具有模型不确定性的做市

因此，在本节中，我们建议将该约束线性化。直觉上，xj在ξjis只是做市商从第j个订单中获得的收入。让我们看看做市商从第j张订单中获得的收入。xjis是期权交易的股份数量。在ξjis第j个订单的市场结算价格。为了开始转换，我们首先考虑x和ξ的可行集。我们说pairx和ξ是可行的，当且仅当这对满足（61）。（E1）J∈ {1,2，…，J}，xj=0如果在ξj> BJ（E2）J∈ {1,2，…，J}，xj∈ [0，Qj]如果在ξj=Bjbj（E3）J∈ {1,2，…，J}，xj=Qjif在ξ我们把注意力限制在第j命令上。图4显示了一组可行的对xjand在ξj、 该图只是（61）的图解。图5是一个三维图形。图表显示了做市商的收入，因为人工智能可以简单地忽略Qj=0的情况。我还可以简单地从优化问题中删除第j个顺序。图4:xjand（在ξ处）j的可行集填充量（xj）和市场结算价格的函数在ξj、 为了便于说明，图6将图5分为三个不同的区域。区域（1）对应于（61）中的约束（E1）。区域（2）和（3）分别对应于约束（E2）和（E3）。如果我们假设市场结算价格在ξ随着交易量的增加，做市商的收入变成了一个非线性项在ξjxj。然而，如果我们不注意图4中的可行设置，三个地区的市场清算价格或填充量都保持不变。

做市商的收入是一个线性函数。Rj=0如果在ξj> bjbjxjif在ξj=bjqj在ξ吉夫在ξj<bj（62）（62）等于（63）只要xjand在ξb延伸到图4所示的可行集。H在ξJ- bji+是maxn0的简写符号，在ξJ- 比乔。Rj=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- 例如，考虑区域（1），其中在ξj> bj和xj=0。然后，（63）减少到（64）。图5：做市商从第j张订单中获得的收入，作为第j张订单的完成量和市场结算价格的函数在ξ处图6：做市商从第j张订单中获得的收入，作为第j张订单的完成数量和市场结算价格的函数在ξ注意（64）与（62）一致。Rj=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- bji+=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- 我们可以简化（63）：Rj=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- bji+=minhQj在ξj+Bjbj（xj- Qj），Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- 景儿峪组在ξJ- bjoi=minhQj在ξj+Bjbj（xj- Qj），bjxji（65）将（65）替换为（60）得到（66）。（66）中的约束（E）确保成对（x，ξ）在图1所示的可行集s内。由于这一限制，用分段线性项替换四次项是有效的。最小ξ，x，u，dulnPNi=1θie-二u以致（A）-di=-zieαPJj=1hxjAij-minnQj（ATξ）j+Bjbj（xj）-Qj），bjxjoifori（B）μ≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（66）因为zi是负的，α是正的，（66）的约束（A）等价于（67）。- di=最大值-zieαPJj=1hxjAij-Qj（ATξ）j-bj（xj）-Qj）我，-zieαPJj=1[xjAij-BJXJ]（67）最小化（66）的目标函数，-必须最小化。因此，优化问题可以进一步归结为（68）。

请注意，约束（B）到（F）都是线性的。最小ξ，x，u，d，ζulnPNi=1θie-二u以致（A）-di=-zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）执行部队i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]用于uF（i）≥ 0（G）ξ≥ 0（H）PNi=1ξi=1（i）（x，ξ）∈ F（68）ζ∈ RN×1是一个虚拟变量。ζ=hζ。。。ζNi8。5优化问题（9）中引理2的证明，为了最小化目标(-di）需要缩小。定义一个新的向量ω∈ RN×1ω=[ω，…，ωN]因此，（9）等价于（69）。最小ξxuζωlnPNi=1θieωiu使得（A）ωi≥ -zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）我，i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]，i（D）u≥ 0（E）（x，ξ）∈ C（69）我的目标是证明（69）是一个凸优化问题。一个必要的初步步骤是说明满足（69）中约束（A）的ωi和ζi对构成一个凸集。引理3（69）中满足约束（A）的ωi和ζi对的集合形成一个凸集。证据定义一个新功能。F（ωi，ζi）=-ωi- 为了证明引理，必须证明函数F是凸的。黑森人是：F=FωiFωiζiFωiζiFζi=0 00 -齐ζi（71）因为Zi是负的，F是正半定义。因此，F是凸的。下一步是展示目标函数ulnPNi=1θieωiu它是凸的。定义一个新函数。G（ω，ω，…，ωN，u）=ulnNXi=1θieωiu！（72）在进行证明之前，我们给出了Boyd and Vandenberghe（2004）的一个非常有用的结果。。引理4将函数f（y）定义为（73），其中ak，y∈ Rn，bk∈ R.f（y）=lnKXk=1eaTky+bk！（73）f（y）是凸函数。因此，f（y）的Hessian必须是正半定义。引理5函数G是凸的，定义为（72）。证据注意，函数G可以表示为（74）。

μfixed，G的结构是ω，ω，…，的函数。。。，ωNis与（73）完全相似。G（ω，ω，…，ωN，u）=ulnxi=1euωi+lnθi！（74）对于ufixed，G是ω，ω，…，的凸函数。。。，ωN.因此，matrixin（75）的所有主要子代都是非负的。GωGωω...GωωNGωωGω...GωωN。。。GωNωGωNω...GωN（75）参见第162页的等式（4.44）为了证明引理，必须证明HessianG为正半限定。我们需要告诉大家G在（76）中是非负的。G=ωNμω。。。ωNuGω...GωωNGωu... ...GωNω...GωNGωNuGuω...GuωNGu（76）然而，因为我们已经知道（75）中矩阵的所有主要子项都是非负的，所以只需要证明一下Gu≥ 0和detG≥ 0.首先，我们展示Gu≥ 0找到G的第一个导数。Gu=lnNXi=1θieωiu！+uPNi=1θi-ωiueωiuPNi=1θieωiu=lnxi=1θieωiu！-uPNi=1θiωieωiuPNi=1θieωiu（77）求G的二阶导数。Gu=PNi=1θi-ωiueωiuPNi=1θieωiu+uPNi=1θiωieωiuPNi=1θieωiu-uPNi=1θieωiuPNi=1θi-ωiueωiu-PNi=1θi-ωiueωiuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui（78）Gu=uPNi=1θieωiuPNi=1θiωiueωiu-PNi=1θiωiueωiuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui=PNi=1θieωiuPNi=1θieωiu-hPNi=1θiωieωiuiuhPNi=1θieωiui（79）（79）的分母为正。因此，只剩下证明分子是非负的。

这一部分可以用柯西-施瓦兹不等式来表示。NXi=1qθieωiuNXi=1qθiωieωiu≥“NXi=1qθieωiu·qθiωieωiu#（80）∴Gu始终为非负。其次，我们展示了detG≥ 0.从（77）开始，我们计算Gωkuk∈ {1,2，…，N}。Gωku=ωk“lnNXi=1θieωiu！-uPNi=1θiωieωiuPNi=1θieωiu#=θkueωkuPNi=1θieωiu-uPNi=1θieωiu·ωkθkωkeωku-θkueωkuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui=θkueωkuPNi=1θieωiu-uPNi=1θieωiuθkeωku+θkωkueωku-θkueωkuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui=θkueωkuPNi=1θieωiu-θkeωku+θkωkueωkuPNi=1θieωiu+θkeωkuPNi=1θiωieωiuuhPNi=1θieωiui=-θkωkeωkuPNi=1θieωiuhPNi=1θieωiui+θkeωkuPNi=1θiωieωiuuhPNi=1θieωiui=θkeωkuPNi=1θiωieωiu- ωkPNi=1θieωiuuhPNi=1θieωiui=θkeωkuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiuhPNi=1θieωiui（81）类似地，Gωk=ωkulnNXi=1θieωiu！=μθkueωkuPNi=1′θieωiu=θkeωkuPNi=1θieωiuGωk=ωkθkeωkuPNi=1′θieωiu=PNi=1θieωiu·θkueωku- θkeωku·θkueωkuhPNi=1θieωiui=θkeωkuPNi=1θieωiu- θkeωkuhPNi=1θieωiui提供j，k∈ {1，…，N}和J6=k，Gωjωk=ωjθkeωkuPNi=1θieωiu=PNi=1θieωiu·0- θkeωkuuθjeωjuhPNi=1θieωiui=-μθkθjhPNi=1θieωiuieωkueωju因此，G·，kin（82）显示了G

G·，1删除第一列，G·，2定义第二列，以此类推。G·k=Gωωk。。。Gωk。。。GωNωkGuωk=-θkeωkueωuPNi=1θieωiu...θkeωkuPNi=1θieωiu-θkeωkμPNi=1θieωiu...-θNθkeωkueωNuPNi=1θieωiuθkeωkuPNi=1θi（ωi-ωk）eωiuPNi=1θieωiu=θkeωkunPNi=1θieωiuo-θeωu。。。PNi=1θieωiu- θkeωku。。。-θNeωNuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiu（82）考虑以下柱的线性组合。NXk=1ωkuG·，k=NXk=1ωkuGωωk。。。Gωk。。。GωNωkGuωk=NXk=1θkωkeωkunPNi=1θieωiuo-θeωu。。。PNi=1θieωiu- θkeωku。。。-θNeωNuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiu=unPNi=1θieωiuoθωeωuPNi=1θieωiu- θeωuPNk=1θkωkeωku。。。θNωNeωNuPNi=1θieωiu- θNeωNuPNk=1θkωkeωkuPNk=1nθkωkeωkuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiuo=unPNi=1θieωiuoθeωunPNi=1ωθieωiu-PNk=1θkωkeωkuo。。。θNωNnPNi=1ωNθieωiu-PNk=1θkωkeωkuouPNk=1nθkωkeωkuPNi=1θiωieωiu- ωkPNi=1θieωiuoNXk=1ωkuG·，k=unPNi=1θieωiuoθeωPNk=1θk（ω- ωk）eωku。。。θNωNPNk=1θk（ωN- ωk）eωkμnPNk=1θkωkeωkuo-nPNk=1θkωkuonPNk=1θkωkeωkuo（83）然而G是G·N+1=GωuGωu...GωNuGu=uhPNi=1θieωiuiθeωuPNi=1θi（ωi- ω） eωiμθeωuPNi=1θi（ωi- ω） eωiu。。。θNeωNuPNi=1θi（ωi- ωN）eωiuPNi=1θieωiuPNi=1θiωieωiu-uhPNi=1θiωieωiui（83）和（84）的组合产生（85）。NXk=1ωkuG·，k+G·N+1=...（85）因此G=dethG·，1G·，2。。。G·NG·，N+1i=dethG·，1G·，2。。。G·，NPNk=1ωkuG·，k+G·N+1i=dethG·，1G·，2。。。

G·，Ni=0（86），因为Gu和detG是非负的，G是凸函数。（9） 是一个凸优化问题，因为目标函数和可行集都是凸的。8.6定理3的证明从伪代码中可以看出，我们需要解决问题（27）的次数是∏Kk=1nk∏Kk=1nk≤ πKk=1J=JK（87）此外，众所周知，原则上，内点法可以解决问题维数多项式时间内的任何凸优化问题。因此，（27）在多项式时间内也应该是可解的。让τ(l, l, ..., lK） 表示解决问题所需的时间（27）。让T表示执行整个伪代码所需的时间。T=nXl=1nXl=1.nKXlK=1τ(l, l, ...l（K）≤ JKmaxl,l,...,lKτ(l, l, ...lK） 麦克斯l,l,...,lKτ(l, l, ...lK） 由J的多项式函数限定。因此，T也由J.8.7的多项式限定。Pari mutuel拍卖的其他众所周知的优势请参见Baron and Lange（2007）或Lange and Economide（2005）以获得更深入的讨论。在本小节中，我们简要介绍了pari mutuel拍卖和ourinsights的一些优势。8.7.1流动性聚合做市商可以通过参与多个市场来降低其库存持有成本。这种较低的库存持有成本使做市商能够以较低的成本向每个市场提供流动性。举例来说，考虑一个以消费者价格指数（CPI）为基础变量的奇异衍生市场。假设有两种期权：一种是行使率为0%的看涨期权，另一种是行使率相同的看跌期权。例如，如果CPI为1%，看涨期权支付1美元，而看跌期权不支付。我确信这两种选择都有压倒性的需求。首先，考虑两个市场分散的情况。每个市场都有一个经销商。

对每种期权的过度需求迫使做市商做空大量头寸。每个做市商的库存变得高度不平衡，使其面临重大风险。这种增加的库存成本导致每个市场的买卖价格上升，流动性下降（Stoll，1978）。相比之下，考虑让一个共同的做市商为两个市场服务。同时，在看涨期权和看跌期权中做空大量头寸的风险低于只做空一个期权。随着潜在变量的变化，看涨期权和看跌期权的价格会朝相反的方向移动。因此，持有看涨期权在一定程度上会影响持有看涨期权的风险，反之亦然。库存持有成本越低，各市场的买卖价差越小，流动性也越强。这种效应被称为“流动性聚集”，因为这就好像共同做市商正在将每个市场的稀缺流动性聚集到共同池中（Lange and Economide，2005；Baron and Lange，2007）。在引入新的创新衍生市场时，对总流动性的能力尤其重要（Shiller，2008）。一个重要原因是，在组织金融市场时，存在强大的网络外部性效应（Stoll，1992）。人们希望在其他人也倾向于交易的地方进行交易（斯托尔，1992；希勒，2008）。因此，新市场很难在一定阈值以上聚集足够数量的参与者，以确保市场平稳运行（Shiller，2008）。在这方面，Rober t Shiller指出，pari mutuel拍卖可以作为新市场的宣传板（Baron and Lange 2007）。

这种方法可以帮助新市场获得充足的流动性，与之前建立的市场竞争（Baron和Lange，2007）。8.7.2价格效率-价格机制提高价格效率，因为信息通过共同的市场制造商从一个市场流向另一个市场（Baron和Lange，2007）。具有相同标的资产或变量的期权价格彼此密切相关。因此，onemarket中的信息与其他期权的定价相关。因此，一个共同的做市商比只参与单一分散市场的做市商更有效率。普通做市商在为每种证券定价时，可以使用多个相关市场的信息。9图像和表格本文中使用的图像和表格文件可在以下网址找到：https://sites。谷歌。com/si te/heesurohacademics/marketmakingReferences[1]Abernethy，J.，Y.Chen和J.W.Vaughan。2013.通过凸优化高效做市，并连接在线学习。ACM经济学与计算学报，1（2）：12:1-12:39。[2] Agrawal，S.，E.Delage，M.Peters，Z.Wang和Y.Ye。2011.动态预测市场设计的统一框架。运筹学，59（3）：550-568。[3] K.男爵和J.兰格。2007年，Parimutuel在金融领域的应用。（帕尔格雷夫：纽约，纽约）。[4] 博伊德、S.和L.范登伯格。2004.凸优化。（剑桥大学出版社：英国剑桥）。[5] 伯恩，B.（2013年7月12日）。ISE计划将pari mutuel定居点引入期权市场。《华尔街日报》。[6] Chen，Y.和D.Pennock。2007.有限损失做市商的实用框架。艺术情报中的不确定性：49-56。[7] Cover、T.M.和J.A.Thomas。2012.信息论要素。（约翰·威利父子公司：新泽西州霍博肯）。[8] 杜菲、D.和H.朱。2011

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