你能听到市场的形状吗？几何套利与谱套利

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英文标题：
《Can You hear the Shape of a Market? Geometric Arbitrage and Spectral
  Theory》
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作者：
Simone Farinelli and Hideyuki Takada
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Geometric Arbitrage Theory reformulates a generic asset model possibly allowing for arbitrage by packaging all assets and their forwards dynamics into a stochastic principal fibre bundle, with a connection whose parallel transport encodes discounting and portfolio rebalancing, and whose curvature measures, in this geometric language, the \'instantaneous arbitrage capability\' generated by the market itself. The cashflow bundle is the vector bundle associated to this stochastic principal fibre bundle for the natural choice of the vector space fibre. The cashflow bundle carries a stochastic covariant differentiation induced by the connection on the principal fibre bundle. The link between arbitrage theory and spectral theory of the connection Laplacian on the vector bundle is given by the zero eigenspace resulting in a parametrization of all risk neutral measures equivalent to the statistical one. This indicates that a market satisfies the (NFLVR) condition if and only if $0$ is in the discrete spectrum of the connection Laplacian on the cash flow bundle or of the Dirac Laplacian of the twisted cash flow bundle with the exterior algebra bundle. We apply this result by extending Jarrow-Protter-Shimbo theory of asset bubbles for complete arbitrage free markets to markets not satisfying the (NFLVR). Moreover, by means of the Atiyah-Singer index theorem, we prove that the Euler characteristic of the asset nominal space is a topological obstruction to the the (NFLVR) condition, and, by means of the Bochner-Weitzenb\\\"ock formula, the non vanishing of the homology group of the cash flow bundle is revealed to be a topological obstruction to (NFLVR), too. Asset bubbles are defined, classified and decomposed for markets allowing arbitrage.
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中文摘要：
几何套利理论通过将所有资产及其远期动态打包成一个随机的主纤维束，重新构造了一个可能允许套利的通用资产模型，该连接的并行传输编码了贴现和投资组合再平衡，其曲率度量，在这种几何语言中，市场本身产生的“即时套利能力”。现金流束是与此随机主纤维束关联的向量束，用于向量空间纤维的自然选择。现金流束携带由主光纤束上的连接引起的随机协变微分。零特征空间给出了向量丛上连接拉普拉斯算子的套利理论和谱理论之间的联系，导致所有风险中性测度的参数化等价于统计测度。这表明市场满足（NFLVR）条件，当且仅当$0$在现金流束上的连接拉普拉斯函数或扭曲现金流束与外部代数束的狄拉克拉普拉斯函数的离散谱中。我们通过将完全无套利市场的Jarrow-Protter-Shimbo资产泡沫理论推广到不满足NFLVR的市场来应用这个结果。此外，通过Atiyah-Singer指数定理，我们证明了资产名义空间的Euler特征是（NFLVR）条件的拓扑障碍，并且，通过Bochner-Weitzenb“ock公式，现金流束同调群的不消失也被揭示为（NFLVR）的拓扑障碍。为允许套利的市场定义、分类和分解资产泡沫。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Can_You_hear_the_Shape_of_a_Market?_Geometric_Arbitrage_and_Spectral_Theory.pdf (438.6 KB)

2022-5-9 04:46:51 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica Topological QUANTITATIV

你能听到市场的形状吗？几何套利和光谱理论伊西莫·法里内利科雷动力学GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006苏黎世邮政：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学高达信息科学系Narashino校区2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年9月28日摘要利用规范对称性，几何套利理论重新构造了任何资产模型，允许通过随机本金束进行套利，其曲率度量“瞬时套利能力”。现金流捆绑是关联向量捆绑。其连接的零特征空间拉普拉斯参数化了与统计测度等价的所有风险中性测度。当且仅当0在拉普拉斯分布谱中时，市场满足无免费午餐和消失风险（NFLVR）条件。Jarrow–Protter–Shimbo的资产泡沫理论及其分类和分解倾向于不满足NFLVR的市场。资产名义空间的欧拉特征和现金流束同调群的不消失性都是NFLVR的拓扑障碍。关键词：套利市场；随机微分几何；光谱理论；套利的拓扑结构；资产泡沫及其分解。医疗辅助队：91G80（初级）；60G46,58C40（二级）。内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。42.2市场模型的几何重构：基本要素。92.3市场模型的几何重构：投资组合。102.4不同几何框架下的套利理论。

112.4.1主要纤维束的市场模式。112.4.2 Nelson D弱差别市场模型。122.4.3作为曲率的套利。132.4.4预期效用最大化和CAPM公式。163光谱理论183.1现金流作为相关向量束的一部分。183.2与市场模型相关的拉普拉斯联系。193.3套利泡沫。244套利的拓扑障碍324.1由高斯-博内-切恩定理引起的套利的拓扑障碍。324.2博希纳-韦策恩-奥克定理对套利的拓扑阻碍。375结论411随机过程的广义导数411引言本文发展了一种称为几何套利理论（GAT）的概念结构，将一般市场中的套利建模与谱理论联系起来。GAT用随机微分几何术语重新表述了经典的随机金融，以描述套利。GAT方法的主要思想包括对基本金融工具构成的市场及其作为主要金融工具组合的期限结构进行建模。该市场的金融特征，如无套利和均衡，然后根据标准的不同几何结构进行表征，如与该组合中的自然连接相关的曲率。主纤维束理论在理论物理学中得到了广泛的应用，作为一种语言，通过提供一个不变的框架来描述物理系统及其动力学，自然法则可以得到最好的表述。

这些想法可以应用于数学金融和经济学。市场是一个金融经济系统，可以用适当的本金捆绑来描述。市场规律在数值变化下的不变性原则可以被视为规范不变性。诸如“无免费午餐，无风险消失”（NFLVR）和“无无无限利润，有风险有界”（NUPBR）等概念都具有几何特征，其结果就是资本资产定价模型（CAPM）。Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下首次提出了计量理论是描述经济学的自然语言的观点[Ma96，We06]。Ilinski[Il00，Il01]和Young[Yo99]提出将套利视为规范连接的曲率，类似于一些物理理论。独立地，Cliff and Speed[SmSp98]进一步发展了Flesaker和Hughston的基本工作[FlHu96]，并利用不同几何体的技术在随机建模之前降低资产模型的复杂性。近年来，关于允许套利的市场模型的研究开始受到Omes的重视，这是非常值得关注的，参见[Ru13，HuP r15]。通过本文，我们的目的是证明，通过随机微分几何方法，我们可以获得经典方法无法获得的真正的新结果。本文的结构如下。第2节回顾了经典随机金融和几何套利理论。套利被视为代表市场的主捆绑的曲率，它定义了与之相关的套利数量。

[Fa15]和[FaTa21]中省略了证明，在[Fa15]和[FaTa21]中，利用随机微分几何的形式背景为几何套利理论提供了严格的数学基础，如lworthy[El82]、Em\'ery[Em89]、Hackenbroch和Thlama ie r[HaTh94]、Hsu[Hs02]、Schwartz[Schw80]和Stroock[St00]。第三节研究了套利与特殊理论之间的关系。与主体捆绑相关的向量捆绑表示与资产对应的现金流，并带有由连接引起的协变差异。Neumann边界条件下的连接拉普拉斯算子是一个自伴随算子，其谱包含0当且仅当市场模型满足NFLVR条件。如果0具有简单的多重性，那么市场是完整的，反之亦然。特征值0的特征空间包含关于s统计测度的可能ris k-中性测度的Radon–Nikodymo导数的所有候选。完全无套利市场的Jarrow–Protter–Shimbo资产泡沫理论被扩展到允许套利机会的市场。对于不一定满足NFLVR条件的模型，证明了泡沫的分类及其分解结果。强调了与Platen–Health真实世界定价的联系。在第4节中，与资产名义空间的外部代数扭曲的现金流束是一个Dirac束，我们可以在其上应用Atiyah–Singer指数定理，该定理是带边界流形的Gauss–Bo nnet–Chern定理的形式，从中我们可以推断NFLVR条件的拓扑结构，资产名义空间欧拉特征的非消失性。

通过Bochner-Weitzenb–ock公式，我们得到了NFLVR的另一个特征，即扭曲现金流束的Dirac-Laplacian离散谱中存在0。此外，我们还获得了NFLVR的另一个拓扑障碍，即现金流束同源群的不完整性。第5节总结并在附录A中回顾了Nelson的随机导数。2几何套利理论背景在本节中，我们解释了[Fa15]中介绍的几何套利理论的概念，我们参考这些概念进行证明和示例。2.1经典市场模型在本小节中，我们总结了经典的al设置，将在第2.4节中以不同的几何术语重新表述。我们基本上遵循[HuKe04]和最终参考[DeSc08]。我们假设连续时间交易，交易日期为[0+∞[.这是一个足够普遍的假设，足以嵌入有限和有限离散时间的情况，以及连续时间内具有有限原点的情况。请注意，虽然在现实世界中，只有离散时间的交易occ urs是真实的，但这些是先验的，实际上可以是时间连续统中的任何点。这激发了连续时间随机函数的技术效应恩斯。不确定性由过滤的概率空间建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率度量，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增加的亚σ-代数族]∞, 及(Ohm, A.∞, P） 是一个概率空间。假设过滤A满足通常的条件，即：o右连续性：对于所有t∈ [0, +∞[；oA包含A的所有空集∞.该市场由许多资产组成，指数为j=1，N、 其名义价格由向量值半鞅S[0+∞[×Ohm → RN，用（St）t表示∈[0,+∞[并适应过滤A。

随机过程∈[0,+∞[描述时间t=0时第j项资产在现金单位中的价格。更准确地说，我们假设存在第0项资产现金，这是一个严格正的s e半鞅，根据St=exp（Rtdu ru）演化，其中可积半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率。一个人总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会不时发生变化。因此，现金账户被视为与其他风险资产相比的无风险资产。随后，我们将主要利用贴现价格，定义为^Sjt:=Sjt/St，代表以当前现金单位计算资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。然而，必须至少有一项非常积极的资产，在我们的例子中，这就是现金。如果我们想通过选择另一种资产而不是现金作为参考来重新规范价格，也就是说，将其作为我们的基准，那么该资产必须有一个严格的正向价格过程。更准确地说，通用数字是原始资产j=0，1，2，N、 其名义价格由一个严格正随机过程（Bt）t重新表示∈[0,+∞[.然后，原始资产的贴现价格用半鞅^Sjt:=Sjt/Bt表示。我们假设不存在交易成本，允许卖空。注意，交易成本的存在可能是现实模型的一个严重限制。过滤a不一定是由价格过程（St）t产生的∈[0,+∞[；允许使用价格以外的信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤A。让v为正实数。

v-容许策略x=（xt）t∈[0,+∞[是一个可预测的可整合过程，It^o integralRtx·dS≥ -v a.s.为所有t≥ 0，x=0。如果某个策略对某些v是v-容许的，则该策略是允许的≥ 0.定义1（套利）。让进程（St）[0+∞[是一个半鞅和（xt）t]∈[0,+∞[可能是一种允许的自我融资策略。让我们考虑交易时间T≤ ∞. 投资组合财富时间t由Vt（x）：=V+Rtxu·dSu给出，我们将L的子集表示为k(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。我们定义如下：oC:=K- L+(Ohm, AT，P）；oC:=C∩ L∞(Ohm, AT，P）；o\'C:L中C的关闭∞关于范数拓扑VV:=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值;o VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV;V-容许自我融资策略的终端财富。让我∞+(Ohm, AT，P）是L中的正随机变量集∞(Ohm, AT，P）。我们说S满足：o（NA）无套利当且仅当C∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}；o（NFLVR）没有风险消失的免费午餐当且仅当∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}；o（NUPBR）无无界有界风险的利润当且仅当某些V>0时在LF中有界。[DeSc94]和[Ka97]阐明了这三种不同类型套利之间的关系，并证明了以下结果。定理2。（NFLVR）<=> （NA）+（NUPBR）。（1） 资产第一定理3。当且仅当存在等价的局部鞅测度P时，市场（S，A）满足NFLVR条件*.备注4。在资产定价的第一个基本定理中，我们假设价格过程是局部有界的。

如果S是有界的，则NFLVR等价于鞅测度的存在性。但如果没有这个额外的假设，NFLVR只意味着一个局部鞅测度的存在，即一个不是鞅的局部鞅。这种区别很重要，因为证券价格过程是严格的局部鞅，而不是概率下的鞅*与资产价格泡沫的存在有关。定义5（完整市场）。市场（S，A）在[0，T]上已完成，如果所有C∈ L+（P*, 在：={C:Ohm → [0, +∞[C在- 可测量的，和EP*[|C |]+∞} 存在一种可接受的自我融资策略，比如C=VT（x）。定理6（资产定价第二基本定理）。假设（S，A）满足FLVR条件，当且仅当等价局部鞅P*这是独一无二的。定义7（主导地位）。第j安全性Sj=（Sjt）t∈[0.T]在[0，T]上不确定，如果这里没有可容许策略（xt）T∈[0，T]使得：Sj+（x·S）T≥ SjTa。s、 P[Sj+（x·s）T>SjT]>0。（2） 我们说，S满足[0，T]上的无优势条件（ND），当且仅当每个Sj，j=0，1，N在[0，T]上不确定。定义8（经济）。一个经济体由（S，a）给定的市场和有限数量的投资者k=1，以他们的信仰、信息、偏好和天赋为特征的。此外，还有一种消费品是易腐的。现金账户中消费品单位的价格表示为ψ=（ψt）t∈[0，T]。我们假设ψ是严格正的。k-thinvestor的特征是以下数量：o信念和信息：（Pk，A）。我们假设投资者的信念是等价的。

所有投资者都有相同的信息过滤功能A.o实用功能：英国：[0，T]×0+∞[→ R和u是[0，T]上的概率度量，其中u（{T}）>0。对于支持u的每一个T，函数Uk（T，·）都会急剧增加。我们也假设limv→+∞英国（T，v）=+∞. 试剂k在每次t时从消耗量tu（dt）中获得的效用≤ T如下所示：Uk（c）=Ek~nZTUk（T，ct）u（dt）^o，（3）其中Ek是关于Pk的期望值。由于u（{T}）>0，在最终消耗cT中，效用严格增加初始财富：vk。给定交易策略x=（x，··，xN），投资者将被要求选择其在现金账户中的初始持有量，以便：vk=x+NXj=1xjSi。（4） o随机捐赠流：商品的kt，t<t。这意味着投资者在时间t收到商品的ktu（dt）单位≤ T以现金账户为单位的k-thinvestor的累计捐赠由以下等式给出：Ekt:=Ztψsksu（ds）。（5） 定义9（消费计划和策略）。一对（ckt，xkt）t∈[0，T]称为可容许的，如果（ckt）T∈[0，T]相对于过滤A，（xkt）T可逐渐测量∈[0，T]在通常意义上是可容许的，它生成财富过程Vk=（VKt）T∈[0，T]具有非负终端财富vkT≥ 0.定义10（平衡）。给定一个经济体（{Pk}k=1，…，k，（At）t∈[0，T]，{k}k=1，。。。，K、 {Uk}K=1，。。。，K） ，消费品价格指数ψ，金融资产S=[S，S，…，SN]+，以及K=1的投资者消费投资计划（^ck，^xk。K、 对（ψ，S）是一个平衡iumprice过程，如果对所有t≤ TP-a、 s.满足以下条件：o证券市场明确：KXk=1^xk，jt=αj（j=0，1，…，N），（6），其中αjis是第j种证券的总净供应量。假设每个αjis随时间变化为非随机常数，α=0，αj>0表示j=1。