具有模型不确定性的做市

如果Arrow证券的首次到期日为1.001美元，则Arrow证券的首次到期日为1.001美元。用上一节介绍的抵消力解释结果。对于具有完全无信息先验的做市商而言，第二个因素在很大程度上主导了第一个因素。第一个因素是无能为力的，因为有了统一的优先权，做市商在一个州遭受损失的风险不会比在其他州更大。在第二种力量的支配下，做市商不接受任何指令。相反，对于具有指数周期的做市商来说，第一个因素要强得多。First t、second和third s State获得的概率权重非常小。因此，做市商将出售第一只证券视为一个机会，可以获得每股0.18美元的无风险收益。根据类似的推理，做市商对接受第五次订单有强烈的抑制作用。结果与这种直觉一致。图3显示，具有指数优先权的市场制造商只接受第一、第二和第三订单。6 KPM的优势：实证讨论基于从市场微观结构理论的角度对平价拍卖商的深入了解，我们讨论做市商为什么可能希望基于KPM组织衍生市场。6.1为什么要自动化？KPM是一家自动做市商。自动做市商相对于人工做市商的主要优势在于其几乎同时更新数十种相关证券报价的能力。

这种能力降低了逆向选择成本，从而使市场庄家能够向客户提供更具竞争力的报价。在当今日益电子化和自动化的交易环境中，做市商快速更新报价的能力越来越重要。市场参与者对新信息的到来做出反应的各种速度代表了信息不对称的来源（Foucault et al.，2003；Litzenberger，2012）。尤其是，对新信息反应迟钝的流动性供应商可能会使其陈旧的报价容易受到高频交易员的不利选择（Hendershott和Riordan，2013）。比任何人都更快地响应新信息的竞争已经变得如此激烈，以至于交易公司想要把他们的计算机放在交易所匹配机器所在的大楼里：光从他们的计算机传输到匹配机器所需的时间（Litzenberger，2012）。鉴于这种异常频繁的交易环境，q-uote更新流程的自动化对于流动性供应商的生存至关重要。对于参与多个相关市场的做市商来说，这种不利的选择成本变得尤为重要：报价需要彼此一致，以确保没有套利机会。随着需要处理的信息越来越多，自动做市商相对于人工做市商的比较优势只会变得更加重要（Gerig and Michayluk，2013）。KPM是一种自动算法，通过该算法，流动性供应商可以在考虑各种因素的情况下快速为多个连续索赔定价。

由此产生的价格反映了市场制造商的风险厌恶和模糊厌恶，同时确保不存在任何风险机会。6.2同等燃料拍卖的其他众所周知的优势首先，ISE对PDCA感兴趣，主要是因为同等燃料市场可以有效地降低交易对手风险（Burne，2013）。ari mutuel拍卖人可以被视为中央结算对手（CCP）。特别是，pari mutuel拍卖行是在多个或有债权市场中运营的常见CCP。一位拍卖师处理多个市场的事实，使得pari mutuel市场能够更好地降低交易对手风险。其次，拍卖的表现优于其他交易平台，尤其是在低流动性环境下。拍卖会将分散在多个单独市场的流动性集合到共同池中。最后，在多个市场拥有共同的做市商可以提高价格效率（Lange和Economide，2005）。详情请参见附录。6.3潜在的应用领域KPM预计将对期权市场有用，在这些市场中，不可能对做市商的股票进行定价。KPM解决了一个对最坏情况下的稳健优化问题。特别是，推论1表明，当Ohm 它很大。如果市场完全平等，做市商不会损失任何资金，无论到期时发生了什么。因此，无法对投资进行套期保值就变得不那么重要了。有两个特定的期权市场，其中增量对冲可能特别不可行。第一个例子是标的资产不可交易的期权（例如，写在美国非农就业名单上的市场预测衍生品）（Baron and Lange，2007）。

s econdexample是一种到期时间极短的期权，因为elta波动太大（Baron and Lange，2007）。7结论在本文中，我们首先表明凸型对等回调拍卖机制（CCPAM）的市场清算策略与对未来或有事件具有极端模糊厌恶的做市商的市场清算策略是渐近等价的。由于CPC AM与文献中其他值得注意的pari mutuel拍卖密切相关，我们将这一结论作为论证pari mutuel拍卖与模糊厌恶密切相关的基础。基于这种理解，我们设计了一个新的未定权益交易市场，即KnightianPari mutuel机制（KPM）。KPM的主要优化问题是，如果市场庄家坚持模糊厌恶下的决策理论，他/她应该解决什么问题。该算法在控制做市商的风险水平和模糊性的同时清理市场。Du ffee和Z hu（2011）表明，如果同一CCP参与多个市场，交易对手风险可以得到更好的管理。Baron和Lange（2007）也认为PDCA适用于三角洲对冲困难的市场。厌恶我们提出了一个多项式时间算法来解决这个优化问题。我们的论文可能有助于促进贸易界采用对等机制。

正如罗伯特·希勒（Robert Shiller）曾经指出的那样，对等机制在启动各种各样的创新衍生品市场方面尤其有用，从而使投资者能够对冲新的基本面风险（Baron and Lange，2007）。8附录8。假设有一个瓮，里面有红色、蓝色和绿色的球，其中总共有90个。虽然瓮中有30个红色球，但DM不知道蓝色球或绿色球的确切数量。假设有五张彩票。当且仅当theDM从骨灰盒中抽出一个红球时，乐透R支付1美元。彩票B和彩票G在他/她分别抽一个蓝球和一个绿球的情况下支付1美元。同样，彩票RB支付1美元，当且仅当红球或蓝球中的任何一个被抽中时。当且仅当蓝球或绿球被抽中时，彩票BG支付1美元。实证研究表明，大多数人更喜欢R彩票而不是B或G彩票。此外，大多数人更喜欢BG彩票而不是RB彩票。众所周知，这一实证结果与萨维奇的主观概率效用最大化理论相矛盾（萨维奇，1954）。让我们用定理1的语言重新表述DM的问题。所有可能的地产的集合是{red，blue，green}。结果集X是{0，1}，用美元表示。DMI对五种不同的行为感兴趣：fR、fB、fG、fRB和fBG。法案：S-→ X是一个映射，使得fR（红色）=1，fR（蓝色）=0，fR（绿色）=0。我们对其他四种行为的定义类似。在不知道蓝球或绿球的确切数量的情况下，DM无法将单个概率分布附加到S。

假设DM的候选集是ψ={（1/3，x，2/3）- 十）∈R | 0.1≤ 十、≤ 0.4}，其中1/3，x和2/3- x分别是红球、蓝球和绿球的机会。让我们来看看-→ R表示DM的效用函数。方程式（29a）和（29b）应该适用于DM选择彩票R而不是其他两种彩票。min0。1.≤十、≤0.4u（1）+u（0）≥ min0。1.≤十、≤0.4[x·u（1）+（1）- x） u（0）]（29a）min0。1.≤十、≤0.4u（1）+u（0）≥ min0。1.≤十、≤0.4- 十、· u（1）+（+x）·u（0）（29b）此外，方程式（30）必须适用于DM偏好彩票BG而非RB。min0。1.≤十、≤0.4u（1）+u（0）≥ min0。1.≤十、≤0.4+ 十、· u（1）+(- x） ·u（0）（30）只要效用函数不递减，方程（29a）、（29b）和（30）就成立。定理1成功地使理论与经验观察相一致。8.2定理2的证明如果我们假设i、 （3）是（31）的障碍问题。maxx，MbTx-Msuch（A）PJj=1Ai，jxj≤ 我为每一个我∈ {1,2，…，N}（B）0≤ 十、≤ Q（31）假设（31）的f可行集不是空的。在内点法中，将参数δ的值发送到零相当于沿原始-对偶中心路径减小对偶间隙。

因此，当δ接近零时，x（δ）应收敛到（31）的最优解（Luenberger and Ye，2008），我们将其表示为x*.（31）等于（32）。马克斯bTx- maxiPJj=1Ai，jxj使（A\'）0≤ 十、≤ Q（32）（32）相当于（33）。maxxminiuhbTx-PJj=1Ai，jxjisuch表示（A\'）0≤ 十、≤ Q（33）（33）相当于（34）。MaxxMinpPi=1piuhbTx-PJj=1Ai，jxjisuch表示（A\'）0≤ 十、≤ Q（B’）p≥ 0，PNi=1pi=1（34）8.3推论1的证明，假设wi=0i、 （8）收敛到（35）作为Ohm 增加到单位。maxξ，xminp-PNi=1piexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀我是这样认为的≥ 0，PNi=1pi=1（B）ξ≥ 0（C）PNi=1ξi=1（E1）J∈ {1,2，…，J}，xj=0如果在ξj> BJ（E2）J∈ {1,2，…，J}，xj∈ [0，Qj]如果在ξj=Bjbj（E3）J∈ {1,2，…，J}，xj=Qjif在ξj<Bjbj（35）Letξ*还有x*分别表示优化（35）的ξ和x的值。定义一*as（36）。我*可能不是唯一定义的。在这种情况下，我们只需选择任意一个最小化的倍数- 扩展-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀i、 我*= 阿格迷你- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀（36）考虑内部最小化问题。为了最小化目标函数，我们需要pi*= 1和pi=0表示i 6=i*. 如果我们用π代替*= 1和pi=0表示i 6=i*在（35）的目标函数中，我们得到（37）。- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 艾岛*J= 迷你- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀（37）如果我们将x=0代入（35）的目标函数，我们得到1。在此之前，（35）的目标函数（37）的最优值至少应等于1。迷你- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀≥ 1（38）（38）等于（39）。miniXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀≥ 0（39）PJj=1x*J在ξ*J- 哎呀是指如果第i个结果实现，做市商的货币回报。因此，miniPJj=1x*J在ξ*J- 哎呀是市场创造者可能收到的最糟糕的货币回报。

不平等（39）表明做市商即使在最坏的情况下也不会赔钱。市场是完全平等的。8.4引理的证明18.4.1内极小问题（40）的对偶问题是从（8）中分离出来的内极小问题。这个内部优化问题的最优值是ξ和x的隐函数。因为目标函数在p中是线性的，而ψ是凸集，所以这个问题是一个凸优化问题。明普∈ψPNi=1piziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀是（A）ψ=np吗∈ RN×1 | p≥ 0，PNi=1pi=1，PNi=1pi皮奇≤ Ohm在求解（40）时，o（40）x和ξ应被视为常数。为了简化符号，我们引入了新的常数。di=ziexp-αXJj=1xj在ξJ- 哎呀对于我∈ {1，…，N}（41）d=dd。。。dN然后，最小化问题（40）减少到（43）。使（A）p≥ 0（B）PNi=1pi=1（C）PNi=1pi皮奇≤ Ohm（43）最小化问题的范围如（44）所定义。D=P∈ RN | p>0（44）与问题（43）相关的拉格朗日是（45）。λ, λ,..., λN，u，ν是拉格朗日乘数。L（p，λ，u，ν）=dTp+NXi=1λi(-pi）+u（NXi=1磅）皮奇-Ohm)+ νNXi=1pi- 1.（45）与问题（43）相关的拉格朗日对偶函数是（46）。g（λ，u，ν）=infp>0L（p，λ，u，ν）（46）L（p，λ，u，ν）是每个pi的凸函数。一阶条件为L（p，λ，u，ν）pi=（di- λi+ν）+u1+ln皮奇= 0（47）1+ln皮奇= -di- λi+νu（48）pi=qiexp-1+λi- di- νu> 0（49）因为函数是凸的，（49）是全局极小值。我们将（49）替换为（46）。g（λ，u，ν）=NXi=1（di- λi）qie-1+λi-di-νu+NXi=1(-u+λi- di- ν） 切-1+λi-di-νu- uOhm + vNXi=1qie-1+λi-di-νu- v=NXi=1(-u）qie-1+λi-di-νu- uOhm - ν= -uNXi=1qie-1+λi-di-νu- uOhm - ν（50）与内部极小化问题相关的拉格朗日对偶问题是（51）。最大λ，u，ν-uPNi=1qie-1+λi-di-νu- uOhm - νs.t.λ。。。，λN≥ 0u ≥ 0（51）假设每个Qi为正。

u被假定为非零，因为它在（51）中作为分母出现。因此，（51）的目标函数随着λi的减小而减小。因此，每个λ的最佳值应为零。（51）减少到（52）。最大u，ν-uPNi=1qie-1.-di+νu- uOhm - νs.t.u≥ 0（52）8.4.2将强对偶性应用于内部最小化问题我们使用Palomar（2009）中提出的技巧来解决最大-最小问题。我们用对偶最大化问题来代替内极小问题。当且仅当强对偶成立时，这种替换才有效。然后，问题的整体结构是max-max，而不是max-min。双max结构可以崩溃为一个更传统的问题，只需要一个最大化算子。我们使用Boyd和Vandenberghe（2004）中的标准来确定是否存在强对偶。如果原始问题是凸的，d Slater条件成立，则强对偶成立。如果存在严格可行的p，Slater的条件成立∈ 重温。斯莱特的情况在我们的问题背景下成立，只要Ohm 是一个严格的正数（即p su ch，pi=qifor我是一个严格可行的解决方案）。

因此，强大的对偶性对于我们的内部极小化问题是成立的，只要Ohm 绝对是正面的。利用强对偶，我们的极大极小问题可以转化为（53）。最大ξ，x，dmaxu，ν-uPNi=1qie-1.-di+νu- uOhm - 使得（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（53）两个最大化算子可以折叠成一个算子。最大ξ，x，u，ν，d-uPNi=1qie-1.-di+νu- uOhm - 使得（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（54）8.4.3通过代数运算进一步简化由于（54）的目标函数是严格的凹函数，我们可以从一阶条件中找到全局优化值。-uNXi=1qi-uE-1.-di+νu- 1=0NXi=1qie-1.-di+νu=1e-νue-1NXi=1qie-diu=1-νu- 1+lnNXi=1qie-diu！=0ν*= -u+ulnNXi=1qie-diu！我们把（55）代入（54）的目标函数。-uNXi=1qie-1.-di+ν*u- uOhm - ν*= -uePNi=1qie-diuNXi=1qie-1.-二u- uOhm + u - ulnNXi=1qie-diu！=-u - uOhm + u - ulnNXi=1qie-diu！=-uOhm - ulnNXi=1qie-迪奥！（56）将（56）替换为（54）进一步模拟了这个问题。最小ξ，x，u，duOhm + ulnPNi=1qie-二u使（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（57）我们定义了新的常数。θi=eOhmqi>0表示i（58）那么，（57）的目标函数可以更简洁地表示为μ的函数l (u) = uOhm + ulnNXi=1qie-diu！=ulnNXi=1qieOhmE-diu！=ulnNXi=1θie-迪奥！（59）然后优化问题变成：minξ，x，u，dulnPNi=1θie-二u使（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（60）8.4.4约束的线性化（A）注意，（60）中的约束（A）涉及二次项spjj=1xj在ξJ