你能听到市场的形状吗？几何套利与谱套利

设X=PNj=0Xjxjbe是现金流束V的M和f=（fs）sa部分上的向量场。然后VXft=NXj=0A英尺xj+Kjft~axj，（52）其中k（x）=-rxtKj（x）=DjtDxt（1）≤ J≤ N） 。（53）证据。从主纤维束上的连接开始，在相关向量束上构造协变微分是微分几何中的一个通用过程。联系χisa李代数g=R[0+∞[valued 1-form on B，我们可以将连接分解为χ（x，g）=gK（x），其中K（x）：=PNj=0Kj（x）dxj。微分映射Teρ：g→ L（R[0+∞[）表示ρ：G→ GL（R[0+∞[）将李代数的元素映射到丛V的自同态上。给定局部现金流截面ft=R+∞ds fsδs-t、 在V | U和t M | U中的位置向量场X中，连接VHA作为以下当地代表：VXft=Z+∞ds（dfs（X）。vs+fsω（X）。其中vs:=δs-tandω是T的一个元素*U | UNL（V | U），即值为1的自同态-形式定义如下：ω（x）（x）：=（Teρ.χ（x，e））。X=ddεε=0ρ（exp）（εχ（x，e）。十） e）。（55）因为指数映射的导数是恒等式，ρ（π）=π* · ∈ GL（Vx）=> Teρ。t=t* · ∈ 因此ω（x）=χ（x，e）* · = K（x） δ * ·, （57）因此，VXft=Z+∞ds[dfs（X）vs+fsK.Xδ* vs]=Z+∞ds[dfs（X）+fsK.X]vs=dft（X）+ftK。X=NXj=0A英尺xj+Kjft~axj。（58）38号提案。连接的曲率VisRV（X，Y）：=VXVY- VYVX- V[X，Y]=[p]o （R（X）*, Y*, （e）* ·) o [p]-1，（59）其中R是主纤维束B，X上的曲率*, Y*∈ TpB X，Y的水平升降∈T（T，x）M和[p]：V=R[0+∞[-→ V（t，x）：=B（t，x）×gV7-→ [p] （v）=[p，v]（60）是B和v之间的函数同构。特别是，当且仅当相关向量束上的曲率消失时，主函数束上的曲率消失。证据

等式（59）源自向量束上曲率的定义，并利用Satz3。21 in[Baum（2014）]，ρ（π）=π* · .现在我们在适当的希尔伯特空间上引入拉普拉斯连接。定义39。现金流束截面的空间可以通过引入，对于s，快速截面f=f（t，x，ω）=（fs（t，x，ω））s，转化为标量乘积空间∈[0,+∞[g=g（t，x，ω）=（gs（t，x，ω））s∈[0,+∞[，如下：（f，g）：=ZOhmdPZXdNxZ+∞dt hf，gi（t，x，ω）=E^i（f，g）L（M，R[0+∞[）ó=（f，g）L(Ohm,五、 其中hf，gi（x，t，ω）：=Z+∞dsfs（t，x，ω）gs（t，x，ω）。可积截面的希尔伯特空间如下：H:=L(Ohm, 五、 A，dP）=f=f（t，x，ω）=（fs（t，x，ω））s∈[0,+∞[（f，f）L(Ohm,五、 A，dP）<+∞. （62）在考虑拉普拉斯连接时，对于保证自伴性的局部椭圆边界条件，有两种标准选择：oDirichlet bo-u-ndary条件：BD（f）：=f|M.（63）o诺依曼边界条件：BN（f）：=(Vνf）|M、 （64）式中，ν表示法向单位向量场M通过考虑ωa参数依赖性，我们可以应用标准结果泛函分析来获得以下命题。40号提案。拉普拉斯的联系V:=五、*V由Neumann边界条件dom给出的域定义VBN:=^f∈ H | f（ω，·，·）∈ H（M，R[0+∞[），BN（f（ω，·，·））=0 ω ∈ Ohm（）（65）是H上的自伴算子。其谱由[0]中的离散谱（特征值）和连续谱（近似特征值）的不相交并组成+∞[：规格(VBN）=specd(VBN）˙∪特种部队(VBN）。（66）如果M是紧凑的，例如，通过设置M:=[0，T]×X，X RNcompact和T<+∞, 然后连续谱是空的，特征值可以按单调递增序列排序，收敛到+∞.备注41。

当我们选择M=[0，T]×X时，T<+∞, 我们必须相应地调整主纤维束和相关向量束的结构。注意，B的结构群及其李代数仍然是G和R[0+∞[，V的纤维仍然是R[0+∞[.只在基本空间M的时间维度上进行积分，直到T.备注42.对于固定ω∈ Ohm, 定义域VBNis是Sobolev空间h（M，R[0+∞[）。如果M是紧的，那么C语言中的VBNlie∞（M，R[0+∞[）和s满足纽曼边界条件。命题40通过积分的方式遵循标准椭圆谱理论Ohm .Neumann边界条件下的连接拉普拉斯谱包含市场中任意年龄可能性的信息。定理43。当且仅当0时，市场模型满足NFLVR条件∈ 规格VBN.调和截面参数化了Radon–Nikodym导数，用于将测量值从统计测量值更改为风险中性测量值。证据在Neumann边界条件下，Laplacia n的谱包含0，当且仅当存在一段f，使得Vf=0。（67）根据命题37，这相当于英尺xj+Kjft=0，（68）对于所有j=0，1，N这意味着对于j=0D对数（ft（x））- rxt=0，（69）对于j=1，N 对数（英尺（x））xj=-DjtDxt，（70）适用于所有x∈ X.方程式（70）变为 对数（英尺（x））xj=- 日志（Dxt）xj 对数（ft（x））Dxtxj=0log（ft（x））Dxt）≡ Ctft（x）Dxt≡ exp（Ct），（71）表示一个过程（Ct）t∈[0,+∞因此，正过程β=（βt）t∈[0,+∞[：=（exp(-Ct）t∈[0,+∞[satis fieft（x）=βtDxt，（72），当插入方程（69）时，对于所有t和x，导致toD log（βtDxt）+rxt=0，（73）。对于固定ω∈ Ohm, 拉普拉斯算子有一个椭圆符号，根据Weyl定理，任何调和函数f=f（ω，t，x）都是（t，x）的光滑函数。

特别地，f的任何路径都是有界变化的c`adl`ag，因此（ft）是一个半马丁酒。根据方程（72），（Dt）t是半鞅，因此（βt）也是半鞅。根据定理26，这相当于NFLVR条件。备注44。注意，如果f=f（ω，t，x）≡ f（ω），并且r或D的至少一个分量不消失，那么f=0，0/∈ 规格VBN, 确认并扩展备注30。备注45。任何谐波f=ft（x）通过氡-尼科迪导数dP定义一个风险中性度量*dP=βtβ=DxDxtf（x）ft（x），（74），它不依赖于x。从公式（74），我们推导出以下推论。推论46。当且仅当0时，市场模型是完整的∈ 规格(五） bn是一个具有简单多重性的特征值。备注47。Dirichlet边界条件的情况类似。与命题40和备注42类似的命题和标记成立。但由于椭圆算子的唯一延拓性质，0永远不在specd中VBDNFLVR财产是否满足要求。3.3套利泡沫定义48（频谱下限）。现金流束V上连接拉普拉斯函数的最高光谱下界由以下公式给出：λ：=inf~n∈C∞（M，V）~n6=0BN（~n）=0(V，V k）H（k，k）H，（75），并且在子空间λ上假设：=φφ ∈ C∞（M，V）∩ H、 BN（~n）=0(V，V~n）H≥ λ（ν，ν）H. （76）空间kλ：={~n∈ Eλ|~n≥ 0，E[~n]=1}（77）包含Radon–Nikodym衍生EDP的所有候选项*对于概率度量P，dP=а（78）*关于统计测度P是绝对连续的。通过重新表述定理43和推论46，我们得到以下陈述。第49号提案。当且仅当λ=0时，市场模型满足NFLVR条件。

因此，存在由（78）定义的风险中性概率度量，以及相应的φ∈ Kλ使得（Dt）t∈[0，T]是关于P的向量值鞅*, i、 e，e*t[Ds]=所有的DTS≥ [0，t]中的t。（79）当且仅当λ=0且dim E=1时，市场是完整的。对于套利市场，我们的λ>0，并且不存在风险中性概率度量。尽管如此，仍有可能确定基本价值，尽管不是以独特的方式。定义50（基本资产套利基本价格和泡沫）。让（Ct）t∈[0，T]bethe Rn现金流随机过程与市场模型的N个资产相关，具有agiven谱下界λ和Radon–Nikodym子空间Kλ。对于给定的选择∈ Kλ，具有随机RN值价格过程（St）t的资产的近似基本价值∈[0，T]定义如下：*,ηt:=Et"iAZτtdCuexpA-Zutrsds~a+SτexpA-Zτtrsds~a{τ<+∞}ò{t<τ}，（80）式中τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间，近似泡泡定义如下：B"at:=St- s*,~nt.（81）资产的基本价格向量及其资产泡沫价格定义为：*t:=S*,~ntBt:=B k tа：=arg minа∈KλE~nZTds |B|s |。（82）概率测度P*用氡-Nikodym衍生*dP=~n（83）被称为最小套利度量。51号提案。资产的基本价值可以用以下公式表示为关于最小套利测度的条件预期：S*t:=E*t"iZτtdCuexpA-Zutrsds~a+SτexpA-Zτtrsds~a{τ<+∞}ò{t<τ}。（84）定义52（标量曲率）。portfoliox在时间t的市场积分标量曲率定义如下：K（t，x）：=D log Dxt+rxt。

（85）策略x=（xt）t∈[0，T]是一种免费午餐/无套利/套利策略，当且仅当ifK（T，xt）> 0（免费午餐）=0（无套利）<0（套利）∈ [0，T]。（86）投资组合的向量值积分曲率定义为投资组合单一资产组成部分的积分比例曲线向量：-→K（t，x）：=NXj=1D对数Dxjejt+rxjejtej。（87）备注53。（29）中定义的曲率R可以写成：R（t，x，g）=gdt∧ 因此，dxK（t，x），（88）证明了积分标量曲率K的命名法的合理性。我们现在可以将[JPS10]中的Jar row–Protter–Shimbo的结果扩展到以下气泡分解定理。定理54（气泡分解）。让τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间。STA将一个唯一的（直到P-消失集）分解为一个有趣的damentaland泡泡值之和：St=S*t+Bt，（89）其中（Bt）t∈[0，T]是一个满足BT=St的c`adl`ag过程+- Et"issZτtdCuexpA-Zutdsr~a++StexpAZτtds(-→K（s，e）- rs）~a{τ<+∞}TMò{t<τ}，（90）式中，e=[1，…，1]+或等效地，对于所有j=1，NBjt=Sjt- E*t"iZτtdCjuexpA-Zutds rs~a+expA-Zτtds rs~aSjτ{τ<+∞}ò{t<τ}。（91）如果所有资产到期日都是有限的，即τ=T<+∞, 然后-→K·>r·，C·>0==> 英国电信↑ 0-（t）→ T-)-→K·<r·，C·<0==> 英国电信↓ 0+（t→ T-)-→K·=r·，C·=0==> 英国电信≡ 0，（92），其中不等式和极限是指分量。证据

通过开发气泡值的表达式，并利用所有≥ 0Dt=expC-Ztds rsaSt，（93）由于曲率是瞬时资产组合对数回报（见[FaTa21]）Dτ=DtexpAZτtds（D log Ds+rs）~a，（94）我们得到τ=StexpAZτtdsD日志Ds+rs- rs~a，（95）因此，Bt=St- Et"issZτtdCuexpA-Zutds rs~a++SτexpA-Zτtds r~a{τ<+∞}TMò{t<τ}==St- Et"issZτtdCuexpA-Zutds rs~a++StexpAZτtds(-→K（s，e）- rs）~a{τ<+∞}TMò{t<τ}，（96）也就是（90），最后t变成了comesbt=St- Et~nkCZTtdCuexpA-Zutds rs~a++StexpcZTtds(-→K（s，e）- rs）aa^o=圣- StEt~nk expCZTtds(-→K（s，e）- rs）a|{z}=：A（t，t）+- Et~nkCZTtdCuexpA-Zutds rsa||{z}=：A（t，t）。（97）现在，由于E[~n]=1，我们观察到-→K·- r·>0，C·>0==>A（t，t）>0，A（t，t）>0，A（t，t）↓ 1+，A（t，t）↓ 0+（t→ T-)-→K·- r·<0，C·<0==>A（t，t）>0，A（t，t）<0，A（t，t）↑ 1+，A（t，t）↑ 0+（t→ T-),（98）根据（97）我们得出结论-→Kt- t的rt>0∈ [0，T]，C·>0==> 英国电信↑ 0-（t）→ T-)-→Kt- t的rt<0∈ [0，T]，C·<0==> 英国电信↓ 0+（t→ T-),（99）因此，-→Kt- rt≡ 0和C=0==> 英国电信≡ 0.（100）插入定义（87）-→K到（90）导致（91）。公关工作现在已经完成。我们现在可以扩展Jarrow–Protter–Shimbo在[JPS10]中的结果，以获得以下气泡分类定理。定理55（气泡类型）。设T=+∞, 用τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间。如果j=1的资产价格存在一个非平凡的泡沫。

，N，则至少存在一个概率测度P*等价于P，对于P，我们只有三种可能性：o类型1：关于P和P的Bjtis局部超鞅或次鞅*, 如果P[τ=+∞] > 0;o 类型2：关于P和P的Bjtis局部超鞅或次鞅*, 但如果bjis无界但有P[τ<+∞] = 1;o 类型3：Bjtis a str ict本地超级或次级P-和P*-鞅，如果τ是有界停止时间。证据该定理是方程（97）局部应用的直接结果，应用于[0，T]的时间间隔，K（T，ej）+r的符号和Ctremain常数。在具有非负K（t，ej）和Ct的子区间上，泡沫价格bj是both P和P的子鞅*, 因为堡垒≤ 这就足够了，Bt≤ 这是真的；因此，英国电信≤ Et[Bs]和Bt≤ E*t[Bs]。（101）在具有非正K（t，ej）和Ct的子区间上，P和P的泡沫价格bj都是超鞅*, 因为对于t≤ 这就足够了，Bt≥ 这是真的；因此，英国电信≥ Et[Bs]和Bt≥ E*t[Bs]。（102）在类型1的情况下，存在一组基本事件，对于这些事件，资产的到期时间是不确定的，没有进一步的信息，我们不知道直到到期的随机积分是否收敛。在类型2的情况下，资产的自然时间τ不是有限的基本事件集是a.s.的，但如果bjis无界，我们不知道[t，τ]上的托卡斯蒂克积分是否一致地在τ中收敛。对于类型3，随机积分收敛。证据已经完成。备注56。

请注意，如果满足NFLVR，则曲率消失，类型3的气泡也消失，这是统计和风险中性概率度量的平凡鞅。定义5 7（或有权益的套利基本价格和泡沫）。让我们在定义（50）的背景下考虑一个欧式期权，该欧式期权由或有权益给出，在时间T时，对于N个实变量的适当实值函数H，具有唯一支付（ST）。在基本资产不支付股息的情况下，确定或有权益的基本价格及其相应的套利泡沫：V*t（H）：=Et~nk expC-ZTtrsdsaH（ST）1{T<+∞}^ot<t}=E*涅expC-ZTtrsdsaH（ST）1{T<+∞}^ot<t}Bt（H）：=Vt（H）- 五、*t（H），（103），其中，对于（82），P中定义的基本资产，φ是最小值*最小套利测度和（Vt（H））t∈[0，T]是欧式期权的价格过程。如果基础资产支付股息，定义如下：V*t（H）：=Et~nk expC-ZTtrsdsaHASTexpACTST（T- t） ~a~at<+∞}^ot<t}=E*涅expC-ZTtrsdsaHASTexpACTST（T- t） ~a~at<+∞}^ot<t}Bt（H）：=Vt（H）- 五、*t（H），（104），其中cjtsjt是第j项资产的瞬时股息率。评论58。如果市场是完整的，那么λ=0和Kλ={~n}，其中是唯一风险中性概率测度相对于统计概率测度的Radon–Nikodym导数。（50）和（54）中对完整市场的定义与Jarrow、Protter和Shimbo在[JPS10]中对基础资产和或有权益的基本价值和资产泡沫价格的定义一致，证明它们是允许套利机会的市场的自然延伸。备注59。

我们发现，通过最小套利计量确定的资产的基本价格与Platen and Heath（参见[HePl06]第9章和第10章）采用本马克法确定的真实世界定价具有共同特征。我们现在证明基本价格的看跌期权平价。提案60（基本价格看涨期权平价）。让我们考虑基本资产（即现金和一项风险资产）N=1的市场模型。然后，有趣的价格过程：o（C）*t） t∈（St）T上看涨期权的[0，T]∈[0，T]在时间T时，执行价格K>0（P*t） t∈（St）T上看跌期权的[0，T]∈[0，T]在时间T时，执行价格K>0（F）*t） t∈[0，T]在（St）T上的前锋∈[0，T]时远期价格K>0；如果基础资产不支付股息，则满足看跌期权平价关系。C*T- P*t=F*t、 （105）证据。对于正的执行价K>0，我们可以将远期支付分解为：- K=（ST）- （K）+- （K）- ST）+。（106）公式（103），在没有股息的情况下（C≡ 0），读到s:V*t（H）=Et~nk expC-ZTtrsdsaH（ST）1{T<+∞}^ot<t}，（107），适用于（106），导致v*t（（ST）- K） +）- 五、*t（（K）- ST）+=V*t（（ST）- K） ），（108），这是方程式（105）。证据已经完成。备注61。即使在NFLVR假设下（见[Pr13]），市场价格的看跌期权平价也可能被违反。最后，一个简短的c t计算显示了下面的推论。推论62。