实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法

此外，场景生成的风险中性校准将为Oracle提供输入，这可能非常麻烦，需要额外的工作。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法7Datar Mathews（DM）方法：在Mathews等人（2007）提出的方法中，我们假设它是NPV分布（通常由管理层提供）。然后，执行蒙特卡罗模拟，以复制给定时间的分布，并生成基础资产的模拟过程。在这些优点中，我们可以提到它易于实施，并且具有巨大的管理吸引力。然而，缺乏理论来证明这种方法的合理性。Jaimungal-Lawryshyn（JL）：Jaimungal和Lawryshyn（2011）的工作包括对DM方法的扩展，如下所示：他们采用净现值分布，并选择与现金流高度相关的可观察行业指数（不在其票据上交易）。他们为该指数选择了一个动态，并根据该动态，找到产生NPV分布作为该市场指数函数的回报函数。然后，他们将项目的价值确定为这些收益的预期值（在DM的方法中非常接近）。最后，他们选择相关（如果可能的话）交易资产或指数，并使用最小鞅测度进行风险中性估值。在这种方法的优点中，我们可以指出，与DM方法一样，它将管理观点与实物期权分析相结合。因此，它具有良好的管理吸引力。此外，这一理论更为合理。然而，市场指数可能并不容易获得，人们仍然需要根据指数校准模型。如果数据不丰富，这一步可能会很困难。2模糊蒙特卡罗方法和最小鞅测度由于该方法使用的典型数据来自模拟，因此在时间上自然是离散的。

因此，采用离散时间算法是很自然的。在这方面，我们首先回顾离散时间二次套期保值的理论，以及如何将其用于对未定权益进行定价。这将紧跟福尔默和希德（2004）的论述。然后，我们继续讨论该算法本身，并对其与问题的连续版本的关系进行简要说明。2.1不完全市场中的离散时间套期保值：回顾不完全市场环境，从其定义来看，自我融资复制策略通常不可用。在这种情况下，人们可能会放弃复制资产，寻找自我融资的对冲策略，通过风险度量来控制下行风险。例如，参见F¨ollmerand Schied（2004）的工作。或者，你可以实施一个复制策略，并用这个属性寻找最便宜的策略。在后一种情况下，实践者中非常流行的策略是最小化二次跟踪误差Schweizer8 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli（2008）。这种选择导致了在非常小的假设下平均自我融资的策略，我们现在简要回顾一下。和往常一样，我们假设处于一个经过过滤的概率空间中(Ohm,FT，P）和writeL（P）=L(Ohm,FT，P），其中P表示历史度量。在下面的内容中，ξ表示对num’eraire资产的投资（短期或长期），ξ表示对d风险资产的头寸，价格由d维随机过程X给出。此外，X和V表示无风险过程的贴现价格。定义2.1交易策略是一对随机过程（ξN，ξ），其中ξN是一个适应过程，ξ是一个d维可预测过程。

投资组合的贴现值为vt:=ξNt+ξt·XT收益过程为gt:=t∑s=1ξs·（Xs-Xs-1).成本过程定义为asCt:=Vt-Gt。让H表示一个随机声明，并假设1。H∈ L（P）；2.Xt∈ L(Ohm,FT，P；Rd），对于所有t.定义2.2，H的可接受L-策略是一种交易策略，使其简单，即VT=H P a.s，并且使价值过程和收益过程都是平方可积的，即VT，Gt∈ L（P），T∈ [0，T]。我们现在可以引入一个合适的风险过程定义2.3，让（ξN，ξ）成为L-容许策略。相应的局部风险过程由loct（ξN，ξ）=E[（Ct+1）给出-Ct）|英尺]。设（^ξN，^ξ）是一个具有值过程的L-容许策略。该策略被称为局部风险最小化策略，如果对于每个t，我们都有（^ξN，^ξ）≤ Rloct（ξN，ξ），P a.s.对于每个L-容许策略，其值过程Vt满足Vt+1=^Vt+1。定义2.4如果交易策略的相应成本过程是鞅，即实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法9E[Ct+1]，则交易策略是平均自我融资策略-Ct | Ft]=0。定义2.5我们说两个适应过程U和V是强正交的FCOV（Ut+1-Ut，Vt+1-Vt | Ft）=0，其中cov表示条件协方差，即cov（A，B | Ft）=e[AB | Ft]-E[A | Ft]E[B | Ft]。以下结果（见F¨ollmer and Schied（2004））保证了相应对冲的存在：定理2.1。当且仅当L-容许策略是平均自融资且其成本过程是强正交do X.2时，L-容许策略是局部风险最小化的。

存在一个局部风险最小化策略，当且仅当H接受所谓的Foller-Schweiser分解：H=c+T∑t=1ξt·（Xt）-Xt-1） +LT，P-a.s.，其中c是常数，ξ是d维可预测过程，因此ξt·（Xt-Xt-1) ∈ 对于每一个t，L是一个与X强正交的平方可积鞅，满足L=0。在这种情况下，局部风险最小化策略（^ξN，^ξ）由以下公式给出：^ξ=ξξξNt=c+t∑s=1ξs·（Xs-Xs-1） +Lt-ξt·Xt。请注意，相关的成本过程是Ct=c+Lt.2.2风险最小化定价定理2.1的证明实际上是建设性的，并产生以下算法：算法2.11。设置^VT:=H；2.对于t=t-1下降到t=0 doa。集合（Vt，ξt+1）：=argmin（Vt，ξt+1）EbVt+1-（Vt+ξt+1·（Xt+1）-Xt）英尺; （1） 10埃德加多·布里加蒂、菲利佩·马西亚斯、马克斯·O·苏扎和豪尔赫·P·祖贝利3。设置^Ct:=^Vt-∑ts=1^ξs·（Xs）-Xs-1） ，t=0，··，t；4.设置^c:=^c；5.设置^Lt:=^Ct- ^c，t=0，·t；6.设置^ξNt:=^c+∑ts=1^ξs·（Xs）-Xs-1） +^Lt-^ξt·Xt，t=0，·t。注意，如果P是风险中性度量，那么Xt是平方可积鞅。在这种情况下，Galtchouk Kunita Watanabe分解（Choulli and Stricker（1996））产生[H | Ft]=^V+t∑s=1^ξs·（Xs）-Xs-1） +lt，因此我们有[H | Ft]=Vt。这允许将局部风险最小化策略的价值一致地解释为H的无套利价格。然而，一般来说，X在P下不是鞅，在不完全的情况下，会有许多鞅测度，相当于P。事实证明，其中一个测度特别适用于局部风险最小化下的套期保值。定义2.6让P表示等价于toP的鞅测度集。

我们说^P∈ P是最小鞅测度d^PdP！< ∞,如果P下的每个平方可积鞅，它是强正交toX，也是^P下的鞅。定理2.2如果存在一个最小鞅测度^P，并用^Vt表示局部风险最小化策略的值过程，那么我们得到了^Vt=^E[H | Ft]。我们用一些实际的评论来结束这一部分。第一个是算法2.1的关键部分，就或有权益的估值而言，由步骤1和2组成。第二个问题是，对于实物期权和数值模拟，使用资产和合同的未贴现价格更方便。因此，从现在起，我们将回到实际价格，并使用ρ=exp（r）的折扣因子t） 其中r是无风险利率。如果我们收到现金流的支付流，ctfor t=t，·TF≤ ∞, 在最小鞅测度^P和按恒定利率贴现的情况下，预期值vt由vt=bE“TF给出∑s=tcs/ρs-T英尺#。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法11在这种情况下，算法2.1的推广非常简单。假设我们是在马尔可夫环境下工作，这样的值变为“TF”∑s=tcs/ρs-TXt=x#。（2） 现在我们将讨论从历史模拟中计算这种条件期望的问题。如果我们对过程{Xt}t=0,1，···有大量的模拟，我们可以近似地计算局部风险项rloctbyroct的R.H.S.上的项≈NN∑i=1ρ-1Vt+1（Xit+1）-Vt（Xit）-ξt+1（Xit）ρ-1Xit+1-退出.下一步是使问题在数值上易于处理。但是，遵循Longstaff和Schwartz（2001）以及Potters等人（2001）的思想，可以通过为未知函数ξt+1（x）（分别为Vt（x））引入函数基并考虑有限元展开来实现。

更准确地说，让我们写出t（x）=b∑a=1γatKa（x）和ξt+1（x）=b∑a=1ψat+1Ha（x），其中Ha（respec.Ka）构成函数空间ξt+1（respec.Vt（x））的基础。然后，可以用极小化来代替等式（1）中的极小化问题：argminnγjt，ψjt+1obj=1N∑i=1“ρ-1Vt+1（Xit+1）-B∑a=1γatKa（Xit）-B∑在+1Ha（Xit）·（ρ）下，a=1ψ-1Xit+1-Xit）#（3）换句话说，通过展开函数inL来计算期望值(Ohm,Ft，dbP），并在适当的基础上截断。不用说，这里有很多相关的问题，从进程上的条件到近似空间。对非马尔可夫情形和这种近似空间进行更详细的分析会让我们走得太远。例如，见利普（2012）著作第1.3节。12埃德加多·布里加蒂、费利佩·马西亚斯、马克斯·O·苏扎和豪尔赫·P·祖贝利2。3实数期权的HMC算法我们现在将提出一种用于评估项目延迟期权的拟议算法，该项目可以在时间T之间的任何时间启动≥ 0和T。在财务方面，这包括一个百慕大期权，可以在两个交易日之间的任何时间行使。显然，如果T=0是当前时间，它就变成了美式选项。在数学上，这相当于自由边界问题的离散形式。我们进一步假设，我们的现金流可能会在任何时候出现。我们算法的主要组成部分是回归不等式（3）。我们假设我们得到了以下输入：o交易资产的向量时间序列xit，时间段t=t，·t，以及场景i=1，·N.o与不同场景cit=t，·TF和i=1，·N相关的相应现金流。

这种现金流将由一个考虑到不同交易资产价值和非交易对象的Oracle产生项目价值或现金流的长期行为（可能在不同情况下）选择权的行使期T，··，T，其中0≤ T<T≤ TF。我们现在执行以下算法：算法2.2（实物期权的HMC）1。使用t=t··t.2的方程式（2）初始化不同情况i=1、·N的项目值VT（XiT）。为t=t初始化支付bvt（XiT）=（VT（XiT）-K） +对于不同的场景，i=1，·N.3。对于t=t-1、··、Tdo:a.定义功能：Vt（x）：=∑ba=1γatKa（x）和ξt+1（x）：=∑ba=1ψat+1Ha（x）b.根据系数γat，ψat+1:argmin{γat，ψat+1}ba=1N求解二次极小化问题∑i=1“ρ-1bVt+1（Xit+1）-B∑a=1γatKa（Xit）-B∑在+1Ha（Xit）·（ρ）下，a=1ψ-1Xit+1-Xit）#c.definebvt（Xit）：=max{（Vit）-K） +，bVt（Xit）}.4。输出：x的bVT（x）值∈xiNi=1和运动区域内的点。原则上，它也可能与时间有关，甚至与场景有关。此外，它还可以通过强调概率空间的特定区域来整合管理观点。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法13It T=0我们可以在不进行比较的情况下继续向下循环，Vw中的计算值将给出初始时间T=0时期权价值和不同情景的近似值。如果我们在一个完整的市场中使用风险中性模拟，这个算法将简化为著名的Longstaff和Schwartz（2001）算法的变体。备注2.1在实际实施中，用户可能有兴趣通过使用不同的统计数据访问演习区域，以及了解有关投资适用性的更多信息。因此，定义它们3可能很有趣。c、 该算法的实现如下：3。C

definebvt（Xit）：=max{（Vt（Xit）-K） +，bVt（Xit）}和store:i.It:={i∈{1，··，N}/bVt（Xit）≤ （Vt（Xit）-K） +}ii。νt:=min{（Vt（Xit）-K） /我∈It}iii.Prt:=P（（Vt（Xt）-（K）+≤ νt）≈#{i∈ {1，··，N}/（Vt（Xit）-（K）+≤νt}·N-1 i的点（t，bVt（Xit））的存储值∈ 它与运动区域的大致描述相对应。数量Vt（Xit）-在续集中，K将被称为投资期权的内在价值。它指的是在假设情景i减去投资K的情况下，根据最小鞅测度对现金流的最佳估计。这些统计数据的管理用途源自这样一个事实，即在许多情况下，随机产生的现金流继承了企业对市场情景的看法。因此，这些统计数据提供了管理者对投资情景的主观看法。实施注意事项细心的读者会注意到，整个过程的主要瓶颈恰恰在于将3最小化。（b） 。在实际应用中，一个快速稳定的算法将带来不同。通过使用QR算法求解超定线性方程组，可以非常有效地实现这种最小化。有关数字分析背景，请参见Golub and Van Loan（2013）的文本。然后，可以使用标准Linpack包在matlablike环境中实现该方法（正如我们所做的那样）。它可以很容易地移植到更流行的编程语言，如R和Java。即使在Longstaff和Schwartz（2001）的经典LSM算法中，基函数的选择也是许多作者研究的主题。我们遵循Potters等人（2001）的工作中的建议，将套期保值基础的元素作为期权基础的衍生元素。我们还考虑了Glasserman和Yu（2004）中提出的基础。

在多维情况下，我们考虑不同维度元素的张量积。如果已知初始场景，这种不同的场景可能会减少到一个点。14埃德加多·布里加蒂、菲利佩·马西亚斯、马克斯·O·苏扎和豪尔赫·P·祖贝利2。4.关于连续限制的备注对于从连续模型模拟或估计的数据，我们可能会考虑具有任意小时间间隔和重新定义的资产价格网格的实现。然后，一个非常自然的问题是离散算法是否有任何形式的极限t&0。这个问题可以分为两部分。首先，离散时间模型的连续极限。其次，介绍了求解极限情况的数值方法及其精度和效率。关于第一个问题，在欧式期权的情况下，很好地证明了F¨olmer和Schweizer的最小鞅测度与倒向随机微分方程（BSDE）有关。例如，参见El Karoui等人（1997年）的早期描述。在Pham（2000）的工作中，回顾了具有半鞅价格过程的一般不完全连续交易模型中二次套期保值理论的主要结果。特别地，研究了两种类型的准则：均值-方差法和（局部）风险最小化，这与本文所考虑的方法的连续极限有关。在Bobrovnytska和Schweizer（2004）的工作中，均值-方差套期保值问题被视为一个线性二次随机控制问题。它们表明，对于一般过滤中的连续半鞅，伴随方程导致二次值过程的三个系数的BSDE。关于第二个问题，像蒙特卡罗方法这样的回归的使用最近受到了很多关注。

见Gobet等人（2005年）；Lemor等人（2006年）；Gobeta和Turkedjiev（2013）特别是，在适当的条件下，可以证明HMC方法的收敛性，并在Gobet和Turkedjiev（2013）中进行了误差分析。此外，在Lipp（2012）中，HMC方法已应用于一些奇异期权，并对其数值方面进行了研究。InGastel（2013）HMC方法用于精算问题。3示例和案例研究我们现在将举例说明前几节中提出的方法。第一组示例将是纯粹的说明性示例，旨在举例说明期权评估算法的有效性。它们充当代码的验证和准确性检查。第二组数据来自大量真实数据和实际评估。这些例子在评估能源部门的潜在项目时考虑了大量对冲能源社区。最后，我们对一个涉及天然气数据（Henry Hubindex）和科技股（Google）的实例进行了探索。项目现金流将与添加到不相关且不可对冲的噪声分量中的此类底层（重新标度）值的差异有关。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法。2实际Black-Scholes公式价格与HedgedMonte Carlo算法结果的比较结果。左边显示价格，右边显示对冲价值。3.1说明性理论示例第一个示例涉及算法在经典BlackScholes市场中的运行，采用历史测量中的模拟价格。更准确地说，我们考虑了一个在3个月内到期的欧式期权，行使K=100，当前资产价格在货币价值X（0）=100，波动率σ=0.3，利率r=0.05的情况下变化。