Hilbert空间中边界场的表示与逼近

实际上，这与让J依赖于时间步长n是一样的。我们在这里不讨论实用性的技术细节，但更多讨论请参考Benthand Eyjolfsson[9]。与标准对流偏微分方程的有限差分格式一样，ONE需要对离散步骤进行一些约束，即(十、t） ，以保证其稳定性。需要Courant、Friedrichs和Lewy的稳定性条件（CFL条件，见[15]）来确保我们的微分方案（4.6）的稳定性。在我们的例子中，这转化为必要的约束（4.7）T≤ x、 我们认为这是正确的。考虑到R+上H值函数的Hilbert空间，我们可以方便地分析以下有界线性算子族oneH。如果是肯定的x>0和t>0分别对应于有限差分格式在空间和时间上的步骤，考虑{t十、t}x> 0，t> 0定义为（4.8）t十、t=I+tS十、- 我x、 总之x>0，t>0，其中I表示身份运算符oneH。引理4.1。对于给定的步骤在空间和空间中x>0t>0时，eYnadmits表示（4.9）eYn=TneY+n-1Xi=0Tn-1.-ieβi(对于n=0，这里，T:=T十、它由（4.8）定义，我们使用Tn=T的约定on将算符T的组成与自身n次相加，T=I.Proof。我们用归纳法证明了这个结果。它显然适用于n=0，因为theneY=eY=TeY。接下来，假设它适用于n∈ N.假设x∈ [xj，xj+1）对于给定的j∈ N、 j≤ J

那么x+十、∈ [xj+1，xj+2），我们发现δxTeYn=δxIeYn+λδx（S十、- 一） eYn=ynj+λ（ynj+1- ynj）+x- xjx（ynj+1+λ（ynj+2- ynj+1）-十、- xjx（ynj+λ（ynj+1- ynj）。但根据有限差分格式（4.6），它遵循δxTeYn=yn+1j- β-nj(Ln）+x- xjx（yn+1j+1- βnj+1(Ln）-十、- xjx（yn+1j）- β-nj(Ln））=yn+1j+x- xjx（yn+1j+1- yn+1j）-β-nj(Ln）+x- xjx（βnj+1）(Ln）- β-nj(Ln）.通过调用eβ（t）的定义并注意到x可以任意选择，eYn+1=TeYn+eβn(Ln）。根据归纳假设，我们发现+1=Tn+1eY+Tn-1Xi=0Tn-1.-ieβi(Li）+eβn(Ln）=Tn+1eY+nXi=0Tn-ieβi(李）。这就完成了证明。HILBERT空间23中范围场的表示和近似上述引理将给定离散化的有限差分格式（4.6）描述为两个实体的总和，在适当条件下，当我们考虑时间和空间的更细和更细划分时，这两个实体将收敛到（4.1）的mild解中相应的部分。更准确地说，我们将使用复合算子Tn，其中T=T十、它由（4.8）定义，收敛到我们在第一时间和空间中考虑的左移位运算符stna。让我们更仔细地看看运营商家族（4.8）。下面的引理将用于证明有限差分格式的收敛结果。引理4.2。假设ζ是一个满足Lipschitz条件[k（Sxζ）的h值随机变量- Syζ）Q1/2kHS]≤ C | x- y |代表所有x，y≥ 其中C>0是一个常数。ThenE[k（Tmζ）- Stζ）Q1/2kHS]≤ Ct(十、- t） 。式中，T在（4.8）中定义为t=t/m和T≤ x、 为了所有的x≥ 0，t>0和m≥ 1.证据。设λ=t/假设λ=1，那么T=SX和Tm=St。

现在假设λ<1，通过二项式定理，它认为tmζ=（1）- λ） mI+λ1- λS十、mXk=0ζmkλk（1）- λ） m-kSkxζ。然后是三角形不等式thatk（Tmζ- Stζ）Q1/2kHS=mXk=0mkλk（1）- λ） m-k（Sk）xζ- Stζ）！第一季度/第二季度HS≤mXk=0mkλk（1）- λ） m-K（Sk）xζ- Stζ）Q1/2HS≤mXk=0mkλk（1）- λ） m-K（Sk）xζ- Stζ）Q1/2嗯。在最后一步中，我们应用了柯西-施瓦兹不等式。最后，我们利用ζ上的Lipschitz条件来推导E[k（Tmζ）- Stζ）Q1/2kHS]≤ CmXk=0mkλk（1）- λ） m-k | k十、- t |。观察到参数为（m，λ）的二项式随机变量Z的期望值为mλ，方差为λ（1）-λ） ，很容易推断出随机变量xZ具有期望值t和方差t(十、-t） 。因此，mXk=0mkλk（1）- λ） m-k | k十、- t |=t(十、- t） 。证据到此结束。我们可以应用相同类型的参数来推导近似StYby-TmeY引起的误差：引理4.3。假设x，y∈ R+那| SxY- 西娅|嗯≤ C | x- y |对于某个正常数C，那么| TmeY- 猪圈|嗯≤ Cpt(十、- t） +supu≤tkSukop|eY- Y |呃，其中T在（4.8）中定义为t=t/m和T≤ x、 为了所有的x≥ 0，t>0和m≥ 1.24 BENTH和EYJOLFSSONProof。通过三角不等式| TmeY- 猪圈|嗯≤ |特米- TmY | eH+| TmY- 猪圈|嗯。对于右边的第二项，使用Y上的Lipschitz假设，我们可以重复证明引理4.2中关于范数|·| eh的论证，而不是k·kHSto获得|TmY- 猪圈|嗯≤ Cpt(十、- t） 。第一学期，我们发现| TmeY- TmY |呃≤ kTmkop | eY- 嗯。现在假设λ=1，那么T=Sx和Tm=St。但是如果λ<1，那么kTMKOP=sup{| Tmf | eH:f∈呃| f | eH=1}，我们可以应用二项式定理来得到mf=（1）- λ） mI+λ1- λS十、mf=mXk=0mkλk（1）- λ） m-kSkxf，然后是三角形不等式，即（4.10）kTmkop≤ max0≤K≤mkSkxkop≤ 苏普≤tkSukop。这就完成了证明。

一般来说，C-半群的算子范数最多随时间呈指数增长，因此我们发现≤tkSukop≤ cexp（ct）表示正常数c，c。IfeH=Hw和w-1.∈ L（R+），移位半群STI一致有界于引理3.6，而且supu≤tkSukop≤p2（1+c）for c=R∞W-1（x）dx。提案4.4。假设s，u，x，y∈ R+，|SxY- 西娅|嗯≤ C | x- y |，Ehk（Sxβ（s）- Syβ（s））Q1/2kHSi≤ C | x- y |，andEhk（β（s）- β（u））Q1/2kHSi≤ C|s- u |，对于正常数C，C，那么对于tn=nt和xj=jx、 n，j≥ 0，它认为| eYN- Y（tN）| eHi≤ 4t（C+2Ct）(十、- t） +8克拉1+supu≤tkSukop(t） +4 supu≤tkSukopEh | eY- Y | eHi+8t supu≤tkSukopmax0≤我≤N-1Ehk（eβi）- βi）Q1/2kHSi。哪里t=t/N和T≤ x、 为了所有的x≥ 0，t>0和N≥ 1.证据。因为L是平方可积的，所以它由it^o等距表示N-1Xi=0TN-1.-ieβi(（李）-N-1Xi=0St-ti+1βi(（李）嗯= EZtN-1Xi=0（TN-1.-ieβi- 圣-ti+1βi）1[ti，ti+1（s）！dL（s）嗯= 中兴通讯-1Xi=0（TN-1.-ieβi- 圣-ti+1βi）1[ti，ti+1）（s）Q1/2kHSds#HILBERT空间中边界场的表示与逼近25=N-1Xi=0E[k（TN-1.-ieβi- 圣-ti+1βi）Q1/2kHS]T加减法-1.-iβi和应用初等不等式（x+y）≤ 2x+2yyields，EN-1Xi=0TN-1.-ieβi(（李）-N-1Xi=0St-ti+1βi(（李）嗯≤ 2N-1Xi=0Ehk（TN-1.-ieβi- TN-1.-iβi）Q1/2kHSit+2N-1Xi=0Ehk（TN-1.-iβi- 圣-ti+1βi）Q1/2kHSiT我们通过引理4.2来估计第二个术语，而第一个术语主要是通过使用它们的内在质量（4.10）。

因此，EN-1Xi=0TN-1.-ieβi(（李）-N-1Xi=0St-ti+1βi(（李）嗯≤ 2苏普≤tkSukopN-1Xi=0Ehk（eβi- βi）Q1/2kHSit+2Ct(十、- （t）≤ 2t supu≤tkSukopmax0≤我≤N-1Ehk（eβi）- βi）Q1/2kHSi+2Ct(十、- t） 。此外，通过β的Lipschitz连续性和It^o等距，EN-1Xi=0St-ti+1βi(（李）-ZtSt-sβ（s）dL（s）嗯= EZtN-1Xi=0St-ti+1βi[ti，ti+1）（s）- 圣-sβ（s）！dL（s）嗯=N-1Xi=0EZti+1ti圣-ti+1βi- 圣-sβ（s）第一季度/第二季度HSds≤ 2N-1Xi=0EZti+1ti圣-ti+1βi- 圣-sβi第一季度/第二季度HS+圣-s（βi）- β（s））Q1/2HSds≤ 2tC(t） +2 supu≤tkSukopN-1Xi=0Zti+1tiE（β（ti）- β（s））Q1/2HSds≤ 2Ct1+supu≤tkSukop(t） 。把上述不等式加在一起，我们得到N-1Xi=0TN-1.-ieβi(（李）-ZtSt-sβ（s）dL（s）嗯≤ 2EN-1Xi=0St-ti+1βi(（李）-ZtSt-sβ（s）dL（s）嗯26 BENTH AND EYJOLFSSON+2EN-1Xi=0TN-1.-ieβi(（李）-N-1Xi=0St-ti+1βi(（李）嗯≤ 4t supu≤tkSukopmax0≤我≤N-1Ehk（eβi）- βi）Q1/2kHSi+4Ct1+supu≤tkSukop(t） +4Ct(十、- t） 。证明在调用引理4.3后完成。回想一下β（t）：=Γ（t+·t）（σ（t）对于Hambit油田，我们看到β（s）- β（u）=Ss-uβ（u）- Sβ（u）表示S≥ U≥ 因此，上述命题中关于β的两个Lipschitz条件合二为一，即[kΓ（s+x，s）（σ（s））- Γ（s+y，s）（σ（s））Q1/2kHS]≤ C | x- y |，代表所有x，y，s∈ R+。因此，如果算子Γ在其第一个参数中是Lipschitz连续的，则β上的条件是完全满足的。在这种情况下，当Y=0时，对于Hambit场，Yi上的条件基本满足。正如我们已经提到的，用H中的特定向量集来表示给定的Hambit场并不是一件小事。然而，根据命题2.6，对于Hilbert空间U、V和H中的给定ONB，一般Hambit场可以表示为由H中的ONB向量缩放的实值DVMV过程的可数和。

虽然很难笼统地描述该和收敛的速度，但很明显，它可以被截断，因此我们的有限差分方案（4.6）至少可以以近似的方式实现，对于满足命题2.6中所述条件的给定Hambit字段。现在，让我们解释一下上面的收敛结果对于Hilbert Spaceh=Hw意味着什么，我们在上一节中介绍了这一点。注意，（e）βi- βi）Q1/2HS≤第一季度/第二季度HSkeβi- β-ikop=第一季度/第二季度HSsup | f | V=1 |（eβi）- βi）（f）|呃。因此，MAX0的收敛性≤我≤N-1Ehk（eβi）- βi）Q1/2khsi依赖于k（eβi）的收敛性- βi）（f）千瓦=|（eβi）- βi）f（0）|H+Z∞w（x）|（eβi）- βi）（f）′（x）|Hdx，在L中(Ohm), 式中| f | V=1，我们考虑的是内部和内部分区。我们注意到如果f∈ V和X∈ [xj，xj+1），那么我们可以将上面的弱导数表示为（eβi）- δ（x）（i）＝β+1′- δxjxβif- βif′（x）。也就是说，右侧等于H值有限差近似值与其在x处计算的相应弱导数之间的差值∈ [xj，xj+1）。因此，模式的收敛性取决于H.参考文献[1]O.E.Barndorff Nielsen，F.E.，Benth和A.Veraart（2011）中上述有限差分近似的收敛性。范围过程和随机偏微分方程。《金融的先进数学方法》，G.Di Nunno和B.Oksendal（编辑），施普林格·维拉格·柏林-海德堡，第2章，第35-74页。[2] O.E.Barndorff Nielsen，F.E.，Benth和A.Veraart（2013）。通过波动性调制的L’evy drivenVolterra过程模拟能源现货价格。伯努利，19（3），第803-845页。[3] O.E.Barndorff Nielsen，F.E.，Benth和A.Veraart（2014）。按范围对电力期货进行建模。Adv.应用。问题。，46，第719-745页。[4] O.E.Barndorff Nielsen，F.E.，Benth和A.Veraart（2015）。

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挪威卑尔根北5020号7803信箱。电子邮件地址：Heidar。Eyjolfsson@uib.noURL: http://www.uib.no/en/persons/Heidar.Eyjolfsson