内生流动息票

我们首先回顾椭圆和抛物线H"older空间的标准定义。有关此类空间的更全面介绍，请参见[8]中的椭圆情况和[6,17,5]中的抛物线情况。修理∈ N，回忆一下域（即开连通区域）dn是以光滑边界为界的。为了k∈ N、 用Ck（Dn）表示函数u在Dn上的集合，使得所有阶偏导数≤ k是连续的，由Ck（Dn）表示具有阶偏导数的函数的子空间≤ k，它可以连续扩展到Dn。接下来，对于给定的函数u，在dn和α上∈ （0,1]集| u | Dn:=supx∈Dn | u（x）|；[u] α，Dn:=supx，y，∈Dn，x6=y | u（x）- u（y）| | x- y |α。内生电流：空间Ck，α（Dn）被定义为Ck（Dn）的子集，由那些函数u组成，其序的部分导数≤ k具有有限|·| Dnnorm，其k阶偏导数具有有限[·]α，Dnnorm。在空间Ck上，α（Dn）定义范数（A.1）kukk，α，Dn:=|u | Dn+kXj=1sup |β|=j | Dβu | Dn+sup |β|=k[Dβu]α，Dn，其中β是由D个非负整数β。。。，β和|β|=Pdi=1β和βu=|β|β,...,众所周知，范数为k·kk，α，Dn的Ck，α（Dn）是Banach空间。最后，当k=0时，对于C0，α（Dn）和k·kα，对于k·k0，α，Dn。对于抛物线H"older范数，定义域Qn:=（0，T）×Dn。典型的P点∈ qn表示形式P=（t，x），0<t<t，x∈ Dn。对于P=（t，x），P=（\'t，\'x）∈ Qn，np，Pis d（P，P）=（|x）之间的抛物线距离- \'x |+| t-“t|”）。现在，让我们∈ （0，1）。我们回顾了定义在Qn:|u | 0，n:=su pP上的函数的标准H"older范数的定义∈Qn | u（P）|；[u] α，n:=supP，P∈Qn，P6=P | u（P）- u（P）| d（P，P）α|u |α，n:=|u | 0，n+[u]α，n|u | 2+α，n=|u | 0，n+dXi=1 | Diu | 0，n+dXi，j=1 | Diju |α，n+| Dtu |α，n.（A.2）以上，Diu=D0，。。。，1.0和Diju=D0，。。。，1.1.

.0u，分别位于i和i，j处。我们现在证明了三个引理，它们建立了一些条件期望表达式的k·kα，Dnnorm和k·k2，α，Dnnorm的先验估计（局部和全局），这在下面的证明中是必要的。对于每个n，用τn表示过程X从Dn的首次退出时间。下面的每个引理都与函数u:Dn7有关→ 定义为（A.3）u（x）：=ExZT∧τng（t，Xt）e-Rth（u，Xu）dudt; 十、∈ Dn，其中g（t，x）和h（t，x）是定义在Qn上的函数。为了便于表述，下面的边界常数可能会随着线的变化而变化，并且假设常数中的n会吸收假设3.2–3.6中的K（n）、K（n）、Bγ（n）、Lγ（n），以及维度d、抛物线域Qn和地平线T。我们将保持对H"older参数α的依赖。引理A.2（全局C2，α估计）。让我们看看Dn7→ R在（A.3）中定义，并假设某些α∈ （0,1]，g和h满足| g |α，n<∞; |h |α，n≤ 李米→x、 t→Tg（t，y）=0；十、∈ 对于某些正常数K（n）。Thenkuk2，α，Dn≤ C（n，K（n），α）·| g |α，n.16郑哲和斯科特·罗伯逊。显然u（x）=u（0，x），其中u（t，x）：=ExZT∧τntg（s，Xs）e-Rtsh（θ，Xθ）dθdt; T≤ T、 x∈ Dn。在给定的正则性和椭圆性假设下，[6，定理3.7]暗示U是Cauchy-Dirichlet问题（A.4）的唯一解Ut+LU- h（t，x）U=-g（t，x），（t，x）∈ Qn，u（T，x）=0，x∈ Dn，u（t，x）=0（t，x）∈ [0，T]×Dn。边界Schauder估计（见[6，定理3.6，3.7]），并注意g为t的条件↑ T、 y→ x是其中的相容条件）对于抛物型方程yieldskuk2，α，Dn≤ |U | 2+α，n≤ C（n，K（n），α）|g |α，n。引理A.3（全局Cα估计）。让我们看看Dn7→ R在（A.3）中定义，并假设某些α∈ （0，1）g，h满足| g |α，n<∞, |h |α，n<∞, |h | 0，n≤ K（n），对于某些正常数K（n）。那么无论如何∈ （0,1）kukα，Dn≤ C（n，K（n），α，α）·g | 0，n.证明。

由于g，h是α-h"older连续的，我们可以调用[7，定理5.2]关于抛物型偏微分方程解的随机表示，写出u（x）=u（0，x），其中u满足线性抛物型偏微分方程（A.4）。利用[17，定理7.3.2]中抛物型方程的边界W2,1估计，我们得到了所有p>1，kUkLp（Qn）+kDU-kLp（Qn）+kUtkLp（Qn）≤ C（n，K（n），α）|g | 0，n.现在，让α∈ (0, 1). 由于Qnis是一个Lipschitz域，我们可以应用Sobolev嵌入（Morrey\'sinequality）得到，对于一个足够大的p，取决于α（以及模型系数、域、α等），kukα，Dn≤ |U |α，n≤ C（n，K（n），α，α）kUkW1，p（Qn）≤ C（n，K（n），α，α）|g | 0，n。引理A.4（内部Cα估计）。让我们看看Dn7→ R在（A.3）中定义，并假设某些α∈ （0，1）g，h满足| g |α，n<∞, |h |α，n<∞, |h | 0，n≤ K（n），对于某些正常数K（n）。让α∈ (0, 1). 然后我们得到了所有的m<n thatkukα，Dm≤ C（m，K（m+1），α，α）·（|g | 0，m+1+|U | 0，m+1），内生电流优惠券17，其中U满足线性抛物线偏微分方程（A.4）。证据同样，u（x）=u（0，x），其中u满足（A.4）。SetQ\'m：=0，T×Dm。为了p≥ 2，抛物型方程[17，定理7.22]的内部W2,1估计yieldskUkLp（Q′m）+kDU-kLp（Q′m）+kUtkLp（Q′m）≤ C（m，K（m+1），α）（|g | 0，m+1+|U | 0，m+1）。由于Q′mis是一个Lipschitz域，所以Sobolev嵌入可以产生任何α∈ （0，1）取p大的enoughthatkukα，Dm≤ kUkα，Q′m≤ C（m，K（m+1），α，α）kUkW1，p（Q′m）≤ C（m，K（m+1），α，α）（|g | 0，m+1+|U | 0，m+1），其中我们在区域Q′m上设置了K·Kα，Q′masα-H"older范数。A.3。局部问题。在本节中，假设3.2–3.6有效。

对于每个x，我们首先看到函数m=mnon（与（3.7）相比）∈ Dn:（A.5）ExZT∧τn（m（x）- rt）p（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt+m（x）n（1）- E-m（x）T=0。上面的第二项是一个修正项，用来建立解m的局部正则性，它将消失为n↑ ∞. 为了确定解的存在性，让α∈ （0,1）和fix a函数η∈ KNW此处（A.6）Kn：=η ∈ Cα（Dn）：η≥ 0,求函数mn=m，求函数η∈ Dn:（A.7）ExZT∧τn（m（x）- rt）p（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），η（Xu）））dudt+m（x）n（1）- E-m（x）T=0。也就是说，我们用η（Xt）代替γ中的mn（Xt）。从林姆开始↓0m/（1）- E-当m（x）=0时，我们将上述第二项定义为0。下面的命题A.7确定了此类函数mn，η的存在性和唯一性。这定义了映射An[η]：=mn，η。使用上一节中建立的a-prioi估计，我们随后验证该映射满足Schaefer定理a.1的假设，因此存在满足mn=An[mn]的固定点，这相当于mnsolving（a.5）。在证明命题A.7之前，我们陈述了附录B中证明的两个技术引理。首先，定义（A.8）C（1）n:=supnx（1）：x∈ Dno；Cn:=sup{| x |：x∈ Dn}，注意（A.5）的任何解都必须先验地满足0≤ mn（x）<C（1）n。此外，如前一节所述，下面的边界常数可能会随着线的变化而变化，它们对n的依赖性被理解为吸收了对假设3.3,18 ZHE CHENG和SCOTT Robertson 3中常数K（n）、K（n）、Lγ（n）、Bγ（n）的依赖性。6，以及区域Dn、维度d和成熟度T。来说明引理，对于η∈ KND确定x的函数kn（m，x；η）∈ Dn，m>0乘以（A.9）kn（m，x；η）：=mExZT∧τn（m）-（右）1.- E-m（T）-（t）E-Rt（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））dudt+mn，并从（2.3）中注意到（A.7）对于每个x保持if∈ 我们可以找到m=m（x）=mn，η（x）>0，这样KN（m，x；η）=0。

第一个技术引理建立了固定η的knin（x，m）的正则性。引理A.5。让α∈ （0,1）和η∈ Knand在（A.9）中定义knas。然后1）对于固定的x∈ Dn，kn（·，x；η）在（0，∞). 此外，存在常数A（n），使得对于所有η∈ Kn，m>0和x∈ Dn:（A.10）n≤ mkn（x，m；η）≤ A（n）.2）对于固定的m>0，kn（m，·η）∈ 存在一个常数∧（n，kηkα，Dn），使得对于所有0<m≤ C（1）n（A.11）kkn（m，·η）k2，α，Dn≤ ∧（n，kηkα，Dn）。对于R>0，对于kηkα，Dn，可以使∧（n，kηkα，Dn）均匀（即仅取决于n，R）≤ R.第二个引理建立了KNW关于m和η变化的规律性。引理A.6。对于η，η∈ Knand 0<m，m≤ C（1）n存在一个常数∧′（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn），因此kkn（m，·η）- kn（m，·η）k2，α，Dn≤ ∧′（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn+| m- m |+kη- ηkα，Dn | m- m|.（A.12）和supx∈Dn|mkn（m，x；η）- mkn（m，x；η）|≤ ∧′（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.（A.13）对于所有kηkα，Dn，kηkα，Dn，常数∧′可以是一致的≤ R表示R>0。已经确定了规则，我们现在在场：命题A.7。对于α∈ （0,1）和η∈ Kn，存在一个唯一的函数m=mn，η，在Dn中严格为正，在Dn中求解（a.7）。mn，η在具有梯度的dn中是连续可微的（A.14）xmn，η（x）=-xkn（m，x；η）mkn（m，x；η）m=mn，η（x）。此外β ∈ （α，1），满足以下对β-H"older范数的先验估计：（a.15）kmn，ηkβ，Dn≤ C（n，β），内生电流，其中C（n，β）不依赖于η。命题A.7的证明。如上所述，每个x∈ Dnto find m=m（x）=mn，η（x），使kn（m，x；η）=0。从引理A.5我们知道knis严格地以m递增。

此外，由支配收敛定理和γ≥ 0，rt≤ C（1）n，t≤ τnwe havelim↓0kn（m，x；η）=-前任ZT∧τnrt（T- t） e-Rt（ru+γ（Xu，0，η（Xu）））dudt< 0;林姆↑∞kn（m，x；η）=∞.所以对于任何x∈ dn存在唯一的m（x）>0，使得kn（m（x），x；η） =0，这定义了mapm=mn，η：Dn7→ (0, ∞). 接下来我们展示了m in（a.15）的H"older范数的先验估计。通过定义，x、 y∈ Dn，（A.16）kn（m（x），x；η） =kn（m（y），y；η） =0，这意味着（A.17）kn（m（y），y；η) - kn（m（x），y；η） =kn（m（x），x；η) - kn（m（x），y；η).由于y是固定的，中值定理适用于M7→ kn（m，y；η）（引理A.5中的Cin m）断言m（x）和m（y）之间存在ξ，因此（A.18）mkn（ξ，y；η）·（m（y）- m（x））=kn（m（x），x；η) - kn（m（x），y；η).通过引理A.5，我们得到了（A.19）|m（x）- m（y）|≤ n | kn（m（x），x；η) - kn（m（x），y；η)|.现在，fix x（将其视为一个参数）并注意kn（m（x），·；η） =um（x），η，其中um，η在下面的（B.7）中定义。注意到m（x）≤ C（1）nit来自下面的（B.8）、（B.9）、（B.10）以及0≤y（1）+γ（y，m（x），η（y）≤ C（1）n+Bγ（n），我们可以应用引理A.3获得所有β∈ （α，1）thatkum（x），ηkβ，Dn≤ C（n，K（n），β，α）sup（t，y）∈Qnm（x）- y（1）1.- E-m（x）（T）-t） m（x）≤ C（n，K（n），β，α），其中常数K（n）与η无关。因此，从（A.19）我们得到| m（x）- m（y）|≤ n | kn（x，m（x）；η) - kn（y，m（x）；η)| ≤ C（n，K（n），β，α）|x- y |β。因为从（A.7）中可以清楚地看出mn，η<C（1）n，所以（A.15）中的估计值成立。最后，（A.14）紧跟着隐函数定理，因为引理A.5、A.6意味着对于固定η∈ Kn，Kn（m，x；η）是Cin（0，C（1）n）×Dn。根据命题A.7，我们定义了地图An:Kn7→ Knby（A.20）An[η]=mn，η；η ∈ 千牛。在证明算子An的连续性时，需要下列引理。20郑哲和斯科特·罗伯特森艾玛A.8。让α∈ （0,1）和η，η（x）∈ 千牛。设m=An[η]，m=An[η]。

然后，有一个常数∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn），它对kηkα，Dn，kηkα，Dn是一致的≤ 真是太好了∈Dn | m（x）- m（x）|≤∧∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη-ηkα，Dn，supx∈Dn|xkn（x，m（x）；η) - xkn（x，m（x）；η)| ≤∧∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη-ηkα，Dn，supx∈Dn|mkn（x，m（x）；η) - mkn（x，m（x）；η)| ≤∧∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη-ηkα，Dn。引理A.8的证明。根据m的定义，我们拥有所有x∈ DN0=kn（m（x），x；η） =kn（m（x），x；η） 和hencekn（m（x），x；η) - kn（m（x），x；η） =kn（m（x），x；η) - kn（m（x），x；η).通过中值定理应用于地图M7→ kn（m，x；η）（引理A.5中的）在m（x），m（x）之间有一些ξ，所以mkn（ξ，x；η）（m（x）- m（x））=kn（m（x），x；η) -kn（m（x），x；η). 由此得出| m（x）- m（x）|=|kn（m（x），x；η) - kn（m（x），x；η)||mkn（ξ，x；η）|，≤ n∧′n、 kηkα，Dn，kηkα，Dnkη- ηkα，Dn，＝∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn。其中不等式来自引理A.6中的（A.12），因为0<m（x）<C（1）非Dn。第二个不等式紧随引理A.6的第一个（A.12）。类似地，第三个不等式来自引理A.6的第一个（A.13）。以下命题在Kn中确立了一个固定点：命题a.9。让α∈ (0, 1). 存在mn∈ Knthat对于x是严格正的∈ Dnand求解Dn中的定点方程mn=An[mn]。同样，MNSaties（A.5）。此外β ∈ （α，1），满足以下关于Dn的β-H"older范数的先验估计：kmkβ，Dn≤ C（n，β）。命题A.9的证明。根据定理a.1，通过验证以下步骤，不动点MN的存在性。这里，Banach空间是X=Cα（Dn），包含0的闭凸子集是kn，算子A是Anfrom（A.20）。1）映射An:Kn7→ 刀子是连续的。

对于任何η，η∈ Kn，设m=An[η]和m=An[η]。根据引理A.8的第一部分，我们只需要考虑[m- m] α，nsemi标准，显然，它足以证明supx∈Dn|x（m（x）-m（x））|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη-ηkα，Dn。为此，我们从命题A.7中得出，对于i=1。。。，d和x∈ Dn:xi（m（x）- m（x））=-xikn（m（x），x；η)mkn（m（x），x；η)-xikn（m（x），x；η)mkn（m（x），x；η)!,= -xikn（m（x），x；η) - xikn（m（x），x；η)mkn（m（x），x；η)+xikn（m（x），x；η) × (mkn（m（x），x；η) - mkn（m（x），x；η))mkn（m（x），x；η)mkn（m（x），x；η） 所以从引理A.5，A.8我们得到|xi（m（x）- m（x））|≤ n|xikn（m（x），x；η) - xikn（m（x），x；η） |+n∧n（n，kηkα，Dn）|mkn（m（x），x；η) - mkn（m（x），x；η)|,≤∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）n+n∧（n，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn，证明连续性。2） 映射An:Kn→ 克尼斯紧凑型。让我们来做些准备∈ (α, 1). 任意给定序列{ηi}∈Nin Kn，提案A.7收益率，我∈ N、 kAn[ηi]kCβ（Dn）≤ C（n，β）。根据H"older空间的标准紧嵌入，存在一个子序列{An[ηik]}k∈Nof{An[ηi]}i∈确保{An[ηik]}k∈n以k·kCα（Dn）范数收敛到以Kn为单位的某个极限。3） 集合{m∈ Kn:m=λAn[m]对于某些0≤ λ ≤ 1} 是有界的。假设m∈ KNSTATIS FIESM=λAn[m]约为0≤ λ ≤ 1.我们从命题A.7kmkCα（Dn）=λkAn[m]kCα（Dn）得到≤ C（n，α）。因此，Schaefer定理断言，算子ANH是一个固定点mnin Kn。根据命题A.7，MN是严格正的。此外，MN满足以下关于Dn的β-H"older范数的先验估计：kmkCβ（Dn）≤ C（n，β），β ∈ (α, 1).A.4。一个固定点的全局存在性。对于任意α∈ （0,1）和n∈ N我们现在选择mn∈ Kn确认MN是运算符Anin Kn的固定点，其中Anis来自（a.20）。现在让我们定义一个任意的∈ N

下面的引理建立了{mn（x）}n>~nin D~n的α-H"older范数的先验估计。我们采用符号∧（~n）来表示一些正常数，这些常数随着直线的变化而变化，可能取决于维数D，模型系数K（~n+1），K（~n+1）来自假设3.3，局部Lipschitzlγ（~n+1）和局部有界常数Bγ（~n+1）来自假设3.6，以及时间范围和域D~n，D~n+1。此外，如果常数取决于H"older指数β，我们将写∧（~n，β）来强调这种依赖性。因此，当我们写∧（~n）时，常数并不依赖于β.22。郑哲和斯科特·罗伯特索莱玛A.10。让β∈ (0, 1). 对于任何∈ N存在一个正常数∧（~N，β），使得n>~n，kmnkCβ（D~n）≤ ∧（~n，β）。引理A.10的证明。让α∈ (0, β). 因为mn（A.7），我们有，对于mn（x）>0，重新排列所有n的项≥ n+1和x∈ D~n:mn（x）=ExhRT∧τnrtp（t，mn（x））e-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））dudtiExhRT∧τnp（t，mn（x））e-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））dudti+mn（x）n（1）-E-mn（x）T），≤infx∈D下一个HRT/2∧τn+1e-Rt（rudu+Cγ（~n+1））dudti≤ ∧（n）。第二个不等式使用了（4.6）、引理C.1和椭圆哈纳克不等式。接下来我们来讨论β-H"older半范数。从（A.18）开始，对于所有x，y∈ 我们有（A.22）| mn（x）- mn（y）|=kn（mn（x），x；mn）- kn（mn（x），y；mn）mkn（ξ，y；mn）,式中，ξ是介于mn（x）和mn（y）之间的数。

从下面的（B.2）、（B.3）和（B.6）中，我们得到千牛m（ξ，y；mn）≥ EQy“ZT∧τnrte-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））du1- E-ξ（T）-（t）- T（ξ）- t） e-ξ（T）-t） ξdt#；≥ EQy“ZT/2∧τn+1rte-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））du1- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） mm=mn（x）∨mn（y）dt#；≥1.- E-mT/2- m（T/2）e-m（T/2）mm=mn（x）∨mn（y）EQy“ZT/2∧τn+1rte-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））dudt#；≥ ∧（n）等式“ZT/2∧τn+1rte-Rtrududt#；≥ ∧（n）。上面，第二个和第三个不等式出现在M7之后→ M-2(1 - E-m（T）-u）- m（T）- u） e-m（T）-u） 第四个不等式使用（A.21）和γ（Xu，mn（x），mn（Xu））≤对于t，Bγ（~n+1）几乎可以肯定≤ T/2∧ τn+1。最后一个不等式是取qyhrt/2的上限∧τn+1rte-rtrududitiony∈ Dnand指出，根据哈纳克不等式，如果Dn严格包含在Dn+1中，则该值严格为正。对于（A.22）中的分子，我们有kn（mn（x），x；mn）- kn（mn（x），y；mn）=umn（x），mn（x）- umn（x），mn（y），其中um，η来自下面的（B.7）。请注意，umn（x），mn的形式为（A.3），g=gmn（x），h=hmn（x），mnfrom（B.8）。