内生流动息票

Thent=T+mlog1+e-mT.很明显，T>T<==>mlog（1+e）-mT）> -T<==>1+e-mT> E-mT/2。最后一个不等式适用于所有m>0和T>0，从而完成了证明。附录D.关于风险中性措施的构建，QLet D与假设3.2相同，假设b:D 7→ RDA:D7→ 应给出满足假设3.3的函数。假设D、~b和A是这样的，对于与D上的（~b，A）相关联的二阶线性算子L，存在一个（必然唯一的）马丁格尔问题的解（见[27]）。现在，fix一个概率空间(Ohm, G、 P）并用fw表示P下的d维布朗运动。Setff是fw自然过滤的右连续放大的P-增强版本，因此ffw满足通常条件。由于L的鞅问题是适定的，因此SDE（D.1）dXt=~b（Xt）dt+a（Xt）dfWt存在唯一强解。哪里=√A.下一步让我们看一下：D 7→ Rd，∑：d7→ SDALS也满足假设3.3。带σ=√∑，通过交易工具（S，S）形成的市场，其中S=（S，…，Sd）具有动态性，S=ui（Xt）dt+kXj=1σij（Xt）dfWjt；i=1。。。，d、 和St=expRtrudu是r=X（1）的货币市场。定义b:D 7→ Rdby（D.2）b（x）=b（x）- a（x）σ（x）-1（u（x）- r1），其中1∈ RDI是一的向量。请注意，b满足假设3.3。最后，假设与（b，A）相关的L的鞅问题在D上也是适定的。在这些假设下，众所周知（见[23，第5章]，[19，2]）上述市场（采用FfWadapted，S积分交易策略）是完整的，FFWT上的唯一风险中性测度Q具有Radon Nikodym导数（D.3）dQdPFfWT=ZT；Zt:=E-Z·（u（Xt）- rt1）′σ-1（Xt）dfWtt、 t≤ 特别地，Z是一个（P，FfW）鞅。随着Q在FfWT上得到了很好的定义，我们回忆起（见[23，Ch。

5] 如果C={C（t）}t，那么，如果必要的可积性成立≤这是一个累积的现金流，根据汇率C（t）=˙C（t）进行调整，然后该流的唯一价格由EQhRTC（t）e给出-鲁杜迪。有了这个符号，我们现在在两个例子中推导出抵押贷款价格。D.1。大型游泳池。假设除了tofW(Ohm, G、 P）支持U（0，1）随机变量{Ui}i=1，。。。它们也是独立的。设γ是任何非负的、可积的、FfWadapted过程。给定γ，随机时间{τi}i=1，。。。通过（D.4）τi=infnt构造≥ 0 | Ui=e-Rtγ-udo；i=1。注意{τi}i∈i是给定FWT的P条件i.i.d.，每个都有共同的P-强度γ。现在，考虑一个大的池，由许多贷款组成，这些贷款（一致地）都非常小。更准确地说，对于i=1。。。，N setτ是N-loanpool中ithloan的提前还款时间，每笔贷款的规模为1/N。池中有共同的合同利率m，因此相应的主平衡和息票为pi（t，m）=（1/N）p（t，m）（其中p来自（2.3）和ci=（1/N）m/（1）-E-mT）=（1/N）c（m）对于i=1。。。，N.因此，池的累积现金流为：CN（t）=NNXi=1c（t∧ τi）+NNXi=1p（τi，m）1τi≤t、 根据条件大数定律和[28，定理6.6]中的Glivenko-Cantelli型定理，我们几乎可以肯定地得到P-limN↑∞监督∈[0，T]| CN（T）- C（t）|=0，其中t≤ T和τ是τi:C（T）=cEht的一般副本∧ τFfWTi+Ehp（τ，m）1τ≤TFfWTi，=cte-Rtγudu+cZtuγue-Ruγvdtdu+Ztp（u，m）γue-我是VDU。现金流量率isC（t）=ce-Rtγudu+p（t，m）γte-Rtγudu。因此，大型游泳池的价格由EQ给出ZT（c+p（t，m）γt）e-Rt（ru+γu）dudt= 1+EQZT（m）- rt）p（t，m）e-Rt（ru+γu）dudt,其中最后一个不等式使用（2.1）和分部积分。

这将产生（2.7）和γ，γ是预处理强度。该推导在[11,12]中被暗指（如果没有明确给出），并使用了与[14]中类似的论点。36 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSOND。2.单一贷款池。这里，我们假设除了(Ohm, G、 P）支持与P无关的U（0，1）随机变量U。随机时间τ如（D.4）所示，其中γ是一个非负的、可积的、FfWadapted过程。与τ相关的是指示过程H={Ht}t≥当Ht=1τ>t时，H生成过滤FH={Ht}t≥0via Ht=σ（Hs；s≤ t） τ显然是停止时间。此外，FHP和FFP软件是独立的。最后，放大的过滤G是由FFF和FH的P-增强版本生成的，并且是右连续的[13，定理1]。现在，让我们来谈谈∈ FfWand t≥ 0.我们清楚地知道EP[1τ>tA]=EPh（1）- E-Rtγudu）1和hencePPτ>tFfW= 聚丙烯τ>tFfWt= 1.- E-所以γ是τ的（P，FfW）强度。扩大上述市场，以适应G交易策略。虽然这个市场现在还不完整，但最小熵鞅测度（与上面的符号相同）满足QDPGT=ZT；T≥ 0.事实上，这一事实已在[1,21]和其他文献中得到证明。接下来，我们声称γ也是τ的Q强度。看到这张纸条~ 自Q[U]以来Q下的U（0，1）≤ u] =EP[1U≤uZT]=P[U≤ u] =u。接下来，对于所有A，u与FfWsince无关∈ FFWTT≥ 0:Q[U≤ u、 A]=EP[1U≤uAZT]=P[U≤ u] Q[A]=Q[u≤ u] Q[A]，因此Q独立性随之而来。因此∈ FfWand t≥ 0:Q[τ>t，A]=EQhAEQhU>e-RtγuduFfWii=EQhA1.- E-Rtγudui、 证明γ是τ的Q强度。

现在，从（2.5）中的抵押贷款价格开始，Q现在是扩大市场中的最小熵度量，等式（2.7）仍然成立（见（2.6）），因此（2.7）和（2.8）成立。参考文献[1]D.Becher，《恒定绝对风险规避下综合风险的理性对冲和估值》，保险数学。经济。，33（2003），第1-28页。[2] P.CHERIDITO，D.FILIPOVI\'C和M.YOR，跳跃扩散过程的等效和绝对连续测量变化，Ann。阿普尔。Probab。，15（2005），第1713-1732页。[3] 邓Y，J.M.奎格利和R.范·奥德，《抵押贷款终止，异质性和抵押贷款期权的行使》，计量经济学，（2000），第275-307页。[4] K.B.DUNN和J.J.MCCONNELL，gnma抵押贷款支持证券定价替代模型的比较，金融杂志，36（1981），第471-484页。[5] L.C.埃文斯，《偏微分方程》，数学研究生研究第19卷，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，1998年。[6] A.弗里德曼，《抛物线型偏微分方程》，普伦蒂斯·霍尔公司，新泽西州恩格伍德悬崖，1964年。[7] ，随机微分方程与应用，多佛出版公司，纽约州米诺拉，2006年。两卷合一，翻印1975年和1976年的原著，分两卷出版。内生电流优惠券37[8]D.GILBARG和N.S.TRUDINGER，二阶椭圆偏微分方程，数学经典，Springer Verlag，柏林，2001年。1998年版的再版。[9] Y.GONCHAROV，一种基于强度的抵押合同估值和内生抵押利率计算方法，Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，第9期（2006年），第889-914页。[10] ，计算无迭代的内生抵押贷款利率，定量金融，9（2009），第429-438页。[11] ，关于内生抵押贷款利率过程的存在性，数学。《金融》，第22期（2012年），pp。

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