论无标度生产网络的出现

在引入k阶企业的数量后，该方程可以改写为：ρk=nkmX{j|dj=k}ψjnk=Pkψk（15），其中ψkis是k阶企业向更昂贵企业的链接的平均份额。为了近似k阶企业失去链接的概率uk，让我们注意到，企业越大（即其程度越高），它面临的竞争越多。更准确地说，一家企业的消费者考虑更换供应商的概率与该企业拥有的消费者数量成正比（即，与其参与程度成正比）。因此，dj度的企业面临失去消费者的风险的概率是j/md，其中d是网络中的平均度（因此md是网络中的链路总数）。现在，如果挑战者公司更具竞争力，那么j公司实际上将失去这一联系。挑战者公司是随机选出的。因此，考虑到j公司已被列为在任者，j公司实际失去联系的概率由φj给出∈ [0,1]在比j更便宜的公司中。总结起来，我们可以把k度公司失去联系的概率写为：uk=X{j|dj=k}djm＠dφj=X{j|dj=k}km＠dφj（16）或等效的uk=＠dkmx{j＠dj=k}jnk＠jnk＠k（17），其中φkis是k度公司在价格排序中的平均位置。对比方程（17）和方程（17），有人指出，企业面临的竞争压力随着其学位的增加而线性增加，而未来商业机会的数量与当前的规模/学位无关。也就是说，输入和输出链路的流量之间的比率是：ukρk=kdφkψk，（18）如上所述，一个分布保持稳定的有效条件是平衡输入和输出链路的流量。即如果（Pk）k∈如果是平稳分布，则其累积分布和ρkuk相关的转变率应为ρk\'uk。

现在，在固定分布中，企业的竞争力将随着学位的增加而增加，因此企业只会失去与更高学位企业的联系。换句话说，比k级企业更贵的企业所占的份额φk是学位分布的尾部，1- Fk。因此，我们有：uk\'~dkPk（1- Fk）。（19） 因此pkψk\'~dkPk（1- Fk）。（20） 此外，作为一种概率，ψk满足极限→+∞ψk=1，它一定是：- Fk~K→+∞~dk。（21）这是生产网络的度分布渐近遵循齐普夫定律。形式上，我们有：命题3假设ρkandukare跃迁速率，这样方程（18）成立，让（Pk）k∈Nbe是一个相关的平稳分布。那么，我们有：Fk:=kX`=1P`~+∞1.-■dk（22）关于提案3.1，有几点意见是正确的。该命题的重点是学位分布尾部的形成。结果的渐近性质意味着，一个抽象模型可以从数值模型的有限性质中提取出来，并考虑有限公司数为可数的有限公司模型。请注意，在这方面，条件（18）与公司数量无关。2.我们获得了一个无标度分布的渐近收敛性，该分布具有对数发散的平均值，而通过构造，原始模型中的平均值是有限的。这种差异可能是因为我们的分析近似值高估了接收传入链接的概率，因为它没有考虑企业必须选择不同的供应商这一事实，从而导致企业的进入和退出。尽管如此，分析结果显然与数值实验的结果一致（见下文），但分布指数有一个小的向上偏差。3.

平稳度分布的存在和表征与替代弹性和模型的大多数其他参数无关。4.对服从主方程且具有由方程（15）和（17）给出的转移率的分布类的完整描述超出了本文的范围，但初步结果表明，它们可能产生丰富的无标度结构。命题3强调了一个事实，即竞争塑造了生产网络的结构。这种结构必须与企业的增长速度（以竞争力较弱的同行为代价）和收缩速度（以竞争力更强的同行为代价）保持一致。因此，学位分布中出现了厚尾，这是因为关于供应商转换的“经济性”有两个基本事实。一方面，企业的新商机数量与其规模无关，即企业以恒定的速度获得联系。另一方面，企业规模越大（即程度越高），其面临的竞争就越多。事实上，现有消费者可能退出的速度与企业规模呈线性增长，即企业失去联系的程度与其程度成正比。然后，在非统计平衡状态下，度/大小分布必须是无标度的，以便平衡传入和传出链接的流量。这一过程可以被视为一种反向优先连接的过程[seeBarab\'asi和Albert，1999]，其中渐近大型企业与其程度成比例地失去连接（而在标准优先连接模型中，有限大小的节点与程度成比例地获得新的连接）。4数值分析数值模拟允许我们研究网络的动态稳定性并将其分布特性与企业人口统计的经验数据进行比较。

我们在下面报告了一系列针对M=10000 Firm（在ρchg=0的最简单情况下，M=2000 Firm）的amodel和代表性参数样本的大量模拟结果。4.1稳定性4。1.1一般均衡如前一节所述，我们首先考虑邻接结构固定的情况，因此重点关注第3.2.1小节中介绍的非均衡动态中具有垄断标记λ的一般均衡的稳定性。这个问题与一般均衡的稳定性非常相似，一般均衡的稳定性在文献中得到了广泛的研究[最近的一项调查见Fisher，2011]。然而，在我们的框架中，行为比一般均衡文献中的行为更具局部性/分散性和有限理性（企业对其需求有短视的预期，并以适应性的方式更新其价格）。因此，将微分微积分的标准装置应用于可调查性问题是非常困难的。然而，模拟提供了非常清晰的结果。虽然邻接结构是固定的，但在我们的模型中，只有三个参数影响经济的定性行为：价格调整速度τp、技术调整速度τ和弹性参数θ。特别是，对于弹性参数θ的给定值，价格和技术调整的速度决定了经济的基本一般均衡是否是动态稳定的。对该模型的数值研究确实揭示了经济的三个不同阶段（参见图1所示的相图）：1。由于价格调整过程的速度非常低（且与技术调整的速度无关），经济的特点是具有大“周期性波动”的同步状态。

如图2所示，系统随后在通货膨胀和通货膨胀、过剩需求和过剩供应、正利润和负利润之间波动。在这个阶段，由于价格发展太慢，库存承担着调整的负担。这会产生非常强烈的反馈效应，导致经济的非同步状态（如Gualdi等人[2015b]和Gualdiet等人[2015a]）。图3说明了在一个周期中起作用的过程。在第一阶段，产量大于需求，企业增加库存，同时价格向下调整。在第二阶段（在供需曲线的反映范围内），需求大于供应，库存减少，但价格继续向下调整（由于库存不为空，仍然存在供应过剩）。价格不断向下调整，直到库存完全耗尽。在这一阶段，由于价格较低，库存空置，过度需求处于最大值，利润处于最低值。然而，在没有更好的股票的情况下，价格变得更加不稳定，并迅速上涨，直到过剩的需求被吸收，新的周期开始。请注意，虽然在Gualdi等人[2015b]中，同步状态出现的主要驱动因素是债务的积累，但在我们的案例中，驱动因素似乎是产品库存的积累/消耗。2.对于中间速度的价格调整，系统收敛到均衡（见图2）。这一阶段在很大程度上占主导地位，将用于分析分销企业和网络资产，具体如下。3.当价格和技术调整速度都很快时，经济就会进入配给的“过度需求”阶段。

供应和需求之间存在持续的不匹配，网络中存在正的波动和持续的波动（见图2）。然而，请注意，当弹性参数θ的值低于阈值θ时，该阶段消失*(θ*~ 5/9). 在实践中，该阶段的鲁棒性较差，仅在θ值足够接近1.0 0.2 0.40.60.8 1τp00时才表现出来。20.40.60.81τwunstable（大循环）不稳定减少α一般平衡增加σ和α图1：θ=4/5时ρchg=0的模型相图。请注意，当弹性参数θ的值大大小于1时，右上角的不稳定相消失（详见正文）。因此，尽管该模型很简单（在这个阶段，网络的邻接结构没有演变），但它展示了一个非常丰富的行为分类：一般均衡、配给和周期性的“生产过剩”危机。在稳定的一般均衡阶段和不稳定的“过剩需求”阶段之间过渡的关键决定因素是价格（τp）和技术（τw）调整的相对速度。价格调整的相对速度越快，系统就越稳定。然而，随着价格调整的绝对速度降低，稳定区间也随之增加。此外，稳定区域的规模随着替代弹性的降低而增加，同时也因为不平衡似乎是通过通货膨胀和过剩需求（图2左上角的通货膨胀很小，但持续为正）而不是通过通货膨胀和过剩供给实现的。然而，这是一种总体观点，它将过剩的需求和过剩的供给、价格的上升和下降平均起来。

然而，由于价格调整过程（方程式4）导致价格调整幅度上下不对称，因此存在对通货膨胀和过度需求的偏见。这些结果让人想起Bonart等人[2014]中获得的结果：系统的内在波动性越大（在我们的环境中，替代弹性越高），系统稳定的调整过程就越慢。投入组合中的劳动力份额增加（即生产函数中参数α的较大值）。100015002000time-5051015253035通货膨胀率（%）100015002000time-202468<供需>100015002000Time012总产量100015002000time-6-4-20246平均利润x105图2：一个时间步长的通货膨胀率，供需之间的平均不匹配，作为基本模型（ρchg=0）和图1不同区域对应的三个不同τp、τw值的时间函数的总产量和平均企业利润：τp=0.5和τw=0.5（黑线）、τp=0.9和τw=0.9（红线）、τp=0.05和τw=0.5（绿线）。其他参数为：θ=4/5，λ=0.05，M=2000.4.1.2网络结构为了从数值上研究生产网络的渐近性质，我们进行了第二系列模拟，其中邻接结构根据企业的竞争力演化（即ρchg>0）（见3.2.2）。我们观察到的结果与命题3一致且稳健。只要参数处于主要的一般平衡阶段，企业的单位度分布就会收敛为幂律，对于足够大的单位度，指数接近1（即Zipf分布）。

收敛的发生与企业规模的初始分布无关，且极限分布的幂律性质和指数均不取决于模拟中使用的参数，尤其是替代弹性。更详细地说，我们观察到，对于图2中观察到的τp=0.05和τw=0.5的周期，收敛到不变分布1080 11201160 Time-20246810<供需>通货膨胀~<利润>图3：平均过剩供应、通货膨胀和平均利润作为时间函数。为了便于说明，重新调整了流量和利润。其他参数如图2所示。非常长（大约10个时间步），但在收敛后，特定实现的结果代表了乘法的平均值。从定性的角度来看，我们观察到两种不同的状态：o在参数空间的主要区域，对应于前一节中描述的一般平衡阶段，我们观察到收敛到一种不变分布，其特征是在程度上的企业具有强烈的异质性（前提是最初的异质性最小）。为了描述分布的尾部，我们遵循Clauset al.[2009]中提出的程序，首先对100个模拟进行了性能检验，这些模拟对应于不同的种子和固定参数的初始网络。我们对指数接近1的幂律（即Zipf分布）有很好的拟合。图4显示了给定模型实现的结果（经过4个10个时间步），而表1提供了关于独立分布尾部幂律性质的统计证据（超过100个模拟），以及企业规模的统计证据（通过其销售额或其收到的总收入来衡量）。

然后，我们对一般平衡阶段的不同对τp，τwin（20个模拟）和不同对pnew，ρchg进行了广泛的模拟∈ [0.01,0.2]（50次模拟）。在这两种情况下，我们都没有从表1所示的结果中观察到产妇。我们还检查了替代弹性的不同值以及不同的加价λ，这也给出了与表1完全一致的结果，证实了尾部的幂律性质及其指数都是模型的稳定特征。但是请注意，由于指数与此无关，除非所有公司都使用相同数量的供应商初始化。对于参数，分布不能在整个范围内无标度，因为平均度由网络中的链接总数固定。注5：对于θ的负值（对应于互补品），我们仍然观察到收敛到广泛分布，但在这种情况下，幂律制度仅在中等程度上恢复。事实上，在这种情况下，分布的尾部对应于一种病态情况，即企业的竞争力受到最小供应商数量（等于一个）的限制。从这个角度来看，本文中提出的模型必须加以推广（例如，通过允许生产函数中的异质性前因子），以便与互补商品的存在保持一致。注6：我们不考虑上述动态中消费的跨期替代。事实上，如果企业没有投资机会，生产方面就不会有信贷需求，储蓄也不会有利率。

因此，储蓄的唯一动机是对冲潜在的收入冲击。这些储蓄可能会平滑宏观经济波动，从而减少经济不稳定阶段的规模（见图1）。然而，它们不太可能对稳定阶段出现的生产网络的结构产生任何影响。变量指数xminKS p-valuein-degree 1.07±0.01 13±6 0.69±0.21总进货重量1.26±0.06 1.25±0.32 0.80±0.23总销售额1.19±0.06 2±0.4 10-30.57±0.22表1：图4中绘制的分布的幂律尾的统计测试结果。该结果是100次实现的平均值，具有不同的类型和初始网络（但与图4相对应的固定参数）。估计指数指的是互补累积分布。所有计算均使用R软件包“幂律”进行如果模型的参数不在图1所示的一般均衡阶段（或者如果所有企业都有相同数量的供应商），企业的特征仍然相对同质：我们没有观察到肥尾的出现，渐近分布的支持度仅略大于初始值。命题3之所以不能应用，要么是因为网络同步效应导致价格大幅波动（因此，一家公司的价格与其竞争力之间没有明确的对应关系），要么是因为公司在竞争力方面没有差异（即：。