分数阶随机变量对Black-Scholes公式的修正

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英文标题：
《Correction to Black-Scholes formula due to fractional stochastic
  volatility》
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作者：
Josselin Garnier and Knut Solna
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Empirical studies show that the volatility may exhibit correlations that decay as a fractional power of the time offset. The paper presents a rigorous analysis for the case when the stationary stochastic volatility model is constructed in terms of a fractional Ornstein Uhlenbeck process to have such correlations. It is shown how the associated implied volatility has a term structure that is a function of maturity to a fractional power.
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中文摘要：
实证研究表明，波动率可能表现出相关性，其衰减为时间偏移的分数幂。本文对平稳随机波动率模型由分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程构造而成的情况进行了严格的分析。本文展示了相关的隐含波动率是如何具有期限结构的，期限结构是到期日到分数次幂的函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Correction_to_Black-Scholes_formula_due_to_fractional_stochastic_volatility.pdf (282.56 KB)

2022-5-9 04:01:30 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black 随机变量

对分数随机波动引起的BLACK-SCHOLES公式的修正Josselin GARNIER*和KNUT SOLNA+摘要。实证研究表明，波动率可能会表现出相关性，这种相关性会随着时间效应集的分数幂而衰减。本文对用分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程建立静态随机波动率模型以获得这种相关性的情况进行了严格分析。这是如何关联的隐含波动率有一个期限结构，这是一个成熟度到分数次幂的函数。关键词。随机波动率，隐含波动率，分数布朗运动，长程相关性。AMS科目分类。91G80、60H10、60G22、60K37。1.导言。本文的目的是在波动过程具有类似幂律衰减的相关性的情况下，为分析随机波动问题提供一个框架。我们都将考虑“长期”过程的情况，其中过程的连续增量正相关，对应于所谓的赫斯特系数H>1/2，以及“短期”过程的情况，其中连续增量与H<1/2负相关。用随机过程代替B-lack-Scholes模式l的恒定波动性，可以对金融合同进行价格调整。了解（一类）短期波动模型的此类价格调整的定性行为很重要，因为这可以用于校准目的。通常情况下，价格调整由相对于Black-Scholes模型的隐含波动率参数化[27,42]。为了说明这一点，我们考虑了欧式期权定价，然后隐含波动率取决于货币价值、履约价格和当前价格之间的比率，以及到期时间。

隐含波动率的期限和货币结构可以根据流动性合同进行校准，然后用于相关但流动性较小的合同的定价。关于随机波动率模型的大部分工作都集中在波动率过程是马尔科夫过程的情况下，通常是某种跳跃-扩散过程。然而，大量的实证研究表明，波动过程具有长期和短期的范围依赖性，即波动过程的相关函数具有衰减性，这是时间效应集的分形幂。这就是我们在这里考虑的波动率模型。我们发现，这种相关性确实反映了隐含的波动性部分期限结构。建模的一个重要方面也是波动率冲击与基础冲击（驱动布朗运动）之间存在相关性，这种“杠杆效应”以重要方式影响隐含波动率，我们将在下文中予以说明。从建模的角度来看，杠杆效应具有很好的动机，重要的是要考虑到观察到的隐含波动性，尽管这是一个很难估计的数量[2]。通过考虑高频数据和离散时间序列模型[8,20,43]发现了杠杆效应和持久性或长期依赖性的证据。在这里，我们用一个连续时间随机波动模型来建模*法国巴黎塞德斯13号埃帕里斯·迪德罗大学概率与现代饮食实验室和雅克·路易斯·利昂斯实验室，75205garnier@math.univ-巴黎狄德罗。fr+加利福尼亚州欧文市加利福尼亚大学数学系92697ksolna@math.uci.edua高斯过程的光滑函数。我们使用了一种马尔廷加方法，它利用了折扣价格过程是（局部）鞅的事实。

我们将分数随机波动率（fSV）建模为弗劳恩斯坦-乌伦贝克（fOU）过程的光滑函数。此外，我们假设fSV模型具有相对较小的振幅δ<< 1，通过渐近分析，我们推导出了关于该参数的隐含波动率的相关引导顺序表达式。这为隐含波动率提供了一个简洁的参数化，可用于稳健校准。fOU过程是具有分数相关结构的平稳过程的经典模型。这个过程可以用分数布朗运动（fBm）过程的积分来表示。fBm过程的分布以Hurst e指数为特征∈ (0, 1). fBm过程是指数α的局部H？older连续，对于所有α<Hand，这一性质由fOU过程继承。fBm过程WHt在这方面也很相似WHαt，t∈ R区=αHWHt，t∈ R对于所有α>0。（1.1）自相似性是通过fOU过程在尺度上近似继承的，比我们将用1/abelow表示的fOU过程的平均回复时间小。从这个意义上说，我们可以将fOU过程称为一个相对较短sca les上的多尺度过程。H的情况∈ （0，1/2）给出了一个fou过程，这是一个所谓的“短程”依赖过程，在短尺度上是粗糙的，其小时间效应集的相关性衰减比与马尔可夫过程相关的线性衰减更快。事实上，Decay等于分数次幂2H。在这种情况下，fBm过程的执行增量呈负相关，给出了一个粗糙过程，也被称为反persis tent过程。

与较小的赫斯特指数的增强负相关给出了一个相对更全面的过程。H的情况∈ （1/2，1）给出了一个fOU过程，这是一个所谓的“长程”依赖过程，其在大时间内的相关性随着作用的分数幂2（H）而衰减-1). 因此，fOU过程的相关函数是不可积的。这种机制与一个持续的过程有关，在这个过程中，fBm的连续增量是正相关的。随着H值的增加，相关fBm过程的连续增量具有相对较强的正相关性，这提供了一个相对平滑的过程，其相关性衰减相对较低。关于fBm和fOU流程的更多细节，我们分别参考[7,17,18,37]和[10,35]。为了简化结果的表示和解释，我们将其呈现在分数OU过程中。然而，正如我们在附录B中所展示的，结果很容易推广到具有短程和长程相关性的一般高斯过程的情况。最近的大量论文都考虑了根据具有短期和长期偏差的过程对波动性进行建模。在[13]中，作者考虑了Heston[34]期权定价模型的长记忆扩展、分数积分平方根过程，以及[14]中早期工作的推广。他们利用了该模型的分析可追溯性，事实上是马尔可夫扩散的一个分形整合版本，在[19]中考虑了各种扩散。重点是长期依赖（H>1/2）和长期成熟。作者重点讨论了综合平方波动率的条件期望，并给出了它的分数衰减，此外，他们还讨论了基于离散观测值的模型参数估计方案。

在马尔可夫情形下，平均积分平方波动率将以指数速度接近其平均值，并影响隐含的波动率期限结构。他们指出，长期相关性为观察到的大额到期的非流动期限结构提供了一种解释，因为长期相关性可能会使隐含波动率在该机制中强烈依赖于到期，同时也会对短期到期产生一致的微笑。[13]中提出的模型最近在[31]中重新讨论，其中使用大偏差原则分析了短期和长期渐近性。[5,30]中提出了RFSV的概念，即粗糙分数随机波动率。在这里，由fBm建模的对数波动率模型受市场数据分析的推动，他们表示，这为Hurstexponent H的值在0.1左右提供了强有力的支持。如上所述，H的小值对应于veryrough过程。通过对有序流Hawkes过程的建模，可以激活这样一个过程。作者讨论了从实物计量到定价计量的变化相关问题，并在SPX参数很少的情况下，使用模拟价格很好地拟合隐含的波动率表面。他们认为，即使是在很短的到期时间内，分数模型也会在隐含波动率中产生强烈的倾斜或“微笑”，因此，这种模型提供了一种替代使用跳跃来模拟这种影响的方法。

隐含波动率曲面的形式和回报率的结构已经被用来说明设定价格应该是一个跳跃过程[1,9]。事实上，对于波动性模型[21,40]和直接针对价格模型[4]，带跳跃的模型可以作为一种替代方法，来捕捉本文所考虑的分数方法的微笑动力学，最近的贡献考虑了由L’evy过程驱动的模型。[39]中考虑了[30]中模型的一个变体，其中对数波动率被建模为分数噪声，分数噪声是afBm在一定增量长度内的增量过程。作者从财务角度证明了该模型的适定性，并在这一过程中使用了fBm积分表示的一个未命名版本。在[38]中，该模型由数据分析支持，并由基于代理的解释驱动。在[11,12]中，作者考虑了当波动率被建模为fOU过程的函数时的情况，fOU过程的冲击独立于底层的冲击。他们的foc-us基于一种基于树的方法来计算价格，模型参数的估计方案，以及一种粒子滤波技术，用于给定具体观察值的未观察到的波动性。他们考虑了一些真实数据示例，并对赫斯特博览会的估值进行了最终估算，该值大于1/2，尤其是在市场崩盘后的一段时间内。文[32]给出了该模型的渐近结果。在许多认为短成熟度是一种症状的论文中，在早期的论文[3]中，Al\'os等人使用Malliavin演算得到了小成熟度下隐含波动性的表达式。他们发现，在短期依赖的情况下，隐含波动率有所不同，而在小期限的长期依赖情况下，隐含波动率有所不同。

这些结果与我们下面给出的结果一致。[3]中的模型与下面的模型不同，因为作者认为波动率波动在一级，而低于波动率的波动相对较小，然而，我们考虑任何成熟时间。Fukasawa[28]将小波动率波动和对隐含波动率的短期和长期依赖影响作为他阐述的一般理论的应用，讨论了这种情况。他使用非平稳的“平面”波动率模型作为波动率事实rso，即主要的隐含波动率面仅取决于隐含波动率因子的当前值，而下面的统计模型则取决于波动率因子直到当前的路径，反映了波动率模型的非马尔可夫性质。在[29]中，Fukasawa讨论了短期依赖过程和短期到期的情况，以及扩展隐含波动面的框架。由于Muralev[41]，他使用了fBm的表示。他还考虑了低成本随机波动模式，并发现这些模式与该制度下的幂律不一致。作为对基于分数布朗运动模型的进一步推广，在[16]中考虑了基于多分数布朗运动模型的情况。这允许非平稳的局部规律性或时间相关的赫斯特指数，然后隐含波动率取决于局部赫斯特指数的加权平均值。在[23]中，Forde和Zhang使用大偏差原理来计算隐含波动率m的短到期渐近。他们考虑了与杠杆相关的案例，并获得了与[3]中一致的结果。

他们考虑了一种基于fBm的随机波动模型，以及更一般的波动过程由fBm驱动并使用粗糙路径理论分析的波动模型。他们还考虑了一些分数过程的大时间渐近性。事实上，许多最近的pap研究者在混合、短期或长期过程的背景下考虑了隐含波动性的小到期渐近性。其中许多使用大偏差原理或热内核扩展[6,23,33]，而另一种方法是考虑围绕货币的制度[3,29,40]。最近的作品还涉及大罢工制度，并推导出了隐含效用的界限[36]。在这里，我们通过考虑扰动情况采取另一种方法，这样隐含的波动率可以扩展到有效波动率[27]，也可以延长到期时间。我们将波动率建模为一个平稳的y过程，一个连续的时间平稳的短或长随机波动过程，以期构造一个时间一致的方案。我们使用了一种基于鞅方法的方法，该方法适用于波动过程不是马尔可夫过程的事实。我们明确考虑了波动性冲击和潜在冲击之间的相关性影响、杠杆效应及其在短期和长期依赖情况下的形式。我们得到了从到期到到期的所有时间的隐含可用性表达式，以及订单1的对数货币性表达式。明确地说，对于ZHTFOU过程，我们将波动率建模为σt=？∑+F（δZHt），（1.2），我们将在第2节中详细讨论。2.假定函数F是一对一的光滑函数，从下到下以一个常数larg e rthan为界-σ，有界导数，且F（0）=0，F′（0）=1。

因此，波动过程（定性地）继承了fBm过程的相关特性。实际上，我们有σt=(R)σ+F（δZHt）=σ+δZHt+δhδ（ZHt）（1.3），其中hδ（y）=（F（δy）- δy）/δ可以在δ中一致有界：|hδ（y）|≤ kF′k∞y、 （1.4）请注意，在本文中，我们将研究无量纲质量。具体来说，如果t′代表以“交易年”为单位的量纲化时间，并且t′是一个典型的时间范围，例如以年为单位的典型到期时间，则t是无量纲化时间：t=t′t′。（1.5）主要结果是隐含波动率的关联形式，见下面的方程式（5.1）、（5.3）和（5.4），我们接下来总结结果。隐含波动率是指在恒定波动率Black ScholeseEuropean期权定价公式中需要使用的波动率值，以复制渐近fSV期权价格，它是，在δ阶下：它=EhT- tZTtσsds | Fti+A（T- t） h1+对数（K/Xt）（t）- t） /“τi，（1.6）forA（τ）=Δρ′στH+2Γ（H+）n1-Zaτe-五、1.-vaτH+dvo，（1.7），其中1/a是fOU过程的平均再转化时间，而“τ=2/”σa是基础过程的特征扩散时间。此外，XT是基础价格过程，其演变如（3.1）所示，FTIT是相关过滤。此外，ρ是分别驱动波动过程和基础价格过程的布朗运动之间的相关性，K是执行价格，因此K/X是货币性，最后τ=T- 是成熟的时候了。隐含波动率中的第一项是期权剩余时间段内的预期有效波动率，根据时间t的知识，请注意，该项为随机m。第二项为平均项，其存在于基础波动率和波动率具有相关演变的情况下，因此ρ为非零。