具有模型不确定性的做市

设lm表示用C=Cm解凸优化问题（10）得到的目标函数的最优值。设（xm，ξm）表示这些问题的最优解。第三，我们发现*= arg maxmLm。（xm）*, ξm*) 成为主要优化问题（9）的全局最优解。引理1，（xm）*, ξm*) 是（8）的全局最优解。4.3.1可行集合的划分支持在市场上交易总共K种或有权益。让矢量PK∈ Rn表示第k个证券的支付结构（1）≤ K≤ K） 。例如，如果结果实现，持有索赔的人从做市商处收到Pk，iper s hare。因为限价订单簿中有J个未完成订单，所以有J个限价。Letnk表示与第k种证券相关的不同限制价格的数量。如果有多个订单具有相同的限价和相同的安全性，则只有一个订单计入nk。按升序对这些价格进行排序。让Blkdenote成为与KTH安全性相关的第lth个最小限价。例1为了简单起见，考虑一个只交易Arrow Debreu证券的市场。假设N=5。假设有K=5种不同的Arrow-Debreu证券，世界上每个州有一种。kth Arrow Debreu证券向其持有人支付每股1美元，前提是kth州已实现。（11）中的五行向量显示了Arrow Debreu证券的支付结构。例如，在PIMPPLIES的第一个要素中，非零分录意味着，如果首个证券实现首个交易，首个证券支付每股1美元。P=h1 0 0 0 0iP=h0 1 0 0iP=h0 1 0 0iP=h0 0 1 0iP=h0 0 1i（11）表1显示了限额订单簿中未完成的七个订单（J=7）。例如，提交第一份订单的人想要购买第一支Arrow Debreu证券。

Entry 0.18订单限额安全限额支付矩阵数量价格结果##Q#b 1 2 3 4 51 0.001 1 0.18 1 0 0 0 0 0 02 0.001 2 0.18 0 1 0 0 0 03 0.001 3 0.18 0 0 0 1 0 04 0.001 4 0.18 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0.25 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。最后五列中的薪酬矩阵显示了做市商将如何向此人支付薪酬。例如，如果且仅当第一个结果实现时，做市商将向提交第一个订单的人支付1美元。如果且仅当第四个结果实现时，提交第四个订单的人将收到1美元。根据此限额订单簿，我们可以确定与每个证券相关的不同限额价格的数量。例如，对于第一支Arrow Debreu证券，有三种不同的限价：0.18、0.20和0.25。因此，n应该是3。同样，n=1、n=1、n=1和n=0。接下来，我们按照升序对限价进行排序。例如，对于第一个Arrow Deb reu security，我们有B=0.18、B=0.20和B=0.25。此外，B=0.18、B=0.18和B=0.18。因为没有与第五代Arrow Debreu安全相关的限制订单，Bis未定义。假设有不同的极限价格。设E表示N维空间定义（12）。我们定义了E的nk+1凸子集，如果ξ被限制在其中一个子集，（8）成为凸优化问题。直觉如下。极限阶逻辑约束（E1）-（E3）是非凸的，因为我们不知道这三个条件中的哪一个在ξj> 比约尔在ξj=bjor在ξj<bj-保持在最优解。我们定义子集，以确保在每个集合中解决模糊问题。

因此，极限顺序逻辑结构可以替换为xj=0或xj∈ [0，Qj]或xj=Qj。E=（ξ）∈ RN | NXi=1ξi=1，ξ≥ 0）（12）让我们举例说明我们如何获得E的s组。请注意，每种欧盟证券的市场清算价格都以低于0和高于1为界。NK与第K Ar row相关的不同投标价格-德布鲁证券定义2nk+1[0,1]：[0,Bk]，Bk，[Bk,Bk]，Bk，。。。，Bnkk[Bnkk，1]。这些2nk+1点或闭合区间可用于定义E的2nk+1子集合：Ek，Ek，。。。，E2nk+1k，如（14）所示。埃克=ξ ∈ RN | NPi=1ξi=1，ξ≥ 0，Pkξ∈[0，Bk]埃克=ξ ∈ RN | NPi=1ξi=1，ξ≥ 0，Pkξ=Bk...E2nk+1k=ξ ∈ RN | NPi=1ξi=1，ξ≥ 0，Pkξ∈[Bnkk，1]（13） 例2我们继续前面的例子。让我们从第一支箭开始。使用三个不同的限价，我们可以确定2×3+1=7个E的子集=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0: E、 E。。。，E.注意Pξ=ξ。E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0 ≤ ξ≤ 0.18E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.18E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0.18≤ ξ≤ 0.2E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.2E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0.2 ≤ ξ≤ 0.25E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.25E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0.25 ≤ ξ≤ 1.（14） 第二支Arrow Debreu证券只有一个明确的限价。因此，我们可以将集合E的三个子集定义为（15）。第三个和第四个箭头Debreu securities也假设投标价格严格大于0且严格小于1。只有一个限价。因此，E的分区应该以完全相同的方式工作。E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0 ≤ ξ≤ 0.18E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.18E=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0.18 ≤ ξ≤ 1.（15） 没有与第五款Arrow Debreu证券相关的未完成订单或限价。因此，我们只能定义集合E的一个子集：E.E=（ξ∈ R | Xi=1ξi=1，ξ≥ 0)(16)我们引入了新的符号（17）。想法如下。

有了与第一安全性相关的有限限制价格，就产生了2n+1个不同的E子集。从这些2n+1子集中选择一个子集。类似地，从与第二种证券相关联的limitprices生成的2n+1 E子集中选择一个。对其余箭头重复此过程。一旦我们对每种类型的Arrow-Debreu安全性有了一个子集，我们就可以获得这些K个子集的区间，如（17）所示。共有∏Kk=1（2nk+1）种方式选择子集组合。E(l, l, ..., lK） =El∩ El∩ ... ∩ ElKK1≤ l≤ 2n+1。。。，1.≤ lK≤ 2nK+1（17）现在考虑优化问题（9）。想象一下，替换constraintNPi=1ξi=1，ξ≥ 0带有更严格的限制（17）。导致问题（9）非凸的部分是（18）。然而，一旦状态价格向量ξ的可行集被限制在较小的集合E中(l, l, ..., lK） ，（18）可替换为xj=0或xj∈ [0，Qj]或xj=Qjforj、 xj=0如果在ξj> BJXJ∈ [0，Qj]如果在ξj=bjxj=Qjif在ξj<BjbjforJ∈ {1，…，J}（18）例3我们继续前面的例子。因为n=3，n=1，n=1，n=1，n=0，所以总共有（3×2+1）×（1×2+1）×（1×2+1）×（1×2+1）×（0×2+1）=189个不同的形式E的集合(l, l, l, l, l).为了说明这一点，请考虑一个特定的案例l= 1.l= 2.l= 2.l= 2.和l= 1.El=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,0 ≤ ξ≤ 0.18El=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.18El=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.18El=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0,ξ= 0.18El=ξ ∈ R | Pi=1ξi=1，ξ≥ 0（19） E(l= 1.l= 2.l= 2.l= 2.l= 1) (20)=(ξ ∈ R | Xi=1ξi=1，ξ≥ 0,0 ≤ ξ≤ 0.18，ξ=ξ=ξ=0.18）假设我们替换通常的约束条件tnpi=1ξi=1，ξ≥ 0，在主要优化问题中有一个更严格的1（20）。

然后，优化应采用（21）的形式。最小ξxuζωlnPi=1θie-二u使得（A）ωi≥ -zieζifori（B）ζi≥ αPj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）我，i（C）ζi≥ αPj=1[xj]- bjxj]，i（D）u≥ 0（E）ξ∈ E（1,2,2,2,1）（F）xj=0如果在ξj> BJXJ∈ [0，Qj]如果在ξj=bjxj=Qjif在ξj<Bjbjforj（21）只要约束（E）成立，约束（F）就可以替换为表2最后一列中的约束。订单限制证券投标市场相关限制#数量#价格c对E（1,2,2,1）订单中B价格的了解限制xj1 0.001 1 0.18ξξ≤ 0.18 x=0.0012 0.001 2 0.18ξξ=0.18 0≤ 十、≤ 0.0013 0.001 3 0.18 ξξ= 0.18 0 ≤ 十、≤ 0.0014 0.001 4 0.18 ξξ= 0.18 0 ≤ 十、≤ 0.0015 0.002 1 0.20 ξξ≤ 0.18 x=0.0016 0.001 1 0.25ξξ≤ 0.18 x=0.0017 0.001 1 0.20ξξ≤ 0.18 x=0.001表2限制顺序逻辑约束如何简化的示例解算（21）等同于解算（22）。最小ξ，x，u，ζ，ωl （u）=ulnPi=1θie-二u以致（A）-di≥ -zieζifori（B）ζi≥ αPj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）我，i（C）ζi≥ αPj=1[xj]- bjxj]，i（D）u≥ E（ξ）0∈ E（1,2,2,2,1）（F）x=x=x=x=0.001,0≤ x、 x，x≤ 0.001(22)为了简化注释，我们定义了新的集合：X(l, l, ..., lm） （23）=十、∈ RJ | xj=0，如果最大ξ∈E(l,l,...,l（K）在ξj> bjandxj∈ [0，Qj]如果最小ξ∈E(l,l,...,l（K）在ξj=最大ξ∈E(l,l,...,l（K）在ξj=bjxj=Qjif最小ξ∈E(l,l,...,l（K）在ξj<Bjbj，J例4我们继续上一个例子。X（1,2,2,2,1）定义为（24）。X（1,2,2,2,1）=十、∈ R | x=x=x=x=0.001,0≤ x、 x，x≤ 0.001（24）4.3.2伪码如果我们采用迭代法（如内点法）求解（10），u可能会沿路径向零收敛。然而，当u为零时，目标函数不明确。

因此，我们将一个新的目标函数定义为（25）。L（u，ω）=ulnPNi=1θieωiu如果u>0max1≤我≤Nωiifu=0（25），那么，（9）可以重新表示为（26）。minξ，x，u，ζ，ωL（u，ω），使得（A）ωi≥ -zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）我，i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]，i（D）u≥ E（ξ）0≥ 0（F）NPi=1ξi=1（G）（x，ξ）∈ F（26）可通过执行以下伪代码获得（26）的全局最优解。minξ，x，u，ζ，ωL（u，ω），使得（A）ωi≥ -zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）我，i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]，i（D）u≥ 0（E）x∈ E(l, l, ..., lK） （F）ξ∈ X(l, l, ..., lK） （27）对于l= 1:1:00l= 1:1:n。。。对于lK=1:1:nKif E(l, l, ..., lK） 6=使用内点法求解（27）。目标函数的最优值→ L*(l, l, ..., lK） x的优化值→ 十、*(l, l, ..., lK） ξ的优化值→ ξ*(l, l, ..., lK） 恩登。。。弗伦达格马克斯酒店l,l,...,lK、 E(l,l,...,lK） 六,=L*(l, l, ..., l（K）→ l*, l*, ..., l*Kx*(l, l, ..., lK） ，ξ*(l, l, ..., l（K）→ 全局最优解（28）4.3.3计算效率在现代复杂性分析中，算法的效率是根据所需的迭代次数是否以问题的多项式为界来评估的（Luenberger和Ye，2008）。在我们的环境中，市场上交易的证券数量通常不会以数千的顺序增长。通常情况下，限制订单簿中未完成订单的数量越来越多，这就需要强大的计算能力。因此，为了证明我们的算法具有实用价值，我们需要证明该算法是一个多项式，其突出阶数为J。定理3正是这样做的。定理3执行伪码（28）所需的迭代次数由一个未完成阶数的多项式函数限定。

见附录。5模拟为了简单起见，我们模拟了只有Ar row-Debreu证券交易的市场。如果我在到期时向州ZF支付每股1美元∈{1, 2, 3, 4, 5}.通过这个模拟练习，我们验证了我们的市场清算算法给出的结果与经济直觉一致。5.1模拟A：做市商的模糊厌恶在本小节中，我们展示了模拟结果，即做市商的模糊厌恶程度如何影响市场的清算方式。我们对模糊厌恶的五个不同参数进行了模拟：Ohm = 0, 0.2, 0.4, 1, 2. 表3显示了用于模拟A的样本限额订单。表4总结了五次迭代中每个迭代使用的参数。该表报告了交易员作为一个整体持有的股票数量。因此，表左上角的任何正数都意味着做市商可能必须在证券到期时承担额外损失。订单限额证券投标价格支付矩阵购买#数量#每个州的orb份额1 2 3 4 5销售1 0.002 1 0.18 1 0 0 0 0 0 0 0购买2 0.001 2 0.18 0 1 0 0 0 0购买3 0.001 3 0.18 0 0 0 0 1 0 0购买4 0.001 4 0.18 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0购买5 0.18 0 0 0 0 0 0 0 1购买表3中用于模拟的一系列参数，我们有意使投标价格略低于0.2。例如，由于限价指令逻辑，第一状态的市场结算价格必须等于或小于0。18.做市商接受第一笔订单。如果他/她想要接受所有五个未完成的订单，他/她需要使每个州的价格低于或等于0.18。然而，因为州价格必须和为1，所以这样做是不可能的。

因此，做市商必须战略性地接受一些订单，同时拒绝其他订单。我们通过模拟研究做市商的模糊性如何影响这一战略决策。在对五份未完成订单进行战略选择时，有两种反作用力。第一个因素来自枢轴先验概率分布的偏度。这一因素导致做市商想要接受订单#1、#2或#3。根据做市商的主观概率信念，他/她不太可能在证券到期时被迫付款。然而，这一因素导致做市商不愿意接受4或5号订单。这一因素随着价值的增加而减弱Ohm. 假设Ohm 变得越来越大。市场决策者在其决策中考虑的概率分布的集合ψ变得更大。因此，特定结果概率的上边界和下边界分别变得更高和更低。上下限之间不断扩大的差距导致做市商的概率信念越来越缺乏信息。例如，假设Ohm 非常大。特定结果的概率高达1，低至0。在这种情况下，就好像做市商没有关于事件的信息一样。总之，更大的Ohm 导致做市商在做出决策时进一步忽视了优先分配，从而削弱了自身因素。第二个因素来自做市商对极端下行风险的厌恶。任何Arrow Debreu security的价格都在0到1之间。

因此，对于做市商而言，任何ArrowDebreu证券的wors t-case收益通常为负值。出于对这种最坏情况的担忧，不愿含糊其辞的做市商将不想购买这种证券。这一因素导致市场制造商不想完成任何未完成的订单。第二个因素随着Ohm. Ohm 是一个参数，它反映了市场庄家对模糊性的厌恶程度。价值越大Ohm, 更多的模棱两可使做市商反感。歧义厌恶会让DM沉迷于最坏的情况。因此，一个很大的价值Ohm 导致第二个因素变得更强。图1显示了模拟结果。使用我们刚才解释的两种反作用力，可以很容易地解释结果。首先，考虑以下情况：Ohm 它很小。第一个因素决定了第二个因素。因此，做市商接受订单1、2和3，同时减少订单4和5。其次，考虑以下情况：Ohm 它很大。这里，第二个因素决定了第一个因素。做市商在以下情况下不接受任何订单：Ohm 大于0.4。当且仅当价格为1时为零。图1：该图显示了不同值的填充顺序Ohm, 它将做市商的模糊厌恶程度参数化。例如，wh-enOhm 为0.4，则s-Debreu证券的份额为0.001。当且仅当第二种状态在到期时变现时，第二种Arrow Debreu证券向其持有人支付1美元。5.2模拟B：做市商的枢轴概率分布在本小节中，我们展示做市商的枢轴先验概率信念如何影响我们的算法清除市场的方式。

下表5显示了本小节使用的限额订单簿。下表6显示了两次迭代的模拟参数集。订单限额证券出价支付矩阵购买#数量#每个州的orb份额1 2 3 4 5销售1 0.001 1 0.18 1 0 0 0 0 0 0买2 0.001 2 0.18 0 1 0 0 0 0买3 0.001 3 0.18 0 0 0 1 0买4 0.001 4 0.18 0 0 0 1 0买5用于模拟的样本限额订单图2：用于模拟的两个先验分布。例如，具有指数优先权的做市商认为状态5将以63.6%的概率实现。表6：用于模拟B图2的参数集显示了本模拟练习中使用的两个先验分布。穿制服的市场庄家没有关于未来会发生什么的信息。由于没有任何有价值的证据可以做出推断，做市商只是假设每个州的可能性相等。相比之下，具有指数优先权的做市商在决定哪个状态比其他状态更有可能时更为果断。例如，他/她认为状态5的可能性至少是状态1的60倍。图3显示了两个先验分布的市场清算算法的结果。图3：图表显示了做市商持有的不同先前信念的市场清仓结果。纵轴显示每个箭头的股份数。