你能听到市场的形状吗？几何套利与谱套利

过程Q确定了σ-代数的三类σ-s子代数：（i）“过去”Pt，由RNby all映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RNfor0<s<t；（ii）“未来”Ft，由RNby all映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RN0<t<s；（iii）“当前”Nt，由映射Qs生成的RN中Borel集的前像生成：Ohm → 注册护士。设Q=（Qt）t∈伊贝：继续。假设存在以下限制，Nelson的随机导数定义如下：DQt:=limh→0+E"iQt+h- QthPtò：正向导数，D*Qt:=limh→0+E"iQt- Qt-啊Ftò：后向导数，DQt:=DQt+D*Qt：平均导数。（153）设S（I）是所有过程Q的集合，使得t7→ Qt，t7→ DQT和t 7→ D*QT是从I到L的连续映射(Ohm, A） 。设C（I）是S（I）关于normkQk:=supt的完备性∈我kQtkL(Ohm,A） +kDQtkL(Ohm,A） +kD*QtkL(Ohm,（A）.（154）备注78。随机导数D，D*, 和D分别对应于它的^o\'s，预期，和Stratonovich积分（参见[Gl11]）。过程空间C（I）包含所有的It^o过程。如果Q是一个马尔可夫过程，那么在向前和向后导数的定义中，西格玛代数Pt（“过去”）和Ft（“未来”）可以被西格玛代数Nt（“现在”）代替（参见[Gl11]中的第6.1和8.1章）。随机导数可以在ω中逐点定义∈ Ohm 类外的广义函数。定义79。问：我Ohm → Rn在测试过程中应为连续线性函数Ohm →Rn，用于φ（·ω）∈ C∞c（I，RN）。这意味着对于固定ω∈ Ohm, 函数Q（·，ω）∈ D（I，RN），连续分布的拓扑向量空间。

然后我们可以定义Nelson的广义随机导数：DQ（~nt）：=-Q（D~nt）：正向广义导数；D*Q（νt）：=-Q（D）*νt）：向后广义导数；D（ηt）：=-Q（D~nt）：平均广义导数。（155）如果广义导数是正则的，则过程具有经典意义上的导数。这种构造只不过是广义函数理论对更广泛的一类随机过程的一种直接的路径提升，而这类随机过程在很大程度上不允许Nelson的导数。我们将在处理信用风险时利用这一特性，在处理信用风险时会出现许多过程。参考文献[Baum（2014）]Baum，H.Eichfeldtheory:Eine Einf–uhrung在不同的地理计量中；斯普林格·r·斯佩克特鲁姆：美国伊利诺伊州香槟市，2014年。[BGV96]北柏林。；盖茨勒，E。；Ve-rgne，M.热核与狄拉克算子；修正后的二次印刷，Grundlehren der mathematischen Wissenschaften；斯普林格：柏林/海德堡，德国，1996年。[Bl81]Bleecker，D.规范理论和变分原理；Addison Wesley出版社：1981年，美国马萨诸塞州波士顿；（2005年多佛出版社出版）。[DeSc94]Delbaen，F。；Schachermayer，W.资产定价基本定理的一般版本。在Mathematische Annalen；斯普林格：柏林/海德堡，德国，1994年；第300卷，第463-520页。[DeSc08]Delbaen，F。；《套利的数学》；施普林格：柏林/海德堡，德国，2008年。[El82]Elworth，K.D.流形上的随机微分方程；伦敦数学学会讲座笔记系列；剑桥大学校长：英国卡姆布里奇，1982年。[Em89]Emery，M.P.A.Meyer著《带附录的流形上的随机微积分》；施普林格：柏林/海德堡，德国，1989年。[Fa15]Fa rinelli，S.几何套利理论与市场动力学。J.Geom。机修工。2015, 7, 431–471.[FaTa21]Farinelli，S。；高田，H。

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