具有模型不确定性的做市

参见附录中的数值例子。在实际建模和实现中，DM集合ψ的指定成为另一个问题。Hansen和Sargent（2008）在宏观经济学建模方面提出了一个有用的解决方案。我们首先介绍了Kullback的交叉熵函数（Cover和Thomas，2012），以量化两种概率分布之间的差异程度。定义1（Kullback的交叉熵函数）假设有两个概率分布p和q与公共支持集s。假设q是集合s上的先验密度。然后，Kullback的交叉熵函数定义为（2）（Cover和Thomas，2012）。S（p，q）的大值意味着p和q彼此非常不同。S（p，q）=ZSp（x）lnp（x）q（x）dx（2）Hansen和Sargent（2008）使用交叉熵来限制DM考虑的概率分布集。给定先验分布q和一个参数η，DM的集合∏包括所有概率分布p，其中s（p，q）≤ η. 只要概率分布与p相差不大，在这种情况下S（p，q）>η，DM认为这些概率分布同样可以接受。p参数η的较大值量化了DM强烈的模糊厌恶。当η的值更大时，DM将更大的概率分布集视为准确描述世界的候选。

因此，一个大η相当于说DM对现实世界更加模糊。3凸面平价竞价机制（CPCAM）的微观经济分析3.1市场设置CPCAM允许普通做市商同时处理不同类型的未定权益，只要这些权益是在同一个不确定事件上写的（例如，Theileditsch（2011）的结果也使用DM考虑的可能模型集的大小）代表THDM对歧义的厌恶程度。世界杯，股票价格）。假设不确定事件有N个可能的结果，每个结果由i索引∈ {1,2，…，N}。CPCAM是一种叫价拍卖。为简单起见，只接受购买订单。假设市场参与者作为一个整体向m市场制造商提交J订单。让矩阵A∈ RN×Jdenote是J订单的支付结构。A的（i，j）元素表示第j阶的每股收益，其中j∈ {1，2，…，J}如果第i个结果实现。定义向量b∈ rj使得该向量的第j个元素是与第j个订单相关联的限价。定义矢量∈ Rj，使其第j个元素为限制数量f或第j个订单。δ ∈ RN表示起始顺序。起始顺序是pari mutuel拍卖的一个独特特征（Lange and Economide，2005；Peters等人，2005）。在常规交易者提交订单之前，市场组织者会用起始订单为市场播种种子。对于每一个i，主办方将购买δidollars价值的Arrow Debreu证券，当且仅当第i个结果实现时，每股支付1美元。Arrow Debreu证券仅针对起始订单推出，因此不会在常规交易时段进行交易。让“第i个箭头-德布鲁安全”指的是当且仅当第i个事件实现时每股支付1美元的安全。

此时，组织者不知道他/她拥有的Arrow Debreu证券的股份数量，因为这些证券尚未定价。Arrow Debreu证券的价格只有在常规交易结束时市场清仓时才能确定。主办方持有的第i个Arrow Debreu证券的数量由δIb除以该证券的价格确定。然后，拍卖师像其他拍卖师一样向市场组织者付款。模型中包括起始订单，以确保市场清算优化问题产生一组独特的应急目标价格（Lange and Economide，2005；Peters et al.，2005）。等式（3）是CPC AM。让ε∈ Rn表示状态价格向量：ε的第i个元素是第i个结果的状态价格。εi与约束相关的拉格朗日乘数Jj=1Ai，jxj+si=M。国家价格是构成该市场上所有交易目标定价的基础。例如，支付结构A·jis为·jε的或有目标的市场清算价格。s∈ RNA和M是虚拟变量。十、∈ rj是有序填充的向量。例如，x的第j个元素是第j个订单的提交人可以购买的索赔股份数。maxx，s，MbTx-M+PNi=1δilog（si），使得（A）PJj=1Ai，jxj+si=M对于每个i∈ {1,2，…，N}（B）0≤ 十、≤ Q（C）s≥ 0（3）（3）的Karush-Kuhn-Tu-cker（KKT）最优性条件意味着每个j的限价指令逻辑（4）。如果买入价恰好等于指令的市场清算价，做市商可以行使其自由裁量权。当ε>bjxj时，xj=0∈ [0，Qj]如果AT·jε=bjxj=Qjif AT·jε<bj（4），提交第j份订单的人向做市商支付价值bjxj的溢价。

如果第i个结果实现，做市商将向Aijxj支付报酬。pni=1δilog（si）项确保了唯一状态向量的存在。然而，启动令使市场组织者在索赔到期时面临潜在的财务损失。为了最大限度地减少组织者的潜在损失，Peters等人（2005）提出了δverysmall的大小。3.2与模糊规避市场的等价性MakerLet u:R→ R表示做市商的效用函数。假设u是一个递增函数。与Peters et al.（2005）不同，我们假设做市商使用统一的起始顺序。也就是说，δi是相同的常数δi、 设ε（δ）表示与（3）相关的状态价格向量，当δi=δi、 设x（δ）表示（3）的最佳值x。定理2为δ→ 0，x（δ）收敛到（5）的最优解。MaxxMinpPi=1piuhbTx-PJj=1Ai，jxjisuch表示（A\'）0≤ 十、≤ Q（B’）p≥ 0，PNi=1pi=1（5）证明。见附录。（5） 是一个优化问题，其（6）收敛为Ohm 增加到单位。maxxminp∈ψNPi=1piuhbTx-PJj=1Ai，jxjisuch表示（A\'）0≤ 十、≤ Q（B’）p≥ 0，PNi=1pi=1（C\'）ψ=np∈ RN×1 | p≥ 0，PNi=1pi=1，PNi=1pi皮奇≤ Ohmo（6）（6）是市场庄家应该解决的优化问题，如果市场庄家的决策过程遵循Gilboa和Schmeidler（1989）或Gh irardato等人（2004）的理论。bTx是做市商从交易员处收取的总溢价。PJj=1Ai，jxjis如果第i个ou tcome实现，做市商必须向交易员支付的金额。NPi=1piuhbTx-因此，PJj=1Ai，Jxji是做市商的预期效用。向量q∈ Rn是一个轴心优先概率分布。

做市商认为任何概率分布p都是合理的，只要p和q之间的库尔贝克-莱布勒距离不大于Ohm.因此，（5）是做市商解决的优化问题，如果他/她是具有极端奈特模糊厌恶的DM。在定理2中，我们证明了CPCAM的市场清算顺序是具有极端模糊性的做市商的最优市场清算策略。我们的结果可能与其他同等燃料市场相关，因为C PCAM与其他同等燃料市场密切相关。首先，CPCAM是PDCA的改进版。Peters等人（2005年）开发了CPCAM，以使优化问题凸化。然而，CPCAM和PDCA仍然产生相同的均衡价格。其次，Agrawal等人（2011年）表明，文献中许多重要的平价市场（例如，市场的核心规则机制、基于成本函数的做市商、基于效用的做市商和序列凸型平价机制）可以在一个共同的理论框架下进行理解。序贯凸比例燃料机制（SCPM）（Peters等人，2007年）是Agrawal等人（2011年）分析的比例燃料市场之一。此外，PCAM和SCPM之间的关系非常密切。唯一的主要区别在于，CPCAM是一个叫价拍卖，而SCPM是一个连续的市场。因此，CPCAM和其他重要的同等燃料市场彼此密切相关。鉴于不同市场设计之间的这种密切关系，我们对CPCAM的分析也可能适用于其他混合燃料市场。

然而，我们将这一扩展留给未来的工作。4奈特-帕里-穆图尔机制（KPM）在本节中，我们设计了一个新的市场，称为奈特-帕里-穆图尔机制（KPM）。4.1市场设置限制指令逻辑和基本交易环境与PDCA类似（Langean and Economide，2005）。然而，做市商清算市场的算法是原始的。特别是，做市商优化问题的概率处理是原创的。与CPCAM一样，KPM允许普通做市商处理在同一随机事件上书写的多种类型的持续索赔。不确定事件有N种可能的状态，每个状态都由i索引∈ {1,2，…，N}。KPM允许交易员提交市场订单和限价订单。交易者只需将限价设定得非常高或非常低，就可以像提交限价单一样转售定单。因此，通过本文的其余部分，我们假设人们只交易有限的订单。在提交每个限价订单时，交易者指出限价、限价数量，以及订单是买入还是卖出。为了简单起见，我们将市场的运行环境描述为集合竞价。然而，当CPCAM（彼得斯等人，2005年）更改为SCPM（彼得斯等人，2007年）时，可以轻松调整设置以适应相同方式的连续交易。假设限额订单簿中总共有J笔未完成的限额订单。我把矩阵∈ RN×J代表这些订单的付款结构。列矩阵A·j∈ RN×1是第j订单试图交易的或有权益的支付结构。例如，假设第二个订单试图购买或有权益的三股股份，当且仅当状态1实现时，支付每股1新加坡元。

在这种情况下，列矩阵a·2ish1 0。。。去吧。在确定每个订单的市场均衡价格时，做市商首先确定每个州的均衡价格。设ξ=hξξ。。。ξ表示均衡价格。然后，做市商通过在支付向量和ξ之间取点积来确定每个未定权益的市场清算价格。例如，考虑带有Payoff结构的偶然目标。假设均衡状态价格向量ξishξξ。那么，该未定权益的市场清算价格为ξ+ξ。在此之前，为了确定限价指令簿中每个指令的均衡价格，Ly上的做市商必须确定ξ的值。如果第j个限价单是购买订单，则二进制变量bj1为1，并且-1如果第j个限价订单是销售订单。让bj和Qjdenote分别给出与jthorder关联的限制价格和限制数量。让xjdenote表示第j个订单的提交人被允许交易的索赔的实际股份数。我们称XJT为第JT订单的“订单号”。一旦每个订单的均衡价格确定，做市商决定xj，j根据极限顺序逻辑。考虑购买订单。如果订单的市场结算价格略高于限价，则XJI正好等于0。如果市场结算价格严格低于限价，则XJI设置为Q。在这两种情况下，限价指令逻辑自动确定订单。相反，如果订单的市场结算价格正好等于限制价格，那么XJC的值可以是封闭区间[0，Qj]中的任何数字。对于销售订单，这种逻辑同样适用。定义向量x∈ RJ×1使得x的第j个元素是xj。同样，定义Q∈ RJ×1使得Q的第j个元素是Qj。

定义b∈ RJ×1使得b的第j个元素是bj。定义2（限价指令逻辑）NPi=1Aijξ是第j个指令的市场结算价格。xj=0如果npi=1Aijξi>bjxj∈ [0，Qj]如果NPI=1Aijξi=Bjbjxj=QjifNPi=1Aijξi<bjbj做市商有两个决策变量来优化市场清算：均衡状态价格ξ和订单向量x。与金融市场中的其他做市商一样，KPM的做市商也有未定权益的记录。如果第i种状态在未来实现，则库存将使市场制造商接受wi的货币支付。让α表示市场制造商的风险规避系数。假设常数绝对风险规避（CARA）效用函数u（x）=-E-αx表征做市商的风险偏好。做市商对随机的未来事件有着骑士式的模糊性，而这些事件都是写在其上面的。让集合ψ定义市场所考虑的概率分布集合。Q∈ RN×1是做市商的枢轴概率d分布。假设q中的每一项都是严格正的。Kullback-Leibler fromq不大于Ohm 对做市商来说是可以接受的。Ohm 量化做市商的模糊厌恶程度。大量的Ohm imp谎称做市商有很强的模糊性。p和q的第i个元素描述了做市商对其结果的概率信念。ψ=（p∈ RN×1 | p≥ 0，NXi=1pi=1，NXi=1piln皮奇≤ Ohm)（7） 4.2市场清算优化问题我们假设做市商遵守奈特模糊性假设下的标准决策理论。做市商的优化问题可以用（8）来描述。

与PCAM不同，KPM要求市场参与者支付索赔的市场结算价格，而不是他们提交的投标价格。这个优化问题不做任何武断的假设。这个问题是模糊厌恶下标准决策理论的推论。然而，约束条件（E1）-（E3）和目标函数导致问题是非凸的。寻找一个非凸优化问题的全局最优解是非常困难的。maxξ，xminp∈Ψ-PNi=1piexph-αwi- αPJj=1xj在ξJ- 哎呀是（A）ψ=np吗∈ RN×1 | p≥ 0，PNi=1pi=1，PNi=1pi皮奇≤ Ohmo（B）ξ≥ 0（C）PNi=1ξi=1（E1）J∈ {1,2，…，J}，xj=0如果在ξj> BJ（E2）J∈ {1,2，…，J}，xj∈ [0，Qj]如果在ξj=Bjbj（E3）J∈ {1,2，…，J}，xj=Qjif在ξj<Bjbj（8）推论1假设做市商持有零库存：wi=0i、 作为Ohm 增加到单位时，KPM完全相同。无论结果如何，做市商都不会招致损失。证据见附录。KPM可能不完全相同，因为做市商可能会以正概率亏损。然而，推论1表明，KPM包含了一个完全相同的燃料市场。通过调整Ohm, 市场设计师可以确定市场接近完全平等的程度。价值越大Ohm, 市场变得更加全面。例如，考虑增加Ohm. 然后，问题（8）对拍卖师的模糊厌恶程度进行了建模。厌恶歧义的DM对最坏的情况非常敏感。因此，拍卖师清理市场，以便即使在最坏的情况下，他/她也能表现适度。

换句话说，即使在最坏的情况下，拍卖师也不想损失太多钱。在极端情况下Ohm 从本质上讲，拍卖师变得非常保守，在任何情况下都不想赔钱。市场应该完全平等。4.3市场清算算法在进一步讨论之前，我们引入了新的符号：zi=-E-αwi和θi=qieOhm每一次我∈{1,2，…，N}。此外，设F是满足极限顺序逻辑约束（E1）、（E2）和（E3）的对（ξ，x）的集合。这种策略的代价是做市商可能无法从中获利。引理1（ξ，x）=（ξ）*, 十、*) 是（8）的最优解当且仅当它是（9）的最优解的一部分。最小ξ，x，u，d，ζulnPNi=1θie-二u以致（A）-di=-zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）执行部队i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]用于uF（i）≥ 0（G）ξ≥ 0（H）PNi=1ξi=1（i）（x，ξ）∈ F（9）证明。见附录。由于问题是非凸的，很难直接应用著名的优化算法（例如内点法）来求解（9）。这个问题是非凸的，因为ef不是凸集。假设C是一对（x，ξ）的凸集。我们定义了另一个优化问题（10）。最小ξ，x，u，d，ζulnPNi=1θie-二u以致（A）-di=-zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）执行部队i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]用于i（F）u≥ 0（G）（x，ξ）∈ C（10）引理2优化问题（10）是一个凸优化问题。证据见附录。我们的总体策略如下。首先，我们将满足（9）中约束（G）、（H）和（I）的对集（x，ξ）表示为多个凸集C，C，。。。，厘米第二，我们解决了一个凸优化问题（10），其中C替换为每个Cm，m∈ {1，…，M}。