双边合同交易网络

对于anyf，集合XBF对应于传入边集合，XSF对应于传出边集合。非循环贸易网络（供应链）在g图中不包含有向循环。供应链要求对企业在供应链中的位置进行部分订购，尽管企业可以向任何下游（上游）层面出售（购买）。在我们的模型中，我们考虑了一般的交易网络，它可能包含契约循环（即图上的有向循环）。每个公司都有一个选择函数Cf，比如Cf（Yf） Yf代表任何Yf Xf。我们说选择f的函数∈ F满足与被拒绝合同（IRC）无关的条件（如果适用于任何Y） X和Cf（Y） Z 我们有Cf（Z）=Cf（Y）（布莱尔，1988年，阿尔坎，2002年，弗莱纳，2003年，埃切尼克，2007年，艾因和桑梅兹，2013年）。对任何人来说 X和Z 十、 确定所选上游合同集CfB（Y | Z）=Cf（YBf∪ ZSf）∩ XBf（2.1）是当f可以访问上游合同和下游合同Z时，f选择作为买方的一组合同。类似地，定义所选的下游合同集Cfs（Z | Y）=Cf（ZSf∪ YBf）∩ XSf（2.2）因此，我们可以确定被拒绝的合同集RfB（Y | Z）=Yf\\CfB（Y | Z）和RfS（Z | Y）=Zf\\CfS（Z | Y）。结果 X是一组合同。一套合同 对于n代理f，X是单独的有理数∈ F如果Cf（Af）=Af。如果A对所有代理F单独合理，我们调用设置A可接受∈ F对于多套合同软件 十、 我们说A是（W，f）-如果Af Cf（Wf）∪ Af）即，如果代理人在与W一起工作时从set AFF选择所有合同。合同集Ais W-如果A为（W，f）则可接受-所有代理f均可接受∈ F注意，合同为代理f设定了一个独立的理性，当且仅当它是（, f） -可以接受。如果∈ XBfand z∈ 如果{y}和{z}都不是（W，f）-可接受的，但是{y，z}是（W，f）-可接受的，那么当{y，z}是（W，f）-必要对时。

请注意，任何基本对都由一个上游合同和一个下游合同组成。因为企业只关心自己的合同，所以我们可以把Cf（Y）写成Cf（Yf）。在我们的环境中，IRC等同于揭示偏好的弱公理（Ay gün and S"onmez，2013，Alva，2018）。2.2关于选择函数的假设我们现在可以陈述奥斯特罗夫斯基（2008）和哈特菲尔德与科米纳（2012）提出的关于选择函数的关键假设。定义1。f的选择函数∈ F是完全可替代的，如果为所有Y′ Y X和Z′的 Z 它们是：1。同侧可替代（SSS）：（a）RfB（Y′|Z） RfB（Y|Z）（b）RfS（Z′|Y） RfS（Z | Y）2。交叉侧互补（CSC）：（a）RfB（Y | Z） RfB（Y|Z′）（b）RfS（Z|Y） 如果每家公司都认为其任何上游或任何下游合同是替代合同，但其上游和下游合同是补充合同，则RfS（Z|Y′）合同是完全可替代的。因此，被拒绝的下游（上游）合同继续被拒绝，无论是下游（上游）合同增加还是上游（下游）合同减少。2.3总需求和总供给定律我们首先重新阐述了常见的总需求和总供给定律（LAD/LAS）（哈特菲尔德和米尔格罗姆，2005年，哈特菲尔德和科明纳，2012年）。LAD（LAS）指出，当一家公司有更多的上游（下游）合同可用时（持有相同的下游（上游）合同），该公司选择的下游（上游）合同数量的增加不会超过该公司选择的上游（下游）合同数量。直觉上，一方合同可执行性的增加，不会增加双方签订的合同数量之间的差异。定义2。

f的选择函数∈ F满足总需求定律，如果为盟友，Z X和Y′ Y | CfB（Y | Z）|- |CfB（Y′| Z）|≥ |CfS（Z|Y）|- |CfS（Z|Y′）和总供给定律 X和Z′ Z | CfS（Z | Y）|- |CfS（Z′|Y）|≥ |CfB（Y | Z）|- |CfB（Y|Z′）|我们可以很容易地证明LAD/LAS意味着IRC，扩展了Aygün和S"onmez（2013）的结果。这是“基数单调性”条件的扩展（Alkan，2002）。引理1。假设f的选择函数∈ F满足完全可替代性和LAD/LAS。然后，f满足IRC的选择函数。引理1的证明。考虑一下Y XF和z∈ XBf\\Y这样的/∈ Cf（Y）∪ {z} ）。然后（1），从SSS，我们得到了CfB（Y）∪ {z} ) CfB（Y）和（2），从CSC，我们有那个CfS（Y）∪ {z} ) CfS（Y）。如果选择函数满足LAD/LAS，那么我们得到| CfB（Y）|-|CfS（Y））|≤ |CfB（Y）∪ {z}）|- |CfS（Y）∪ {z}）|。但上述两个集合包含（1）和（2）必须相等，所以Cf（Y∪ {z} ）=Cf（Y）根据需要。2.4终端代理和终端优势我们现在引入一些术语来描述代理合同，这些代理只充当买方或卖方。如果网络中没有f的上游合同，则f是终端卖方；如果网络中没有f的任何下游合同，则f是终端买方。作为终端买方或终端卖方的代理称为终端代理。设T表示F中的终端代理集，对于A的终端代理集，我们用AT=S{Af|F表示A的终端代理集∈ T}。如果这里有一组可接受的合同，例如Y=AT，那么一组Y合同是终端可接受的。如果A和W是终端可接受的合同集，那么我们说A优于W（用A表示）SW）如果Cf（Af∪ Wf）=每个终端卖家F和Cg（Ag）的AFF∪ Wg）=Wg，适用于每个终端买家g。

同样，A买方优于W（用A表示）BW）如果Cf（Af∪Wf）=每个终端卖方f和Cg（Ag）的Wf∪Wg）=Ag对于每个终端买家g。显然，这些关系是相反的，即W如果只有BW持有。无论哪一种关系成立，我们都称之为结果优先顺序。当我们描述阅读网络中的结果结构时，终端代理将发挥关键作用。2.5解决方案概念我们首先定义之前工作中出现的两个解决方案概念。定义3（Hat Field and Kominers 2012）。结果 X是稳定的。s的优越性部分或der相当于揭示的偏好关系（Alkan和Gale，2003年，Chambers和Yenmez，2017年）。Klaus和Walz l（2009）认为“弱集态稳定”的结果不受区块的影响，在区块中，一组代理还必须就它们可以放弃哪些合同达成一致。Westkamp（2010）认为“群体稳定”的结果不受一系列代理人可以签署更好（而不是最好）合同的阻碍（也被称为“群体稳定结果”，见Sotomayor，1999年，Echenique和Oviedo，2006年，K laus和Walzl，2009年）。A是可以接受的。2.不存在合同Z的非空阻塞集 十、 以至于∩ A= andZ是（A，f）-所有f都可以接受∈ F（Z）。稳定的结果不受多家公司的偏差影响，这些公司可以自由重新签订合同，同时保留任何现有合同。如果选择函数是完全可替代的，那么在循环网络中稳定的结果总是性别歧视的。为了研究更一般的交易网络，我们首先引入了合约跟踪。定义4。如果一组非空的契约T的元素可以按一定的顺序（x，…，xM）排列，使得b（xM）=s（xM+1）对所有的m都有效，那么它就是一条轨迹∈ {1, . . .

M- 1} 式中m=|T |。虽然一项审判可能不会多次包含同一合同，但它可能会多次包含相同的合同。例如，在图1中，有一条路径{w，z，y}从企业m（或j）开始，到企业j（或m）结束，并“访问”企业k.definition 5（Hat Field等人，2015）。结果 X是链稳定的if1。A是可以接受的。2、没有痕迹T，因此T∩ A= T是（A，f）-所有f都可以接受∈ F（T）。Hat Field等人（2015）表明，在一般情况下，只要选择函数满足总需求和总供给的完全可替代性和规律，稳定结果就相当于链稳定结果。然而，Fleiner（2009）和Hat field a and Kominers（2012）表明，在一般的交易网络中可能不存在稳定的结果（另见下面的示例1）。此外，Fleiner、Ja nkó、Schlotter和Teytelboym（2018）表明，确定稳定结果是否存在以及确定结果是否稳定的问题在计算上是难以解决的。稳定结果的不存在性和计算困难性促使我们定义一个替代解决方案的概念。我们首先定义了跟踪稳定性，它与双边多对多匹配市场中的成对稳定性以及供应链中的链稳定性相一致。定义6。结果 X是序列稳定的if1。A是可以接受的。Hat Fiield等人（2015年）将路径称为“链”，因此得名为“链稳定性”。这扩展了Ostrovsky（2008）提出的链稳定性定义。jz十、mwkyUUiFigure 1：示例1、3和4中的交易网络。jzKyuu图2：示例2.2中的交易网络。没有轨迹T={x，x。

，xM}，使得∩ A= （a）{x}对于f=s（x）和（b）{xm是（a，f）-可接受的-1，xm}是（A，fm）-对于fm=b（xm）是可接受的-1） =s（xm）每当1<m时≤ Mand（c）{xM}是（A，fM+1）-可接受的fM+1=b（xM）。上述路径T被称为a的局部阻塞路径。当企业主要与其买家和供应商互动，且难以安排任意一组企业的偏差时，路径稳定性是一个自然的解决方案概念。在trail StableOutfound中，没有代理人愿意放弃他的合同，并且不存在连续的双边合同序列，其中包括所有代理人在trail中优先选择的一条线索，而不是当前的结果。首先，向买方单方面提供x（试验中的第一份合同）。买方f无条件接受卖方的服务（形成本地封锁铁路）或有条件接受卖方的服务，同时寻求与另一个买方f签订合同。如果f在Xhappen的买方为f，则f考虑其拥有的xon的服务。如果faccepts，我们有一条局部封锁线。如果f的买方不是f，那么他的买方将有条件地接受x，或者在有条件地接受x后寻找另一个卖方。这些关联的有条件合同的跟踪将继续，直到跟踪中的最后一个买方fM+1无条件地接受xM的上游合同。。请注意，所有的中间代理只需以短视的眼光来决定是否要选择成对的上下游控制，以“通过”沿途的代理。

换句话说，当代理人收到合同时，他被“激活”接受或拒绝合同，或在签订自己的合同时持有合同。下面的例子说明了追踪稳定的结果并不一定是稳定的。当然，如果fM+1向卖方提供第一份上游合同，则条件承兑的线索和顺序可以颠倒，以此类推。示例1类似于Fleiner（20 09，第12页）和Hat fi field and Kominers（2012，图3，第13页）中的示例。例1（试验稳定的结果不一定稳定）。考虑四个契约x，y，z和w。假设i=b（x），j=s（x）=s（z）=b（y）=b（w），k=b（z）=s（y）和m=s（w）（见图1）。代理人具有以下偏好，可诱导完全可替代的选择功能：i:{x}我m:{w}Mj:{x，y，w}j{z，y，w}j{x，y}j{z，y}j{w}Jk:{z，y}K其他结果是不可接受的。存在一个稳定的结果：A={w}。追踪结果{w}是帕累托有效的，因为{z，y，w}使j和k更好，而不使I和m更有效。然而，没有稳定的结果。为了进一步说明踪迹的稳定性，让我们从上面的例子（图2）中删除一个gents i和m及其对应的契约。j的新偏好是{y，z}J.有一个稳定的结果{y，z}。然而，有两种微弱稳定的结果： 和{y，z}。是 这个市场的合理可能结果是什么？如果协调困难，例如由于谈判成本，企业可能会发现很难确定阻塞集，尤其是在大型市场。因此，轨迹稳定性为形成市场提供了一个自然的解决方案概念，在这个市场中，企业在交易网络中协调决策的能力有限。3跟踪稳定结果的存在性和性质我们现在可以陈述本文的第一个关键结果。定理1。

假设选择函数满足完全可替换性和IRC。然后就有了一个稳定的结果。该定理为一般交易网络中一个吸引人的解概念建立了一个正存在性结果：在通常的完全可替代假设下，轨迹稳定结果总是存在的。在我们所有的例子中， 表示严格的偏好关系。严格偏好诱导的选择函数满足IRC。我们可以检查一下，自{w}以来，没有稳定的结果j{x，w}k{x，z，w}i、 j{z，y，w}j、 k{w}和其他结果是不可接受的。我们的研究结果与定理5关于Hat fild和Kominers（2012）中不存在s表结果的结论并不矛盾，因为定理1仅认为存在跟踪稳定结果。为了证明定理1，我们使用熟悉匹配理论的工具，如塔斯基定点定理（Adachi，200 0，Fleiner，2003，Echenique and Oviedo，2006，Hat fild and Milgrom，2005，Ostrovsky，2008，Hat fild and Kominers，2012）。假设Xb和Xs是Xb的两个子集，代表买方和卖方的合同集。我们定义了一个作用于（XB，XS）的等通算子Φ，并证明Φ的任何固定点（˙XB，˙XS）对应于一个稳定的结果A=˙XB∩˙XS。这些工具使我们能够探索以往仅在供应链或双边环境中探索的跟踪稳定结果的特性。正如我们已经看到的，即使在完全可替代的情况下，跟踪稳定的结果也不总是稳定的或链稳定的。然而，事实恰恰相反。提议1。假设选择函数满足完全可替换性和IRC。那么任何稳定/连锁稳定的结果都是trail稳定的。如下面的例子所示，完全可替代性是这个结果的关键。例2（稳定性和链稳定性并不意味着没有完全可替代性的跟踪稳定性）。考虑两个契约y，z。

假设j=s（z）=b（y），k=b（z）=s（y）（见图2）。代理具有以下首选项：j:{z}j{y}Jk:{z，y}K.其他结果是不可接受的。请注意，k的偏好是完全可替代的，但J的偏好不是。契约的空集合是稳定的（链稳定的），但是，它不是trail稳定的，因为{z，y}是局部阻塞的trail。这个例子强调了本地封锁路线本身不需要被接受（以及其他合同）：当考虑到k作为回报而提供的最终合同时，j公司“忘记”了它提供了合同z。在第4节，我们将考虑一个解决方案概念，以确保代理愿意接受沿着局部阻塞路径（可能与她的契约一起）的所有契约。3.1路径稳定结果的结构要求在Gale和Shapley的婚姻模型中，男性最优匹配和女性最优稳定匹配的存在遵循众所周知的稳定匹配的格结构。将这一结果推广到交易网络的关键是只考虑终端代理。我们说，如果任何终端买家（终端卖家）更喜欢它而不是任何其他结果，即对于任何跟踪stableZ，那么跟踪稳定结果Amax（Amin）就是买方最优（卖方最优） 十、 我们有Cf（Amax）∪ Z） =Af，最大值为2。假设选择函数满足完全可替换性和IRC。然后，跟踪稳定结果集包含买方最优和卖方最优结果。命题2扩展了Ostrovsky（2008）的定理2和Hat field and Kominers（2012）的定理4，它们建立了非循环运输网络中买方和卖方最优结果的存在性。我们说 如果有一个稳定的结果，X是终点线 X等于Y=AT。提议3。

假设选择函数满足完全可替换性和LAD/LAS。然后，终端轨迹稳定控制集在终端优势下形成一个格。命题3表明，只要LAD/LAS持有终端代理的选择函数，就定义了结果的自然部分顺序，终端跟踪稳定契约集在此顺序下形成了一个alattice。请注意，对于格结构和利益对立结构，只有终端代理起作用：如果所有终端代理具有相同的合同集，则两个结果是等价的。事实上，如果A和A都是稳定的结果，那么就有一个稳定的结果A+，所有终端买家都喜欢A+而不是B，所有卖家都喜欢A和A+中的任何一个。这建立了完全“利益极化”的内部稳定结果（Roth，1985），并立即意味着买方最优（Amax）和卖方最优（Amin）跟踪稳定结果的存在。因此，我们的结果实质上加强和推广了byRoth（1985）、Blair（1988）、Echenique和Oviedo（2006）以及Hat Field和Kominers（2012）之前的结果。完全交易稳定结果的latt-ice结构允许我们直接扩展在双边匹配市场和非循环交易网络中已知的稳定结果的两个众所周知的属性。经典的“乡村医院”就是这样一个属性，它表明，在双边多对一医生医院匹配市场的每次稳定分配中，每个医院都匹配相同数量的医生（Roth，1986）。在买方-卖方网络中，我们可以考虑公司签署的上游和下游合同数量之间的差异（Hat Field和Kominers，2012）。