粘性过程、局部鞅与真鞅

我们可以选择任何连续和非递增的m:R+→ （0,1]m（0）=1，设Mt=1/Rr-1（m（t）），这是一个从1开始的三维贝塞尔过程，r（t）=E（1/Rt）。从Elworthy等人[8]的命题3.8来看，Mt是一个严格的局部鞅，其m（t）=EMt。（只要m（t）不是常数，mt就是严格的局部鞅）。MTI是粘性的，因为它是通过在连续函数x，x>0和有界时间变化下的变换从粘性过程R中获得的。备注5.4。严格的局部鞅（不是鞅）被建议作为经典泡泡的模型，见Protter[23]。在这种情况下，P是定价指标，S是资产的价格过程。定理5.1和推论y 5.2重申Guasoni和R\'asonyi[11]中已经提到的谨慎一词：对期权和资产价格的过分小的错误描述（即，将Q forp和S误认为S）可能会破坏S在P下评级的“泡沫现象”，因为S是Q下的鞅，不允许出现泡沫。6数学金融的应用数学金融的核心概念是套利，即无风险利润。在一个高效的市场中不应该存在这样的机会。套利理论在忽略摩擦（交易费用、流动性影响）的金融市场理想化模型中得到了很好的理解，见例[6]。在比例交易成本的情况下，也有一个相当清晰的画面，粗略地说，交易成本是交易速度的线性函数，参见[17]。然而，由于交易成本对交易速度的超线性依赖，非流动性市场出现了新现象。

在CH市场模型中，本文[12]提供了关于双变量无套利的分形，见下面的定理6.2。我们将应用预发文件的结果来表明，在具有超线性流动性影响的市场中，一大类候选价格过程（即粘性价格过程）不存在套利性。我们现在在Gua soni and R\'asonyi[12]和se e[12]中简略地绘制了模型（略为简化的版本），以了解更多细节。停留在随机的基础上(Ohm, F、 P，F），让我们来描述当交易（实际上）缓慢时，金融市场中d风险集合的价格。流动性影响将由成本函数G描述：Ohm ×[0，T]×Rd→ R+假设为O B（Rd）可测量，其中O是可选的西格玛场。我们进一步假设G（ω，t，·）与G（ω，t，x）是共凸的≥ G（ω，t，0）：=0表示所有ω，t，x。此后，设置Gt（x）：=G（ω，t，x），即省略对ω的依赖，并将t用作下标。还有一个无风险资产，价格常数为1，t∈ [0，T]。可行的策略是A类中的一个过程φ：=（φ：φ是一个有价值的可选过程，ZT|φu|du<∞ a、 也就是说，交易速度φtat t被假定为有限的，并且股票的交易量也超过[0，t]。根据这一定义，对于给定的策略∈ A和初始资产位置z=（z，…，zd）∈ Rd+1，时间t的结果位置∈ [0，T]在风险资产和资产负债表中定义为：Xit（z，φ）：=zi+Ztφiudu，1≤ 我≤ d、 （21）Xt（z，φ）：=z-ZtφuSudu-ZtGu（φu）du。（22）以下假设中的主要项目是超线性条件（23）：它表明，作为交易速度的函数，快速交易具有比线性更强的影响。假设6.1。α>1，H>0，因此gt（x）≥ H | x |α，对于所有ω，t，x，（23）ZTsup | x|≤NGt（x）！dt<∞ a、 所有N>0。

（24）定义alsoG*t（y）：=supx∈Rd（xy）- Gt（x））≥ 0，y∈ Rd，t∈ [0，T]。我们将应用第4节的结果进行投资，在这种情况下，市场模型是无套利的。第二种套利是一种策略∈ A、 使得XiT（z，φ）≥ 0，i=0，1，d，z=（c，0，…，0）表示some c<0。如果不存在第二类套利（NA2），则不存在这种机会。我们复制了Guasoni a和R\'a sonyi[12]的定理4.2，其特征是（NA2）。p的符号Lp（Q）≥ 1指概率Q下具有有限pth（绝对）矩的D维随机变量s的通常Ba nach空间~ P定理6.2。假设Fbe t r ivial，假设6.1成立，fix 1<β<α，let1/β+1/γ=1。（NA2）成立的充要条件是，对于所有χ>0，存在Q~ P与eqzt（1+| St |）βα/（α）-β） dt<∞和一个带ZT的Rd+1+值Q-鞅Z∈ Lγ（Q）使得{Zit=0，i=1，…，T} 所有t，Z=1和EQRTZtG的{Zt=0}a.s*t（\'Zt- St）dt<χ式中‘Zit=（Zit/Zt）1{Zt6=0}，i=1，D定理4.1确保过多的模型满足（NA2）。提议6.3。让Fbe变得微不足道，让假设6.1保持不变。如果S是粘性的，则其含量（NA2）。证据我们扩大了概率空间，使假设2.5成立。Guasoni和R’asonyi[12]的引理3.2表明存在常数C，对于所有t，G*t（y）≤ C | y |α/（α）-1). 设置δ：=max{γ，βα/（α）- β） }，g（x）：=xδ，x≥ 0，注意α/（α）- 1) ≤ 因此，对于任意随机变量X，方程g*t（X）≤ CEQ | X |α/（α）-1)≤ CEα/[（α）-1） δ]Q[|X |δ]。（25）不幸的是，条件“{Zit=0，i=1，…，T} {Zt=0}a.s.对于所有t，在Guasoni和R\'asonyi[12]中该定理的陈述中，Z=1“缺失了（但鉴于前面的结果，显然需要它们）。在定理6.2中，我们陈述了修正后的版本。修正χ>0。

定理4.1提供了Q~ 关于Hsuch thatEQg（supt∈[0，T]| St-~St|）<χ。（26）仔细观察这些参数的细节，可以发现引理4.5与选项w（x）=42δ| x | 2δ+2 | x |一起使用。Remar k 4.6然后yieldsEQsupk∈N|Mk|2δ<∞因此也是如此高级大床房∈N | Mk|< ∞.我们因此获得了胜利∈[0，T]| Yt |！≤ EQg高级大床房∈N | Yτk |+ε= EQg高级大床房∈N | Mk |+ε< ∞, （27）注意g.Since | Yt的凸性- 这意味着∈[0，T]| St |！<∞, （28）因此也是如此∈[0，T]| | St |！<∞, （29）通过（26）。注意βα/（α）- β) ≤ δ和（28），EQZT（1+| St |）βα/（α）-β） dt<∞.定义Q鞅Zt=1，Zit=Sit，i=1，d、 很明显，ZT∈ Lγ（Q）乘以（29）和δ≥ γ. 我们从（25）和（26）推导出：*t（\'Zt- St）dt=ZTEQG*t（~St）- St）dt≤ tceα/[（α-1） δ]Q“supt∈[0，T]g（|St）- |）#≤ tcχα/[（α-1） δ]，作为χ，它变为0→ 0.这意味着（NA2）适用于定义为H-可选工艺的A类。由于F是H的一个子过滤，因此对于定义了F-可选过程的a，结果如下。这就完成了证明。备注6.4。Guasoni和R\'a sonyi[12]为证明CFS-O财产的连续过程类别建立了财产（NA2），见备注2.3。利用Bender等人[2]的论点，可以建立（NA2）连续粘性过程。因此，建议6.3的基本新颖之处在于允许跳跃。7辅助结果为了证明定理4.1，我们需要下面给出的两个引理。我们首先要做一些记号。Rd中的标量积用h·、·i表示。Rd表示Rd的一点紧集，C（Rd）表示Rd上的R值连续函数集。我们让C+（Rd）：={g∈ C（Rd）：g（x）>0，x∈ Rd}。我们用C（Rd）表示Rd上紧支撑的连续函数族。作为Rdiscompact，C（Rd）（配备上确界范数）是一个可分离的B anach空间，先前是一个波兰空间。

由于C+（Rd）显然是C（Rd）的Borel子空间，可测选择定理（参见[7]中的III.44-45）适用于具有inC+（Rd）值的多函数。修正一个连续函数w:Rd→ R+与w（0）=0。在下一个引理中，引理4的引理是正引理。这里的想法是，由于下面的（30）（这将是我们应用引理7.1时粘性的结果），我们不能保证“平均”EY f（Y）为0，而“范数”Ef（Y）w（Y）与“质量”Ef（Y）1{|≥η} 分配到一个小球外。引理7.1。设Y是一个Rd值的随机变量，其值为0∈ S（Y）。假设P（Y）∈ B（0，））>0（30）表示所有>0。那么对于每一η>0，就存在f∈ C+（Rd）使得Ef（Y）=1，Ef（Y）w（Y）<η，Ef（Y）1{Y|≥η} <η，且Ef（Y）Y=0。证据定义w（x）：=w（x）+| x |并注意，它需要显示w的| winstead的结果。自S（Y） D（Y），D（Y）是Rd的一个非空线性s子空间。如果D（Y）={0}，那么我们为所有Y设置f（Y）：=1∈ 现在我们假设D（Y）的维数至少为1。定义：={r∈ C+（Rd）：Er（Y）~w（Y）<η/2，Er（Y）<η}。现在设置A:={Er（Y）Y:r∈ A} 。很清楚，一个 D（Y）是一个凸非空集。要看到这一点，请注意∈ C（Rd），h≥ 0，r（y）=κh（y）+κe- 对于κ，w（y）（31）位于A中，κ>0足够小。在D（Y）的相对拓扑中，用riD（A）表示A的内部，我们认为0∈ 里德（A）。如果这不是真的，那么就会存在一个非零l∈ D（Y）使得hl，ai≥ 0代表所有a∈ 答：这意味着EHL，Y ir（Y）≥ 0（32）表示形式（31）的所有r（κ，κ足够小）。我们可以让κ→ 0和（32）也适用于所有r（y）=κh（y）和h∈ C（Rd），h≥ 这显然意味着hl，Y i≥ 0 a.s。

因此从0开始∈ 根据[16]中的定理3，我们得到了hl，yi=0a.S，所以hl，zi=0∈ D（Y）。但是hl，li>0，我们就得出了一个结论。因此B（0，δ）∩ D（Y） A表示约0<δ<η。我们选择δ>0，使之足够小|≤Δw（y）≤ η/2. 现在让我们以m为例∈ 在B（0，δ）内部为正的C（Rd），在其他地方消失，满足Em（Y）=1。这种函数自P（Y）以来就存在∈ B（0，δ/2））>0。集合c:=Em（Y）Y∈ B（0，δ）∩ D（Y）。复现∈ A与Er（Y）Y=-c、 所以设置f（y）：=（r（y）+m（y））/E[r（y）+m（y）]我们得到Ef（y）y=0。显然，Em（Y）~w（Y）<η/2和E[r（Y）+m（Y）]>1，因此Ef（Y）~w（Y）<η，使用A的定义。仍需检查Ef（Y）1{Y|≥η} =Er（Y）1{| Y|≥η} /E[r（Y）+m（Y）]≤ Er（Y）1{|Y|≥η} <η，由δ<η和A的定义得出。现在考虑西格玛代数K F和一个Rd值随机变量X。LetQ:B（Rd）×Ohm → [0，1]是X相对于K的条件定律。我们用δ表示原点处的狄拉克测度。下面的引理是上面Lemma 7.1的“内核版本”。引理7.2。让0∈ S（Q（·ω））表示a.S.ω，并让Q（B（0，），ω）>0表示a.S.foreach>0。那么对于每一η>0，就有一个B（Rd）K-可测j:Rd×Ohm → (0, ∞)这样，对于几乎所有ω，以下条件都成立：ZRdj（z，ω）Q（dz，ω）=1，ZRdj（z，ω）zQ（dz，ω）=0，ZRdj（z，ω）w（z）Q（dz，ω）<η，ZRdj（z，ω）1{z|≥η} Q（dz，ω）<η。此外，我们可以选择j（z，ω）：=1，z∈ Rdon{ω：Q（ω，·）=δ（·）}。证据对于a.e.ω，可以将引理7.1应用于具有lawQ（·ω）的随机变量Y，以得到函数fω∈ C+（Rd）。我们可以应用可测选择定理(Ohm, K、 P）得到一个映射ω→ fω是K/B（C（Rd））可测的。Letj（z，ω）：=fω（z），它是B（Rd） K-可测（因为每个fω是连续的）。这显然满足了目前引理的结论。

最后一句话在引理7.1的证明中是清楚的。备注7.3。引理7.1和7.2中使用的技术始于Dalang等人[5]。Y.Kabanov在连续时间背景下对其进行了进一步开发，并发现其在数学金融中有着广泛的应用。这里，我们仅将卡巴诺万德街[18]作为一个代表性的例子。最后，我们给出了一个简单的引理，这个引理对于证明引理4.9是有用的。引理7.4。设A，B为西格玛场，U，V为非负随机变量∨ σ（U）与B无关∨ σ（V）。ThenE[UV | A∨ B] =E[U | A]E[V | B]。证据leta（resp.B，C，D）是σ（U）（resp.σ（V），A，B）可测集。通过单音类定理和条件期望的定义，可以证明E[1ABCD]=E[1A | A]E[1B | B]1CD]。（33）根据C（re sp.D）的独立性和A（resp.B）可测性，（33）isE[E[1AC|A]]E[E[1BD | B]=E[1AC]E[1BD]，其右手侧与（33）的左手侧从1BD独立。参考文献[1]Aurza da，F.和Dereich，S.（2009），一般L’evy过程的小发展。安。问题。，37, 2066-2092.[2] Bender，C.，Pakkanen，M.和Sayit，H.（2015），粘性连续过程具有一致的价格体系。J.阿普尔。问题。，52, 586-594.[3] Cont，R.和Tankov，P.（200 3），《带有J ump过程的财务建模》。Cha pman&Hall，英国。[4] Cherny，A.（2008），布朗移动平均线有条件完全支持。安。阿普尔。问题。，18, 1825-1830.[5] R.C.Dalang，Morton，A.和Willinger，W.（1990），随机证券市场模型中的等价鞅测度和无套利。S Tochastics统计代表，29185-201。[6] F.德尔班和W.沙切迈耶。套利的数学。SpringerVe rlag，B e rlin，2006年。[7] C.德拉切里和P.-A.迈耶。概率和潜力。北荷兰，阿姆斯特丹，1979年。[8] 埃尔沃西，K。

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