赖过程，波动路径是粗糙的，并且可能有显著影响，超过当前预测的有效波动水平。然而，当在标准d Black-Scholes定价公式中使用时，隐含波动率确实给出了一个定价修正，对于任何τ>0，它都是O（δ）。我们还注意到，在长期到期制度下，长期相关过程的隐含波动水平可能会出现差异，反映出长期相关过程具有很强的时间一致性，因此对预测的当前有效波动率进行了相对较大的修正。接下来请注意，在（1.6）中的一般情况下，隐含波动率杠杆成分的校准涉及根据观察到的隐含波动率数据估计集团市场参数：“σ，H，（Δρ），a，（1.11）”。

为了在当前时间t完全识别模型，我们还需要估计当前预测的有效波动率，即σt，t+τ为0≤ τ ≤ Tmax- t、 值得注意的是，在我们的框架中，市场参数是从理论角度独立于当前时间t的。因此，为了用当前时间t的数据来校准模型≤ T≤ tone可以在联合设置程序中使用所有隐含波动率记录。我们注意到，我们的结果将在存在一般利率和风险因素市场价格的情况下进行修改，我们在此不考虑这些因素。我们还注意到，识别“微笑”形状，这是对数正态分布中更一般的函数，需要更高的隐含波动率近似值[26]。最后，观察到H=1/2的情况既不响应短程相关过程，也不响应沿程相关过程，而是标准情况下的奥恩斯坦-乌伦贝克过程和随机波动率，这是一个相关性指数衰减的马尔科夫过程[27]。我们提出的框架是通用的，可以用于我们可以确定以下关键关注量的过程。我们讨论了一个与慢fOU过程相对应的重要特殊情况。在这种情况下，我们根据“慢”过程Zδ，H:Zδ，Ht=δHZt来计算挥发率-∞E-δa（t）-s） dWHs，（1.12），其自然时标为1/δ，其方差为一阶，由下文（2.5）定义的σu给出，与δ无关。那么波动率是σt=F（Zδ，Ht），（1.13），其中F是一个光滑的正值d函数，有界于零，有界导数。我们引入了两个参数σ=F（Zδ，H），p=F′（Zδ，H），（1.14），即波动率的局部水平和变化率。

在这种情况下，隐含的可用性由以下公式给出：It=EhT- tZTtσsds | Fti+δHpρτH√2Γ（H+）H（τ/τ）+H+（τ/τ）-+对于τ=2/σ，Hlog（K/Xt）i，（1.15）。因此，慢分数波动率因子是一种隐含波动率，它对应于（1.2）中的分数模型中的一个，如（1.8）中所示。在H=1/2的特殊情况下，波动性过程成为标准的Ornstein-Uhlenbeck过程，属于[27]中考虑的慢过程类别，并且（1.15）中的隐含波动性可以准确地显示为[27]中用于慢校正的形式（第5章）。论文的概要如下。在第2节中，我们首先介绍fSV模型的组成部分。在第3节中，我们推导了Paper的ma结果，这是fSV情况下价格的主要顺序表达式。微分是基于一个具有光滑支付函数的契约，而EuropeanPayoff函数具有一个扭结单纯形，我们在第4节将结果推广到这种情况。然后在第5节中，我们推导了隐含波动率的表达式，以及波动率的分数特征如何影响这一点。我们在第6节连接到慢时间波动模型，并在第7节给出一些结论。在附录A中，我们描述了第3.2节中价格推导中使用的一些感兴趣的数量和相关的技术问题。分数随机波动率模型。我们更详细地描述了fSV施工中使用的fBm和fOU工艺（1.2）。分数布朗运动及其移动平均随机积分表示。

分数布朗运动（fBm）是一个零均值高斯过程（WHt）∈r的协方差[WHtWHs]=σH|t | 2H+| s | 2H- |T- s | 2H, （2.1）式中σHis为正常数。我们使用以下fBm的移动平均随机积分表示[37]：WHt=Γ（H+）ZR（t- s） H-+- (-s） H-+dWs，（2.2）式中（Wt）t∈在这个模型（WHt）中，R是R上的标准布朗运动∈Ris azero表示协方差为（2.1）的高斯过程，其中σH=Γ（H+）hZ∞（1+s）H-- 嘘-ds+2Hi=Γ（2H+1）sin（πH）。(2.3)2.2. 分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程。然后，我们介绍了Ornstein-Uhlenbeck过程（fOU）的部分，即ZHT=Zt-∞E-a（t）-s） dWHs=WHt- aZt-∞E-a（t）-s） WHsds。（2.4）这是一个零均值平稳高斯过程，方差σou=E[（ZHt）]=a-2HΓ（2H+1）σH，（2.5）和协方差：E[ZHtZHt+s]=σouΓ（2H+1）hZRe-|v | | as+v | 2Hdv-|as | 2Hi=σou2 sin（πH）πZ∞cos（asx）x1-2H1+xdx。（2.6）注意它不是鞅，也不是马尔科夫过程。将（2.2）代入式（2.4）中的第二种表示形式，考虑到随机Fubini，将fOU的移动平均积分表示形式o:ZHt=Zt代入式（2.4）中-∞K（t）- s） dWs，（2.7），其中k（t）=Γ（H+）htH-- aZt（t- s） H-E-asdsi。（2.8）核K的性质如下：-K是非负值，K∈ L（0，∞) 对于任何H∈ （0,1）带R∞K（u）du=σou，K∈ L（0，∞) 不管怎样∈ （0，1/2）。-小时候<< 1:K（t）=Γ（H+）aH-（at）H-+ o（at）H-. （2.9）-在>> 1:K（t）=Γ（H）-)啊-（at）H-+ o（at）H-. （2.10）对于H∈ （0,1/2）fOU过程具有短程相关性质：E[ZHtZHt+s]=σou1.-Γ（2H+1）（as）2H+o（as）2H, 像<< 1.（2.11）对于H∈ （1/2,1）它具有长程相关性质：E[ZHtZHt+s]=σouΓ（2H）-1） （as）2H-2+o（as）2H-2., 像>> 1.（2.12）扩展（2.12）对ny H有效∈ (0, 1/2) ∪ （1/2,1）和H∈ （1/2，1）它表明相关函数在本质上是不可积的。

这与短程相关过程的情况以及相关函数可积的马尔科夫过程的情况相反。3.期权价格。风险资产的价格遵循随机微分方程：dXt=σtXtdW*t、 （3.1）其中随机波动率为σt=？∑+F（δZHt），（3.2）在前面的章节中引入了ZHt，并适用于布朗运动Wt，以及*这是一个布朗运动，与随机波动有关*t=ρWt+p1-ρBt，（3.3），其中布朗运动Bt独立于Wt。我们注意到，模型的主要方面是方程中相关函数的短程和长程性质，我们要分析它的结果。（2.11）和（2.12）在等式（3.3）中的杠杆作用下。我们将发现，这对交感价格和相关的隐含波动率有显著影响。函数F被假定为一对一的光滑函数，从下到下以常数比为界-\'σ，上面有界，带有界导数，如tF（0）=0和F′（0）=1。请注意，通过这种函数拟合的标准化，不会在位置3的价格近似值中显式出现。1.在这种情况下，其他属性并不重要。此外，由（Bt，Wt）生成的过滤也是由Xt生成的过滤。事实上，它相当于（W*t、 Wt），或（W）*t、 ZHt）。因为F是一对一，所以它相当于（W）生成的一*t、 σt）。因为∑+F是正值，所以它等价于由（W）生成的一个*t、 σt），或Xt。我们的目标是计算定义为鞅M=E的期权价格高（XT）|英尺, （3.4）其中h是一个光滑函数，其有界导数与一组有限的点分开，其中其导数可能具有跳跃不连续性。

请注意，本节中的证明将针对h光滑且有界的情况给出。然而，由于我们只需要控制下面定义的函数Q（0）t（x），而不是h，因此可以将参数从平滑情况扩展到导数中存在跳跃不连续的情况，这与支付调用的情况有关。我们在第4节中明确地进行了这一概括。我们下面提出的方法的思想是构造一个近似公式，它具有正确的终端条件，并且小（δ阶）项是一个马丁加函数。然后得出O（δ）的价格近似值。我们引入了算子lbs（σ）=t+σxx、 （3.5）当δ较小时，以下命题对马廷格尔mt的表达式进行了一阶修正。提议3.1。当δ很小时，我们有mt=Qt（Xt）+O（δ），（3.6），其中Qt（x）=Q（0）t（x）+δ′σφt十、xQ（0）t（x）+ ΔρQ（1）t（x），（3.7）Q（0）t（x）是确定性的，由布莱克-斯科尔斯公式给出，具有常数波动性‘∑，LBS（‘∑）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=h（x），（3.8）φt随机分量φt=EhZTtZHsds | Fti，（3.9）和Q（1）t（x）是确定性校正Q（1）t（x）=‘∑x）十、十、xQ（0）t（x）Dt，T，（3.10）与Dt，由Dt定义的Tde，T=D（T- t） ，D（τ）=τH+Γ（H+）n1-Zaτe-五、1.-vaτH+dvo。（3.11）修正Q（1）t解决了下面（3.16）中的问题。函数D（τ）由这个问题衍生而来，是：D（τ）=Zτ（τ- u） K（u）du，在Lemma中有更详细的讨论。2在附录A中。请注意，我们在等式（3.2）中引入的随机波动过程是一个稳定的幂律过程。作为我们建模的一个结果，我们特别发现φ是一个高斯Ft可测量过程，它反映了过去对以当前为条件的未来随机波动路径的影响。

接下来我们给出命题3的证明。1并指出，在我们提出的分析框架中，利用“ε-鞅分解”[27]，H<1/2和H>1/2的情况可以以统一的方式处理。我们在下面提供的证据适用于具有短期和长期相关性的一般高斯过程，而等式（3.11）中右边的表达式则适用于fOU过程。我们在附录B中讨论了一般高斯情况和D（τ）的一般表达式（B.4）。对于任何光滑函数qt（x），我们都可以用^o的公式qt（Xt）=tqt（Xt）dt+十、xqt（Xt）σtdW*t+十、xqt（Xt）σtdt=LBS（σt）qt（Xt）dt+十、xqt（Xt）σtdW*t、 第一项是鞅。因此，通过（3.8），我们得到了dq（0）t（Xt）=δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、Q（0）t（Xt）dt+dN（0）t，（3.12）带N（0）ta鞅，dN（0）t=十、xQ（0）t（Xt）σtdW*t、 gδ（y）是函数gδ（y）=2′σF（δy）- δyδ+F（δy）δ，可以在δ中一致有界于| gδ（y）|≤σkF′k∞+ kF′k∞y、 还要注意，在等式（3.12）（及以下）中，我们使用了符号十、十、Q（0）t（Xt）=十、十、Q（0）t（x）x=Xt。将φt定义为（3.9）。我们有φt=ψt-ZtZHsds，（3.13），其中鞅ψ由ψt=EhZTZHsds | Fti（3.14）定义，并在附录中进行了研究。我们可以写十、十、Q（0）t（Xt）dt=十、十、Q（0）t（Xt）dψt-十、十、Q（0）t（Xt）dφt由It^o的公式：dφt十、十、Q（0）t（Xt）=十、十、Q（0）t（Xt）dφt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdW*t+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdt+十、十、TQ（0）t（Xt）φtdt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hφ，W*它=十、十、Q（0）t（Xt）dφt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdW*t+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φtdt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hφ，W*在这里，我们再次使用LBS（¨σ）Q（0）t（x）=0。

我们有hφ，W*it=ρhψ，W在此之前φt十、十、Q（0）t（Xt）= -ZHt十、十、Q（0）t（Xt）dt+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φtdt+ρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hψ，wit+dN（1）t，其中N（1）是鞅，dN（1）t=十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdW*t+十、十、Q（0）t（Xt）dψt.因此：dQ（0）t（Xt）+δ′σφt十、十、Q（0）t（Xt）=δ′σZHt+δ′σgδ（ZHt）十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φtdt+δgδ（ZHt）十、十、Q（0）t（Xt）dt+δ′σρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hψ，W it+dN（0）t+？∑ΔdN（1）t.（3.15）确定性函数Q（1）t由（3.10）满足磅（σ）Q（1）t（x）=-σ十、十、十、xQ（0）t（x）θt，t，Q（1）t（x）=0，（3.16），其中θt，这使得d hψ，W it=θt，Tdt，它由（见引理1）：θt，t=ZTtK（v）给出- t） dv=ZT-tK（v）dv。（3.17）应用It^o的公式Q（1）t（Xt）=LBS（σt）Q（1）t（Xt）dt+十、xQ（1）t（Xt）σtdW*t=LBS（°σ）Q（1）t（Xt）dt+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、Q（1）t（Xt）dt+十、xQ（1）t（Xt）σtdW*t=-σ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）dhψ，W it+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、Q（1）t（Xt）dt+dN（2）t，其中N（2）是鞅，dN（2）t=十、xQ（1）t（Xt）σtdW*t、 因此Q（0）t（Xt）+δ′σφt十、十、Q（0）t（Xt）+ΔρQ（1）t（Xt）= dNt- dRt，T，（3.18），其中nti是鞅，Nt=ZtdN（0）s+？∑δdN（1）s+ρδdN（2）s，（3.19）和Rt，其阶数为δ：Rt，T=δZTt\'\'σZHs+δ\'\'σgδ（ZHs）十、十、十、十、Q（0）s（Xs）φsds+δZTtgδ（ZHs）十、十、Q（0）s（Xs）ds+δZTt′σρ十、十、十、十、Q（0）s（Xs）ZHsθs，Tds+δZTtρ′σZHs+Δρgδ（ZHs）十、十、Q（1）s（Xs）ds。（3.20）然后使用命题3中定义的Qt（x）。我们有QT（x）=h（x），因为Q（0）T（x）=h（x），φT=0，Q（1）T（x）=0。ThereForest=E高（XT）|英尺= EQT（XT）| Ft= Qt（Xt）+E新界- 新界|英尺+ ERt，T | Ft= Qt（Xt）+ERt，T | Ft, （3.21）自ERt，T | Ft是δ4级。精度与欧式选择。在上面的推导中，我们假设了一个mooth payoff函数。由于重要的Payoff函数类具有非光滑Payoff，我们在这里通过考虑欧式期权将证明推广到这类函数。对于欧式期权h（x）=（x- K） +我们从Eq。

1.41英寸[27]Q（0）t（x）=xΦσ√T- tlogxK+σ√T- T-KΦσ√T- tlogxK-σ√T- T, （4.1）其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。我们可以看到h是不光滑的，所以我们的假设是3。然而，正如我们现在所展示的，命题3.1的结论仍然是正确的。证据必须证明（3.20）满足的Rt、TdeRt，T | Ft对于任何p，在lp中为δ阶，并且由（3.19）定义的局部鞅是鞅（直到时间T）。这个问题源于Q（0）t（x）的导数在t→ T然而，正如我们下面所示，这种爆炸并不强烈。

我们首先陈述了Rt，T表达式中适用的确定性和随机项的一些性质：-由（4.1）saties给出的确定性函数Q（0）T（x）kxQ（0）t（x）≤ C1+（T- t） k-1.,任何一个≤ K≤ 4，t∈ [0，T]，x∈ (0, ∞), 对于某些常数C（见附录Bin[25]）：由（3.11）satifiesdt，T驱动的确定量Dt，T≤ C（T）- t） H+，对于任何t∈ [0，T]和一些常数C（见附录A中的引理2和下面的引理）（3.17）定义的确定量θt，Tde满足θt，t≤ C（T）- t） H+，对于任何t∈ [0，T]和一些常数C（将（2.9-2.10）替换为（3.17））-由（3.9）satifie[|φt | p]p定义的随机分量φtde≤ Cp（T- t） ，无论如何∈ [0，T]对于任何p>0的常数Cp（应用附录中的引理3，并使用φ为高斯的事实）随机过程zhtsatiese[|ZHt | p]p≤ Cp，对于任何t∈ [0，T]对于任何p>0的常数Cp（使用Zhtis高斯、平稳、均值为零且方差为σou的事实）。因此，确定性函数Q（1）t（x）满足|kxQ（1）t（x）|≤ C（T）- t） H++（t- t） H+-K1+x,任何一个≤ K≤ 2，t∈ [0，T]，x∈ (0, ∞), 对于前一个常数，我们发现有[124p]和[124p]对于前一个常数≤ CpδZTt（T- （s）-+ （T）- （s）-+ （T）- s） H-+ （T）- s） H-ds≤ Cpδ（T）- t） +（t）- t） H+,对于任何δ∈ （0,1）和t∈ [0，T]，它显示了Rt，T的期望结果。此外，局部鞅ales N（j）tin（3.19）是直到时间T的连续平方可积鞅，其括号是ddn（j）Et=N（j）tdt，j=0，1，2，N（0）T=σt十、xQ（0）t（Xt）,N（1）t=十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφt+2ρθt，t十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφt十、十、Q（0）t（Xt）+十、十、Q（0）t（Xt）θt，t，N（2）t=σt十、xQ（1）t（Xt）,其中N（j）皮重关于t一致有界∈ [0，T]在LPP中表示任何p，由此得出证明。5.隐含波动率。