你能听到市场的形状吗？几何套利与谱套利

商品市场清晰：KXk=1^ckt=KXk=1kt。（7） o投资者的选择是最优的：（^ck，^xk）解决了第k个投资者的效用最大化问题muk（x）：=sup{Uk（c）| c可接受的消费计划，xk=x}，（8）并且最优值是确定的。定义11（效率）。S给出的市场模型称为[0，T]对（At）T的有效性∈[0，T]，即（e），如果存在消费良好价格指数ψ和经济（{Pk}k=1，…，k，（At）T）∈[0，T]，{k}k=1，。。。，K、 {Uk}K=1，。。。，K） ，其中（ψ，S）是[0，T]上的均衡价格过程。在[JaLa12]和[Ja12]中，我们找到了以下结果的证明。定理12（资产定价的第三基本定理，效率的表征）。让我们做一个市场。以下陈述相当：（i）（E）：（S，A）在[0，T]中有效；（ii）（S，A）在[0，T]上满足（NFLVR）和（ND）；（iii）（EMM）：存在概率P*相当于P，因此S是a（P*, A） [0，T]上的鞅。2.2市场模型的几何重构：原语我们将介绍第2节中介绍的市场模式l的更一般的表示。1.哪个更适合套利建模任务。定义13。规范是两个A-适应实值半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R被称为一个变量，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、 它被称为期限结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为val uationdate，t:={（t，s）∈ [0, +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。对于所有t，s必须满足以下特性≥ T≥ 0：（i）Pt，s>0；（ii）Pt，t=1。备注14。负债和期限结构可以在固定收入的背景下考虑。

任意金融工具被映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是时间t时金融工具的价值，以兆头表示。如果我们选择现金账户，即第0项资产，作为num\'eraire，那么我们可以设置Djt:=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构：Pt，sis指到期日为s的合成z ero息票债券在t时的价值（以t时的贴现单位表示），在s时交付一个单位的金融工具。它表示所选债券的远期价格的期限结构。我们指出，描述资产模型的定义和术语结构没有唯一的选择。例如，如果一组定义是合格的，那么我们可以将每个定义乘以同一正半鞅，得到另一组合适的定义。当然，期限结构也必须相应调整。“偏差”一词显然受到精算数学的启发。在当前上下文中，它指的是名义资产价值除以严格正半鞅（如果存在，可以是状态价格偏差，并将其设为数值）。没有必要假设一个偏差是一个积极的过程。然而，如果我们想让一项资产成为我们的资产，那么我们必须确保相应的偏差是一个严格的正随机过程。2.3市场模型的几何重构：Portfolios我们现在想引入变量和期限结构的转换，以获得包含相同（或更少）随机信息的计量。在这方面，我们将考虑由同一标准建模的资产的确定性线性组合（例如，相同信用质量、不同期限的零债券）。定义15。设π：[0+∞[-→ R是一个确定的现金流强度（可能是广义的）函数。

它诱导了规范变换（D，P）7→ π（D，P）：=（D，P）π：=（Dπ，Pπ）通过以下公式：Dπt:=DtZ+∞dhπhPt，t+hPπt，s:=R+∞dhπhPt，s+hR+∞dhπhPt，t+h.（9）命题16。现金流向量引起的规范变换具有以下性质：（（D，P）π）ν=（（D，P）ν）π=（D，P）π=（D，P）π*ν、 （10）在哪里* 分别表示两个现金流向量或强度的卷积积：（π）* ν） t:=Ztdhπhνt-h、 （11）两个不可逆规范变换的卷积是不可逆的。可逆规范变换与非可逆规范变换的卷积是不可逆的。定义17。如果期限结构与到期日不同，则可将其作为瞬时远期利率的函数写入，定义如下：ft，s:=-斯劳格角，s，Pt，s=expA-Zstdhft，h~a，（12）和rt:=lims→t+ft，s（13）被称为短期利率。备注18。消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于allassets，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。2.4不同几何框架中的套利理论现在，我们可以重新表述第2节中提出的sset模型。1就自然地理语言而言。给定N个基本资产，我们想要构建一个投资组合理论并研究套利，因此我们不能先验地假设存在风险中性度量或状态价格偏差。在微分几何方面，我们将采用数学家的方法，而不是物理学家的方法。市场模型被视为（价格、期限结构）对的主要组合，将贴现和外汇视为平行运输，将数值视为计量组合的全球部分，将轨道视为曲率。

证明了具有消失风险条件的无免费午餐等价于azero曲率条件。2.4.1 Princi-pal Fibre Bundleet us考虑的市场模型，在连续时间内，一个市场有N个资产和一个数字。一般的投资组合是由名词x的向量描述的∈ 十、 对于开集X 注册护士。通过名词x，xNwe是指我们在投资组合中持有的资产数量。在定义13之后，通过以下标准描述了由N个合成零债券组成的资产模型：（Dj，Pj）=（Djt）t∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t） ，（14）式中，dj表示债务，pj表示期限结构。可以这样写：Pjt，s=expA-Zstfjt，udu~a，（15），其中fjis是第j项资产的瞬时远期利率过程，相应的短期利率由rjt给出：=limu→0+fjt，u.对于名义值为x的投资组合∈ 十、 RN，我们定义：Dxt:=NXj=1xjDjtfxt，u:=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtfjt，uPxt，s:=expA-Zstfxt，udu~a。（16） 简短的rate写如下：rxt:=limu→0+fxt，u=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtrjt。（17） 所有可能策略的图像空间如下：M:={（t，x）∈ [0, +∞[×X}.（18）在第2.3节中，引入了现金流强度和相应的规范变换。它们具有阿贝尔半群的结构：H:=E′（[0+∞[，R）={F∈ D′（[0+∞[）|补充（F） [0, +∞[is compact}，（19）其中具有c compact支持的分布上的半群运算是卷积（见[Ho03]，第四章），它扩展了正则函数的卷积，如公式（11）所定义。定义19。市场纤维束定义为以下规格的纤维束：B:={（Dxt，Pxt，·）π|（t，x）∈ M、 π∈ G} 。（20） 定义可逆变换的现金流强度构成一个阿贝尔群：G:={π∈ H |它存在于ν∈ H等于π* ν = δ}  E′（[0+∞（21）从命题n16，我们得到以下定理。定理20。

市场纤维束B的结构类似于动作B×G给出的G-主纤维束-→ B（（D，P），π）7→ （D，P）π=（Dπ，Pπ）（22）群G自由地、不同地作用于右边的B。2.4.2 Nelson D弱差异市场模型我们继续重新制定第2节中介绍的经典资产模型。1.随机微分几何。定义21。N资产的Nelson D弱可微市场模型由Ngauges描述，该模型对于时间变量是Nelson D弱可微的。更确切地说，无论如何∈ [0, +∞[和s≥ t、 我有一个开放的时间间隔 因此，对于变量Dt:=[Dt，…，DNt]+和术语结构Pt，s:=[Pt，s，…，PNt，s]+，后者被视为t和参数s中的过程，存在D弱t导数（见附录a）。短期利率由rt:=lims定义→T-苦干。策略就是曲线γ：I→ 以时间参数化的公文包空间中的X。这意味着时间t的分配由名词xt:=γ（t）的向量给出。我们将γ原子的升力表示为γ，即γ（t）：=（γ（t），t）。如果一个策略由一条闭合曲线表示，则称其为闭合的。弱可接受策略是可预测的，D-弱可区分的。备注22。我们需要弱的D-可微性，而不是强的D-可微性，因为对交易策略施加先验规律性属性对应于限制与Delbaen和Schachermayer的经典概念相关的可容许策略类别。每一个（无）套利考虑都关键取决于所选择的可采性定义。因此，限制可接受策略的类别可能会导致自动排除潜在的套利机会，从而导致对类似FTAP的结果的空洞陈述。

经典sen s e（见第2节）中的可采性策略是弱D-可区分的。一般来说，分配取决于自然状态，即对于ω，xt=xt（ω）∈ Ohm.23号提案。弱D-容许策略是自融资的当且仅当：D（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Ditor Dxt·Dt=-D*hx，Ditor Dxt·Dt=0，（23）几乎可以肯定。括号h·，·i表示二次协变量的连续部分。在本文的其余部分中，除非另有说明，否则我们将只讨论弱D可微分市场模型、弱D可微分策略，以及在必要时讨论弱D可微分州价格波动。所有的It^o过程都是弱可区分的，考虑的可采策略的类别非常大。2.4.3曲率套利G的李代数是[0+∞[表示为：g=R[0+∞[（24）因此是可交换的。遵循Ilinski的想法[Il01]，我们通过允许我们将投资组合再平衡（或外汇交易）和贴现编码为平行运输的事实，来激励对特定价值连接1-形式的选择。定理24。选择连接χ（x，t，g）。（δx，δt）：=chdδxtDxt- rxtδtag，（25）B中的随机平行传输具有以下财务解释：o沿标称方向（x线）的平行传输对应于交换率的乘法；o沿时间方向（t线）的平行传输对应于随机折扣因子的除法。证据我们参考[Fa15]中的定理28。回想一下，在Stratonovich看来，定义沿时间线平行传输所需的时间导数必须小于od。我们看到捆绑包是微不足道的，因为它有一个全球化的特权，但连接并不是微不足道的。

连接χ表示为基本微分形式的线性组合：χ（x，t，g）=~nDxtNXj=1Djtdxj- rxtdtég.（26）g值曲率2-形式定义如下：R:=dχ+[χ，χ]，（27），这意味着通过这一点，对于所有（x，t，g）∈ B和所有ξ，η∈ T（x，T）M，R（x，T，g）（ξ，η）：=dχ（x，T，g）（ξ，η）+[χ（x，T，g）（ξ），χ（x，T，g）（η）]。（28）注意李代数是可交换的，李括号[·，·]消失。经过一些计算，我们得到如下结果：R（x，t，g）=gDxtNXj=1Djt"Arxt+D log（Dxt）- rjt- D Log（Djt）"adxj∧ dt，（29）总结为以下命题。命题25（曲率公式）。设R为曲率。然后，以下性质成立：R（t，x，g）=gdt∧ dx[D log（Dxt）+rxt]。（30）以下结果将s套利描述为曲率。定理26（无套利）。以下断言是等价的：（i）市场模型（基础资产和期货的贴现价格为D和P）满足了风险消失条件下的非免费午餐；（ii）存在正鞅β=（βt）t≥0使贴现率和短期利率在所有投资组合名义和任何时候都满足以下条件：-D对数（βtDxt）；（31）（iii）存在正鞅β=（βt）t≥0这样，对于所有投资组合名义和任何时候，负债和期限结构都满足条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt。（32）这推动了以下定义。定义27。市场模型满足零曲率（ZC）当且仅当曲率为a.s.因此，我们根据无套利的两个不同定义得出以下结论：推论28。（NF LV R）=> （ZC）。（33）正如[FaTa21]中所证明的，套利的两个较弱的概念——零曲率和无无界有界风险——是满足的。定理29。（NUP BR）=> （ZC）。

（34）对于资产价值和期限结构的It^o动力学的特殊情况，情况正好相反（见[FaTa21]）。备注30。让我们考虑一下定理的一些特殊情况。1.r的分量相等：例如，在经典m模型中，没有术语结构（即r）≡ 0），（a）D和r随时间保持不变：NFLVR满足；（b） D和r是确定性的，随着时间的推移不是恒定的：NFLVR永远不会令人满意。r的组成部分并不相等：（a）D和r随时间而恒定：NFLVR永远不会满足；（b） D和r是确定性的，并且随着时间的推移不是恒定的：如果（ii）或（iii）成立，NFLVR可以满足。2.4.4预期效用最大化和CAPM公式定义31（EUM）。给定效用函数u在[0，t]期间内最终财富的预期效用最大化问题如下：max（xu）u∈[0，t]（xu）uis自筹资金和可采性x·D=1E[u（xt·Dt）]。（35）我们将（35）的解的存在性及其唯一性表示为（EUM）。正如[FaTa21]中所证明的，e。g、 一个期望效用最大化问题的解的存在性和风险有界的无无界利润是满足的。定理32。（NUP BR）=> （EU M）（36）资产回报和市场投资组合回报通过敏感性在预期价值水平上相关。这种关系是以下平衡结果。定理33（CAPM）。LetR[0，t]：=DtD- 1 RM[0，t]：=DxMttDxM- 1（37）是贴现资产总回报和贴现市场投资组合总回报。如果我们假设每个投资组合的最终财富的预期效用最大化，则E[R[0，t]=Cov"AR[0，t]，RM[0，t]Var"ARM[0，t]E[RM[0，t]]。（38）证据。

如果我们选择二次效用函数u（v）：=v-λv，（39）其中λ表示风险规避参数，并且我们假设在区间[0，t]内仅在{0，t}再平衡时允许，那么预期效用最大化问题变为comesmaxxx·D=1E"i（xt·Dt）-λ（xt·Dt）ò，（40），相当于XXX·D=1E"i（xt·Dt）-λ（xt·Dt）- E[xt·Dt]ò，（41）和tomaxww·e=1w+e[R[0，t]]-λw+VCM（R[0，t]）w，（42），其中w:=xDx·d组合权重。解决方案是市场组合wM=^wM>>（^wM）+^wM，其中^wM:=λVCM（R[0，t]）-1E[R[0，t]]。（43）因此，我们有（43）个（43）我们有（43）个（43）所以，我们有（43）我们有（43）个（43）我们的（43）E[R[0，t[0，t[0，t]的[0，t[0，t]]的（43）E[R[0，t[0，t[0，t[0，t]的）我们有（43）的（43）E[3）E（43）E[3）E[3）E[0，wM=1）wM=λ=λ\\124\\124，124，124）的，我们的，我们的（3）和（3，我们的）的（3）和（3）wM）wM）的（3）wM）的（3）和（3）wM）的，我们的（3）wM=方方方方（R（R（1）和（10）和（10）的）的）的|wM|=E[RM[0，t]]Var"ARM[0，t]"a，（46）插入到（45）中，导致toE[R[0，t]=Cov"AR[0，t]，RM[0，t]"aVar"ARM[0，t]"aE[R[0，t]，（47）证明已完成。备注34。向量β：=Cov"AR[0，t]，RM[0，t]"aVar"ARM[0，t]"a（48）包含预期资产收益相对于预期市场投资组合收益的敏感性。我们可以用经典形式计算资产收益率的CAPM，如下所示：r[0，t]：=StS- 1 =1+R[0，t]expC+Ztdu rua- 1（49）获得[r[0，t]]- rf[0，t]=Cov"Ar[0，t]，rM[0，t]"aVar"ArM[0，t]"aE[r[0，t]]- rf[0，t]"a，（50），其中rf[0，t]：=exp"A+Rtdu ru"a- 1是无风险回报。评论35。不同的套利概念和资本资产定价模型在以下逻辑表示中相关：（EMM）<=> （E）<=>（NFLVR）<=>（NUPBR）=>（EUM）（ZC）=> （CAPM）（NA）（ND）（51）3光谱理论3。1现金流作为相关向量捆绑定义36（现金流捆绑）的一部分。

通过选择纤维V:=R[0+∞[和表示ρ：G]→ GL（V）由规范变换定义引起，因此满足同态关系ρ（g* g） =ρ（g）ρ（g），我们获得了相关的向量束V。其部分代表现金流，用基础资产组合产生的贴现率表示。如果v=（vxt）（t，x）∈如果确定的现金流量不一致，则其在时间t时的值等于：o确定量vxt，如果该值是根据流量Dxt测量的；o随机量y vxtxt，如果该值是根据数值（例如，选择Djt:=^sjt的现金账户，对于所有j=1，…，N）来测量的。时间名义空间M=[0，T]×X上的捆绑V称为现金流捆绑。在主丛的一般理论中，规范变换是丛自同构，表示群作用，等于基空间上的恒等式。B的规范变换与束B的截面自然同构（见[Bl81]中的定理3.2.2]）。因为G是阿贝尔的，所以右乘法是规范变换。因此，ga uge转换和现金流强度之间存在双射对应关系，允许反向。这就是定义15中引入的术语。3.2与市场模型相关的拉普拉斯连接定理24中定义的市场主体束B上的连接χ会导致协方差差异Von相关向量束V，对相应的平行传输的解释与理论24中对主要向量束的解释相同，即，在资产的非最终维度上进行投资组合再平衡，并在时间维度上进行贴现。更确切地说，我们有以下建议。提案37。让我们以坐标向量x为端点∈ Rn的第0个分量由timet给出。