分数阶随机变量对Black-Scholes公式的修正

我们现在计算并讨论与命题3.1中给出的价格近似值相关的隐含波动率。这种隐含的波动性是指当在恒定波动率Black-Scholes定价公式中使用时，其价格与近似值相同，达到近似值的阶数。上一节中介绍的欧式期权的隐含波动率由它=\'σ+ΔφtT给出- t+ΔρDt，Th′σ2（t- t） +log（K/Xt）’σ（t- t） i+O（δ）。（5.1）前两个术语可以组合并重写为（最多δ阶术语）：‘σ+ΔφtT- t=EhT- tZTtσsds | Fti+O（δ）。（5.2）当a（T- （t）<< 1隐含波动率是随机的，我们有（见Lemma.3）和等式（A.5）：它=\'σ+δZHt+δρΓ（H+）H\'\'σ（T- t） +H+log（K/Xt）’σ（t- （t）-你好（5.3）注意，对于H∈ （0，1/2），隐含波动率在成熟度T的小时间点上升- t、 请注意，以上结果在渐近区域δ中是有效的<< 1.事实上，对于σ是一个一阶严格正的量，等式（5.3）中的隐含可用性对于足够小的δ是严格正的。当a（T）-（t）>> 1，订单数量Dt，T-t） H+和是确定性的（通过引理A.2），而fφ皮重的函数是有序的（t- t） 因此，大多数a和D都可以忽略（引理a.3）。作为消费者，当- （t）>> 1，我们可以将隐含波动率写成：It=\'σ+ΔρaΓ（H+）H\'\'σ（T- t） H-+对数（K/Xt）’σ（T- （t）-你好（5.4）注意，对于H∈ （1/2,1），隐含波动率在成熟度T的大时间点爆炸- t、 我们注意到，因子乘以等式中的方括号。（5.3）和（5.4）在一般情况下稍作修改，当ZT是通用的美国工艺时，见附录B.6。一个缓慢的波动因素。在本节中，我们展示了本文开发的方法可以应用于其他随机波动率模型。

这里我们考虑以下模型σt=F（Zδ，Ht），（6.1），其中F是一个光滑的正值d函数，有界于零，有界导数，Zδ，Ht是一个重新标度的fOU过程：dZδ，Ht=δHdWHt- δaZδ，Htdt，（6.2），其自然时间标度为1/δ。它的形式是zδ，Ht=δHZt-∞E-δa（t）-s） 德沃斯。（6.3）其移动平均积分表示为zδ，Ht=Zt-∞Kδ（t）-s） dWs，Kδ（t）=δK（δt），（6.4），其中K由（2.8）定义。特别是，其变量由（2.5）定义，与δ无关。因此，该模型的特点是波动性的波动强烈但缓慢。如果风险资产的价格遵循随机微分方程（3.1），我们会得到类似于命题3.1的结果。提议6.1。当δ很小时，表示σ=F（Zδ，H）和p=F′（Zδ，H），期权价格（3.4）的形式为mt=Qt（Xt）+O（δ2H），（6.5），其中Qt（x）=Q（0）t（x）+σpφδt十、xQ（0）t（x）+ δHρpQ（1）t（x），（6.6）Q（0）t（x）由Black-Scholes公式给出，具有恒定的波动率σ，LBS（σ）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=H（x），（6.7）φδ是随机分量φδt=EhZTtZδ，Hs- Zδ，Hds | Fti，（6.8）和Q（1）t（x）是校正Q（1）t（x）=σx十、十、xQ（0）t（x）Dt，T，（6.9）与Dt，由Dt定义的Tde，T=（T- t） H+Γ（H+）。（6.10）我们注意到，我们确实可以预期波动系数缓慢的情况在定性上与命题3中波动系数较小的情况相同。1从中等粗糙度s的影响来看。这是因为我们从分数布朗运动的自相似性得出，分布δWHtd=WHδ1/Ht。然而，我们有δZHt | a=a′d=ZHδ1/Ht | a=δ1/Ha′，因此模型（小波动率波动与慢波动）在强烈意义上和分布上都有所不同。此外，从模式角度来看，模型有不同的解释，例如不同的偏度机制。

特别要注意的是，这种差异表现为，对于固定的赫斯特系数，校正项和误差项的大小，尤其是从相关性模型中推导出来的，在两个模型的δ中具有不同的标度。例如，对于小赫斯特指数H，对于给定的δ，在慢波动系数的情况下，我们可以预期校正（以及误差项）相对较大。随机修正δ为δH阶。更确切地说，它是一个方差为e的零均值高斯随机变量（δt）=δ2HT2+2HΓ（H+）Z∞H1.-tT+vH+- vH+-1.-tTH+五、-tTH-+t的idv+O（δ2H+1），（6.11）∈ [0，T]。证据我们注意到σt=σ+p（Zδ，Ht- Zδ，H）+gδt，其中gδt=F（Zδ，Ht）- F（Zδ，H）- F′（Zδ，H）（Zδ，Ht）- Zδ，H）和| gδt |≤kF′k∞（Zδ，Ht）- Zδ，H）。我们有（Zδ，Ht）- Zδ，H）=ZδtK（s）ds+Z∞K（δt+s）- K(s)ds，其阶数为δ2H:E（Zδ，Ht）- Zδ，H）= σH（δt）2H+o（δ2H）。因此，gδ在lpp中以δ2H的数量为界。然后我们可以遵循与命题3.1相同的证明。术语dδt，t=Zτ（τ- u） Kδ（u）du由dδt给出，t=δH（t- t） H+Γ（H+）+O（δ2H）。修正系数的方差（δt）=ZtZTtKδ（s）- u） dsdu+Z-∞ZTtKδ（s）- u）- Kδ(-u） dsdu，这反过来又给出了（6.11）。与小幅度随机波动模型的情况一样，我们发现欧洲期权的隐含波动率由它=σ+pφδtT给出- t+δHρpΓ（H+）Hσ（t-t） H++log（K/Xt）σ（t）- （t）-Hi+O（δ2H）。（6.12）前两项可以组合并重新书写为（高达δ2H阶的项）：σ+pφδtT- t=EhT- tZTtσsds | Fti+O（δ2H）。(6.13)7. 结论我们分析了当波动率是随机的，并且具有作为时间效应集的分数幂衰减的相关性时的欧式期权价格。

随机波动率模型是根据具有赫斯特指数H的分馏朗斯坦-乌伦贝克过程定义的，当波动率的典型振幅相对较小时，进行分析。两种情况是不同的。首先是H∈ （0，1/2）对应于短尺度上粗糙的“短程”依赖过程，其相关性在原点处衰减非常快，比线性衰减快。第二种情况是∈ （1/2,1）因此，相关性在大范围内衰减相对较慢，那么波动性相关性是不可积的。我们使用鞅方法推导了两种情况下Black-Scholes价格的一般表达式。在短期情况下，短期内的粗糙行为会产生波动性，随着到期时间变为零，波动性会发生变化。在长期情况下，相关性的缓慢衰减给出了隐含效用的期限结构，随着成熟时间的推移，该期限结构会发生变化。我们给出的主要结果在某种意义上是特定的，即一个特定的随机波动率模型已经被描述，然而，正如我们所说明的，只要可以计算出一些中心共变项，fra模型就可以适用于相关模型。我们通过考虑一个具有缓慢但有序的波动率波动的模型来说明这一点，并推导出相关的分数隐含波动率期限结构。附录A.技术引理。在本附录中，我们陈述并证明了与第3节和第5节中价格推导中使用的一些感兴趣的中心量有关的一些技术引理。marting aleψ是为任何t定义的∈ [0，T]乘以（3.14）。它用于命题3.1的证明，它具有以下性质。引理A.1。

（ψt）t∈[0，T]是高斯平方可积鞅，d hψ，W it=ZT-tK（s）dsdt，dhψit=ZT-tK（s）dsdt。（A.1）证据。对于t≤ s、 给定Ftis高斯分布的ZHs的条件分布ZHs |英尺=Zt-∞K（s）- u） dWu，（A.2）和由VaR产生的确定性方差ZHs |英尺=Zs-蒂克（u）杜。因此我们有ψt=ZtZHsds+ZTtEZHs |英尺ds=ZtdsZs-∞K（s）- u） dWu+ZTtdtZt-∞K（s）- u） dWu=Z-∞hZTK（s）- u） dtidWu+ZthZTuK（s）- u） 戴德武。这给出了hψ，W it=ZTtK（s）- t） dsdt，dhψit=ZTtK（s）- t） dsdt，如引理中所述。我们定义了确定性分量dt，T=hψ，W iT- hψ，W it，（A.3）出现在等式（3.10）中。它具有以下属性。引理A.2。Dt是T的确定函数- 它由dt给出，t=D（t- t） ，D（τ）=Zτ（τ）-u） K（u）du。（A.4）函数D可以写成一个s（3.11），它有以下行为：对于τ<< 1，D（τ）=Γ（H+）aH+（aτ）H++o（aτ）H+. （A.5）对于τ>> 1，D（τ）=Γ（H+）aH+（aτ）H++o（aτ）H+. （A.6）最后，我们考虑由（3.9）定义的随机过程φtde。引理A.3.1。φ是方差var（φt）=Z的零均值高斯过程∞ZT-tK（s+u）ds杜。2.存在一个常数C（取决于H），使得φt的方差以var（φt）为界≤ C（T）- t） 2小时∧ （T）- t） 。（A.7）3。φT约等于（T- t） ZHTT适用于小t- t:嗯φtT- T- ZHt信息技术-T→0-→ 0.（A.8）证据。

我们可以表示φtas的方差：Var（φt）=ZT-tdsZT-tds′CovEZHs | F, EZHs′|F,第一项是辛切科夫EZHs | F, EZHs′|F=Z-∞K（s）- u） K（s′）- u） 杜。莫尔瓦（φt）≤ZT-特瓦尔EZHs | F1/2秒≤ZT-TZ∞sK（u）du1/2秒≤ C（T）- t） 2小时∧ （T）- t） ，这给出了引理的第二项。同样地，我们有φtT- T- ZHt我≤T- tZT-tdsVarEZHs | F- ZH1/2,安第斯山脉ZHs | F- ZH=Z-∞K（s）- u）-K(-u）dWu，所以呢φtT- T- ZHt我≤T- 坦桑尼亚先令-太赫兹∞K（s+v）- K（v）dvids.作为s→ 0，我们有∞K（s+v）-K（v）dv→ 0由Lebes-gue的支配收敛定理（关于K∈ 五十） ，它给出了第三项。附录B.对一般随机波动率模型的扩展。在本文中，我们将波动率建模为fOU过程的有界函数。事实上，将所有结果推广到波动率模型是一个平稳高斯过程的有界函数，它的相关特性与fOU过程的相关特性在质量上相似，这是一个很好的尝试。在本附录中，我们考虑了波动率为σt=？σ+F（δZt），（B.1）的情况，对于均值为零的Zt=Zt的Zta平稳高斯过程-∞K（t）- s） dWs，（B.2），其中wt是标准布朗运动，K∈ L（0，∞) 是一个通用内核，而不是对应于fOU的特定内核（2.8）。然后高斯过程Zthas均值为零，方差σZ=Z∞K（u）du，（B.3）和协方差[zt+s]=Z∞K（u）K（u+s）du。如前所述（上述命题3.1），函数F被假定为一对一的光滑函数，由一个大于-带有界导数的σ，以及F（0）=0和F′（0）=1。命题3.1则成立，函数Dde定义为比亚迪（τ）=Zτ（τ- u） K（u）du，（B.4）和欧式期权上下文中的隐含波动率仍然由（5.1）给出，其中Dt，T=D（T- t） 。

函数D的行为由核K的行为决定，我们更详细地考虑了两种情况，分别对应于长程和短程相关性：1。存在cZ6=0，使得k（t）=cZtH-1+o（1）作为t→ ∞. （B.5）如果H∈ （1/2，1）这意味着K在单位是不可积的，正如我们将在下面看到的（见LemmaB.1），Zt的协方差函数有一个尾巴行为，类似于fOU单位的尾巴行为。换言之，ZT具有长程相关性，隐含波动率的形式（5.4）与Hur st指数为H、cZΓ（H）的fOU相同- 1/2）/Γ（H+3/2）而不是1/[aΓ（H+3/2）]。存在dZ6=0，使得k（t）=dZtH-1+o（1）作为t→ 0.（B.6）如果H∈ （0，1/2）这意味着K在零处是单数的，正如我们将在下面看到的（见LemmaB.2），ZT的c卵巢功能在零处的行为类似于fOU。换句话说，ZT具有短期相关性，隐含波动率的形式（5.3）与赫斯特指数为H的fOU相同，但dZΓ（H+1/2）/Γ（H+5/2）替代了1/Γ（H+5/2）。引理。我们假设（B.5）。如果H∈ （1/2，1），则Ztsatis fie[ZtZt+s]的协方差函数=kZs2H-2.1+o（1）作为s→ ∞, （B.7）kz=cZΓ（2）-2H）Γ（H）-)Γ(- H） =cZΓ（H）-)2 sin（πH）Γ（2H）- 1). （B.8）2。如果H∈ （1/2,1），则函数D（τ）由（B.4）满足（τ）=cZΓ（H）定义-)Γ（H+）τH+1+o（1）asτ→ ∞. （B.9）如果zt是fOU过程（2.4），那么cZ=1/[aΓ（H-1/2)]. 在这种情况下，我们可以检查kZ=a-2/[2sin（πH）Γ（2H）- 1） ]=σoua2H-2/Γ（2H）- 1） ，其中（B.7-B.8）给出（2.12），而（B.9）给出（A.6）。证据我们表示c（s）=E[zt+s]=Z∞K（u）K（u+s）du和C（s）=cZZ∞UH-（u+s）H-杜。我们可以检查C（s）=kZs2H-2withkZ=cZZ∞UH-（1+u）H-du=cZΓ（2）-2H）Γ（H）-)Γ(- H） 。我们现在证明C（s）-~C（s）变为零a s→ ∞ 比s2H快-2.

让ε∈ (0, 1).存在Sε使得| K（t）t-H+3/2- cZ|≤ ε对于任何t≥ Sε。我们什么都有≥ Sε：s2-2小时丙(s)-~C（s）≤ s2-2HZSεK（u）K（u+s）- 哲-（u+s）H-du+s2-2HZ∞Sε| K（u）| K（u+S）- cZ（u+s）H-|du+s2-2HZ∞Sε| cZ |（u+S）H-|K（u）- 哲-|杜≤ s2-2HZSεK（u）K（u+s）- 哲-（u+s）H-du+s2-2Hε（2 | cZ |+ε）Z∞（u+s）H-UH-杜。作为s→ ∞ 根据Lebesgue支配收敛定理，右边的第一项变为零，因为（2- 2H）+（H- 3/2) < 0. 这给了你一点小惊喜→∞s2-2小时丙(s)-~C（s）≤ ε（2 | cZ |+ε）Z∞（u+1）H-UH-杜。因为这适用于任何ε∈ （0，1），这证明了（B.7）。我们表示∧D（τ）=Zτ（τ- u） 哲-du，它由∧D（τ）=cZH给出-τH+=cZΓ（H-)Γ（H+）τH+。让ε∈ (0, 1). 如上所述，存在Sε使得| K（t）t-H+3/2-cZ|≤ ε对于任何t≥ Sε。然后我们得到了任意τ≥ Sε：τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ τ-H-ZSε（τ）-u）K（u）- 哲-du+τ-H-εZτSε（τ- u） 嗯-杜。Asτ→ ∞ 根据Lebesgue支配收敛定理，右边的第一项变为零，因为-（H+1/2）+1<0。这给出了slim supτ→∞τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ εZ（1）-u） 嗯-杜。因为这适用于任何ε∈ （0，1），这证明了（B.9）。引理B.2。我们假设（B.6）。如果H∈ （0，1/2）如果K满足两个技术条件：（CB.2.1）K是可积的，且Lipschitz在（1，∞).（CB.2.2）函数k（t）和k（s）的存在使得对于所有t，s∈ （0,1）我们有|K（t+s）-~K（t）|≤ k（t）k（s），其中k（t）=k（t）- dZtH-1/2，k∈ 和lims（0，L）→0秒-香港（s）=0。然后zt满足[zt+s]=σZ的协方差函数- qZs2H+o（s2H）as-s→ 0，（B.10）其中qz=dZΓ（H+）Γ（2H+1）sin（πH），（B.11）σZ=Z∞K（u）du。（B.12）2。不管怎样∈ （0,1），函数D（τ）由（B.4）满足度（τ）=dZΓ（H+）Γ（H+）τH定义+1+o（1）asτ→ 0.（B.13）条件（CB.2.1）给出了远离原点的K的一些控制，这种特定条件可以放宽。

必要的条件是-2HZ∞K（u+s）-K（u）Dus归零→ 0（参见下面的证明）。该条件（CB.2.2）意味着剩余的K（t）应在原点附近足够小。（CB.2.2）的一个有效条件是，对于so meα>H，K是α-H-更大的连续超越（0，2）。对于某些常数c，n（CB.2.2）充满K（t）=c和K（s）=Kαsα。如果Zt是fOU过程（2.4），那么K是可积的，Lipschitz在（1，∞) 我们有dZ=1/Γ（H+1/2）和K（t）=-[a/Γ（H+1/2）]Rt（t-s） H-1/2e-asds，它是（H+1/2）-H–在（0，2）上连续的：| K（t+s）-~K（t）|≤ [2a/Γ（H+3/2）]sH+1/2。在这种情况下，我们可以检查qZ=1/[2Γ（2H+1）s In（πH）]=σoua2H/Γ（2H+1），此外，我们还有σZ=σou，这证实了（B.10-B.12）给出（2.11），而（B.13）给出（A.5）。证据我们可以写出[zt+s]=σZ- Q（s），Q（s）=E（Zt+s）- （Zt）.我们有Q（s）=Q（s）+Q（s），其中Q（s）=Z∞K（u+s）- K（u）du，Q（s）=ZsK（u）du。我们的想法是，当dZtH-1/2替换K（t）。我们表示Q（s）=dZZ∞（u+s）H-- UH-du，~Q（s）=dZZsu2H-1du。我们可以检查<<Q（s）+<<Q（s）=qZs2HwithqZ=dZZ∞UH-- （1+u）H-du+dzu2h-1du=dZΓ（H+）Γ（2H+1）sin（πH）。我们现在证明Q（s）-Q（s）随着s变为零→ 0比s2H快。我们有两个-2小时Q（s）-Q（s）≤ s-2小时ZK（u+s）- K（u）- dZ（u+s）H-- UH-杜+s-2HdZZ∞（u+s）H-- UH-du+s-2HZ∞K（u+s）- K（u）杜≤ 2 | dZ | s-2HhZ（u+s）H-- UH-双1/2hZ~K（u+s）-~K（u）对决1/2+s-2HZ~K（u+s）-~K（u）du+s-2HdZZ∞（u+s）H-- UH-du+s-2HZ∞K（u+s）- K（u）|K（u+s）|+|K（u）|杜≤ 2 | dZ | hZ∞（u+1）H-- UH-酒后驾车1/2小时-2HZ~K（u+s）-~K（u）对决1/2+s-2HZ~K（u+s）-~K（u）du+dZZ∞1/s（u+1）H-- UH-du+2s1-2HLKZ∞|K（u）| du，其中Lk是K在（1）上的Lipschitz常数，∞). 作为s→ 因为积分是收敛的，所以右手边的第三项变为零，第四项变为零- 2H>0。

第一项和第二项归零，因为-2HZ~K（u+s）-~K（u）杜≤ s-2Hk（s）Zk（u）du，k∈ L（0，1）和s-香港(s)→ 0作为s→ 0.特里弗利姆→0秒-2小时Q（s）-Q（s）= 0.我们现在证明Q（s）-Q（s）随着s变为零→ 0比s2H快。让ε∈ (0, 1).存在Sε使得| K（t）t-H+1/2- dZ|≤ ε对于任何t≤ Sε。我们什么都有≤ Sε：2s-2小时Q（s）-Q（s）≤ s-2HZsK（u）- 嗯-|K（u）|+| dZ | uH-杜≤ s-2Hε（2 | dZ |+ε）Zsu2H-1du≤（2 | dZ |+ε）ε2H。因为这适用于任何ε∈ （0,1），我们有lims→0秒-2小时Q（s）-Q（s）= 0，这就完成了（B.10）的证明。我们表示∧D（τ）=dZZτ（τ- u） 嗯-du，它由∧D（τ）=dZ（H+）（H+）τH+=dZΓ（H+）Γ（H+）τH+给出。让ε∈ (0, 1). 存在ε，使得| K（t）t-H+1/2- dZ|≤ ε对于任何t≤ Sε。我们有什么≤ Sε：τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ τ-H-εZτ（τ）-u） 嗯-杜。这给出了slim supτ→0τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ εZ（1）-u） 嗯-杜。因为这适用于任何ε∈ （0，1），这证明了（B.13）。参考文献[1]Y.Ait-Sahalia，J.Fan和J.Li，离散观测过程中的跳跃测试，Ann。统计学家。37（2009），第184-222页。[2] Y.Ait-Sahalia和J.Jacod，《杠杆效应之谜：解开高频偏差的来源》，金融经济学杂志109（2013），第224-249页。[3] E.Al`os，J.A.Le`on和J.Vives，关于随机波动率跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为，Finance Stoch。11（2007），第571-589页。[4] O.E.Barndor ff-Nielsen，F.E.Benth和A.E.D.Veraart，通过波动调制的列维驱动的Volterra过程模拟能源现货价格，伯努利19（2013），第80-845页。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatherel，《粗糙波动下的定价》，量化金融16（2016），第887-904页。[6] H.Berestycki，J.Busca和I.Florent，计算随机波动模型中的隐含波动率，Comm.Pure Appl。数学57（2004），第1352-1373页。[7] F.Biagini、Y.Hu、B.Oksendal和T。