内生流动息票

假设γ：e7→ [0, ∞) 满意度1）γ∈ C（E）和每个n的阶导数≤ 2可以连续扩展到“En”，并且在“En”上用Lipschitz常数Lγ（n）进行areLipschitz连续。2）γ（x，m，z）和γm（x，0，z）分别在x上局部有界，在（m，z）和z上均匀有界。也就是说，对于eachn，有一个Bγ（n）>0，所以（3.4）supx∈Dn，m，z≥0γ（x，m，z）≤ Bγ（n）；好的∈Dn，z≥0γm（x，0，z）≤ Bγ（n）。+从技术上讲，我们也应该允许m与时间相关：即mt=m（t，Xt），但由于扩散X的时间同质性，有必要考虑mt=m（Xt）从今往后，我们将假定γ及其阶导数≤ 2在D×[0]上定义，∞) × [0, ∞) 值为零表示连续扩展。与Ξ一样，在（3.2）中，它认为≤ γm（x，m，z）≤ Ξ（mT）；十、∈ D、 m，z≥ 0.（3.5）备注3.7。关于假设3.6，γ≥ 0是标准的。局部正则性条件并不具有严格的限制性，因为我们不要求导数的大小有全局界，（3.4）是γ一致有界情况的推广。然而，条件3）值得评论。首先，当γ独立于合同利率m时，它自动成立。当γ依赖于m时，γm≥ 0是很自然的，因为预付款应该随当前息票而增加。接下来，在给定的正则性假设下（见（3.4））：（3.6）γm（x，m，z）≤ Bγ（n）+Lγ（n）m；十、∈ Dn；m、 z∈ [0，n]。因为对于小m，Ξ（mT）=1/（mT），我们看到，事实上，（3.5）对小m没有限制。但是，对于mlarge，它确实意味着γ在m中近似恒定。注意，对于T=30，阈值mT≤ 2.对m表示满意≤ 6.67%.根据以下假设，我们定义了m作为当前息票函数的含义：定义3.8。

m:D7→ [0, ∞) 如果（2.8）在Qxfor allx标准下成立，则为当前优惠券函数∈ D:即（3.7）0=ExZTp（t，m（x））（m（x）- rt）e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt; 十、∈ D.当前息票函数是非线性算子A的固定点。要看到这一点，请注意m（x）是确定性的，因此我们可以将（3.7）写成（3.8）m（x）=A[m]（x）：=ExhRTp（t，m（x））rte-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudtiExhRTp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu））dudti。上述算子的复杂特征是Ain m的非线性，以及γ对m（x），m（Xt）的联合依赖性。事实上，第一个特征意味着很难验证是否存在isa收缩，因此我们必须求助于拓扑不动点定理来证明解的存在。第二，由于m（x）的存在在期望范围内，我们先验地不期望对映射m7进行任何平滑→ A[m]，或A具有调用任何经典拓扑不动点定理所需的紧性性质。然而，通过一个微妙的本地化论证，在当前的假设下，固定点是存在的，如定理3.9所示。下面的附录A给出了详细的证明。定理3.9。让假设3.2–3.6保持不变。然后，存在一个严格正的当前息票函数M：即（3.7）保持。对于所有α，函数m都是局部α-H"older连续的∈ （0,1）。8郑哲和斯科特·罗伯逊4。摄动分析定理3.9断言了当前优惠券函数的存在。然而，由于我们的证明方法不使用收缩原理，我们不知道解是否唯一，也没有自动计算它们的方法。我们当然可以尝试（3.8）中的迭代过程，从任意函数mond开始，定义mn=A[mn]-1] n=1，2，但在没有收缩的情况下，不清楚这个过程是否收敛。

因此，在本节中，我们提供了一个扰动分析，其中，强度γ偏离了基线强度γ，而基线强度γ仅取决于过程X的因子。我们的目标是在扰动的前导阶上识别m。通过该识别，我们在下一节中提供固定点的数值近似值，并比较其性能。作为起点，我们提出了一个类似于[11，引理2.1]的命题，它表明当γ=γ（X）仅取决于因子过程X时，存在唯一的电流息票函数。提议4.1。让假设3.2–3.5保持不变。假设γ（x，m，z）=γ（x）：γ满足1）-2） 假设3.6§。然后存在一个唯一的固定点m（x）解（3.7），在这种情况下，它将（4.1）0=ExZTp（t，m（x））（m（x）- rt）e-Rt（ru+γ（Xu））dudt.对于任意α，函数m在D上是局部α-H"older连续的∈ (0, 1).命题4.1的证明。修正x∈ D、 对于t≤ T定义（T）：=Exhe-Rt（ru+γ（Xu））对；F（t）：=Ztf（u）du，g（t）：=Exhrte-Rt（ru+γ（Xu））对；G（t）：=Ztg（u）du。（4.2）接下来，定义（T，m）：=emTZT1.- E-m（T）-（t）（mf（t）- g（t））dt；T>0，m>0。请注意，对于每个x，我们将有一个（4.1）if的解决方案∈ D、 T>0我们可以找到一个m=m（x）>0的数字，使得h（T，m）=0。事实上，这是通过插入（2.3）中的p（t，m），并注意到emT，1-E-m（T）-t） 绝对是积极的。要找到这样的m，请注意h（0，m）=0和Th（T，m）=memTZT（mf（T）- g（t））dt=memT（mF（t）- G（T）），§实际上，γ只需要局部Lipschitz就可以得到结果。内生电流使h（T，m）=RTmemt（mF（T）- G（t））dt。现在，对于（4.2）中的G，我们有G（t）=ExZt（ru±γ（Xu））e-Ru（rv+γ（Xv））dvdu;= 1.- 前任Ztγ（Xu）e-Ru（rv+γ（Xv））dvdu- 告密-Rt（rv+γ（Xv））dvi；=H（t）-˙F（t），其中我们设置了H（t）：=1- ExhRtγ（Xu）e-Ru（rv+γ（Xv））dvdui。

由于r>0：（4.3）H（t）>1- 前任Zt（ru+γ（Xu））e-Ru（rv+γ（Xv））dvdu=˙F（t）>0。回到h，我们有h（T，m）=ZTmemtmF（t）+˙F（t）- H（t）dt=memTF（T）-ZTemtH（t）dt.因此，h（T，m）=0相当于F（T）-RTe-m（T）-t） H（t）dt=0。使用（4.3）可以清楚地看出，作为m的函数，左手边严格递增，取F（T）-RTH（t）dt在0处小于0，并将F（t）>0限制为m↑ ∞. 因此，有一个唯一的m，使得h（T，m）=0。关于m的规则性的陈述来自定理3.9，因为在这种情况下，固定点是唯一的。在确定了基线情况下的存在性和唯一性后，我们现在进行扰动分析。为此，假设4.2。γ（x，m，z）=γ（x）+εγ（x，m，z），其中γ满足假设3.6的第1）、2）部分和γ∈ C（E）由连续可扩张到D×{0}×{0}的导数紧支撑。在3.2–3.5和4.2的假设下，从定理3.9可以看出，对于足够小的ε>0，存在一个连续的电流息票函数mε。事实上，mε在ε的前导阶上是唯一的，并且是可明确识别的，如以下定理所示：定理4.3。假设3.2–3.5和4.2成立。对于足够小的ε>0，设mε为任意一个在D上连续的current优惠券函数。那么我们有（4.4）mε（x）=m（x）+εm（x）+o（ε）。上面，x的收敛是局部一致的∈ D.函数与命题4.1中的唯一固定点不符，对于x∈ D（4.5）m（x）=ExhRT（m（x）- rt）p（t，m（x））Rtγ（Xu，m（x），m（Xu））duE-Rt（ru+γ（Xu））dudtiExhRT（（m（x）- rt）pm（t，m（x））+p（t，m（x）））e-Rt（ru+γ（Xu））dudti。10 ZHE CHENG和SCOTT Robertson通过mis long公式，定理4.3的要点是，它是可显式识别的，即基线情况下的唯一固定点。

此外，正如下一节将使用的那样，我们指出，只要相关的随机变量和预期得到很好的定义，mmakes的公式就是完全意义上的。特别是，γ不需要紧支撑，γ，γ不需要紧支撑，以使上述公式有意义。定理4.3的证明。对于足够小的ε>0，设mε（x）是（3.7）（或等价于（3.8））的任意连续解，其中γ=γ+εγ。从定理3.9我们知道至少存在一个这样的函数。首先，sincep（t，m）≤ 1, γ ≥ 0，r≥ 0（3.8）中的分子以（4.6）Ex为界ZRTE-Rtrududt≤ 1.其次，使用紧支撑的γ（因此在上面以一些Cγ为界）和引理C.1，如果任何ε>0足够小，则（3.8）中的分母在下面以ε<ε：e为界-εCγTEx“ZT/2e-Rtrudtdt#。作为x的函数，上述函数在D中是连续且严格正的，其中后一个事实源自椭圆哈纳克不等式：见[19，第4章]。因此，mε在D上局部有界，一致在0<ε<ε内。现在，回想一下（3.7），具体到当前设置：0=ExZT（mε（x）- rt）p（t，mε（x））e-Rt（ru+γ（Xu）+εγ（Xu，mε（x），mε（Xu）））dudt.（4.7）我们首先声明∈ D、 limε↓0mε（x）=m（x）。事实上，由于mε是局部有界的inD，在0<ε<ε中是一致的，因此它对每个x都是有界的∈ D，{mε（x）}ε<ε一致有界。设εn→ 0并假设mεn（x）→ ~m（x）表示一些~m（x）。由于γ是连续且紧支撑的，所以优势收敛定理yields0=ExZT（~m（x）- rt）p（t，~m（x））e-Rt（ru+γ（Xu））dudt,通过命题4.1中的唯一性，我们知道∧m（x）=m（x）。因为这适用于所有子序列εn→ 0收敛结果成立。

接下来，定义到（4.8）mε（x）=m（x）+εm（x，ε）；十、∈ D、 ε<ε。利用泰勒定理，我们得到了mε（x）- rt=m（x）- rt+εm（x，ε）；p（t，mε（x））=p（t，m（x））+εm（x，ε）pm（t，m（x））+εm（x，ε）pmm（t，ξ（x，ε））；E-εRtγ（Xu，mε（x），mε（Xu））du=1- εZtγ（Xu，mε（x），mε（Xu））du+εZtγ（Xu，mε（x），mε（Xu））du^ξ（x，ε，t），内生电流，其中|ξ（x，ε）|≤ ε| m（x，ε）|；0≤^ξ（x，ε，t）≤ eεRtγ（Xu，mε（x），mε（Xu））du。将这些展开式插回到（4.7）中，并通过ε的显式幂收集项，即第零阶项isExZT（m（x）- rt）p（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu））dudt= 0，其中等式来自命题4.1。一阶（ε）项，在期望和时间积分范围内，arem（x，ε）p（t，m（x））+m（x，ε）（m（x）- rt）pm（t，m（x））- （m（x）- rt）p（t，m（x））Ztγ（Xu，mε（x），mε（Xu））du。利用给定的正则性、局部有界性和紧支撑假设，所有高阶项都是O（ε），一致地分布在D的紧子集上。由于零阶项消失，我们可以将（4.7）除以ε>0，得到0=m（x，ε）ExZT（p（t，m（x））+（m（x）- rt）pm（t，m（x）））e-Rt（ru+γ（Xu））dudt+ 前任ZT（m（x）- rt）p（t，m（x））Ztγ（Xu，mε（x），mε（Xu））due-Rt（ru+γ（Xu））dudt+O（ε）ε，可以重新写入asm（x，ε）=ExhRT（m（x）- rt）p（t，m（x））rtγ（Xu，mε（x），mε（Xu））due-Rt（ru+γ（Xu））dudti+O（ε）εExhRT（p（t，m（x））+（m（x）- rt）pm（t，m（x）））e-Rt（ru+γ（Xu））dudti；=m（x）+ExhRT（m（x）- rt）p（t，m（x）R（t；x，ε）e-Rt（ru+γ（Xu））dudti+O（ε）εExhRT（p（t，m（x））+（m（x）- rt）pm（t，m（x）））e-Rt（ru+γ（Xu））dudti，式中（t；x，ε）：=Zt（γ（Xu，mε（x），mε（Xu））- γ（Xu，m（x），m（Xu））du。我们已经证明了mε（x）→ m（x）。由于mε是连续的，mε收敛于D的muniformlyon紧子集。由于γ是c紧支撑的，因此遵循了limε的支配收敛定理↓0m（x，ε）- m（x）=0，在D的紧致子集上一致收敛，从而完成结果。5.

数值近似定理4.3为计算当前优惠券函数提供了一种自然的数值近似。也就是说，对于给定的强度函数γ，我们首先确定是否存在分解（5.1）γ（x，m，z）=γ（x）+γ（x，m，z），12 ZHE CHENG和SCOTT Robertson，然后计算mfromγ，在（4.5）中定义，并在ε=1时输出定理4.3的近似值：即（5.2）m（x）≈ m（x）+m（x）。请注意，只要m，mare定义良好，就可以获得该近似值，并且不需要γ，γ来满足假设3.6中的规律性和增长条件。从计算角度来看，这种近似方法相对于原始收缩的优点是显而易见的：只有一个蒙特卡罗模拟（对于每个x∈ 接下来，我们指出，分解（5.1）总是可能的，因为可以取γ=0。在这个例子中，命题4.1中的m（x）解（5.3）1- E-m（x）Tm（x）T=TZTEQxhe-Rtruduidt；十、∈ D.对于许多感兴趣的模型（例如，参见[23，示例6.5.2]了解r~ CIR），通过反转严格递减函数y7，右边大小的期望值是可显式计算的，并且很容易得到→ (1 -E-y） 或者，如果有一些γ>0，那么γ（x，m，z）≥ 那么我们可以取γ（x）=γ和γ（x，m，z）=γ（x，m，z）- γ. 这里，对于常数γ=γ，计算表明msatis fies（5.4）1- E-m（x）Tm（x）=中兴通讯-γ-tEQxhe-Rtrudui1+γ1- E-m（x）（T）-t） m（x）！dt，通过给出Exhe的显式公式，很容易在数值上获得-Rtrui。一旦不知道，一个人可能会计算模拟蒙特卡罗。5.1. 举个例子。我们现在举一个类似于[12，第6节]的例子，假设X是一个循环过程（即。

d=1，d=0，∞) X（1）=r是一个CIR过程），γ的形式为（5.5）γ（X，m，z）=γ+k（m）- z） +。因此，存在一个恒定的基线预付款强度γ，当该值为正值时，根据合同利率m和再融资利率z之间的差异向上调整整个强度。然后，该调整按系数k>0进行缩放。正如在[12]中，我们假设k=5，所以这不一定是基线情况下的小扰动。这里，我们执行两种近似。第一组γ（x）=0，γ（x）=γ+k（m-z） +，计算mfrom（5.3），然后计算mfrom（4.5）。第二个近似值取γ（x）=γ，γ（x，m，z）=k（m）- z） +计算mfrom（5.4），然后计算mfrom（4.5）。对于每个近似值，我们将m+Mt与通过简单收缩获得的“理论固定点”m进行比较，在这种情况下，对于给定的初始猜测m（0），它会快速收敛（例如，经过大约五次迭代）到固定函数。模型参数在[12]中相同：如果drt=κ（θ- rt）dt+σ√当κ=0.25，θ=0.06，σ=0.1时。此外，γ=0.045，k=5。图1比较了γ（x）=0时的m+mto m。如右图所示，近似值非常好，相差不到20个基点（绝对水平为4%）-12%）在（2.5%，97.5%）内生电流息票13r0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16%内生电流息票0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16个基点-20概率密度图1。当前优惠券函数（左图）和误差（右图）作为基础CIR系数的函数。在左图中，实线是通过简单收缩获得的当前优惠券函数。粗虚线图近似为m+m，而细虚线图近似为m。数值以百分比表示。对于右图，误差是m和m+m之间的差值（以基点计）。右图中还有CIR过程r的可变pdf。

用γ（x）=0计算错误，用γ（x，m，z）=γ+k（m）计算错误-z） +。参数为κ=0.25，θ=0.06，σ=0.1，T=30，k=5和γ=0.045。使用Matlab、Mathematica进行计算，代码可在作者的网站www.math上找到。cmu。edu/用户/scottrob/研究。CIR不变分布的百分位数。在不变分布的“中间”，近似值几乎与原始固定点相同，误差始终在0到0之间- 5个基点。图2使用γ（x）=γ进行了类似的比较。在这里，使用（2.5%，90%）的百分位数显著提高了性能，因为近似值m+mis几乎与通过收缩获得的函数相同。事实上，m+和m之间的差异小于3个基本点。然而，对于较大的r值，误差比之前的方法略大，接近7个基点。附录A.定理3.9A的证明。1.证据概述。目的是证明函数m:D7的存在性→ (0, ∞) 所以（3.8）是满足的。为了实现这一点，我们将使用Schaefer不动点定理，这里是为了方便阅读定理A.1（Schaefer:[5]）。设K是Banach空间X的一个闭凸集∈ K.假设：K 7→ K是连续的，紧的，并且{u∈ K | u=λA[u]，0≤ λ ≤ 1} 是有界的。然后a是K中的一个固定点。因此有必要定义Banach空间X，闭凸子集K，并验证关于a的给定假设。对于X，我们希望选择D上的α-H"older连续函数空间，并将K作为非负函数的子空间。

然而，由于D不一定是有界的，并且协方差矩阵a在D上不一定是一致椭圆的，我们将很难验证要求14 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSONr0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16%r0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16基点-5概率密度图2。当前优惠券函数（左图）和误差（右图）作为基础CIR系数的函数。在左图中，实线是通过简单收缩获得的当前优惠券函数。粗虚线图近似为m+m，而细虚线图近似为m。数值以百分比表示。对于右图，误差是m和m+m之间的差值（在基值上）。右图中也是CIR过程r的变量pdf。错误计算为γ（x）=γ，错误计算为γ（x，m，z）=k（m）- z） +。参数为κ=0.25，θ=0.06，σ=0.1，T=30，k=5和γ=0.045。使用Matlab、Mathematica进行计算，代码可在作者的网站www.math上找到。cmu。edu/用户/scottrob/研究。算子A的连续性和紧性。因此，我们必须首先将问题局部化。在本地化级别，我们将使用Schaefer定理获得一个固定点。然后，我们将取消本地化以获得结果。因此，该计划是：1）定义一个与A相关的运算符，并显示在DNA上定义的固定点mn>0，该点对于所有α都是α-H"older连续的∈ （0，1）。2）对于每个m，获得固定点mn，n在dmn上的统一（n）H"older范数估计≥ m+1.3）证明了MN具有极限为m的收敛子序列，解决了全不动点问题。作为上述计划的第一步，我们需要获得通过期望定义的某些偏微分方程（PDE）解的a-prioi H"older范数估计。A.2。霍尔德规范的先验估计。