内生流动息票

具体来说，我们有gmn（x）（t，y）=（mn（x）- y（1））1- E-mn（x）（T）-t） mn（x）；hmn（x），mn（y）=y（1）+γ（y，mn（x），mn（y））。我们从（B.9）和（B.10）中得出，引理A.4的假设是满足的（自mn起α=α）∈ 给定任意α的Cα（Dn）∈ （0，β），因此对于所有β∈ （0，1）通过取α∈ （0,1），α<β：kumn（x），mnkCβ（D~n）≤ ∧（~n，β）|gmn（x）|0，~n+1+|umn（x），mn | 0，D | n+1≤ ∧（~n，β）∧（n+1）+C（1）~n+1+|umn（x），mn | 0，D |n+1.现在，对于y∈ D~n:|umn（x），mn（y）|=|kn（mn（x），y；锰|≤ZT1.- E-mn（x）（T）-（t）EQyht≤τne-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））duidt+EQy“ZT∧τnrt1- E-mn（x）（T）-t） mn（x）e-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））dudt+mn（x）n≤ T+T等式ZT∧τnrte-Rtrududt+∧（n+1）n≤ 2T+λ（~n+1）~n=λ（~n+1）。因此我们得出结论| umn（x），mn | 0，D | n+1≤ λ（~n，β），因此|kn（mn（x），x；mn）- kn（mn（x），y；mn）|≤ ∧（~n，β）|x- y |β。将这两个估计值加在（A.22）中，得出| mn（x）- mn（y）|≤ ∧（~n，β）|x- y |β， x，y∈ 根据（A.21）完成证明。有了这些准备，我们现在就可以证明定理3.9了。定理3.9的证明。注意，（3.7）相当于tom（x）=exhrtp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudtiExhRTp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu））dudti；十、∈ D.让α∈ (0, 1). 根据引理A.10，存在一个正常数∧（1，α），使得n>1，我们有kmnkα，D≤ Λ(1, α). ArzeláAscoli定理证明了{mn（x）}n>1的子序列的存在，我们将其表示为bynmn（1）k（x）ok∈N、 还有一些m（1）∈ k每n（1）k，mn（1）k代表x的（A.21）质量∈ 使mn（1）k（x）在Das k中一致收敛于m（1）（x）→ ∞, 用km（1）kα，D≤ Λ(1, α).再次应用引理A.10，我们发现存在一个正常数∧（2，α），这样n（1）k>2，我们有kmn（1）kkα，D≤ Λ(2, α).

ArzeláAscoli定理再次证明了子序列24 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSONofnmn（2）k（x）ok的存在性∈和一些m（2）∈ k使得mn（2）k在Das k中均匀地收敛到m（2）→ ∞, 用km（2）kα，D≤ Λ(2, α). 注意，通过构造，m（2）（x）=m（1）（x）代表x∈ D.上述程序可以反复执行，我们得出结论：L∈ N、 存在一个子序列{mn（l）k}k>1，用{mn（l+1）k}k表示∈N、 函数m（l+1）∈ Kl+1，使得mn（l+1）kC在Dl+1as k中均匀地收敛于m（l+1）→ ∞, km（l+1）kα，Dl+1≤ ∧（l+1，α）。此外，通过构造，m（l+1）（x）=m（l）（x）代表x∈ Dl。现在，为了所有的x∈ D、 有一些我∈ N这样x∈ Dk，K≥ l、 我们定义了m:D→ [0, ∞) 由（A.23）m（x）：=m（l）（x），注意，通过构造，m被很好地定义，m（x）∈ Cαloc（D），α ∈ (0, 1). 我们声称m是设计的固定点。事实上，Fix l并注意到∈ 我们有m（x）=limk→∞mn（l′）k（x）表示anyl′≥ l、 因此，对于任何l′≥ l我们可以用（A.21），m（x）=limk来写→∞前任RT∧τn（l′）krtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特林克→∞前任RT∧τn（l′）kp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特+mn（l′）k（x）n（l′）k1-E-mn（l′）k（x）！=：A（l′）B（l′，（A.24）式中，（回忆x∈ D和l是固定的）A（l′）=limk→∞前任ZT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！杜+ 林克→∞前任ZT∧τn（l′）kT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特= 前任ZT∧τl′rtp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt+ 林克→∞前任ZT∧τn（l′）kT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特,上面的第二个等式来源于自0以来的有界收敛定理≤ P≤ 1, 0 ≤ rt≤ C（1）l′，γ≥ 0和自mn（l′）k（Xu）→ m（徐）几乎可以肯定是为了u≤ τl′，而且，由于≥ l、 来自x∈ Dl Dl′内生电流：25somn（l′）k（x）→ m（x）。

至于第二学期，我们有0≤ 前任ZT∧τn（l′）kT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特,≤ 前“ZTT∧τl′rte-Rtrududt#。拿l\'↑ ∞ 利用X的非爆炸性和单调收敛定理，它就得到了thatliml′↑∞A（l′）=ExZTrtp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt.对B（l′）重复同样的计算，并注意到唯一的区别是a）不存在Rt，这对t是有界的≤ τl′，b）分数mn（l′）k（x）/（n（l′）k（1）- E-mn（l′）k（x）），这显然会消失↑ ∞, 这与x的情况类似∈ Dl:liml′↑∞B（l′）=ExZTp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt.因此，由于（A.24）左侧的m（x）不依赖于l′，因此结果如下。附录B.引理A.5第A.3节的补充证明。注意，对于t，rt，γ（Xt，m，η（Xt）是非负的，并且在上面由C（1）n+Bγ（n）一致地限定≤ τn。

此外，从（3.4）和（3.5）中，我们得到了所有x的结果∈ Dn，m，z≥ 0表示（B.1）γm（x，m，z）≤ min{Bγ（n）+Lγ（n）m，Ξ（mT）}≤Bγ（n）+Lγ（n）m≤ 1Ξ（T）m>1:=m（n），因此γm（Xt，m，η（Xt））几乎肯定在T上有界≤ τnb是一个仅依赖于n的常数。因此，根据有界收敛定理，我们可以将微分算子（关于m）拉到期望值内，并在（a.9）中积分，以获得mkn（m，x，T；η）=ExZT∧τnM1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））dudt+n、 26 ZHE CHENG和SCOTT Robertson通过微分和收集项（同样，积分和导数的所有互换都是基于当前的假设），我们得到了（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））du×M1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（rn+γ（Xu，m，η（Xu）））du= rt1- E-m（T）-t） m-（T）- t） e-m（T）-t） m+1- E-m（T）-t） mZtγm（Xu，m，η（Xu））du！+（T）- t） e-m（T）-（t）- (1 - E-m（T）-t） Ztγm（Xu，m，η（Xu））du。（B.3）对于所有m>0，t≤ T计算表明（B.4）为0≤1.- E-m（T）-t） m-（T）- t） e-m（T）-t） m≤（T）-t） )；0≤1.- E-m（T）-t） m≤ （T）- t） 。从0开始≤ γm（x，m，z）≤M（n）和0≤ rt≤ C（1）在Dnit中，最确定的是（B.3）的右边在（B.5）（T）之下- t） e-m（T）-（t）- (1 - E-m（T）-t） Ztγm（Xu，m，η（Xu））du，以及从上面的byC（1）n（T）- t） +（t）- t） tM（n）+ （T）- t） 。（A.10）中的上限如下。至于下限，从（3.5）我们有（T）- t） e-m（T）-（t）- (1 - E-m（T）-t） Ztγm（Xu，m，η（Xu））du≥ （T）- t） e-m（T）-（t）- Ξ（mT）t（1）- E-m（T）-t） ）；≥ 0.（B.6）要查看第三个不等式，请注意（书写β=1）- t/t和分子和分母乘以t）Ξ（mT）=infβ∈（0,1）βe-βmT（1）- β)(1 - E-βmT）=inft∈（0，T）（T）- t） e-m（T）-t） t（1）- E-m（T）-t） 因此，从（B.3）可以得出，几乎可以肯定的是，对于所有的m>0和t≤ T∧ τnthatM1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（rn+γ（Xu，m，η（Xu）））du≥ 0得出（A.10）中的上限。

最后，从（B.3）中可以明显看出，mapm 7→ M1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（rn+γ（Xu，m，η（Xu）））du几乎可以肯定，它在m中是连续的，并且与上界c（1）n是非负的T+TM（n）+ T、 内生电流，因此根据有界收敛定理，映射M7→ mkn（m，x；η）是连续的，每一个都大于0。转到（A.11），写出kn（m，·；η）=um，η，其中um，η（x）：=Ex“ZT∧τn（m）- rt）1- E-m（T）-t） 我-Rt（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））dudt#；十、∈ Dn（B.7）um，η的形式为（A.3），其中gm（t，x）：=（m- x（1））1- E-m（T）-t） mhm，η（t，x）=hm，η（x）：=x（1）+γ（x，m，η（x））。（B.8）计算显示0<m≤ C（1）n（B.9）极限↑T、 y→xgm（t，y）=0，x∈ Dn|gm | 0，n≤ C（1）新界；[gm]α，n≤ C（1）nT1-α/2+T（C（1）n）1-α和| hm，η|0，n≤ C（1）n+Bγ（n）；[hm，η]α，n≤ （C（1）n）1-α+Lγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn）（2Cn）1-α+kηkα，Dn,（B.10）注意，上述可使所有kηkα，Dn一致≤ R表示任何R>0。因此，引理A.2给出了（A.11）中的上界。引理A.6的证明。我们有kn（m，·；η）- kn（m，·；η）=um，η- η，其中η来自（B.7）。对于0<m，m≤ C（1）n，来自（B.9），（B.10）（适用于各自的mi，ηi），它来自引理A.2，对于umi，ηi=umi，ηi（0，·），其中umi，η隔离（A.4）中给出的线性抛物线PDE。此外，|Umi，ηi | 2，α，Dn≤ C（n，kηikα，Dn），其中kηikα，Dn的有界常数是一致的≤ R.定义V:=嗯，η- 嗯，η。然后V解线性抛物线偏微分方程（B.11）Vt+LV- hm，ηV=-~g，（t，x）∈ Qn，V（T，x）=0，x∈ Dn，V（t，x）=0（t，x）∈ [0，T]×Dn，我们设置的位置（回忆（B.8））：~g（t，x）：=gm（t，x）- gm（t，x）+Um，η（t，x）（hm，η）- hm，η）（x）。（B.12）从（B.10）中我们得到了|hm，η|α，nis，由一个只依赖于upon，kηkα，Dn的常数来限定（如果kηkα，Dn，可以使其一致）≤ R） 。

一个冗长但直接的计算表明| gm- gm | 0，n≤T+C（1）nT|M- m |，| hm，η- hm，η| 0，n≤ Lγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn+| m- m|.28 ZHE CHENG和SCOTT Robertson注意到，上述情况同样可以使kηikα，Dn统一≤ 下面的R引理B.1表明存在常数∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）（对于kηkα，Dn，kηkα，Dn是一致的）≤ R） 因此[gm]- gm]α，n≤（1+2tc（1）n）T1-α/2+T（C（1）n）1-α|M-m |，[hm，η- hm，η]α，n≤∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn+| m- m | kη-ηkα，Dn.（B.13）从（B.12）开始，它很容易从| Um，η| 2，α，Dn开始≤ C（n，kηkα，Dn）表示（通过潜在地扩大∧′′）|g |α，n≤∧∧（n，kηkα，Dn，kηkα，D）|M- m |+kη- ηkα，Dn+| m- m | kη- ηkα，Dn.结果来自引理A.2，因为gmand Um，η在t=t，x上取0∈ Dn，因此兼容性条件成立。我们接下来证明（A.13）。从（B.2）和（B.3）中，我们得到了mkn（m，x；η）- mkn（k，x；η）=ExZT∧τn（A（t）（B（t）C（t）+D（t））- A（t）（B（t）C（t）+D（t）））dt,（B.14）其中i=1，2Ai（t）=e-Rt（ru+γ（Xu，mi，ηi（Xu）））du；B（t）=rt，Ci（t）=mi1.- E-米（T）-（t）- 米（T）- t） e-米（T）-（t）+1.- E-米（T）-t） miZtγm（Xu，mi，ηi（Xu））du，Di（t））=（t- t） e-米（T）-（t）- (1 - E-米（T）-t） Ztγm（Xu，mi，ηi（Xu））du。使用基本估计| A（BC+D）- A（BC+D）|≤ |A | | B | | C-C |+（|B | | C |+| D |）A-A |+| A | D-D |，我们将在（A.13）中获得上界。首先，我们有几乎确定的不等式| A（t）|≤ 1; |B（t）|≤ C（1）n，| C（t）|≤ T+M（n）; |D（t）|≤ T（1+M（n））。在上面，我们使用了γ≥ 0, 0 ≤ rt≤ C（1）非t≤ τn，（B.4）和（B.1）。

接下来是| C（t）- C（t）|≤1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m+1.- E-m（T）-t） mZT |γm（Xu，m，η（Xu））- γm（Xu，m，η（Xu））|du+ZTγm（Xu，m，η（Xu））du1.- E-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-t） m.地图M7→ (1 -E-m（T）-（t）-m（T）-t） e-m（T）-t） ）/mhas衍生物-（2/m）（1）-E-m（T）-（t）-m（T）-t） e-m（T）-（t）- （1/2）米（T）- t） e-m（T）-t） ）是非正的，并且以（t）的绝对值为界-t） /3≤ T/3。因此1.- E-m（T）-（t）-m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m≤T | m- m |。第二学期我们有1个- E-m（T）-t） mZT |γm（Xu，m，η（Xu））- γm（Xu，m，η（Xu））|du≤ TLγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.对于第三项，我们有ztγm（Xu，m，η（Xu））du1.- E-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-t） m≤TM（n）|m- m |，从M7开始→ (1 - E-m（T）-t） ）/m有一个以（t）为界的导数- t） /2。因此，我们可以找到一个常数（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn），因此几乎可以肯定t≤ T | C（T）- C（t）|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.接下来，通过r，γ的非负性和| e-A.- E-b|≤ |A.- b |对于a，b≥ 0，这对t来说几乎是肯定的≤ T∧ τn:|A（t）- A（t）|≤ZT |γ（Xu，m，η（Xu））- γ（Xu，m，η（Xu））|du，≤ tlγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn,= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dm.30郑哲和斯科特·罗伯茨最后，我们有| D（t）- D（t）|≤ TE-m（T）-（t）- E-m（T）-（t）+ (1 - E-m（T）-t） ZT |γm（Xu，m，η（Xu））- γm（Xu，m，η（Xu））|du+ZTγm（Xu，m，η（Xu））duE-m（T）-（t）-E-m（T）-（t）,≤ T | m- m |+tlγ（n∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn+M（n）T|M- m |，≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.把这些放在（B.14）中，就得到了所有的x∈ 是吗|mkn（m，x；η）- mkn（m，x；η）|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M-m |+kη- ηkα，Dn,这是理想的结果。引理。对于0<m，m≤ C（1）n，η，η∈ Knand gm，（B.8）中的hmas（B.13）中的不等式成立。证据

这个证明是基于泰勒公式的冗长计算，利用γ都是C的事实，以及阶导数≤ 2可以连续扩展到D×{0}×{0}，以及所有阶导数≤ 2是Lipschitz常数为Lγ（n）的‘Dn×[0，n]×[0，n]中的Lipschitz连续。特别是对于γ的任意阶偏导数u≤ 2，任意n和常数mn，zn>0supx∈Dn，m≤mn，z≤zn|u（x，m，z）|<∞,supx，x′∈Dn；m、 m′≤锰；z、 z′≤zn | u（x，m，z）- u（x′，m′，z′）|≤ Lγ（n）∨ 锰∨ 锌）|十、- x′|+|m- m′|+| z- z′|.上述不等式在续集中反复使用。此外，C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）是一个常数，它可以在不同的直线之间变化，并且对于kηkα，Dn，kηkα，Dn，kηkα，Dn，始终可以在η中保持一致≤ 现在，对于s，t<t，x，y∈ Dnwe havegm（t，x）- 总经理（t，x）- （总经理（s，y）- gm（s，y））=（m- x（1））1- E-m（T）-t） m- （m）- x（1））1- E-m（T）-t） m-（m）- y（1））1- E-m（T）-s）m- （m）- y（1））1- E-m（T）-s）m=Zmm（T- t） e-m（T）-t） +x（1）米1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-（t）!dm-Zmm（T- s） e-m（T）-s） +y（1）m1.- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-（s）!马克。我们现在有Zmm（T）- t） e-m（T）-（t）-（T）- s） e-m（T）-（s）dm=ZmmZtse-m（T）-τ）（m（T）- τ ) - 1） dτdm≤ （1+C（1）nT）|t- s | | m- m |。接下来，我们有x（1）米1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-（t）-y（1）m1.- E-m（T）-（s）-m（T）- s） e-m（T）-（s）≤ x（1）1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m+ |x（1）- y（1）|1- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-s） m.任何k≥ 0函数m 7→ M-2.1.- E-公里-kme-公里是非负的，在m>0时递减，极限为m→ （1/2）k中的0。利用这个我们有| x（1）- y（1）|1- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-s） m≤（T）- s） |x（1）- y（1）|≤T | x（1）- y（1）|。接下来，对于任何m>0，映射M7→ M-2.1.- E-m（T）-τ )- m（T）- τ） e-m（T）-τ )有导数-（T）-τ） e-m（T）-τ）的绝对值在τ上有界≤ 一点一点。

这意味着X（1）1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m≤ C（1）nT | t- s |。把这两个术语放在一起就可以Zmmx（1）m1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-（t）-y（1）m1.- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-（s）!dm≤T | x（1）-y（1）|+C（1）nT | t- s||M- m |。因此| gm（t，x）- 总经理（t，x）- （总经理（s，y）- 总经理（s，y））|≤ |M- m|（1+2C（1）nT）|t- s |+T | x（1）- y（1）|,因此[gm]- gm]α，n≤ |M- m|（1+2C（1）nT）T1-α/2+T（C（1）n）1-α,也就是（B.13）对于g，把ai（x）写成（x，mi，ηi（x）），对于i=1，2和x∈ Dn。组（B.15）Mn:=n∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn，注意（B.16）ai（x）∈\'EMn=\'DMn×[0，Mn]×[0，Mn]；十、∈ Dn。32郑哲和斯科特·罗伯逊我们从二阶泰勒公式中得到η（x）- hm，η（x）- （hm，η（y）- hm，η（y））=γ（a（x））- γ（a（x））- （γ（a（y））- γ（a（y）），=（m- m） （γm（a（x））- γm（a（y））+γz（a（x））（η（x）- η（x））- γz（a（y））（η（y）- η（y））+（m- m）Rmm（a（x）a（x））- Rmm（a（y）a（y））+ Rzz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rzz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））+2（m- m）Rmz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rmz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））.（B.17）这里，对于a（x），a（x），x∈ Dnwe有setRmm（a（x）a（x））=Z（1）- u） γmm（a（x）+u（a（x）- a（x）））du，=Z（1）- u） γmm（x，m+u（m- m） η（x）+u（η（x）- η（x）））du，以及Rzzand Rmz的类似公式。自m+u（m- m） 介于m和η（x）+u（η（x）之间- η（x））介于η（x）和η（x）之间，该公式立即给出（回忆（B.16））Rmm（a（x）a（x））≤x，m，z∈En |γmm（x，m，z）|=C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn），（B.18）（使用Rmz，Rzz的类似公式）以及Rmm（a（x）a（x））- Rmm（a（y）a（y））≤ Lγ（Mn）Z（1）- u） （|x）- y |+|（1）- u） （η（x）- η（y））+u（η（x）- η（y））|）du，≤Lγ（Mn）|十、- y |+kηkα，Dn | x-y |α+kηkα，Dn | x- y |α,= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|x- y |α，（B.19）（与Rzz、Rmzas井的类似公式）。我们现在使用（B.18），（B.19）分别约束（B.17）右侧的五个条款。

首先，|（m）- m） （γm（a（x））- γm（a（y）））|≤ |M- m | Lγ（Mn）|十、- y |+kηkα，Dn | x- y |α,≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | | x- y |α。内生电流|γz（a（x））（η（x）- η（x））- γz（a（y））（η（y）- η（y））|≤ |γz（a（x））| |η（x）- η（x）- （η（y）- η（y））|+|η（y）- η（y）| |γz（a（x））- γz（a（y））|，≤ x，m，z∈\'EMn|γz（x，m，z）| kη- ηkα，Dn | x-y |α+kη- ηkα，DnLγ（Mn）|十、- y |+kηkα，Dn | x- y |α,= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，D | x- y |α。第三，从（B.19）我们得到（m）-m）Rmm（a（x）a（x））- Rmm（a（y）a（y））≤ C（1）nC（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | | x- y |α，=C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | | x- y |α。第四（召回）（B.18）、（B.19）和a- b=（a）- b） （a+b））Rzz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rzz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））≤Rzz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- （η（y）- η（y））+ （η（y）- η（y））Rzz（a（x）a（x））- Rzz（a（y）a（y））,≤ 2C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn | x- y |α+kη- ηkα，DnC（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|x- y |α，=C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，D | x-y |α。最后，还是第五次2（m）-m）Rmz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rmz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））≤ 2米- m | | Rmz（a（x）a（x）| |η（x）- η（x）- （η（y）- η（y）|+2 | m- m | |η（y）- η（y）|Rmz（a（x）a（x））- Rmz（a（y）a（y））,≤ 2米- m|C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn | x- y |α+C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|x- y |α= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | kη-ηkα，D | x- y |α。将上述（B.17）中的五个估计值相加，我们得到| hm，η（x）- hm，η（x）- （hm，η（y）- hm，η（y））|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn+| m- m | kη- ηkα，Dn|十、- y |α，由此得出（B.13）中的结果。34 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSONAPPENDIX C.技术结果下列引理表明，对于所有≥ 0，平衡点p（t，m）第一次降到或低于1/2至少是t/2：引理C.1。对于所有m>0，infT∈ [0，T]：p（T，m）≤ (1/2)≥ T/2。证据假设对于某些m>0，t∈ [0，T]，p（T，m）=2。