Hilbert空间中边界场的表示与逼近

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英文标题：
《Representation and approximation of ambit fields in Hilbert space》
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作者：
Fred Espen Benth and Heidar Eyjolfsson
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We lift ambit fields as introduced by Barndorff-Nielsen and Schmiegel to a class of Hilbert space-valued volatility modulated Volterra processes. We name this class Hambit fields, and show that they can be expressed as a countable sum of weighted real-valued volatility modulated Volterra processes. Moreover, Hambit fields can be interpreted as the boundary of the mild solution of a certain first order stochastic partial differential equation. This stochastic partial differential equation is formulated on a suitable Hilbert space of functions on the positive real line with values in the state space of the Hambit field. We provide an explicit construction of such a space. Finally, we apply this interpretation of Hambit fields to develop a finite difference scheme, for which we prove convergence under some Lipschitz conditions.
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中文摘要：
我们将Barndorff Nielsen和Schmiegel引入的范围场提升到一类Hilbert空间值波动率调制Volterra过程。我们将这类字段命名为Hambit字段，并证明它们可以表示为加权实值波动率调制Volterra过程的可数和。此外，Hambit场可以解释为一阶随机偏微分方程弱解的边界。该随机偏微分方程是在正实线上合适的希尔伯特函数空间上建立的，其值在Hambit场的状态空间中。我们提供了这样一个空间的明确构造。最后，我们应用哈姆比特场的这种解释发展了一种有限差分格式，并在一些Lipschitz条件下证明了其收敛性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：hilbert Ber ert Hil Differential

HILBERT SPACEFRED ESPEN BENTH和HEIDAR EYJOLFSSONABSTRACT中范围场的表示和近似。我们将Barndorff Nielsen和Schmiegel[5]引入的范围提升到一类希尔伯特空间值波动率调制Volterra过程。我们将这类字段命名为Hambit字段，并证明它们可以表示为加权实值波动率调制Volterra过程的可数和。此外，Hambit场可以解释为某一阶随机偏微分方程温和解的边界。该随机偏微分方程是在正实线上合适的希尔伯特函数空间上建立的，其值位于Hambit场的状态空间中。我们提供了这样一个空间的明确构造。最后，我们应用Hambit场的这种解释来发展一个有限差分模式，我们证明了在某些Lipschitz条件下的收敛性。1.简介由Barndorff Nielsen和Schmiegel[5]介绍的界限领域近年来吸引了大量关注，它是模拟湍流、肿瘤生长、天气动力学等随机现象的有力工具，以及金融价格（见巴恩多夫·尼尔森和施米格尔[5]、巴恩多夫·尼尔森、本思和维拉特[2,3]、本思和ˇSaltyt˙e Benyth[7]、科库拉等人[14]和韦德尔·詹森等人[22]）。

这类范围在分析上是可处理的，并为噪声系统动力学的概率描述提供了一个框架，它比传统的随机偏微分方程更为普遍（见Barndorff-Nielsen、Benth和Veraart[1]）。继Barndorff Nielsen和Schmiegel[5]之后，范围域定义为实值随机域R+×Rd和过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥形式为（1.1）Z（t，x）=ZtZAg（t，s，x，y）σ（s，y）L（dy，ds）。这里，（t，x）∈ R+×A，A RDI是Borel可测子集，称为范围集，g是R+×R+×Rd×Rd上的可测重值函数，σ是R+×Rd上的实值可预测随机场。函数g有时被称为核函数，σ是对波动性或间歇性的建模。最后，L是一个L’evy基，其中σ和L是独立的。在本文中，我们将注意力限制为平方可积L′evy基。此外，我们假设L的平均值为零。利用沃尔什的积分概念（见沃尔什[23]），如果（1.2）Z[0，t]×Ag（t，s，x，y）E[σ（s，y）]Var（L′（y，s））c（dy，ds）<∞,其中c是控制测度，L′是与L相关的L′evy种子。事实上，Var（L′（x，t））c（dx，dt）等于L的协方差测度的Radon Nikodym导数。我们参考Barndorff Nielsend Schmiegel[5]或Barndorff Nielsen，Benth和Veraart[4]的最新调查论文，了解有关范围及其性质和应用的详细信息和讨论。关于沃尔什引入的随机场随机积分应用于范围场的分析，见Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[1]。请注意，我们考虑范围Z时不会出现漂移，并将注意力限制在积极的时间t上。

此外，在Barndorff Nielsen和Schmiegel[5]对范围的一般定义中，范围集A也可以依赖于时间和空间（t，x）。我们在这里避免这种一般性，因为在大多数情况下，这种依赖性可以包含在内核函数g的规格中。日期：2018年7月16日。F.E.Benth感谢挪威研究理事会资助的研究项目“管理能源市场中的天气风险（MAWREM）”和“金融、保险、能源、天气和随机（FINEWSTOCH）”提供的财政支持。H.Eyjolfsson感谢Finansmarkedsfondet的财务支持。2 BENTH和Eyjolfsson本文的目的是定义一类在Hilbert空间中具有值的Volterra过程，它提供了范围域的有限维公式。我们将这些过程称为Hambit场，指的是希尔伯特空间值结构。在定义了Hambit字段之后，我们讨论了一些具体示例，并将Hambit字段与（1.1）中的“经典”范围Z（t，x）联系起来。在温和的条件下，我们可以计算Hambit场的特征泛函的一个相当明确的表达式。如果Lis是维纳基，则Hambit场成为条件高斯希尔伯特值随机变量。我们的主要结果之一是将Hambit场表示为波动率调制Volterra过程的加权序列。波动率调制Volterra过程推广了L′evy半平稳过程，其中Ornstein-Uhlenbeck过程是一个特例。

L’evy半平稳过程已被应用于能源现货价格模型（见Barndorff-Nielsen、Benth和Veraart[2]），而在Barndorff-Nielsen，Benth和Veraart[3]领域已被提议作为能源远期市场的模型。因此，用波动率调制Volterra过程的加权序列表示Hambit场，为我们提供了基于Mbit场的现货和远期市场模型之间的有用理论联系。这个结果显示了将范围提升到Hilbert空间的能力，这提供了一种使用基函数展开来显示这种表示的简单方法。关于能源现货和远期市场以及多因素商品定价模型的广泛讨论，我们参考Benth、ˇSaltyt˙eBenth和Koekebakker[8]。Hambit场可以看作是Hilbert空间中的Volterra过程。通过积分和核函数中的简单时间分裂，它们可以被视为一阶随机偏微分方程的温和解，该方程在从R+到Hambit场状态空间的希尔伯特函数空间中形成。我们在R+上构造了此类函数的显式空间，推广了R+上实值绝对连续函数的Filipovic空间（参见Filipovic[17]）。通过一个评估图，我们可以将随机偏微分方程的解线性转化为一个Hambit场。随机映射的可交换性来自于线性映射的可交换性。利用Hambit场作为随机偏微分方程边界解的解释，我们发展了一种迭代有限差分格式。该格式是在Hambit场的状态空间中制定的，在核函数上的某些Lipschitz条件下，该格式的收敛速度是可控的。

我们的结果为范围域的数值研究提供了一个框架，与Eyjolfsson[16]提出的基于傅里叶的方法不同。我们的结果如下。在下一节中，我们将定义Hambit域，研究一些基本方面，并根据波动率调制的Volterra过程开发一个系列表示。在第3节中，我们引入了一个随机偏微分方程，我们可以将hambit场作为边界解。最后，第4节致力于发展和分析这个随机偏微分方程的有限差分格式。2.HAMBIT场的定义和分析在本节中，我们介绍了一类Hilbert空间值Volterra过程，它提供了（1.1）中定义的范围的一般定义。在续集中，我们将使用三个可分离的Hilbert空间U、V和H，其中我们用（·、·）和相应的范数······，i=U、V、H来表示各自的内积→ σ（t）是一个无值可预测的随机过程。介绍可测函数Γ：R+→ L（U，L（V，H）），其中L（V，H）是从V到H的有界算子空间，L（U，L（V，H））是从U到L（V，H）的有界算子空间。注意，因为H是希尔伯特空间，所以L（V，H）变成了Banach空间，这再次证明了L（U，L（V，H））在各自的算子范数下是Banach空间。通过过程σ的可预测性，我们发现∈ [0，t]7→ Γ（s，t）（σ（s））∈ L（V，H）是可预测的。最后，假设过程是可积的。用Q表示∈ L（V）L的协方差算子，是一个对称的非负有限迹类算子。请注意，我们使用符号L（V）表示L（V，V），并且我们不假设σ和L之间存在独立性。我们定义了一个Hambit字段，如下所示：定义2.1。

假设每个t≤ T，（2.1）E[ZtkΓ（T，s）（σ（s））Q1/2kHSds]<∞,HILBERT空间3中范围场的表示与逼近，其中k·Khsde注意到L（V，H）上的HILBERT-Schmidt范数。然后是H值随机过程{X（t）}t∈[0，T]定义的asX（T）=ZtΓ（T，s）（σ（s））dL（s），被称为Hambit字段。我们注意到，根据Peszat和Zabczyk[20，第8.6节]，Γ和σ的条件使得关于L的随机积分得到了很好的定义，事实上，以下等距保持（2.2）Eh | X（t）| Hi=EZtkΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHSds.下一个引理（引理2.2）给出了（2.1）的一个便利充分条件。假设每个t≤ T thatZtkΓ（T，s）kopE[|σ（s）|U]ds<∞,然后条件（2.1）成立。这里，k·kopdenotes是L（U，L（V，H））中的算子范数。证据如果{vm}m∈在V中是一个ONB，然后通过定义Hilbert-Schmidt范数和Γ（t，s）（σ（s））∈L（V，H）yieldkΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHS=∞Xm=1 |Γ（t，s）（σ（s））Q1/2vm | V≤ kΓ（t，s）（σ（s））kop∞Xm=1 | Q1/2vm | V≤ kΓ（t，s）kop |σ（s）| UkQ1/2kHS。由于Q是跟踪类运算符，因此结果如下。我们注意到，“核函数”Γ和“波动性”σ的可积性的充分条件与经典范围的类似条件有一些相似之处（见（1.2））。让我们来看一个由Benth、R¨udiger和S¨uss[12]的分析推动的哈姆比特领域的例子。考虑以下形式的随机波动率调制的Ornstein-Uhlenbeck过程：（2.3）dX（t）=AX（t）dt+σ（t）dW（t），X（0）=X∈ H、 其中A是H上的一个（可能是无界的）线性算子，它被密集定义并生成一个Csemigroup S。此外，假设W是一个具有协方差算子Q的H值Wiener过程。因此，我们选择V=H。假设波动过程σ（t）是可预测的，并在H上的Hilbert-Schmidt算子空间中取值，表示为LHS（H）。

因此，我们假设U=LHS（H），并且回想一下，当H是一个可分离的Hilbert空间时，LHS（H）在HilbertSchmidt范数下就变成了一个可分离的Hilbert空间。（2.3）的温和溶液为（2.4）X（t）=StX+ZtSt-sσ（s）dW（s）。请注意，只要我们有（2.5）E，随机积分就可以很好地定义ZtkSt-sσ（s）Q1/2kHSds< ∞.现在，定义Γ（t，s）∈ L（LHS（H））asΓ（t，s）：σ7→ 圣-sσ。对于任何σ∈ LHS（H），圣-sσ变成了H上的一个线性带边算子，由于σ是希尔伯特-施密特，所以它是St-sσ也是希尔伯特·施密特。因此，Γ（t，s）将H上的Hilbert-Schmidt算子线性映射到它自己。此外，因为我们有kΓ（t，s）kop=supkσkHS≤1kΓ（t，s）（σ）kHS=supkσkHS≤1kSt-sσkHS≤ kSt-斯科普苏普∑kHS≤1kσkHS4 BENTH和EYJOLFSSONand因此kΓ（t，s）kop≤ kSt-skop<∞. 通过C-半群上的一般指数增长界和Hilbert-Schmidt范数估计，我们发现kΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHS=kSt-sσ（s）Q1/2kHS≤ kQ1/2kopMew（t）-s） kσ（s）KHSF表示正常数M和w。但是，根据引理2.2，中兴[kσ（s）kHS]ds<∞,以确保可集成性。因此，我们得出结论，（2.4）中定义的X中的随机积分是一个哈姆比特场。在Benth、R¨udiger和S¨uss[12]中，考虑了随机波动过程σ的特殊定义。实际上，他们提出了BNS随机波动率模型（见Barndorff-Nielsen和Shephard[6]）对算子值Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程的推广。为此，假设Y（t）是一个对称的非负有限过程，其LHS（H）中的值由dynamicdy（t）=CY（t）dt+dZ（t）定义，其中Z（t）是一个LHS（H）值的平方可积L′evy过程和C∈ L（LHS（H））。在C和Z上的适当条件下，我们可以确保Y（t）是对称的、非负的有限Hilbert-Schmidt算子（详见Benth、R¨udiger和S¨uss[12]）。此外，遵循Prop中的论点。

3.1在Benh，R¨udiger和S¨uss[12]中，我们可以证明Tr（Y（t））=Tr（eCtY）+Tr（ZteCsdsE[Z（1）]，andE[kσ（t）kHS]=∞Xk=1（σ（t）hk，hk）H=Tr（Y（t））。因此，由于C的C半群exp（Ct）是Bochner可积的，因为C是有界的，并且Z（1）有明确的预期值，因此根据Bochner积分的连续性，t 7→ Tr（Y（t））在有限的时间间隔上是可积的。这表明，我们可以将Y1/2（t）作为一个随机波动过程σ来定义一个Hambit字段。让我们回到汉比特领域的一般性讨论。我们的下一个结果涉及两个不同Hambit场的L-近邻。引理2.3。假设Hambit fieldsxi（t）=ZtΓi（t，s）（σi（s））dL（s），i=1，2，完全满足引理2.2的前提。那么，呃| X（t）- X（t）|嗨≤ kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）- Γ（t，s）kopEh |σ（s）| Uids+kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）kopE|σ（s）- σ（s）|Uds，尽管如此≥ 0.证明。通过恒等式Γ（t，s）（σ（s））- Γ（t，s）（σ（s））=（Γ（t，s）- Γ（t，s））（σ（s））+Γ（t，s）（σ（s）- σ（s）），等距（2.2）和引理（2.2的证明），它认为Zt（Γ（t，s）- Γ（t，s））（σ（s））dL（s）H#≤ kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）- Γ（t，s）科佩赫|σ（s）|安第斯山Uids”ZtΓ（t，s）（σ（s）- σ（s））dL（s）H#≤ kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）kopEh |σ（s）- σ（s）| Uids，希尔伯特空间5中范围场的表示和近似，由此得出结论。作为上述结果的应用，我们考虑将给定的Hambit场近似如下：设∏n:={si}ni=1，n=1，2，是一个[0，t]的分区序列，使得max1≤我≤N-1 | si+1- |↓ 0.让每n∈ N、 N（s）t=2-1Xi=1Γ（t，si）1（si，si+1）（s）和σn（s）：=n-1Xi=1σ（si）1（si，si+1]（s），是[0，t]上Γ（t，·）和σ（·）的相应分段常数近似。

然后，根据byLemma 2.3，Hambit场（2.7）Xn（t）：=ZtΓn（t，s）（σn（s））dL（s）表示n∈ N近似原始汉比特场X（t），如果（2.8）ZtkΓ（t，s）- Γn（t，s）kopEh |σ（s）|Ui+kΓn（t，s）kopE|σ（s）- σn（s）|Uds→ 0，当n→ ∞. 请注意，如果（2.8）保持不变，则（2.7）给出的近似Hambit场是明确的。事实上，紧随其后的是（2.8）和引理2.3，即E[|X（t）- Xn（t）| H]→ n时为0→ ∞, 也就是说limn→∞E[|Xn（t）|H]=E[|X（t）|H]。为了将来参考，我们在假设中陈述了上述收敛条件。假设1。如果条件（2.8）已满，则Hambit场X（t）可以分段持续近似，其中Γn（t，s）和σn（s）由（2.6）定义，极限值通过采用内分区和内分区获得。我们注意到，上述假设的目的是确定（2.9）E[|X（t）的条件- Xn（t）| H]→ 0，因为我们考虑了一个又一个分区。回想一下，定义Hambit场的随机积分是通过首先定义简单函数，然后通过等距公式（2.2）进行扩展而建立的，这意味着简单函数在可积函数空间中是稠密的。如果被积函数s7→ Γ（t，s）（σ（s））是从[0，t]到有界线性算子空间的连续函数，其范数由k·Q1/2kHS定义，然后可以选择（2.6）中的简单函数，以及（2.9）中的等距公式（2.2）。假设是7→ Γ（t，s）对于k·kopon s是连续的∈ [0，t]，并假设支持∈[0，t]E[|σ（s）|U]<∞ 安兹特克（t，s）科佩|σ（s）- σn（s）|Uds→ 0，当n→ 0.那么，假设1成立。实际上，通过三角不等式ztkΓn（t，s）kopE|σ（s）- σn（s）|Uds≤ 2ZtkΓ（t，s）- Γn（t，s）kopE|σ（s）- σn（s）|Uds+2ZtkΓ（t，s）kopE|σ（s）- σn（s）|Uds。根据假设，上述第二项收敛为零，即n→ 0