粘性过程、局部鞅与真鞅

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英文标题：
《Sticky processes, local and true martingales》
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作者：
Mikl\\\'os R\\\'asonyi and Hasanjan Sayit
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We prove that for a so-called sticky process $S$ there exists an equivalent probability $Q$ and a $Q$-martingale $\\tilde{S}$ that is arbitrarily close to $S$ in $L^p(Q)$ norm. For continuous $S$, $\\tilde{S}$ can be chosen arbitrarily close to $S$ in supremum norm. In the case where $S$ is a local martingale we may choose $Q$ arbitrarily close to the original probability in the total variation norm. We provide examples to illustrate the power of our results and present applications in mathematical finance.
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中文摘要：
我们证明了对于所谓的粘性过程$S$，存在一个等价的概率$Q$和一个任意接近$L^p（Q）$norm中$S$的$Q$-鞅$\\tilde{S}$。对于连续的$S$，$\\tilde{S}$可以在上确界范数中任意选择接近$S$。在$S$是局部鞅的情况下，我们可以在总变分范数中选择任意接近原始概率的$Q$。我们提供例子来说明我们的结果的力量，并展示在数学金融中的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Sticky_processes,_local_and_true_martingales.pdf (298.53 KB)

2022-5-9 05:57:43 上传

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关键词：Mathematical Applications Quantitative Differential Probability

粘性过程、局部鞅与真鞅*Mikl\'os R\'asonyi+Hasanjan Sayit2021年11月15日摘要我们证明了对于所谓的stick y过程S，存在一个等价概率Q和一个任意接近Lp（Q）范数S的Q-鞅。对于连续S，可以在上确界范数中任意选择接近S的∧S。在S是局部鞅的情况下，我们可以在总变分范数中选择任意接近原始概率的Q。我们提供了一些例子来证明我们的结果的有效性，并给出了在数学金融中的应用。1简介根据他们的定义，局部鞅是“几乎”鞅。此外，在不确定的时间内，每个局部鞅都是在等价的度量变化下的一个鞅，新的度量可以被选择为在总变化范数中任意接近原始值，即使在有限的视界上，参见例如卡巴诺夫和萨法里安[17]中的定理2.2.2。在连续的时间里，这样一个强大的结果并不成立。例如，三维贝塞尔过程的逆是一个局部鞅，在概率测度的任何等价变化下，它都不是一个鞅。然而，我们可能会问，在给定的局部鞅附近是否有一个过程，它在e等价概率下成为鞅。事实证明，如果给定的局部鞅满足粘性的自然条件，这样的结果成立：对于粘性局部鞅，一个鞅（mo-dulo）是度量到某个Q的变化~ P）在Lp（Q）范数下，可以找到它的任何小邻域，甚至可以选择Q与总变化范数中的P尽可能接近，关于这个结果，请参见下面的滚动5.2。一个过程是粘性的，如果从任何一个停止时间开始，它永远不能确定在给定的时间范围内退出小球，无论小球有多小。

这一条件首次在Guasoni[10]的财务报告中使用，根据Guasoni[10]的第3.1条建议，所有正则强马尔可夫过程都是粘性的。例如，这包括大多数L’evy流程，更多详细信息请参见第3节。除此之外，具有条件完全支持（CFS）性质的随机过程也是粘性的。CFS地产（定义见下文备注2.3）为：*第一作者得到了匈牙利科学院“Lend–ulet”基金LP2015-6的资助。与马丁·凯勒·雷塞尔的讨论形成了本文的主要结果，我们真诚地感谢他。我们非常感谢埃伯哈德·梅尔霍夫（Eberhard Mayerhofer f）发现了一个错误，并感谢两位匿名读者提供了有用的报告，这些报告特别揭示了本文前一版本中的另一个问题。+匈牙利布达佩斯1053号阿尔塔诺达utca 13-15 MTA Al fr'ed R'enyi数学学院。电子邮件：rasonyi@renyi.mta.hu.——英国达勒姆市南路达勒姆大学数学科学系DH1 3LE。电子邮件：hasanjan。sayit@durham.ac.uk.intrGuasoni等人[13]的论文中提到，一大类随机过程，包括分数布朗运动（fBm），都具有这一性质，例如参见[4、9、15、21]。在Guasoni等人[13]中，证明了具有CFS的过程可以通过允许等价鞅测度的半鞅在上确界范数下任意逼近。在随后的paper Bender等人[2]中，对于粘性较小的连续路径过程也得到了相同的结果。在这些论文中，这种近似是可能的，因为假设随机过程是连续的。然而，对于跳跃过程，在上确界范数下的逼近即使不是不可能的，也是困难的。

在本文中，我们证明了c`adl`ag粘性过程可以用鞅（mo-dulo）来近似，以及我们的局部鞅结果~ P）在Lp（Q）范数下任意接近。论文的结构如下。在第2节中，我们回顾了粘性条件。在第3节中，我们提供了粘性过程的示例。在第4节中，我们证明了粘性过程可以由上面所解释的意义上的鞅“任意紧密”逼近，即定理4.1和推论4.3。在第5节中，我们证明了，在局部鞅的情况下，我们可以选择新的概率测度任意圈来代替总方差范数中的原始概率测度，参见定理5.1和推论y5。2.在第6节中，我们解释了我们的结果与mathematica Finance的相关性。最后，一些技术细节被归入第7.2节Stick y Processlet(Ohm, F、 P）b e a概率空间。设S=（St）t∈[0，T]是一个适应过滤F=（Ft）T的c`adl`ag Rd估值过程∈[0，T]满足通常的假设（即F是右连续的，F包含F的所有P个空集）。在本文中，出于一般性的考虑，我们不假设Fis是一个平凡的σ-代数它可以包含除空度量集和全度量集之外的集。我们说，对于F的任何停止时间τ和ny Fτ，过程S相对于过滤F if是粘性的-可测量的严格正随机变量κ，以下条件满足P（supu∈[τ，T]| Su- Sτ|<κFτ）>0 a.S.（1）这里|·|是Rd的欧几里德范数。这个定义显然等同于定义2。Guasoni[10]中的2，其中κ被假定为任何确定性数。在Bender等人的引理3.1中。

[2] 结果表明，对于具有连续路径的过程，粘性等效toP（supu∈[t，t]|苏- St |<κFt）>0 a.s.（2）对于任何确定的时间点0≤ T≤ T和任何严格正且Ft可测量的随机变量κ。Bender et a l[2]的Le mma 3.1对于c`adl`a g过程也是如此，这是下面引理2.1的内容。引理2.1。c`adl`ag过程是粘性的，可以满足（2）任何确定性的要求∈ [0，T]。证据一个方向是微不足道的。要显示另一个，请使用0≤ τ ≤ T为F的任何停止时间。设κ为任何严格正Fτ-可测量的随机变量。以安雅为例∈ P（A）>0时的Fτ。我们想证明这一点∩ {supt∈[τ，T]|St- Sτ|<κ}>0。在不丧失普遍性的情况下，假设τ<T在A上。存在一个（确定性）有理数r>0，使得ar:=A∩（支持）∈[τ，r]|St- Sτ|<κ）∩{τ ≤ r} 有正概率。这可以从以下明显的关系中看出：A=[r]∈[0，T]∩Q{τ≤ r}∩（支持）∈|，τ]- Sτ|<κ）∩ A.因为S是连续的。注意，Ar∈ Frso（2）意味着∩（支持）∈[r，T]| St- Sr |<κ）！>0.现在，索赔如下所示：∩（支持）∈[r，T]| St- Sr |<κ） A.∩（支持）∈[τ，T]|St- Sτ|<κ）。备注2.2。对于马尔可夫过程，粘性降低为checkingP（supu∈[t，t]|苏- 几乎所有ω和所有κ的St |<κSt）>0，0≤ t<t。对于具有独立增量的过程，它归结为P（supu∈[t，t]|苏-St |<κ）对所有κ>0,0呈阳性≤ t<t。因此，西蒙[25]认为，大多数L’evy过程都具有粘性，见下面的例子3.3。参见Aurzada和Dereich[1]，了解有关“小偏差”相关理论的更多结果。备注2.3。在任何开放域中具有CFS属性的进程都是粘性的。我们在这里调用CFS属性。

设O是RDC的非空开子集，letC[a，b]（O）表示区间[a，b]上O值连续函数的度量空间，其度量来自上确界范数。为了x∈ O、 setCx[a，b]（O）：={f∈ C[a，b]（O）：f（a）=x}。我们说S在O中有条件完全支持（CFS-O），如果S在O中有连续的轨迹，并且对于所有0≤ t<t，supp（S |[t，t]∈ ·|Ft）=CSt[t，t]（O）。这里是P（S |[t，t]∈ ·|Ft）表示C[t，t]（O）-valuedrandom变量S |[t，t]的Ft条件分布。当O=Rd时，我们只需写CFS而不是CFS-O。备注2.4。粘性在具有连续函数的组合下是不变的，在具有连续轨迹的S的情况下，在有界时间变化下是不变的，如Sayit和Viens[24]所示。这有助于生成一大类粘性过程。例如，过程| Bt |，其中Bt是一维布朗运动，根据Protter[22]第221页的定理72，它不是一个se Mimaringle，尽管它很棘手。更多示例见第3节。在最近的论文Bender等人[2]中，研究表明，如果连续路径过程是粘性的，那么对于任何ε>0的情况，都存在一个s e mi鞅，该鞅允许一个不等价的鞅测度，例如∈[0，T]| St-~St |<ε（3）几乎可以肯定。为了证明他们的主要结果，他们构造了一个离散的时间序列，该序列非常接近于通过在每个ε增量处叠加过程而获得的随机序列，同时满足K abanov和Stricker[19]中定理2.1的条件。他们能够证明这些场景是Cin，n∈ N、 i=1，2，·，2d+1在其pap中定义为正条件概率，见该论文的引理3.3。仔细观察就会发现，随机过程的连续路径性质在证明这一定理中起着关键作用。3.

在存在跳跃的情况下，我们无法获得与引理3.3中的集合Cinas相同的性质。然而，我们能够证明在一个附加假设下s ticky Jumpy过程的类似结果，该假设将在下文中说明。此外，在跳跃的情况下，我们只能控制（3）中的上确界时刻。以下是我们在证明主要结果时需要的假设。假设2.5。概率空间支持d维布朗运动∈ [0，T]及其增强的自然过滤G=（Gt）T∈[0，T]使得GT独立于FT备注2.6。这种假设通常适用于随机分析，例如，重新称连续鞅为时变布朗运动。在当前设置中，我们使用这个额外的布朗运动来构造一个新的粘性过程，它与原始过程尽可能接近，并且有一个丰富的路径集合。然后我们使用这个新的粘性过程来构造Q~ 我们想要的P和S，见下面的定理4.1。3例在本节中，我们给出一些粘性过程的例子。由于粘性在具有连续函数的各种变换下是不变的，因此识别随机过程的粘性性质是有用的，即使它们允许鞅测度。已知Mos t L’evy过程允许等价鞅测度，例如，参见[3]第315页的第9.9节。然而，它们在连续函数下的变换甚至可能失去在Remark 2.4中讨论的半鞅性质。例3.1。设W表示d维布朗运动。b:Rd→ Rdbe局部有界且v:Rd→ Rd×dbe连续且v（x）对allx非奇异∈ 路。

如果随机微分方程dxt=b（Xt）dt+v（Xt）dWt，X=X，对于所有X，有一个弱解，在定律上唯一∈ Rd，则任何解决方案都满足CFS，即粘性，如Guasoni和R\'asonyi[11]所示。CFS也适用于许多非半鞅：分数布朗运动和其他高斯过程，参见[13,4,9]。例3.2。让我们来看一个斜布朗运动的例子，它被定义为以下等式的解nXt=Wt+βLt，其中Wt是一个一维布朗运动，lti是未知过程的局部时间Xtat time 0，β是一个常数w，β| |<1，更多细节见Harrison和Shepp[14]。由于本地时间lts生成了一个与lebesque测度奇异的测度，因此xts不接受任何本地鞅测度。设α=（β+1）/2，并将严格单调连续函数sα定义为sα=（1）- α） x换x≥ 0，αx表示x<0。设Yt=sα（Xt）。Harrison和Shepp[14]表明，Ytsaties dYt=f（Yt）dWt，其中f（x）=1-α表示x>0，x=0，α表示x<0。由于f是非s奇异且无边界的，从Stroock和Varadhan[26]的结果中，我们可以得出结论，对于任何初始值，它在连续函数空间上都是完全支持的。因此，作为Ytis Markovian，它具有CFS，因此具有粘性。很明显，这是一个市场，因为f是固定的。这个过程继承了Ytas的粘性特性，可以写成Ytas与严格单调连续函数（sα的反函数）的组合。例3.3。现在让我们来看看跳跃过程。为了简单起见，我们假设=1。让我成为一个列维过程。然后它有以下分解lt=ct+σBt+Z |θ|<1θ| N（t，dθ）+Z |θ|≥1θN（t，dθ），（4）对于某些常数c，σ∈ R.这里，ν是L的L′evy测度，N是L的泊松随机测度，而N（dt，dθ）=N（dt，dθ）- ν（dθ）dt是它的补偿版本。

B是来自N的独立布朗运动。Simon[25]表明，如果σ6=0或-1 | x |ν（dx）=∞. 如果σ=0，则-1|x|ν（dx）<∞ 如果h:=c，则L表示粘性-R-1 | x |ν（dx）=0或h>0（分别为h<0），对于所有的>0，则为ν((-，0））>0（分别为ν（（0，））>0）。例3.4。设X满足CFS，L为粘性L’evy过程，使其独立。那么对于任意函数，Lt=1是连续的→ R、 根据Sayit和Viens[24]的第1条建议。例如，我们可以用一个独立于Nt的分数布朗运动代替布朗运动Btin（4），得到一个非半鞅的粘性过程。备注3.5。我们期望，在温和的条件下，L’evy过程驱动的随机微分方程的解是同样粘性的。进行相关调查超出了本文的范围。4.在上一节中解释的主要结果，一大类随机过程具有粘性。本节的主要目的是证明鞅（在等价的度量变化下）与它们“接近”，例如在Lpnorm中。在下面的理论中，我们陈述了这个结果，并在做了一些准备之后给出了它的证明。定理4.1。让g:R+→ R+是g（0）=0的凸函数，且χ>0为任意固定数。让我们来看一个c`adl`ag过程，它对F.2.5的假设是粘性的。设Ht=Ft∨ 每台GTT∈ [0，T]。那么这个过程就H=（Ht）t而言是粘性的∈[0，T]存在Q~ P和一个d维q-鞅S（关于H），使得S=sandqg（supt∈[0，T]| St-~St|）<χ。（5） 如果S有连续的轨迹，那么∈[0，T]| St-■St |<χ（6）持有a.s.例4.2。在一般情况下，不可能通过上述物理测量销（5）替换Q。

这可以通过一个简单的例子来说明：设T:=1，St:=0，T<1，并且在[0,1]上是一致的。我们取F为S的自然过滤比n。集g（x）：=|x，并选择χ：=1/4。这个过程非常棘手。用矛盾来论证，假设有这样的情况∈[0,1]| E[|S | Ht]-圣|。然后也是E | E[|S | H]-0 |=| E | S |<χ，因为S=0和他的琐碎。另一方面，χ>E支持∈[0,1]| E[|S | Ft]- 圣|≥E|S- S |。注意到ES=1/2，这意味着E~S>1/4，而我们刚刚看到E~S<1/4，这是一个矛盾。推论4.3。设χ>0为任意固定数。让我们做一个c\'adl\'ag过程，它与F有关。让假设2.5生效。设Ht=Ft∨ 每个人∈ [0，T]。每p≥ 1t这里存在Q~ P和一个d维Q-鞅S（关于H），这样eqsupt∈[0，T]| St-~St|p<χ。（7） 证据。的确，让g（x）：=xp，x≥ 0，并应用定理4.1。备注4.4。在S是连续过程的情况下，Bender等人[2]以略微不同的形式证明了定理4.1。在这篇文章中，S被假定为b正，而＠S被证明是令人满意的∈[0，T]|St/|St- 1 |<χa.s.（8）对该论点的微小修改将适用于不一定是正的、连续的s，它们将导致（6）而不是（8），而不使用假设2.5。因此，定理4.1的新颖之处在于处理非连续过程的情况，代价是需要假设2.5。我们不知道这个假设是否可以撤销。下面的引理将是定理4.1证明的关键要素。我们现在考虑离散时间过滤（Kn）∈N.我们介绍一些将在续集中使用的注释。对于Rd值的随机变量X，设d（X）是包含定律（X）支撑的最小子空间。设S（X）为（X）定律支撑的凸包的相对内点。