Hilbert空间中边界场的表示与逼近

2.1在Benth和Kr¨uhner[11]中，我们得到了n维布朗运动B的存在性，使得tn（X（t））=Ztγ（t，s）d~B（s），14 Benth和Eyjolfsson对于γ（t，s）∈ Rn×nwhereγ（t，s）=TnΓ（t，s）（σ（s））QΓ（t，s）（σ（s））*T*n、 但根据相关经营者的定义tnΓ（t，s）（σ（s））QΓ（t，s）（σ（s））*T*n（~x）=C（s，t）~x。通过定义，矩阵C（t，s）显然是对称的。因为，对于任何~x∈ Rn，我们发现~xTC（s，t）~x=|Q1/2Γ（s，t）（σ（s））*h | V≥ 0，其中h:=Pni=1xihi∈ H、 C（s，t）的正不确定性如下。因此，C有一个平方根，这个屋顶是完整的。在实际情况下，我们的目标是选择ξisuch，以便C中的元素易于计算。我们注意到~βn:=H-1/2n~ξ是Hn的正交基元的n维向量。3.HAMBIT场和双曲面通过变量的简单变化，人们可以将HAMBIT场视为在边界处计算的线性双曲面的解。在本节中，我们将进一步详细分析这种联系。为此，leteH是R+上强可测H值函数的可分Hilbert空间，并用Sξ表示ξ≥ 0由Sξf=f（ξ+·）定义的右移位运算符∈埃夫。我们假设{Sξ}ξ≥0是C-半群oneH。Sξ的发生器被视为ξ= /ξ、 作为一个密不可分的无界运营者。以SPDE（3.1）dY（t）为例ξY（t）dt+Γ（t+·t）（σ（t））dL（t），初始值为Y（0）∈嗯。我们假设每f∈ H和t∈ R+，映射（3.2）R+7→ H:ξ7→ Γ（t+ξ，t）（σ（t））f是h的一个元素，而Γ（t+·t）（σ（t））是h的一个元素∈ L（V，eH）。此外，我们假设（3.3）EZtkΓ（s+·s）（σ（s））Q1/2kHSds< ∞这使得（3.1）中的随机积分项得到了很好的定义。

请注意，Hilbert-Schmidt范数与V-toeH的线性算子有关，被积函数的可预测性由Hambit场的定义来保证。假设（3.1）、（3.4）E中SPDE噪声项的附加可积性条件ZtkΓ（t+·s）（σ（s））Q1/2kHSds< ∞.然后，Peszat和Zabczyk[20，第9章]给出了（3.1）的唯一温和解，由可预测的EH值随机过程Y（t），Y（t）=StY（0）+ZtSt给出-sΓ（s+·s）（σ（s））dL（s）=StY（0）+ZtΓ（t+·s）（σ（s））dL（s）。（3.5）我们得到了以下结果，可用于将Y与Hambit场X联系起来。命题3.1。假设{Φ（s）}s∈R+是一个可预测的过程，L（V，eH）中的值是L-可积的。IfL∈ L（eH，H），然后lztΦ（s）dL（s）=ZtLΦ（s）dL（s）。希尔伯特空间中边界场的表示与逼近。首先请注意，RTΦ（s）dL（s）取H中的值，而TLΦ（s）dL（s）取H中的值∈ L（V，H）。此外，由于L是有界算子，|LΦ（s）v | H≤ 克尔科普|Φ（s）v | eH，安第斯山脉ZtkLΦ（s）Q1/2kHSds≤ 克尔科佩ZtkΦ（s）Q1/2kHSds< ∞,通过Φ的可积性假设。因此，s 7→ LΦ（s）是L-可积的。在L（V，eH）中，LeteΦ是一个简单的过程，例如eΦ（s）=nXk=1eΦk1（sk）-1.≤ s<sk）。ThenLeΦ（s）=nXk=1LeΦk1（sk-1.≤ s<sk），是一个简单的过程，在L（V，H）和lzteΦ（s）dL（s）=LnXk=1eΦk中(L（sk））=nXk=1LeΦk(L（sk））=ZtLeΦ（s）dL（s）。因此，这个命题适用于简单的过程。设{eΦn}n∈Nbe一系列简单的过程，例如Ztk（eΦn（s）- ΦQ1/hsds（2ks）→ 0n时→ ∞. 它能支撑，EZtk（LeΦn（s）- LΦ（s））Q1/2kHSds≤ 克尔科佩Ztk（eΦn（s）- Φ（s））Q1/2kHSds因此{LeΦn}n∈Nis是一个近似于LΦ的简单过程序列。

因此，通过定义随机积分，我们发现ztlΦ（s）dL（s）=limn→∞中兴通讯Φn（s）dL（s）。作为一个线性有界算子，我们找到任意序列{Xn}n∈Nof平方可积随机变量使E[| Xn- X |呃]→ 0代表X∈呃当n→ ∞, 撒林→∞E[| L（Xn）- 十） |H]≤ kLkoplimn→∞E[|Xn- X | eH]=0。因此，LxN在L中收敛到LX(Ohm; H）。因为，根据定义，ZtΦ（s）dL（s）=limn→∞中兴Φn（s）dL（s），它遵循LZTΦ（s）dL（s）=L limn→∞中兴Φn（s）dL（s）=limn→∞LZteΦn（s）dL（s）=limn→∞ZtLeΦn（s）dL（s）=ZtLΦ（s）dL（s）。这一命题如下。作为推论，我们得到以下结果：推论3.2。假设评估图δx:eH→ H代表x≥ 由δxf=f（x）定义的0是丰富的线性算子，即δx∈ L（eH，H）表示任何x≥ 如果Y（0）=0，那么X（t）=δY（t）表示Y in（3.5）。16 BENTH和EYJOLFSSONProof。靠道具。3.1因此，δZtΓ（t+·s）（σ（s））dL（s）=ZtΓ（t，s）（σ（s））dL（s），例如，评估图与随机积分交换。在接下来的第4节中，我们将基于SPDE（3.1）解Y的有限差分近似，为X开发一个迭代方案。接下来，我们构造一个Spaceh的显式示例。3.1. 一个例子。我们定义了R+上Hilbert空间值函数的Filipovic空间。我们的扩展基本上遵循了菲利波维奇[17]的步骤，并基于所谓的向量值函数的基本性质。给定一个可分希尔伯特空间H，其范数|·|由内积（·，·）H表示。让我们回顾一下我们需要的向量值函数的一些基本事实（见Hunter[19]）。首先，函数f:R+→ H是Bochner可积的当且仅当它是弱可测的且Zr+|f（x）|Hdx<∞.弱可测性意味着x7→ （f（x），g）H:R+→ R对于每个g都是可测量的∈ H

我们注意到，由于H是一个可分离的希尔伯特空间，弱可测性等价于强可测性（见Hunter[19]，Thm.6.16，第197页）。设Lloc（R+；H）是局部Bochner可积函数的空间SF:R+→ H.根据Def。6.31，亨特[19]第201页，函数f∈ 如果存在f′，则称Lloc（R+；H）是弱可微的∈ Lloc（R+；H）使得Zr+f（x）φ′（x）dx=-所有φ的ZR+f′（x）φ（x）dx∈ C∞c（R+）。上面的积分是博希纳意义上的积分。我们现在准备定义一个H值“光滑”函数空间。定义3.3。对于非递减函数w∈ C（R+）和w（0）=1，定义为=F∈ Lloc（R+；H）|存在f′的存在∈ Lloc（R+；H）使kf kw<∞,式中kfkw=|f（0）|H+Z∞w（x）| f′（x）|Hdx。用h·，·iw表示内积hf，giw=（f（0），g（0））h+Z∞w（x）（f′（x），g′（x））Hdx，代表f，g∈ 观察kfkw=hf，f-iw。提议3.4。（Hw，k·kw）是一个可分Hilbert空间。证据该证明采用了Thm的论点。5.1.1在菲利波维奇[17]中，对希尔伯特值函数进行了修改。为了方便读者，我们把细节包括在这里。观察到L（R+；H）是一个希尔伯特空间，H×L（R+；H）也是一个范数为k·k的希尔伯特空间*:= | · |H+k·kL（R+；H）。定义线性算子T:Hw→ H×L（R+；H）乘（3.6）tf=（f（0），f′）√w） 。T是等距的，从kT fk开始*= |f（0）| H+Z∞|pw（x）f′（x）| Hdx=kfkw。强可测意味着f可以用简单函数来近似，即fn=Pnj=1cjEj，其中{Ej}j∈NBR+和{cj}j∈N H、 使得| f（x）- fn（x）| H→ 0，a.e.代表x∈ R+当n→ ∞.HILBERT空间中边界场的表示与逼近我们称其逆是算子S:H×L（R+；H）→ hw定义的asS（u，h）（x）：=u+Zxh（y）w-1/2（y）dy。首先，自从h∈ L（R+；H）和w-1/2（y）≤ 1由于w为非递减且w（0）=1，我们发现该积分在Bochner意义下定义良好。

它保持，T（S（u，h））=（S（u，h）（0），S（u，h）\'√w） =（u，hw）-1/2w1/2）=（u，h），其中我们应用了三卤甲烷。亨特[19]中的6.32（第201页）和6.35（第203页）。此外，S（tf）（x）=S（f（0），f′√w） （x）=f（0）+Zxf′（y）√w（y）w-1/2（y）dy=f（0）+Zxf′（y）dy=f（x），在上一个等式中，我们在Hunter[19]中使用了Thm 6.35（第203页）。因此，S=T-1，且Hwesisomorphic到Hilbert空间H×L（R+；H），这意味着Hw是一个完整的内积空间，即Hilbert空间。假设H是可分离的，这意味着对于任何f∈ L（R+；H）f（x）=∞Xk=1hf（x），对于a.e.x∈ ONB{ek}k的R+∈N 我们有fk:=hf（·），ekiH∈ L（R+；R）自bySchwartz不等式∞|fk（x）| dx=Z∞|hf（x），ekiH | dx≤Z∞|f（x）| Hdx | ek | H=Z∞|f（x）| Hdx<∞.但由于L（R+；R）是可分离的，我们找到了一个ONB{hn}n∈N L（R+；R）fk（x）=∞Xn=1（fk，hn）Lhn（x）。但是{hn n，k∈是L（R+；H）的一个ONB。这表明L（R+；H）是可分离的，henceH×L（R+；H）也是可分离的。通过同构T，我们可以得出Hw的可分性。证据是完整的。下一个引理为我们提供了Hw上微积分的一个基本定理：引理3.5。假设w-1.∈ L（R+）。那么对于任何f∈ Hw，f′∈ L（R+；H），kf′kL（R+；H）≤ ckf千瓦，和F（x+t）- f（x）=Zx+txf′（y）dy，每x∈ R+和t≥ 0.常数c由c:=R给出∞W-1（x）dx。证据为了f∈ 我们通过柯西-施瓦茨不等式发现∞|f′（x）|Hdx=Z∞W-1/2（x）w1/2（x）| f′（x）|Hdx≤ （Z）∞W-1（x）dx）1/2（Z∞w（x）| f′（x）|Hdx）1/2≤ （Z）∞W-1（x）dx）1/2kfkw<∞.因此，f′∈ L（R+；H）和范数估计如下。但是，通过Thm。亨特[19]中的6.35（第203页）给出了微积分的基本定理。18 BENTH AND Eyjolfsson这个结果还告诉我们，HW的任何元素都是绝对连续的，尤其是连续的。现在介绍移位半群（St）t≥0定义为（3.7）Stf:=f（·+t）。下一个引理显示了Ston-Hw的一致有界性。引理3.6。

假设w-1.∈ L（R+），则sti与kStkop一致有界≤p2（1+c）。这里，c是引理3.5中定义的正常数。证据因为，引理3.5和Thm。f=124f+t，f=124f+t∞w（x）| f′（x+t）|Hdx≤ |f（0）+Ztf′（y）dy|H+Z∞tw（y）- t） |f′（y）|Hdy≤ 2|f（0）|H+2|Ztf′（y）dy|H+Z∞w（y）| f′（y）|Hdy≤ 2 | f（0）| H+2（Zt | f′（y）| Hdy）+Z∞w（y）| f′（y）|Hdy。在第一个不等式中，我们应用了引理3.5，而在第二个不等式中，我们应用了初等不等式和w的单调性。最后，在最后一个估计步骤中，我们使用了Bochnerintegrals的范数不等式。因此，再次呼吁w，kStfkw的单调性≤ 2（1+c）KfK且证明完整。接下来，我们研究了移位半群St的连续性性质。为此，设（3.8）D:={f∈ Hw|f′∈ Hw}，我们注意到Dom(x） =D和作为导数运算符。引理3.7。如果w-1.∈ L（R+），移位运算符在Hw上仍然是强连续的。证据我们首先展示了（3.8）中定义的D的强连续性。的确，对于f∈ 我们通过引理3.5f（t）得到- f（0）=Ztf′（y）dy。此外，如果f′∈ 那么同样的引理产生f′（x+t）- f′（x）=Zx+txf′（y）dy=tZf′（x+st）ds。还有Stf=f（·+t）∈ HW是弱可微的（见引理3.5的证明）。因此，forf∈ D我们从Bochner积分的范数不等式和Cauchy-Schwartz不等式kStf中发现- f千瓦=| f（t）- f（0）| H+Z∞w（x）|f′（x+t）- f′（x）|Hdx=|Ztf′（y）dy | H+Z∞w（x）t|Zf′（x+st）ds|Hdx≤ （Zt|f′（y）|Hdy）+tZ∞w（x）（Z|f′（x+st）|Hds）dx≤ （Zt|f′（y）|Hdy）+tZ∞Zw（x）| f′（x+st）| Hds-dx≤ （Zt|f′（y）|Hdy）+tZkSstf′kwds。HILBERT空间中边界场的表示与逼近19第二个积分是有限的，因为它是Hwma 3.5引理中的一致有界算子。

因此，莱廷特↓ 0，我们得到了kStf- f千瓦→ 0，在D上表现出强连续性。通过对Hw中D的密度参数进行分析，我们可以得出结论，STI在Hw上是强连续的：引入子空间（在Filipovic[17]之后，第77页）D={f∈ C（R+；H）|f′∈ Cc（R+；H）}，其中C（R+；H）表示两次连续强可微函数和紧支集为一次连续强可微的Cc（R+；H）函数。道具亨特[19]中的6.29确保了Cc（R+；H）在L（R+；H）中是稠密的。为了f∈ 让{hn}n Cc（R+；H）是f′的近似序列√W∈ L（R+；H）。定义fn:=T-1（f（0），hn）表示（3.6）中定义的操作员。我们有fn∈ Dand kfn- fkw→ 0作为n→ ∞ 因为T是同构（见3.4号提案的证明）。这表明Hw中的密度不高。因此，对于f，g∈ Hw，三角形不等式以及St，yield，kStf的一致有界性- f千瓦≤ kSt（f）-g） 千瓦+kStg- gkw+kg- f千瓦≤p2（1+c）kf- gkw+kf-gkw+kStg- gkw。但是，由于Hw不密集，我们选择g∈ 那么kf呢- gkw≤ /2（1+p2（1+c）。根据Ston D的强连续性，我们选择t，以便kStg- gkw≤ /2. 然后，sti在Hw上是强连续的。证据是完整的。我们得出结论：sti是一个带生成元的半群X定义在D上，这是一个密集的Hw子区。介绍了评价图δx；Hw→ H代表x∈ R+asδxf:=f（x）表示f∈ 嗯。我们证明了δxis是一个有界线性算子：引理3.8。假设w-1.∈ L（R+）。然后|δxf | H≤ Kkf kwk为正常数K，K=2 max（1，R∞W-1（y）dy）。证据为了f∈ Hwit通过引理3.5认为δxf=f（x）=f（0）+Zxf′（y）dy。然后通过Bochner的范数不等式和Cauchy-Schwartz不等式，|f（x）|H≤ 2|f（0）|H+2|Zxf′（y）dy|H≤ 2 | f（0）| H+2（Zx | f′（y）| Hdy）≤ 2 | f（0）| H+2Z∞W-1（y）dyZ∞w（y）| f′（y）|Hdy。证据到此结束。我们以H和Hw上的线性泛函的一些结果来结束这一小节。

为此，让我们来看看经典的菲利波维奇空间（可以通过在定义Hwabove时选择H=R获得）。范数用|·| w表示。我们有以下命题：命题3.9。为了我∈ H*和g∈ 实值函数x7→ R+上的L（g（x））是hw的一个元素。证据回想一下，如果∈ Hw，然后是g（x）∈ H代表任何x∈ R+，因此L（g（·））是R+上的一个实值可测函数，它是局部可积的。作为g∈ 根据Bochner积分L（g（x））=L（g（0））+ZxL（g′（y））dy的性质，Hwit是弱可微的，g（x）=g（0）+Zxg′（y）dy，20 BENTH和Eyjolfssonan。因此，x7→ L（g（x））是弱可微且x（L（g（x））=L（g′（x）），对于Xb是操作员。因此，|L（g（·））|w=|L（g（0））|+Z∞w（y）|L（g′（y））|dy≤ kLkop | g（0）| H+kLkopZ∞w（y）|g′（y）|Hdy=kLkop|g|H<∞.结果如下。注意，我们可以写出L（g（x））=Lo δx（g），而o δx∈ H*w、 每当我∈ H*. 这意味着存在一个独特的l十、∈ 使L（g（x））=Lo δx（g）=hg，lxiw。我们可以描述lx:提案3.10。假设w-1.∈ L（R+）。它保持L（g（x））=hg，l希弗lx（·）∈ 在哪里lx（·）=L*（hx（·））用于y 7→ hx（y）=1+Rx∧yw-1（z）dz∈ 嗯。证据根据菲利波维奇[17]中的引理5.3.1，L（g（x））=δx（L（g（·））=（L（g（·）），hx）ww这里是Hw上的评估图。因此，L（g（x））=（L（g（·）），hx）w=L（g（0））1+Z∞w（y）L（g′（y））h′x（y）dy=（g（0），L*1） H+Z∞w（y）（g′（y），L*)(x′Hdy)。我们发现l′x（y）=L*（h′x（y））通过L的线性*以及微积分的基本定理。注意到Hx（0）=1，证明如下。4.有限差分格式本节介绍了一种有限差分格式，用于逼近双曲型SPDE（3.1）的一个稍微广义的解。更具体地说，我们考虑双曲SPDE集ineH（4.1）dY（t）=ξY（t）dt+β（t）dL（t），给定初始值Y（0）=Y∈嗯。

这里，β（t）∈ L（V，eH）是可预测的Ztkβ（s）Q1/2kHSds< ∞.对于Hambit过程的特殊情况，我们选择β（t）=Γ（t+·t）（σ（t））。然而，在本节中，我们通过考虑一般的随机被积函数β来简化符号。另外假设ZtkSt-sβ（s）Q1/2kHSds< ∞,HILBERT空间中范围场的表示和逼近然后由Peszat和Zabczyk[20，第6章]提出，SPDE（4.1）具有一个温和的解y（t）=StY+ZtSt-sβ（s）dL（s）。在接下来的内容中，我们可以很容易地在上面的SPDE中包含一个漂移，但我们避免使用简化和技术细节。允许x>0和t>0分别表示空间和时间上的离散步骤，并设置tn=nt、 xj=jx表示n=0，N和j=0，J代表一些J，N∈ N.我们的目标是在时间tn时引入近似的Y，形式为（4.2）eYn=J-1Xj=0十、- xjx（ynj+1）- ynj）+ynj[xj，xj+1）（·），对于x≤ xJandeYn（x）=ynjx>xJ。这里，{ynj}j=0，。。。J H.我们假设Eyn∈要注意的是，在eH=Hw的情况下，这个假设成立，因为在这种情况下，Eyn的弱导数是分段常数，x>xJ外为零。想到YNJ很方便≈ δjxY（n）t） 也就是说，δxjeyn近似于点（n）处（4.1）的采样解t、 jx） 。这里，我们回顾一下估值算子δx∈ L（呃，H）在上一节中介绍。对于初始值Y，我们引入近似值（4.3）eY:=J-1Xj=0十、- xjx（δxj+1Y）- δxjY）+δxjY[xj，xj+1）（·），对于x≤ xJandeY（x）=δxjy，对于x>xJ。这确实是元素ineH的线性插值。我们假设∈很明显，让yj:=δxjeY=δxjY。自β（t）∈ L（V，eH），δxβ（t）∈ L（V，H）。正如我们将看到的，我们需要β（t）的一个特殊近似值，用β（t）表示，用（x）表示≤ xJ）（4.4）eβ（t）=J-1Xj=0十、- xjx（δxj+1β（t）- δxjβ（t））+δxjβ（t）[xj，xj+1）（·），对于x>xj，andeβ（t）（x）=δxjβ（t）。

因此，我们对算子β（t）进行采样∈ L（V，eH）转化为算子δxjβ（t）的线性组合∈ L（V，H），j=0，J.我们看到x7→eβ（t）（x）是R+intoL（V，H）的函数。因此，我们定义了β（t）∈ L（V，eH）乘以（4.5）eβ（t）（f）=J-1Xj=0十、- xjx（δxj+1β（t）（f）- δxjβ（t）（f））+δxjβ（t）（f）[xj，xj+1）（·），代表f∈ 五、 和x≤ xJ。当x>xJ时，我们删除β（t）（f）（x）=δxJβ（t）（f）。自δxjβ（t）（f）∈ H、 eβ（t）（f）是从R+到H的函数。我们假设eβ（t）（f）∈从现在开始，注意，当h=eHw时，这个假设是完全成立的，因为我们有一个分段常数弱导数，它在xJ外为零。为了推导ynjin n的递推格式，我们使用SPDE（4.1）的有限差分近似，因此使用dY（t）≈ Y（t+（t）- Y（t），dt≈ t、 dL（t）≈ L（t+（t）- L（t）和ξY（t）≈ （Y（t）+十）- Y（t））/（4.1）中的x，以确定有限差分格式（4.6）yn+1j=λynj+1+（1- λ） ynj+βnj(Ln），其中λ=t/x、 βnj=δxjβ（tn）和Ln=L（tn+1）- L（tn）。我们注意到，有限差分格式（4.6）是Benth和Eyjolfsson[9]提出并分析的格式的Hilbert空间推广。本文介绍了一种基于双曲型SPDE格式的实值VMV过程的数值逼近，类似于我们在这里研究的情况。我们下面的有限维方法和分析受到Benth和Eyjolfsson[9]的启发。请注意，（4.6）中的有限差分格式中的信息随着时间的推移向左流动。因此，对于给定的时间nt、 该方案将提供yn+1j，j=0，J- 1下一次22 BENTH和EYJOLFSSONstep。我们希望研究n=0，1。N和x≤ xJ，我们可以调整我们的细分，以便最初在空间x中选择适当大的网格点，以便在终端时间n对于所有的j=0，…，我们有一个Ynj的计算，J