粘性过程、局部鞅与真鞅

D（u），S（u）的含义与Rd上概率u的含义相同。我们用B（x，r）表示半径r的闭合边界≥ x附近0∈ 引理4.5。修正任何ε>0，并假设w:Rd→ R+是一个连续函数，w（0）=0，w（x）≥ |x |。让（Mn）n∈Nbe适用于（Kn）n的离散时间过程∈N.假设0∈ S（Qn（·ω））a.S.对于所有的>0，Qn（B（0，），ω）>0a。s、 其中Qn（·，·）是Mn的条件定律-锰-1关于Kn-1，n≥ 1.假设存在一个随机变量M∞还有∈ 确认当n→ ∞ 和{Mk=M∞, K≥ n} 一 {Mn- 锰-1 |<ε}（9）对于所有n，则有一个Q~ P使得Mn，n∈ N∪{∞}, 是一致可积的Q鞅andEQ“∞Xn=1w（锰）- 锰-1)#< ε. （10） 证据。B通过选择x:=Mn应用ing引理7.2- 锰-1，K:=Kn-1，η：=ε/2n，我们得到每个n的jn（y，ω）≥ 1.定义zn（ω）：=jn（Mn（ω）- 锰-1(ω), ω).设置dQ/dP:=Q∞n=1Zn。注意，通过引理7.2和（9）的最后一句话，我们得到了所有k的Zk=1≥ n+1 on An。因此，对于几乎所有ω，只有绝大多数Zn（ω）与1不同。因此，最终产品几乎肯定会融合。我们声称Q(Ohm) = 1.的确，通过单调收敛，我们得到了qdp=limn→∞E和QDP= 画→∞E[1AnZn··Z]≥ 1.- 林尚→∞EACnZn··Z.到（9），ACn {Mn- 锰-1| ≥ ε} 通过引理7.2我们得到锌{124;锰-锰-1|≥ε} |千牛-1.< ε/2n。就这样ACnZn··Z= EE[1ACnZn | Kn-1] 锌-1···Z≤ （ε/2n）E[Zn-1··Z]=ε/2n→ 0，作为n→ ∞, 表明Q(Ohm) ≥ 1.法头引理(Ohm) ≤ 1.现在还需要证明Mn是Q下的一致可积鞅。Mn，n的鞅性质∈ 从Q的构造可以清楚地看出Q下的N。自w（x）≥ |x |，（10）表示mn收敛到M∞在L（Q）中，因此Mn，n∈ N∪ {∞} 是Q下的一致可积鞅。注4.6。假设w（x）≥ |x |κ，x∈ 用一些κ≥ 1.

然后，对引理4.5的证明进行微小的修改，不仅得到（10），而且得到∞Xn=1E1/κQ | Mn- 锰-1 |κ<ε，这意味着1/κQ[supn | Mn |κ]<∞,每当E|M|κ<∞, 特别是当Mis常量时。提案4.7。假设S相对于F是粘性的，设g:R+→ R+可以是g（0）=0的任何凸函数。假设序列（Sτn）n≥我们有∈ S（P（Sτn+1- Sτn∈ ·|Fτn）几乎可以肯定，其中停止时间τn由τ=0，τn+1:=inf{t>τn:|St定义- Sτn|≥ ε} ∧ T、 对于某些ε>0的情况。然后存在Q~ P和一个关于F的d维Q-鞅S，使得S=S，ST=ST，和g（支持∈[0，T]| St-~St |）<g（2ε）+2√ε、 其中，当ε→ 0.如果S有连续的轨迹，那么evensupt∈[0，T]| St-|St |<2ε（11）几乎肯定成立。如果S是（严格地）正的，那么S也是正的。备注4.8。将命题4.7与定理4.1相比较，前者不需要假设2.5，它提供了满足的ST=~ST，但这是涉及τn的假设的代价。尽管如此，命题4.7改进了之前的结果，即使在连续S.inde d的情况下，如果S具有CFS性质，那么命题4.7的条件很容易成立，通过一个类似于Guasoni等人[13]引理A.2的论点。因此，命题4.7强调了定理2的结论。Guasoni等人[13]的第11条（另见同一篇文章的orem 2.1）：我们得到了如（11）所示的S，但满足S=~Sand ST=~STa。s、 还有。命题4.7的证明。这里的想法是将引理4.5应用于在停止时间τn处采样的S。构造的Q使得所有增量Sτn- Sτn-1会“小”但Sτn=Mn，n∈ N是Q-鞅。

那么，S就是终值为ST=M的连续时间Q-鞅∞根据Q的选择，支持∈[0，T]| St-|圣|也将是“小的”。请注意，g必然是连续的（即使在0处）。设置Mn:=Sτ和Kn:=Fτn总体n∈ N.使用引理4.5的符号，当前命题的条件仅为0∈ S（Qn（·ω））几乎可以肯定。粘性特性保证，对于任何较小的实数，erζ>0且所有n≥ Qn（B（0，ζ），ω）>0几乎可以肯定。定义An:={τn=T}∈ 千牛。由于S有c`adl`ag路径，对于几乎所有ω，递增序列τn（ω）不能有严格小于t的极限。这表明τn（ω）=t对于所有n≥ 对于某些m（ω）∈ 几乎可以肯定。因此，1几乎肯定会增加到1。设M∞:= 从τ的定义来看，我们有{Mn- 锰-1 |<ε} 因此，阿南德坚持住了。使用引理4.5，选择w（x）：=g（2 | x |）+| x |我们得到Q。现在定义St:=EQ[St | Ft]，t∈ [0，T]（我们使用这个q鞅的c`adl`ag版本）。这种定义是有意义的，因为STis Q可由| x |积分≤ w（x）和（10）。很明显，我们有S=SandST=ST。它还有待估计∈[0，T]| St-|圣|。修正t，n为一个模，让我们研究事件Bn:={τn≤ t<τn+1}另行通知。我们有| St-~St |=| St∧τn+1-~St∧τn+1 |=|St∧τn+1- 等式[)Sτn+1 | Ft∧τn+1]|，通过S的Q-鞅性质，我们进一步得到EQhSt∧τn+1-~Sτn+1英尺∧τn+1i≤ EQh | St∧τn+1-~Sτn |+Sτn-~Sτn+1|英尺∧τn+1i≤ EQhε+| Mn+1- 锰|英尺∧τn+1i，（12）由k=n和k=n+1的Bn、τn和Sτk=EQ[ST | Fτk]=Mk=Sτk的定义得出。因此我们得到了-~St |）≤ Gε+EQh | Mn+1- 锰|英尺∧τn+1i≤g（2ε）+gEQh2 | Mn+1- 锰|英尺∧τn+1i≤ g（2ε）+EQ[g（2 | Mn+1- Mn |）|英尺∧τn+1]，通过g的凸性。

注意到g必须是非递减的，我们得到g（| St-~St |）≤ g（2ε）+EQ[g（2 supn | Mn+1- Mn |）|英尺∧τn+1]≤ g（2ε）+EQ[LT | Ft∧τn+1]≤ g（2ε）+sups∈[0，T]Ls，对于正Q-鞅Ls:=EQ[g（2 supn | Mn+1- Mn | | Fs]s∈ [0，T]。然而，这里的右手边既不依赖于t，也不依赖于n，所以这个估计，实际上，保持了a.sOhm = ∪nBn。HenceEQg（主管∈[0，T]| St-~St |）≤ g（2ε）+EQ“sups∈[0，T]Ls#≤ g（2ε）+E1/2Q“sups∈[0，T]Ls#≤ g（2ε）+2E1/2QLT≤ g（2ε）+2E1/2Q“∞Xn=0w（Mn+1- Mn）#≤ g（2ε）+2√ε、 使用Doob不等式和Le mma 4.5。由于St=EQ[St | Ft]和STI为正，因此S的正性是清晰的。如果S是连续的，那么| Sτn- Sτn-1| ≤ ε表示所有n，所以我们可以直接从（12）中得出（11）。引理4.9。设X和Y是两个独立的c`adl`ag过程。设F=（Ft）t∈[0，T]和G=（Gt）T∈[0，T]独立、完整、正确、连续的过滤，X和Y分别适用。设Ht=Ft∨ GTT∈ [0，T]。然后（Ht）t∈[0，T]是一个完整的、正确的连续过滤。如果X相对于F是粘性的，Y相对于G是粘性的，那么X，Y，X±Y和（X，Y）对于过滤H=（Ht）t都是粘性的∈[0，T]。证据首先观察H是完全过滤，因为F和G都是完全过滤。因此，证明H是右连续的就足够了，为此，对于任何Ht可测量的非负随机变量Z和所有0，证明E[Z | Ht]=E[Z | Ht+]就足够了≤ t<t。根据单调c类定理，证明Z=U V的等式就足够了，其中U≥ 0是可测量的，V是可测量的≥ 0是可测量的。然而，L emma 7.4意味着→0E[UV | Ht+h]=limh→0E[U|Ft+h]E[V|Gt+h]=E[U|Ft]E[V|Gt]=E[UV|Ht]，通过Ft，Gt，t的右连续性∈ [0，T]。这显示了Ht，t的正确连续性∈[0，T]。为了证明引理中的第二种说法，我们有必要证明，对于H，Xt，Ytaresticky。

然后，Xt±Yt相对于H的粘性来自Sayit和Viens[24]的位置1（粘性过程的连续函数是粘性的）。我们只表明X对于H是粘性的，Y的参数是相同的。由于XT是一个正确的连续过程，我们需要检查∈[s，T]| Xt- Xs |<κHs）>0 a.s.，对于任何κ>0和任何确定性s∈ [0，T]（见上文引理2.1）。接下来是引理7.4 fr omP（支持∈[s，T]| Xt- Xs |<ε| Fs∨ Gs）=P（监督）∈[s，T]| Xt- Xs |<ε| Fs）>0 a.s.，作为Fs∨ σ（X）独立于g，X对F是粘性的。要查看最后一个语句，请应用引理7.4来获得p（supt∈[s，T]| Xt- Xs |<κ，支持∈[s，T]| Yt- Ys |<κHs）=P（支持）∈[s，T]| Xt- Xs |<κFs）P（支持∈[s，T]| Yt- Y |<κGs）>0，通过X，Y的粘性及其各自的过滤。现在，利用前面的论点，也可以建立定理4.1。在提出证据之前，我们先做一些重要的观察。备注4.10。设Bt是关于过滤和let0的布朗运动≤ θ<T是任意确定的时间。然后，根据Karatzas和Shreve[20]第2章中的定理6.1，Bs+θ-Bθ，s≥ 0是一个独立于lθ的布朗运动。设C[θ，T]表示[θ，T]上的Rd值连续函数的空间，其中在θ处为0。让我们注意到→ 小吃∈[θ，T]| Bs（ω）-Bθ（ω）-fs |，f∈ C[θ，T]对于a.e.ω是连续的∈ Ohm 因此它可以在（ω，f）中联合测量。接下来{sups∈[θ，T]| Bs（ω）-Bθ（ω）-Gs |<a和{sups∈[θ，T]| Bs（ω）-Bθ（ω）-Gs|≤ }是每个>0的事件，其中G是C[θ，T]的随机元素。现在定义q（，f）：=P（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- f |<f），并且没有理由认为所有f的q（f，f）>0∈ C[θ，T]a s Bt-Bθ，t∈ [θ，T]完全支持C[θ，T]。Fatou的lemmafor事件表明→ q（，f）是下半连续的。

注意，如果GnareLθ-可测C[θ，T]值随机变量只取可数个值，那么p（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns |<Lθ）=q（，Gn）。现在，设G是C[θ，T]中的任意Lθ-可测随机元。选择一个序列Gn，n∈ N、 C[θ，T]中离散的Lθ-可测随机元的G几乎可以确定。q（，·）的下半连续性和Fatou引理forevents意味着0<q（，G）≤ lim infnq（，Gn）=lim infnP（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns |<Lθ）≤ lim infnP（辅助）∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns|≤ | Lθ）≤ lim supnP（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns|≤ | Lθ）≤ P（sups）∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gs|≤ | Lθ）。（13） 定理4.1的证明。我们希望应用提案4.7，但不一定要满足0∈ S（P（Sτn+1- Sτn∈ ·|Fτn）。为了验证这一点，我们用一个独立的“小噪声”W扰动S，使得对于Yt:=St+Wt，0∈ S（P（Yτn+1- Yτn∈ ·|Fτn）成立。由于Y接近S，由4.7建议为Y构造的S也将接近S。固定任何ε>0。L et Bt=（Bt，Bt，··，Bdt）是假设的布朗运动。5.我们注意到，B显然具有CFS特性。设π：(-∞, +∞) → (-ε、 +ε）是一个双射Lipschitz连续（确定性）函数。让F:Rd→(-ε、 +ε）由F（x，…，xd）定义的dbe:=（π（x），π（xd））。用L表示映射F的Lipschitz常数。现在setWt:=（Wt，Wt，··，Wdt）：=F（Bt，Bt，··，Bdt）。定义Yt=St+Wt。根据上面引理4.9，Y对于过滤H是粘性的。对于each正整数n≥ 1，定义τn=inf{t≥ τn-1:| Yt- Yτn-1| ≥ ε}, τ= 0.这些是过滤H的停止时间。我们想展示一下△n： =Yτn- Yτn-1满意度0∈ S（P(△N∈ ·|Hτn-1） （14）几乎可以肯定的是，对于每一个n.固定n，从现在起我们正在研究集合{τn-1<T}（因为（14）在{τn上是平凡的）-1=T}）。我们将写出τ：=τn-1从今以后。设0<η<ε/2为Hτ-可测随机变量，使得B（Wτ，η）(-ε、 ε）d。

单独处理{η形式的事件≥ 1/j}，j∈ N我们可以也将假定η是常数。修正x∈ B（0，η/2）∩ Qd。它必须显示tx∈ 补充(△N∈ ·|Hτ）a.s.（15）在{τ<T}上，因为这意味着，在ω的空集之外，supp(△N∈ ·|Hτ）（ω）包含B（0，η/2）∩ 因此，作为一个闭集，也是B（0，η/2）的整体。如果，对于每一个l∈ N、 P(△N∈ B（x，（1+η）/l）| Hτ）≥P（τn=T，△N∈ B（x，（1+η）/l）|Hτ）>0（16）几乎肯定在{τ<T}上。修好我∈ N.我们现在将证明（16）。为此，definejt=Bτ（ω）- F-1.T- τT- τx+F（Bτ（ω））, 对于t∈ [τ（ω），T]，且Jt=0，T<τ（ω）。这种定义是有道理的，因为|t-τT-τx|≤ η/2，根据η的选择，t-τT-τx+F（Bτ）∈ (-ε、 ε）d.此外，定义事件d（l）：={supt∈[τ，T]|St- Sτ|<η/l}，K（l）：={supt∈[τ，T]|Wt- Wτ|<η，| WT- Wτ- x|∈ B（0，1/l）}，H（l）：=（支持）∈[τ，T]|Bt- Bτ+Jt |<Lmin{1/l，η/2}）。我们首先证明P（D（l）∩ H（l）|Hτ）>0a.s.（17）在{τ<T}上。对于这一点，有足够的证据表明∈ HτA {τ<T}和P（A）>0，关系式P（A）∩ D（l）∩ H（l））>0保持。固定这样一个A和一个终止数0<<min{η/l，Lmin{1/l，η/2}。由于jt是一个Jτ=0的Hτ可测连续过程，因此存在一个确定数θ≤ T使事件A=A∩ {supt∈[τ，θ]| Jt |≤} ∩{τ<θ}具有正概率。请注意∈ Hθ∩Hτ。过程s（St，Bt）的关节粘性，见引理4.9，表明事件A=A∩ {supt∈[τ，θ]|St- Sτ|≤} ∩ {supt∈[τ，θ]|Bt- Bτ|≤}有正概率。

现在请注意∩ d（l） 当红色（l）=：{supt∈[θ，T]|St- Sθ|≤}.我们还要求∩ h（l） H（l），其中H（l）=：{supt∈[θ，T]|Bt- Bθ+Jt- Jθ|≤}.真的，谢谢∈[τ，T]|Bt- Bτ+Jt|≤ 监督∈[τ，θ]|Bt- Bτ+Jt |+supt∈[θ，T]|Bt- Bτ+Jt|≤ 监督∈[τ，θ]|Bt- Bτ|+s upt∈[τ，θ]|Jt |+supt∈[θ，T]|Bt- Bθ+Jt- Jθ|+|Bθ+Jθ- Bτ|</6+/6+/3+|Bθ- Bτ|+| J（θ）|≤ ∩ h（l）那么A∩ h（l） H（l）。我们的结论是∩ d（l）∩h（l） A.∩D（l）∩ H（l）。（18） 因此，有必要证明（18）的左侧具有正概率。自从∈ Hθ，可以表示p（d（l）∩ h（l）| hθ）>0 a.s.（19）定义Lt:=Gt∨ 我们可以这样写（19）：P（d（l）∩ h（l）| hθ=E[E[1d（l）∩h（l）|lθ]|hθ]=E[1d（l）E[1h（l）|lθ]|hθ]。请注意，Gs：=Js- Jθ，s∈ [θ，T]是一个Hθ Lθ-可测随机元inC[θ，T]soe[1h（L）|Lθ]≥ q（/3，G）>0 a.s.乘以（13）在上文第4.10节中。接下来是P（d（l）∩ h（l）| hθ）≥ q（/3，G）P（d（l）| Hθ）>0，由S的粘性和引理4.9决定。我们得出结论（17）成立。现在我们将展示H（l）∩ D（l） K（l）∩ D（l） {τn=T，△N∈ B（x，（1+η）/l）}，这将导致（16），在（17）的视图中。第二个遏制措施是微不足道的，因为∈[τ，T]|Wt-Wτ|<η和supt∈[τ，T]|St-Sτ|<η/l∈[τ，T]| Yt- Yτ|<ε乘以η<ε/2，这意味着τn=T。显然，|WT- Wτ- x|∈ B（0，1/l）和supt∈[τ，T]|St- Sτ|<η/l△N∈B（x，（1+η）/l）。对于第一个安全壳，F和W=F（B）的Lipschitz性质清楚地表明Wt-T- τT- τx- Wτ≤ L英国电信- F-1.T- τT- τx+F（Bτ）< 闵l、 η,关于H（l）。对于t=t，这给出了| WT- Wτ- x |<1/l∈[τ，T]|Wt- Wτ|≤ 监督∈[τ，T]Wt- Wτ-T- τT- τx+ 监督∈[τ，T]T- τT- τx< η/2+η/2=η，表示H（l） K（l）。现在用凸函数x对过程Y应用Propo position 4.7→ g（2x）以获得S。

我们得到了胜利∈[0，T]| St-|圣|！≤EQg2支持∈[0，T]| Yt-|圣|+EQg2支持∈[0，T]| Yt- 圣|！≤g（4ε）+2√ε+g（2ε），当ε→ 0.这就完成了证明。备注4.11。根据备注4.8，命题4.7适用于示例3.1。如果样本3.1中的b=0，则下面的定理5.1适用，并且可以用真鞅近似多个局部鞅。现在让我们回顾所有示例3.2。由于Ytis是一个鞅，且sα的逆函数是严格单调的，因此该过程满足0∈ S（P（Xτ）- Xθ∈ ·|Fθ）对于所有停止时间τ几乎肯定是偶数≥ θ. 所以命题4.7适用于斜布朗运动。定理4.1适用于示例3.4中给出的一大类过程。备注4.12。乍一看，命题4.7的论点似乎与Gua soni等人[13]中定理1.2的论点有所不同，另见卡巴诺夫和斯特里克[19]以及K abanov和Sa farian[17]中的第3.6.8小节。然而，细微的细节确实会产生不同的效果。命题4.7不仅涵盖了跳跃过程的情况，而且在连续过程的情况下也更为尖锐，正如我们在备注4.8.5局部鞅中所指出的，用k·KTV表示的有限符号测度的总变化范数(Ohm, F） 。定理5.1。让g:R+→ R+是凸的，g（0）=0，且χ>0。让假设2.5生效。假设S是粘性局部鞅。然后就是Q~ P与kQ-P ktv<χ和一个d维Q-鞅，关于放大的过滤H，使得EQg（supt∈[0，T]| St-~St|）<χ。如果S有连续的轨迹，那么即使是SUP∈[0，T]| St-~St|<χ持有a.s.最后，s仍然是关于H的局部鞅。证据Le tσn，n∈ N停车时间增加到∞ 这样的话∧σn，t∈ [0，T]是每个n的鞅。暂时固定k。

我们将应用定理4的证明。1（依据命题4.7），从σk开始∧T，即使用序列τ（k）：=σk∧ T、 τn+1（k）：=inf{T>τn（k）：|Yt- Yτn|≥ ε} ∧ T、 式中，Yt:=St+wt，wt与定理4.1的证明相同。从σk开始应用命题4.7的论点∧ T代替0，对Mn使用单mma 4.5:=Yτn（k）。选择足够小的ε，我们得到Q（k）~ Psuch thatEQ（k）gsupσk≤T≤T|St-~St|< χ和dQ（k）/dP=∞Yj=1Z（k）j，其中我们定义了所有t∈ [0，T]。这里Z（k）jis Hτj（k）-每个j都是可测量的∈ N、 对应于引理4.5证明中出现的ZJ。我们现在检查一下St=~Sta。s、 关于{t≤ σk∧T}。事实上，在这方面-~St=EQ（k）[St∧σk-~St∧σk | Ht∧σk]=EQ（k）[St∧σk- 装货单∧σk | Ht∧σk]=E[（dQ（k）/dP）[St∧σk- 装货单∧σk]| Ht∧σk]E[dQ（k）/dP | Ht∧σk]=E[E[（dQ（k）/dP）[St∧σk- 装货单∧σk]| HT∧σk]| Ht∧σk]E[E[dQ（k）/dP | HT∧σk]| Ht∧σk]=E[E[dQ（k）/dP | HT∧σk]（St）∧σk- 装货单∧σk）|Ht∧σk]E[E[dQ（k）/dP | HT∧σk]| Ht∧σk]=0，从ST开始∧σk=ST∧σk，E[dQ（k）/dP | HT∧σk]=1，且S的鞅性质可达σkunder P。现在注意P（dQ（k）/dP=1）≥ P（σk）∧ T=T）→ 1，k→ ∞, 这意味着dQ（k）/dP在概率上趋向于1，Hencealm几乎沿着子序列e。使用舍夫定理，我们可以用kq（k）找到k- ktv<χ。最后一句话很清楚，因为GT独立于FT推论5.2。让假设2.5生效。让p≥ 1是任意的，让我们成为粘性局部鞅。那么对于所有的χ>0，都存在sq~ P与| | Q- P | | tv<χ和一个Q-鞅关于放大的滤波H，使得eqsupt∈[0，T]| St-~St|p<χ是满意的。备注5.3。严格局部鞅是不是鞅的局部鞅。利用命题3构造粘性严格局部鞅并不困难。Elworthy等人[8]的8（也是推论3.9）。