实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法

在任意（固定）概率度量中，基本元素（单项式1、x和x）的数量为b=3，总共N=5000个模拟。虽然这是一个非常简单的教科书示例，但图2表明了一个事实，即即使对于如此少量的模拟和少量的基本元素，结果也相当准确。在第二个例子中，我们检查了两个可对冲资产X和X之差的算法性能。更准确地说，我们考虑了一个有回报（X1，TF）的65天交换期权-X2，TF）+。变量X和X满足几何布朗运动动力学，σ=0.3，σ=0.2，r=0.05。分析结果使用Margrabe公式得出。在我们的设置中，该公式表明期权的公平价格为：X1,0N（d）-X2,0N（d），其中N表示正态分布的累积分布函数，d1,2=ln[X1,0/X2,0]±σTF/2/σ√TF，带σ=√0.3+ 0.2. 见Musiela andRutkowski（1997）。这里，我们使用了两个单项式，N=10000模拟。结果显示在图3.3.2实践示例第一个示例一家能源公司考虑启动一个持续11年的新项目的可选性。项目价值取决于12种不同的基础。16 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubllifig。3 HMC算法和Margrabe公式之间的比较结果。在前5年内，该期权每年都可行使。该公司还拥有一个交易台，可用于对部分或全部不同资产进行金融投资。使用几套不同的对冲资产对期权性进行了评估。我们现在报告一个套期保值变量（本例中为布伦特价格）获得的结果，并考虑11年内2000条路径（连续复合年化）利率r=0.08。

我们还计算了更多对冲变量的例子。在图4中，我们展示了使用一个对冲变量的期权评估。在这个图中。4使用一个对冲变量作为布伦特价值函数进行期权评估。项目与投资之间的差额（Vt=0（X）-K） 以（红色）十字表示，而可选性Vt=0（X）以（蓝色）圆圈表示。这里，投资（罢工）为K=10.89，无风险利率r=0.08。该项目是对布伦特原油低价的对冲。项目的内在价值小于可选性这一事实表明，公司应该等待项目启动。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法17秒的例子在这个例子中，我们考虑一个将运行15年的项目，1500个货币单位的投资和8.00%的年自由利率。这一时期的现金流是甲骨文的结果，甲骨文依赖于许多交易和不可交易的变量，反过来又通过运行不同的场景产生。他们的一些描述性统计数据如图5所示。图5描述了不同情况下的现金流。下一行对应于5%分位数，上一行对应于95%。标记区域表示90%的频率区域。图6项目可选性的价值。下一行对应于5%分位数，上一行对应于95%。标记区域表示90%的频率区域。图6和图7显示了不同时间的可选性内在值，包括项目价值的5%和95%分位数。通过应用对冲蒙特卡罗方法，我们计算了考虑3个对冲变量的延迟期权18 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubelli的值。

如果在特定时间和相应情景下，项目的内在价值大于延迟可选性，则应执行该项目。这会产生一条触发曲线，告诉我们在每种情况下是投资还是不投资（图7）。图7不同情景下的项目内在价值（IV）统计数据说明和最低执行值。下一行对应于5%分位数，上一行对应于95%。标记区域表示90%的频率区域。第三个例子与之前的例子不同，实际现金流来自复杂（黑匣子类型）的预言，我们现在的例子涉及一个实际项目，其中现金流来自（相当）简单的数学函数。它涉及对一款天然气驱动汽车的艺术性潜在投资，信息技术公司可以用它来收集地理数据，并在其基于网络的广告中使用。为了简单起见，我们通过公式Ct（X，ε）=H（aX1，t）计算与谷歌股票高度相关的现金流-bX2，t-I+εt，（1）其中Xis是谷歌股票的价格，Xis是亨利中心（HH）天然气指数，I是执行成本，ε是不可对冲的噪音。我们示例中的函数H是definedash（x）=0，x≤0，x，x∈（0,1），1,x≥0 .H背后的基本原理是模拟非常大的库存值给出的饱和，并将这些值限制在零以下。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法19我们使用公共领域R软件下载的公共可用数据进行数据收集。2004年8月19日至2013年11月24日之间的历史结果如图8所示。我们用GARCH（1,1）模型校准了数据的历史收益率，然后对二维创新时间序列进行了主成分分析。

由此我们生成了未来情景的模拟。在本例中，我们考虑一个最长运行时间为3天的项目，决策可以每月执行一次。这一时期的现金流是公式（1）中描述的甲骨文的结果，取决于谷歌和HH天然气的价值。最后，我们选择INV=3.5的投资和8.00%的无风险利率。图8 2004年8月19日至2013年11月24日期间资产的时间序列。图9 2004年8月19日至2013年11月24日期间资产的对数收益直方图。例如，参见R Core Team（2013）。20 Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubellin图10，我们展示了一些资产模拟，图11中通过显示其平均值、分位数对现金流模拟进行了描述。图10资产模拟。图11等式（1）描述的实际oracle的现金流模拟。使用参数值a=1.2895×10-4，b=-5.3191 ×10-5，I=0.05，εt~ N（0,0.005）图13中的结果显示了内部值（定义为V）的统计数据-一） 与在公式（2.1）的定义算法中计算的运动内在值（νt）的最小值曲线有关。随着时间在t=1和t=12之间变化，运动曲线与不同情景下的内在值平均值交叉。νt小于固有值平均值的情况意味着一个小的Prt:=P（NPV<νt）。这些小价值的资产为何时投资提供了一个很好的建议。但投资决策还必须涉及图12所示的期权价值和图13所示的预期内在价值。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法。12不同情景下期权价值统计的说明。无花果

13不同情景下项目内在价值统计的说明，以及练习的最小值。4讨论和结论在这项工作中，我们解决了基于甲骨文预测的现金流估计项目的实物期权定价问题。这种甲骨文通常是用于生产或因工作项目和非交易特定变量而获得的资产价格的组合。它们还可以预测价格或需求，还可以包括管理观点或其他影响项目价值的不可交易信息。这些价格和变量可能会通过优化程序进一步处理，从而导致项目现金流。正如引言中所讨论的，这在许多情况下都会自然而然地出现，尤其是在化工或石油行业。针对这类问题，我们提出了一种基于最小化套期保值跟踪误差方差的方法。这可以解释为假设我们是22个Edgardo Brigatti、Felipe Macias、Max O.Souza和Jorge P.Zubellian不完全市场，并且投资者天生厌恶风险。在这种情况下，这种差异对投资者来说是一种自然的风险度量。在此框架下，weshow如何使用Potters等人（2001）的方法对实物期权进行定价。这导致了一组一致的价格，当市场完全时，价格降低到布莱克-斯科尔斯理论的水平。获得的价格将取决于为对冲选择的资产组。

这是很自然的，因为进入不同市场、易受不同情况影响的公司，对同一个项目可能有非常不同的价值。理论上，可以将所有套期保值资产都包含在一个最大集合中，但从实际角度来看，这是不可行的。我们再次强调，我们的模拟都是在模型校准的历史测量中进行的。我们还可以通过强调更有可能利用管理层选择性信息的情景，纳入管理层的观点。另一个极端是，即使决策者和手头的企业能够获得完全相关的资产，可以用来对冲项目价值，与风险中性蒙特卡罗评估相比，当前方法的优势之一是：减少价格估计的方差（对于相同的精度，路径数最多可以减少100倍）。Potterset al（2001）的原著中已经记录了这一点。在每个时间步对对冲策略、剩余风险（以局部方差的形式）以及可能的其他风险度量（如VaR和CVaR）的估计。正如格拉塞利（Grasselli，2011）的研究结论所解释的那样，投资机会的额外价值在于时间灵活性本身，而不是复制的可能性。因此，我们不能复制项目价值的事实不应该成为不尝试量化此类额外价值的原因。格拉塞利（2011）的工作从效用函数和无差异定价的角度出发。与此相反，我们在这里采取的观点是，通过方差来衡量风险最小化。对目前工作的一个非常自然的后续行动是，在现实世界的例子中比较不同的方法，比如本文所述的方法。

对与项目基础选择相关的数值问题的探讨也非常受欢迎。确认E.B.根据IMPA和巴西国家石油公司之间的合作协议，在访问IMPA时开发了这项工作。MOS得到了CNPq拨款308113/20128和法佩尔的部分支持。JPZ得到了CNPq拨款302161/2003-1和474085/2003-1以及byFAPERJ通过Cientistas do Nosso Estado和Pensa Rio项目的支持。所有作者都承认IMPA-PETROBRAS合作协议。作者要感谢与费尔南多·阿尤伯（PUC-RJ和Petrobras）的多次讨论。我们还感谢Milene Mondek对HMC算法的一些初步示例的实施，以及Luca P.Mertens对R软件和示例中的校准程序的帮助。实物期权定价的对冲蒙特卡罗方法23参考Bobrovnytska O，Schweizer M（2004）均值-方差对冲和随机控制：超越布朗环境。IEEE Trans Automat Control 49（3）：396–408，doi:10.1109/TAC。2004.824468，网址http://dx.doi.org/10.1109/TAC.2004.824468BorisonA（2005）实物期权分析：皇帝的衣服在哪里？《应用公司财务杂志》17（2）：17–31，URLhttp://dx.doi.org/10.1111/j.1745-6622.2005.00029.xBrennan《评估自然资源投资》（Schwartz，1985年）。《商业杂志》58（2）：第135-157页，网址：http://www.jstor.org/stable/2352967ChenCC，蒋YS，简CF（2007）半导体制造业产能投资规划的实物期权分析。摘自：半导体制造，2007年。ISSM 2007。国际学术研讨会，第1-3页，内政部：10.1109/ISSM。2007.4446823Choulli T，Stricker C（1996）渡边捷昭（GaltchoukKunita Watanabe）复合材料的双重应用。

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