你能听到市场的形状吗？几何套利与谱套利

定义为50的基础资产的泡沫贴现值，以及定义为54“Bt:=expC-ZtrsdsaBt，“B（H）t:=expC-ZtrsdsaB（H）t（109）满足等式“Bjt=Djt”-"AE*TDjτ{τ<+∞}+ E*t^i“Cjτ{τ<+∞}ó-“Cjt"a{t<τ}”Bt（H）=“Vt（H）- E*t"iHASTexpACTST（t- t） ~a~at<+∞}ò{t<t}。（110）其中“Cjt:=expC-ZtrsdsaCjt（111）“H:=expC-ZTrsdsaH（112）“Vt（H）：=expC-ZtrsdsaVt（H）（113）是第j项资产的贴现现金流、贴现或有权益支付以及衍生工具的贴现价值。4.套利的理由4。1 Gauss-BonnetChern理论引起的对Arbitr age的拓扑阻碍我们想证明外部代数束与第3节定义的现金流束扭曲。1可以给出狄拉克丛的结构。然后，我们为这个丛应用了Atiyah–Singerindex定理的版本，称为Gauss–Bonnet–Chern定理，它将Euler形式的积分（即连接曲线的Pfa函数）与丛的拓扑不变量Euler特征联系起来。首先，我们回顾一些关于Diracoperators的基本定义和示例。定义63。

四（W，h·，·i，, γ） 其中（i）W是有向黎曼流形（M，g）上的复（实）向量丛，具有厄米（黎曼）结构h·，·i；（二） : C∞（男，女）→ C∞（男，女）*M W）是M上的一个连接；（iii）γ：Cl（M，g）→ Hom（W）是一个实代数丛同态，从Mt上的Clifford丛到W的复（实）自同态的实丛，即W是Clifford模的丛；如果满足以下条件，则称为狄拉克丛：（iv）γ（v）*= -γ（v），五、∈ T M，即切向量的乘积是关于厄米（黎曼）结构h·、·i的自由斜伴随；（五）h·，·i=0，即连接为莱布尼兹（黎曼）。换言之，它满足生产规则：dh~n，ψi=hψ，ψi+h，ψi，φ, ψ ∈ C∞（M，W）；（114）（vi）γ=0，即连接是一个模块派生。换句话说，它满足了产品规则：（γ（w）~n）=γ(gw）а+γ（w）φ, φ, ψ ∈ C∞（M，W），W∈ C∞（M，Cl（M，g））。（115）例4.1。（作为狄拉克丛的外代数丛）。设（M，g）为C∞维数为m的黎曼流形。正切丛和余切丛由-byv定义的地图（w） ：=g（v，w）。其逆项表示为. 在下列选择之后，外部代数可以被视为狄拉克丛：oW:=∧（T）*M） =Lmj=0∧j（T*M） ：M上的外代数；oh·，·i:g诱导的黎曼结构: 提升Levi-Civita连接通过内部和外部乘法，int（v）~n：=v（v，·）和ext（v）~n：=v∧ 我们可以定义如下：γ：T M-→ 坎（西）V7-→ γ（v）：=ext（v）- int（v）。（116）回想一下，因为γ（v）=-g（v，v）1，基于普适性，映射γ唯一地扩展到一个实代数，但不包括自同态γ：Cl（M，g）-→ 霍姆（西）。定义64。让（W，h·，·i，, γ） 是黎曼流形（M，g）上的狄拉克丛。

狄拉克算子Q:C∞（男，女）→ C∞（M，W）由Q:=γ定义o (  1) o C∞（男，女）----→ C∞（男，女）*M W）Q:=γo(1)oYY1C∞（M，W）γ←---- C∞（男，女） W）（117）狄拉克算子P的平方：=Q:C∞（男，女）→ C∞（M，W）被称为狄拉克拉普拉斯。定义65（狄拉克复合体）。设Q是特里曼流形（M，g）和T上Dirac丛W的Dirac算子∈ 霍姆（西）。（Q，T）当且仅当T=1和QT=-T Q.我们引入以下符号：∏±：=1 TW±：=Q±（W）Q±：=Q | C∞（M，W±）。（118）备注66。定义65中引入的术语由以下属性调整：oQ±：C∞（M，W±）-→ C∞（男，女）);o Q=0 Q-Q+: C∞（男，女）+⊕ W-|{z}W）-→ C∞（男，女）+⊕ W-|{z}W）；osequence0----→ C∞（M，W+）Q+----→ C∞（男，女）-)Q-----→ C∞（男，女+）----→ 0是一个复合体，即Q-Q+=0。例4.2。（作为Dirac B u nd le延拓的外部代数束）。狄拉克算子Q=d+δ被称为欧拉算子。我们将外代数丛T上的向量丛同构定义为Tη：=(-1） jη代表η∈ ∧j（T）*M） 并将其线性扩展到∧（T*M） 为了获得D irac复合物（Q，T），称为卷起的De Rham复合物。Dirac算子Q是椭圆的，作为Hilbert空间L（M，W）上的算子是对称的，定义域的选择是适当的。定义67（分析指数）。设（Q，T）是紧流形上的狄拉克复形。如果M=, 然后，复合物的分析指数定义如下：Indexa（Q，T）：=dim-ker（Q+）- dim ker（Q-). （119）如果M 6=, 存在一个QBis对称的椭圆边界条件B，那么复形关于这个边界条件的分析指数定义如下：Indexa（Q，T，B）：=dim-ker（（Q+B）- dim ker（（Q）-)B） 。（120）定理68（Atiyah–Patodi–Singer）。

设（Q，T）是紧流形上的狄拉克复形。如果M=, 然后indexa（Q，T）=Indext（Q，T），（121），其中Indext（Q，T）是拓扑索引，即仅取决于M和W的拓扑。如果M 6=B是一个椭圆边界条件，那么indexa（Q，T，B）=Indext（Q，T）+边界项（B）。（122）对于一般Dirac丛，不能保证局部椭圆边界条件的存在。但对于外代数束，绝对和相对边界条件对于Euler算子来说都是局部椭圆边界条件。在这种情况下，阿提亚-辛格指数定理采用高斯-博内-切恩定理的形式：例4.3。（作为狄拉克丛延拓的外部代数丛）。在无边界情况下，我们有（参见[Gi95]第179页和[BGV96]第59页）（2π）mZMPf(-R∧（T）*M） ）=χ（M），（123）式中(-R∧（T）*M） ，表示Euler形式，是外代数曲率的Pfa函数，而χ（M）是Euler特征，它是流形的拓扑不变量，定义为：χ（M）：=mXj=0bj（M），（124），其中bj（M）：=dim Hj（M）是M的第j个Betti数，是与第j个同调群同构的第j个de Rham绝对上同调群的维数。在无边界情况下，绝对上同调和相对上同调重合，霍奇星算子定义了第j个和第m个之间的同构- j-th De Rham上同调，因此，如果m是奇数，Euler特征总是消失。如果流形M有一个边界，我们在其上施加绝对（或相对）边界条件，等式（122）变成（2π）mZMPf(-R∧（T）*M） ）=χ（M）+ZMΦ（R∧（T）*M） ，L(M、 M）dvolM、 （125）其中Φ是曲率R∧（t）的函数*M） 第二种基本形式L的嵌入M→ M（见[Gi95]第201页）。

注意，对于具有边界的流形，如果m是奇数，则Eu特征不必消失。接下来，我们可以应用上述定义来识别包含市场模型所需所有信息的狄拉克束。在所有可能策略的空间中M:=[0，T]×X RN+1，现在我们在RN+1中引入由欧几里德度量诱导的黎曼结构。现金流捆绑在固定的银行中，因此是Atiyah–Singer/Gauss–Bonnet–Cherntheorem的不二人选。因此，我们选择一个分区t:=0<t<·tn-1<tn:=T的间隔[0，T]，因此其网格最大值为1≤我≤n（ti）-钛-1) → 0（n）→ +∞) 这是真的。我们在定义19中重复构建市场组合，选择结构组Gn:={π∈ G | supp（π） {t，…，tn}}与李代数gn=Rn+1，以及第3.1节中现金流束Vn的构造，选择as fibre Vn:=Rn+1。注意，在这种情况下，根据标准椭圆理论，在Neumann边界条件下，连接拉普拉斯算子的本征空间都是有限维的。特别是，有许多线性、独立的Radon–Nikodym导数可以将测量值从统计值更改为风险中性值。M上的外代数丛与现金流丛vn缠绕在一起，给出了狄拉克丛的结构，并给出了以下选择：og：欧几里德度量的限制；oWn:=∧（T）*M） Vn：有限秩（n+1）2N+1的扭曲束hη v、 η viWn:=hη，ηi∧（T）*M） hv，viVn：黎曼构造Wn:=∧（T）*M） 1Vn+1∧（T）*M） Vn：连接γWn:=γ∧（T）*M） 1Vn：实代数丛e内同态γ：Cl（M，g）-→ 坎（西）区TWn:=T∧（T）*M） 1Vn∈ Hom（Wn）：与Dirac算子的对称反计算。如[Gi95]第226页所述，定义63的属性（iv）-（vi）满足要求，并通过定义65 a Dir ac综合体定义TWnde。

因为对于曲率，我们有以下结果：RWn=R∧（T*M） 1Vn+1∧（T）*M） RVn=1∧（T）*M） RVn，（126），因为M带有一个度量（R∧（T*M） =0），Gauss–Bonnet–Chern定理如下：（2π）N+1ZMPf(-1∧（T）*M） RVn）=秩（Vn）"iχ（M）+ZMΦ（R∧（T）*M） ，L(M、 M）dvolMò。（127）由于黎曼曲率为零，边界项va的被积函数成立，如[Gi95]第199页所示。因此，（2π）N+1ZMPf(-1∧（T）*M） RVn）=秩（Vn）χ（M）。（128）利用χ（M）=χ（[0，T]×X）=χ（X），（129）的事实，并插入现金流量捆绑秩的值，我们得到所有n∈ Nn+1πN+1ZMPf(-1∧（T）*M） RVn）=χ（X），（130），从中我们认为，所有可能的名义的spa ce的非消失欧拉特征是市场模型无套利的原子障碍。总结一下：定理69。如果一个市场模型的资产名义X的s步有界，且其欧拉特征χ（X）不为零，则零曲率条件（ZC）或等价的（NUPBR）条件，更重要的是NFLVR条件不能满足：（NFLVR）=> （NUPBR）=> χ（X）=0。（131）备注70。公式（130）表示，市场在所有资产策略上允许的套利总量是资产名义空间的拓扑不变量。备注71。名义空间χ（X）的欧拉特征作为NFLVRI的拓扑障碍与[Fa15]中的结果一致，其中第一个同伦群∏（X，D）必须是平凡的，如果NFLVR成立。备注72。指数定理有一个更一般的版本，适用于具有椭圆边界条件的流形上向量丛上的任何椭圆算子，这是Atiyah–Singer–Patodi指数定理的推广。

对于连接LaplacianP:=五、*在Neum-ann边界条件BN下的现金流束V上，它有以下形式：Indexa（P，BN）=Indext（P）+边界项（P，BN）。（132）我们是否期望（132）出现另一种拓扑障碍，而不是高斯-博内-切恩定理所导致的障碍？我们想通过定性推理来回答这个问题。我们观察到：oIndexa（P，BN）是一个表达式的M上的积分，取决于连接的Christo Off el符号的导数五、 oIndext（P，BN）是流形M的拓扑不变量由于边界条件和格林公式的选择，边界项（P，BN）=0。因此，（132）中包含的信息基本上与（125）中的信息相同，因此，我们不希望有额外的见解。4.2由Bochner–Weitzenb–ock定理引起的套利的拓扑障碍现在让我们引入两个局部椭圆边界条件，保证∧（T）上的Dirac算子和Dirac-Laplacian算子的自伴性*M） 绝对边界条件：Babs（f）：=（int（ν）（f））|MBabs（f）：=Babs（f）⊕ Babs（Q∧（T）*M） f），（133），其中运算int是∧（T）中的内部乘法*M） 定义为（v）（f）：=f（v，·）。（134）o相对边界条件：Brel（f）：=（ext（ν）（f））|MBrel（f）：=Brel（f）⊕ Brel（Q∧（T）*M） f），（135），其中运算ext是∧（T）中的外部乘法*M） 定义为下一个（v）（f）：=v#∧ f、 （136）和#是TM和T之间的同构*M.定理73。以下等式成立：（QWBabs）BN）=(W*W） 巴布斯BN。（137）此外，当且仅当Dirac-Laplacian承认现金流捆绑中的调和部分：（NFLVR）时，满足风险消失条件下的非免费午餐<==> 0∈ specd"A（QW）BabsBN"a。（138）证据。（137）中的第一个方程源自博希纳-韦特森博克公式，该公式适用于任何狄拉克束（参见。

[LaMi89]第155页）：（QWBabsBN）=(W*W） 巴布斯BN+RW，（139），其中RW:=NXu，ν=0γW（eu）γW（eν）RW（eu，eν）（140）是向量丛W上的曲率同态，与T M的o.n.框架的选择无关。插入rw=1∧（T*M） RV（141）转化为方程（139），并将扭曲向量束的一段ψ分解为ψ=Xi，jai，jci fj，（142）其中{fj}jan o.n.b of L(Ohm, 五、 A，dP）和{ci}是L的o.n.b(Ohm, ∧（T）*M） γ∧（T）的本征向量*M） （eu）使得对于所有u，γ∧（T*M） （eu）ci=(-1）ii，（143）我们得到（RWψ，ψ）=-Xi，j，k，lu6=νai，jak，l(-1） u+νδi，k（RV（eu，eν）fj，fl）=Xi，j，k，lν6=uai，jak，l(-1） ν+uδi，k（RV（eν，eu）fj，fl）=-（RWψ，ψ），（144）因此，对于任何ψ（RWψ，ψ）=0。（145）根据极化恒等式，我们推断RW=0，方程式（137）如下。为了证明（138），我们有：=>: 如果NFLVR成立，那么在定理43中存在一个f∈ 多姆VBN以至于Vf=0，且V=0。让我们考虑一下截面ψ：=c f，其中c∈ R是一个常数。利用方程（137），我们通过分段积分（QWψ，ψ）=(W*Wψ，ψ）=(Wψ，Wψ=c(Vf，Vf）=0，（146），该方向上的复制完成。<=: 如果k中有ψ6=0QWBabsBN）, 然后ψ=Mi，jai，jci fj，（147）其中ci∈ ∧i（T）*M） ，因为拉普拉斯-贝尔特拉米算子保持了不同形状的程度。因此，至少有一对（i，j）使得对于ci6=0和fj6=0QWci fj=0，（148），根据方程式（137），0=（QWci fj，ci fj）=(W（ci） fj），W（ci） fj））=(∧i（T）*M） ci，∧i（T）*M） （ci）(Vfj，Vfj），（149）因此，Vfj=0，至少有一个j。因此，Vfj=0，NFLVR遵循定理43。备注74。如果我们用相对边界条件代替绝对边界条件，定理73成立。推论75。只有在没有满足条件的情况下，才可以免费享用午餐*（M，V），向量丛V在M上的同调群，不消失：（NFLVR）<==> H*（M，V）6={0}。

（150）证据。根据定理73，NFLVR和上同调群与（QWBabs）核之间的同构BN）H*（M，λ（T）*M） 五） =NMj=0H（M，λj（T*M） H*（M，V）=NMj=0Hj（M） H*（M，V），（151），其中Hj（M，R）是M和H的第j个上同调群*（M，V）向量丛V在M上的同调群。我们发现，当且仅当至少存在一个j=0，N+1这类hj（M，R） H*（M，V），（152）因为H（M）6={0}因为在特征值0的绝对边界条件下，常数函数是拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征向量，所以当且仅当现金流束的上同调群不消失时，该条件成立。由于上同调群与同调群同构，证明是完整的。备注76。推论75指出，现金流束同源群的消失是对风险条件消失的无免费午餐的一种原子障碍。5结论通过引入适当的随机微分几何形式主义，随机金融的经典理论可以嵌入到一个称为几何套利理论的概念框架中，在这个框架中，市场是用一个与曲线相关的连接和套利的主捆绑来建模的。相关的矢量束，称为c灰流束，携带由连接产生的协变微分。现金流束上的关联L aplacianon的频谱中存在特征值0，或现金流束上的Dir ac Laplacian与外部代数束扭曲，表征了市场模型风险条件为零的无免费午餐的充分性。

我们将Jarrow–Protter–Shimbo泡沫理论扩展到允许套利的市场，并强调与Platen–Heath现实世界中基准方法定价的联系。ass e t标称空间的Euler特征的非vanis hing和c ash flw bundle的同调群的非消失是NFLVR条件完全满足的拓扑障碍。因此，我们调整了本文的标题，这是对Kaˋc著名问题的改编，该问题介绍了流形上自伴算子的谱逆问题：你能听到鼓的形状吗？我们希望这种方法能得到金融数学界的认可。随机过程的广义导数在随机微分几何中，人们希望将随机分析的构造从N维可微分流形的开子集提升到N维可微分流形。为此，需要图表不变的定义，因此，需要满足通常链式规则的随机演算，而不是^o的Lemmais（参见[HaTh94]，第7章，以及第4章第200页开头的注释）。这就是为什么关于几何套利理论的论文主要关注的是随机积分和导数，这是Stratonovich意义上的，而不是它的^o。当然，在计算结束时，Stratonovich积分可以转化为它的^o。请注意，一个基本的组合方程，自融资条件，不能直接用Stratonovich积分形式表示；它必须首先用它来表达，然后转化为Stratonovich，因为它是一种非预期条件。定义77。设我是一个实区间，Q=（Qt）t∈概率速度上的一个RN值随机过程(Ohm, A、 P）。