Hilbert空间中边界场的表示与逼近

考虑第一个术语：注意∈[0，t]E|σ（s）- σn（s）|U≤ 2个SUP∈[0，t]E[|σ（s）|U]+2个sups∈[0，t]E[|σn（s）|U]≤ 4杯∈[0，t]E[|σ（s）|U]，sincesups∈[0，t]E[|σn（s）|U]=supsi∈πnE[|σ（si）|U]≤ 小吃∈[0，t]E[|σ（s）|U].6 BENTH AND Eyjolfssonthus，ZtkΓ（t，s）- Γn（t，s）kopE|σ（s）- σn（s）|Uds≤ 小吃∈[0，t]kΓ（t，s）- Γn（t，s）kopZtE|σ（s）- σn（s）|Uds≤ 四餐∈[0，t]E[|σ（s）|U]sups∈[0，t]kΓ（t，s）- Γn（t，s）kop，当n→ ∞ 通过一致连续性。总之，对于这些关于Γ和σ的特殊正则条件，我们确保假设1成立。当Γ（t，s）等于一个C-半群，Γ（t，s）=St时，这种情况尤其相关-s、 在下一个命题中，我们将介绍Hambit场的特征函数：命题2.4。假设假设1成立，假设σ独立于L∈ H、 我们有[exp（i（H，X（t））H）]=E经验ZtψL（（Γ（t，s）（σ（s）））*h） ds,式中，ψLis是L（1）的累积量泛函。证据设{si}ni=1b是[0，t]的一个划分，并表示si=si+1- 西昂L（si）=L（si+1）- L（si）表示i=1，N-1.然后，通过L的独立增量性质和利用σ和L之间的独立性进行双重调节，我们得出“expi（h，n-1Xi=1Γ（t，si）（σ（si））L（si）H！#=E“E”表达式（h，n-1Xi=1Γ（t，si）（σ（si））L（si））H|σ（·）##=E“n-1Yi=1E[exp（i（h，Γ（t，si）（σ（si））L（si））H）|σ（·）#=E“n-1Yi=1E[exp（i（Γ（t，si）（σ（si）））*HL（si））H）|σ（·）#=E“n-1Yi=1exp（ψL（Γ（t，si）（σ（si）））*h）#。最后一个等式来自L’evy Kintchine公式（见Peszat和Zabczyk[20，Thm.4.27]）。根据柯西-施瓦兹不等式，它认为e[|（h，X（t））h- （h，Xn（t））h |]≤ |h |他|X（t）- Xn（t）|H1/2，其中Xn（t）由（2.7）定义。因此，援引不平等| eix- 艾伊|≤ |十、- y |，代表x，y∈ R、 andLemma 2.3，完成证明。考虑L=W，H中的维纳过程。

那么，W（1）的累积量泛函是ψW（v）=-（Qv，v）v（见Peszat和Zabczyk[20，Thm.4.27]）。如果σ独立于W，我们通过命题2.4发现，对于任何h∈ 他[exp（i（h，X（t））h）]=E经验-Zt（Q（Γ（t，s）（σ（s）））*h、 （Γ（t，s）（σ（s）））*h） Vds= E经验-Zt（h，Γ（t，s）（σ（s））Q（Γ（t，s）（σ（s）））*h） Hds希尔伯特空间7=E中边界场的表示与逼近经验-（h，ZtΓ（t，s）（σ（s））Q（Γ（t，s）（σ（s）））*dsh）H.我们将最后一个期望中的ds积分解释为算子空间中的Bochner积分。结论是，当L=W且σ与W无关时，Hambit场变成了一个高斯随机变量，条件是σ。实际上，X（t）|σ（·）是一个具有协方差算子qx（t）|σ（·）=ZtΓ（t，s）（σ（s））Q（Γ（t，s）（σ（s））的H值高斯过程*D和平均值等于零。我们讨论Hambit过程的平稳性。设Γ（t，s）：=Γ（t）- s） 一会儿。选择与时间无关的非随机波动率σ（s）：=σ∈ 五、 我们得到了[e xp（i（h，X（t））h）]=exp的特征泛函ZtψL（（G（s））*h） ds,式中G（s）：=Γ（s）（σ）。如果是7→ ψL（（G（s）*h）∈ L（R+），那么我们看到X（t）的特征泛函有一个极限→∞E[exp（i（h，X（t））h）]=expZ∞ψL（（G（s））*h） ds.阿苏米格∞千克（s）克朗∞, 我们可以定义H值过程（2.10）Xstat（t）=Zt-∞G（s）dL（s），其特征泛函[exp（i（h，Xstat（t））h）]=expZ∞ψL（（G（s））*h） ds.因此，X（t），当t→ ∞ 在分布中等于。过程Xstat（t）是X（t）的固定版本。我们注意到，范围通常被定义为静态过程（见Barndorff Nielsend Schmiegel[5]）。再次假设L=W，我们发现X的平稳分布在H中是高斯分布，协方差算子qxstat=Z∞G（s）QG（s）*平均值等于零。

作为Hambit场渐近平稳的一个具体例子，我们可以考虑具有恒定非随机波动性的Ornstein-Uhlenbeck过程（2.3）。在这种情况下，Γ（t，s）=St-s、 其中s是由A.2.1生成的C-半群。与经典领域的关系。我们将Hambit领域与范围的经典定义联系起来，见（1.1）。设U是Borel可测子集a上实值函数的Hilbert空间 Rn，n∈ N.考虑可测实值函数（t，s，x，y）7→ g（t，s，x，y），其中0≤ s≤ t<∞, 十、∈ B、 y∈ A、 B Rd，d∈ N是Borel可测子集。设V是a的borel子集上的Hilbert测度空间∈ U、 我们定义了VΓ（t，s）（σ）：=ZAg（t，s，·y）σ（y）上的线性算子，对于任何μ，由Γ（t，s）（σ）u=ZAg（t，s，·y）σ（y）u（dy）给出∈ V.如果设H是B上实值函数的Hilbert空间，那么在g上的适当假设和Hilbert空间的选择下，可以有Γ（t，s）（σ）u∈ H代表u∈ V和Γ（t，s）∈U（V，L））。假设σ（s）是一个U值随机过程，使得Γ（t，s）（σ（s））对于V值L’evy过程L是可积的。然后我们得到，X（t，X）=ZtZAg（t，s，X，y）σ（s，y）L（dy，ds），8 BENTH和Eyjolfsson，这是一个经典领域。请注意，我们在这里选择使用时间上非平稳的核函数g。在上面的X（t，X）中，L’evy过程L是一个度量。L’evy基不是一种度量，但非常接近（关于希尔伯特值过程和L’evy基的讨论，参见Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[1]）。更具体地说，选择n=d=1，让A=B=R+。

假设U=V=H，设U为R+上绝对连续函数的Filipovic空间（见Filipovic[17]），即R+上的实值函数sf，其弱可微且（2.11）| f | w:=f（0）+Z∞w（y）| f′（y）| dy，对于非递减权函数w:R+→ [1, ∞) 令人满意的∞W-1（y）dy<∞. 我们用（·，·）w表示这个可分离的希尔伯特空间Uw及其内积∈ Uw，我们需要施加条件，使得Γ（t，s）（σ）f=Z∞g（t，s，·，y）σ（y）f′（y）dy是Uwfor all（t，s）中带s的元素≤ t<∞ 和f∈ Uw。接下来，我们需要有Γ（t，s）（σ）∈L（Uw）和Γ（t，s）∈ L（Uw，L（Uw）），而且是s7→ Γ（t，s）（σ（s））对于Uw值的L′evy过程L是可积的。我们在下一个引理中收集条件：引理2.5。设σ是一个可预测的Uw值过程，假设x7→ g（t，s，x，y）∈ 对于a.e.（t，s，y）来说，是这样的≥ s≥ 0Z∞W-1（y）| g（t，s，·y）| wdy<∞,o 和t≥ 0，Z∞W-1（y）Zt|g（t，s，·y）| wE[|σ（s）| w]ds dy<∞.然后我们有一个经典的范围x（t，x）=ZtZ∞g（t，s，x，y）σ（y）L（dy，ds）与x（t，·）∈ UWT<∞.证据对于σ，σ∈ Uw，我们显然有Γ（t，s）（σ+σ）=Γ（t，s）（σ）+Γ（t，s）（σ）。此外，forf，f∈ Uw，也可以直接看到Γ（t，s）（σ）（f+f）=Γ（t，s）（σ）f+Γ（t，s）（σ）f。因此，为了证明Γ（t，s）∈ 我们必须证明线性算子是有界的。为此，请注意kΓ（t，s）kop=sup |σ| w≤1kΓ（t，s）（σ）kop=sup |σ| w，| f | w≤1 | Z∞g（t，s，·，y）σ（y）f′（y）dy|w.通过定义（2.12）|Γ（t，s）（σ）f|w=（Z）∞g（t，s，0，y）σ（y）f′（y）dy）+Z∞w（x）（Z）∞gx（t，s，x，y）σ（y）f′（y）dy）dy，其中gx表示关于g的第三个参数的弱导数。

通过柯西-施瓦茨不等式，我们找到了第一项（Z∞g（t，s，0，y）σ（y）f′（y）dy）=（Z）∞W-1/2（y）g（t，s，0，y）σ（y）w1/2（y）f′（y）dy）≤Z∞W-1（y）g（t，s，0，y）σ（y）dyZ∞w（y）| f′（y）| dy≤Z∞W-1（y）g（t，s，0，y）σ（y）dy | f | w.HILBERT空间中范围场的表示与逼近9但根据微积分基本定理和Cauchy-Schwartz不等式，σ（y）=（σ（0）+Zyσ′（z）dz）≤ 2σ（0）+2（Zyσ′（z）dz）=2σ（0）+2（Zyw）-1/2（z）w1/2（z）σ′（z）dz）≤ 2σ（0）+2Zyw-1（z）dzyw（z）|σ′（z）|dz≤ 2（1+Z）∞W-1（z）dz）|σ| w。因此，我们发现（z）∞g（t，s，0，y）σ（y）f′（y）dy）≤ 2Z∞W-1（y）g（t，s，0，y）dy（1+Z）∞W-1（y）dy）|σ| w | f | w.对于（2.12）中的第二个积分，类似的论点如下：∞w（x）（Z）∞gx（t，s，x，y）σ（y）f′（y）dy）dy=Z∞w（x）（Z）∞W-1/2（y）gx（t，s，x，y）σ（y）w1/2（y）f′（y）dy）dx≤Z∞w（x）Z∞W-1（y）gx（t，s，x，y）σ（y）dy dx | f | w=Z∞Z∞w（x）w-1（y）gx（t，s，x，y）dxσ（y）dy | f | w≤ 2Z∞W-1（y）（Z）∞w（x）gx（t，s，x，y）dx）dy（1+Z）∞W-1（z）dz）|σ| w | f | w。这些估计意味着Γ（t，s）（σ）kop≤ |σ| w2（1+Z）∞W-1（z）dz）z∞W-1（y）|g（t，s，·，y）|wdy和kΓ（t，s）kop≤ 2（1+Z）∞W-1（z）dz）z∞W-1（y）| g（t，s，·，y）| wdy，因此Γ∈ L（Uw，L（Uw））通过引理的假设。对于L-可积性，我们首先注意到，由于σ（s）被假定为可预测的，因此s 7→Γ（s，t）（σ（s））是可预测的。我们必须证明可积条件（2.1）成立：ZtkΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHSds≤ EZtkΓ（t，s）（σ（s））kopkQ1/2kHSds≤ 2kQ1/2kHS（1+Z）∞W-1（z）dz）×z∞W-1（y）Zt | g（t，s，·y）| wE|σ（s）|wds-dy，由引理的假设确定。因此，证据是完整的。在X（t，X）的表示中，我们使用了符号L（dy，ds）=yL（y，ds）dy，在哪里Yi是关于y的部分（弱）导数。我们注意到，我们可以定义经典范围x（t，x）=ZtZAg（t，s，x，y）σ（s）L（dy，ds）10 BENTH和EYJOLFSSONbyX（t，x）=ZtZ∞g（t，s，x，y）1（y）∈ A） σ（s）L（dy，ds），对于某些Borel可测子集A R+。

我们注意到| g（t，s，·，y）1（y∈ A） | w=1（y）∈ A） |g（t，s，·，y）|w，因此∞W-1（y）| g（t，s，·y）1（y）∈ A） | wdy=ZAw-1（y）| g（t，s，·，y）| wdy≤Z∞W-1（y）| g（t，s，·，y）| wdy。因此，我们可以在g上施加稍微较弱的Uw范数可积性条件（上面的中间估计），或者我们可以假设引理2.5中给出的强条件。在后一种情况下，我们观察到，这种条件为我们提供了a.2.2所有选择的经典范围。用波动率调制的Volterra过程表示Hambit场。我们证明了在随机波动场σ：命题2.6上，在一定的正则性条件下，Hambit场可以表示为波动调制Volterra（VMV）过程的可数和。让{un}n∈N、 {vm}m∈南德{hk}k∈Nbe ONB分别在U、V和H。假设ztkΓ（t，s）kop∞Xn=1E[（σ（s），un）U]1/2！ds<∞.然后汉比特场X（t）可以用L表示(Ohm) 澳大利亚证券交易所（t）=∞Xn，m，k=1Yn，m，k（t）hk，其中t7→ Yn，m，k（t），0≤ T≤ T、 n，m，k∈ N是由yn定义的实值VMV过程，m，k（t）=Zt（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s），Lm:=（L，vm）V，m∈ N是均值为零的实值平方可积L′evy过程。证据我们可以用L（t）来代表L（t）=∞Xm=1（L（t），vm）Vvm，其中Lm:=（L，vm）相对于实值平方可积均值为零的L′evy过程。因此，X（t）=∞Xm=1ZtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s）。但是Γ（t，s）（σ（s））vm∈ H、 因此随机积分rtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s）∈ 他很好。因此，a.s.，ZtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s）=∞Xk=1（ZtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s），hk）Hhk=∞Xk=1Zt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）hk。最后一个等式是定义H值适应过程相对于实值L’evy过程的随机积分。

这意味着x（t）=∞Xm，k=1Zt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）hk。HILBERT空间中边界域的表示与逼近最后，表示σ（s）=P∞n=1（σ（s），un）Uunto find（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）H=∞Xn=1（σ（s），un）U（Γ（t，s）（un）vm，hk）H，由内积的线性和算子Γ（t，s）的连续性决定。接下来我们展示zt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）=∞Xn=1Zt（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s）。注意，由于L’evy过程是一个平方可积鞅，我们通过对鞅的随机积分的定义（见Protter[21]）eZt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）-NXn=1Zt（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s）！= EZt∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s）！= E[Lm（1）]中兴通讯∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U！dsBy Minkowski的不等式（见Folland[18，第186页]），我们有∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U！1/2≤∞Xn=N+1EΓ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U1/2≤ kΓ（t，s）kop∞Xn=N+1E（σ（s），un）U1/2，因为，使用碱基是正交的，|（t，s）（un）vm，hk）H|≤ |Γ（t，s）（联合国）vm|H |香港|H≤ kΓ（t，s）（un）kop | vm | V≤ kΓ（t，s）kop|un|U.因此，中兴通讯∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U！ds≤ZtkΓ（t，s）kop∞Xn=N+1E[（σ（s），un）U]1/2！ds，当N时趋于零→ ∞ 根据假设。结果如下。注意实值L′evy过程{Lm}∞m=1固定在支柱中。2.6以上均不独立。它们甚至不是零相关的，除非ONB{vm}k∈n由Q的特征向量组成。实际上，对于k，m，wehave[（L（t），vm）V（L（t），vk）V]=（Qvm，vk）V∈ N.此外，我们还观察到如果Γ（t，s）=Γ（t-s） ，也就是说，内核是以平稳形式指定的，然后是实值过程Yn，m，k（t）。2.6变成，Yn，m，k（t）=Zt（Γ（t- s） （un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s），12 BENTH和Eyjolfsson这实际上是一个L’evy半平稳（LSS）过程。

Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[2]将DLSS过程应用于能源市场的现货价格建模。此外，Benth等人使用涉及L’evy驱动的连续时间自回归移动平均过程的因子模型来描述电力现货价格。[10] 扩展了基于维纳驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的经典商品现货市场模型。连续时间自回归移动平均过程是LSS过程的特例（天气建模中的分析和讨论见Brockwell[13]和Benth andˇSaltyt˙e Benth[7]）。Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[3]提出将范围领域作为面向能源市场的建模工具。我们的结果是道具。2.6表明，任何范围都可以表示为一个有限的LSS（或VMV）因子模型，为使用LSS（或VMV）过程和范围作为商品市场价格建模工具的基本原理提供了强有力的理论依据。Prop中Γ和σ的可积条件。2.6强于引理2.2中关于Hambit场X的充分条件。事实上，根据Parseval恒等式（和Tonelli定理）E[|σ（s）|U]=∞Xn=1E[（σ（s），un）U]表示{un}n∈只要asP∞n=1E[（σ（s），un）U]1/2<∞, 存在N∈ N使得e[（σ（s），un）U]1/2<1表示N≥ N.因此E[（σ（s），un）U]≤ E[（σ（s），un）U]1/2。因此，道具中的条件。2.6意味着引理2.2的条件成立。假设{an}n∈这是一个严格的正数序列，比如P∞n=1a-1n<∞. 然后，通过柯西-施瓦兹不等式∞Xn=1E[（σ（s），un）U]1/2=∞Xn=1a-1n！∞Xn=1anE[（σ（s），un）U]！。因此，（2.13）∞Xn=1anZtkΓ（t，s）kopE[（σ（s），un）U]ds<∞,是道具的充分条件。2.6等待。让我们考虑一个例子。设U是均值为零且η为0的U值平方可积L′evy过程∈ L（R+）。

假设σ（t）是U值OU过程σ（t）=Ztη（t- s） 杜（s）。这是一个在希尔伯特空间U中具有值的LSS过程的非常简单的定义。由于U是平方可积的，它有一个协方差算子qon U，我们假设ONB{un}是qu的特征向量集，具有相应的特征值λn。作为QUis正定义，我们有0≤ （qun，un）U=λn，即所有特征值均为非负。我们发现（σ（t），un）U=∞Xk=1Zt（η（t-s） 英国，联合国）UdUk（s）=∞Xk=1Ztη（t-s） （英国，联合国）UdUk（s）=Ztη（t-s） dUn（s），其中Un（s）=（U（s），Un）Uis是一个平方可积实值L’evy过程，平均值为零。但是，E[（σ（t），un）U]=E[（Ztη（t- s） dUn（s））]=λnZtη（s）ds。Prop中的可积条件。2.6因此成为TkΓ（t，s）kop∞Xn=1pλn（Zsη（v）dv）1/2！ds=∞Xn=1pλn！ZtkΓ（t，s）kopZsη（v）dv ds。因此，由于η∈ L（R+），Prop中的可积条件。2.6满足ifRtkΓ（t，s）kopds<∞ 安德普∞n=1√λn<∞. 请注意∞ > kQUkHS=P∞n=1λn，弱于√λn.我们发现Tr（Q1/2U）=P∞n=1√λn，所以√λnis相当于假设Q1/2uh为有限轨迹。HILBERT空间中边界场的表示和近似13A Prop的自然应用。2.6是截断有限和，以获得Hambit场X的近似值。为此，定义（2.14）XN，M，K（t）：=NXn=1MXm=1KXk=1Yn，M，K（t）hk，对于N，M，K≥ 其中，Yn，m，k（t）在命题2.6中给出。此外，它还通过反复应用明可夫斯基不等式（见福兰德[18，第186页]）得出：E|X（t）- XN，M，K（t）|H1/2≤∞Xn=N+1∞Xm=M+1∞Xk=K+1 | hk | HE|Yn，m，k（t）|1/2，还要注意|Yn，m，k（t）|≤ （E[|Lm（1）|]）1/2Zt |（t，s）（un）vm，hk）H | E[|（σ（s），un）U |]ds。鉴于各自的ONB，因此可以使截断的Hambit场（2.14）引起的误差任意小。

另一方面，在一般集合中，收敛速度不容易导出，并且需要对希尔伯特空间上的一些更多结构进行量化。有时，可以方便地用H中给定的“好”向量的有限集合来表示Hambit场。为此，设{ξ，ξ，…，ξn}为H的n个线性独立元素，用Hn表示H的子空间。注意，{ξi}ni=1可以是H的基函数的子集，但通常不是。介绍投影算子Pn:H→ 定义为（2.15）Pn（f）=（f，~ξn）′HH-1n~ξn，表示f∈ 这里，（f，~ξn）′H=（（f，ξ）H，（f，ξn）H′∈ Rn，~ξ是坐标为ξ，ξ，…，的向量，ξn和hn坐标为（ξi，ξj）H，i，j=1，…，的对称n×n-矩阵，n被假定为可逆的。我们从基本泛函分析中回忆起，Pn（f）是Hn中使距离最小的元素，即| f-Pn（f）| H=infg∈Hn | f-g | H.在下一个命题中，我们陈述了高斯情况下投射到HN上的Hambit场的表示：命题2.7。设L=W为V值维纳过程。那么对于任何n∈ N存在一个N维标准布朗运动~B（t）=（B（t）。。。，使pn（X（t））=Ztγ（t，s）d~B（s）′H-1n~ξn，其中γ（t，s）是对称正定义随机n×n方差协方差矩阵x（t，s）={（Q1/2Γ（t，s）（σ（s））的平方根*ξi，Q1/2Γ（t，s）（σ（s））*ξj）V}ni，j=1。证据通过定义，我们得到了pn（X（t））=（X（t），~ξn）′HH-1n~ξn，可以写成asPn（X（t））=Tn（X（t））\'H-1n~ξn，对于运算符Tn∈ 由tn（f）定义的L（H，Rn）=（f，H）H，（f，hn）H′。注意，对于任何~x∈ Rn，我们有（f）′~x=（f，T）*n（~x））H，因此T*N∈ L（Rn，H）isT*n（~x）=~x′~ξn。