内生流动息票

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英文标题：
《Endogenous Current Coupons》
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作者：
Scott Robertson, Zhe Cheng
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the problem of identifying current coupons for Agency backed To-be-Announced (TBA) Mortgage Backed Securities. In a doubly stochastic factor based model which allows for prepayment intensities to depend upon current and origination mortgage rates, as well as underlying investment factors, we identify the current coupon with solutions to a degenerate elliptic, non-linear fixed point problem. Using Schaefer\'s theorem we prove existence of current coupons. We also provide an explicit approximation to the fixed point, valid for compact perturbations off a baseline factor-based intensity model. Numerical examples are provided which show the approximation performs remarkably well in estimating the current coupon.
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中文摘要：
我们考虑确定机构支持待公布（TBA）抵押贷款支持证券的当前优惠券的问题。在一个基于双随机因素的模型中，考虑到提前还款强度取决于当前和初始抵押贷款利率，以及潜在的投资因素，我们用退化椭圆非线性不动点问题的解来确定当前息票。利用Schaefer定理证明了当前优惠券的存在性。我们还提供了固定点的显式近似，适用于基于基线因子的强度模型的紧致扰动。数值算例表明，该近似方法在估计当前优惠券时表现得非常好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-9 06:42:35 上传

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关键词：Quantitative Mathematical Perturbation mathematica QUANTITATIV

内生电流耦合Zheg CHENG和SCOTT Robertson摘要。我们考虑确定机构支持待公布（TBA）抵押贷款支持证券的当前优惠券的问题。在基于双随机因素的模型中，提前还款强度取决于当前和初始抵押贷款利率，以及潜在的投资因素，我们用退化椭圆非线性定点问题的解确定当前息票。利用Schaefer定理，我们证明了当前优惠券的存在性。我们还提供了固定点的显式近似，适用于基于基线因子的强度模型的紧凑扰动。数值算例表明，该近似方法在估计当前优惠券时表现得非常好。1.引言本文的目的是证明内生抵押贷款发放率的存在，定义为产生票面价值抵押贷款池的利率。对于机构支持的（如FNMA、FHLMC、GNMA）待公告（TBA）住宅抵押贷款池，此类利率也称为当前息票。除了证明当前优惠券的存在外，我们希望提供一种快速、易于实现且准确的计算当前优惠券的方法，因为众所周知（见[12,10]）基于蒙特卡罗或偏微分方程的迭代方法在实现时非常耗时。住宅抵押贷款市场目前是美国固定收入市场的最大部分（见[18]），抵押贷款支持证券（MBS）的定价问题具有重大的财务意义。然而，按揭证券定价的主要困难在于，购房者在贷款到期前的任何时候都有权提前偿还全部或部分抵押贷款，如果有，罚款很少。

特别是，抵押权人可以（多次）为其贷款融资，以利用当前的市场条件。更复杂的是，众所周知的一个事实是，个别抵押人的财务状况各不相同，而且往往无法以最佳方式提前还款。例如，许多抵押人推迟了他们的融资决定，即使利率下降到了财务最佳再融资的水平（见[26]）。自金融危机以来，机构支持的MBS一直是MBS市场的主要组成部分。自2007年以来，机构MBS的发行一直保持强劲，而私人金融机构的抵押贷款证券化已降至非常低的水平（见[25]）。机构MBS的一个众所周知的特点是，每笔债券要么有明确的ZF信用担保，要么被认为有隐含的ZF信用担保。因此，在抵押贷款借款人违约的情况下，AgencyMBS投资者可以免受信用损失，因此，出于估值目的，池持有人认为违约与预付款几乎相同。日期：2015年10月8日。S.Robertson部分得到了国家科学基金会的支持，授权号为DMS-1312419.2 ZHE CHENG和SCOTT Robertson。机构MBS的另一个不太为人所知的特点是，90%以上的机构MBS交易量发生在流动性远期市场，即TBA市场（见[24]）。TBA交易的显著特点是，在结算日交付的证券的实际身份在交易日没有具体说明。相反，买方和卖方同意交付证券的一般参数，如发行人、到期日、息票、价格、票面金额和结算日期。与TBA抵押贷款支持证券密切相关的是二级市场MBS利率，即当前息票。

当前息票是从观察到的TBA价格中插入的息票率，使当前交货月的TBA价格等于票面价值。因此，当前息票是一种内生利率，当前息票利率被广泛用作MBS池估值的基准，在二级抵押贷款市场中发挥着关键作用。从广义上讲，在学术文献中，有两种方法用于评估MBS：“Option理论”和“简化形式”方法（参见[12,9]了解更全面的介绍和文献综述）。期权理论方法将提前还款权视为美式嵌入期权，并使用期权定价理论进行MBS评估。[4,16,15]中获得了这条线的早期结果。然而，人们很快认识到，由于借款人的非最优提前还款行为，期权理论方法受到了影响，因此期权理论方法尚未被抵押贷款市场从业人员广泛采用。或者，简化形式法借鉴了信用衍生工具估值理论，并假设预付款由潜在强度过程驱动，该过程可根据历史数据进行估计。在这里，提前还款行为的非最优性被构建到强度函数中。在[22,20,16,3,12,11,9,10,29]等文献中，对简化方法进行了研究。本文考虑了简化形式法。我们特别关注[12]，它计算强度由一个（或多个）经济因素驱动时的速率，以及[11]，它考虑与我们治疗的强度相似的强度。下文将讨论与[11]的进一步联系。除了抵押贷款的摊销性质外，MBS和信用衍生工具估值之间的关键区别在于抵押贷款池价值对抵押贷款发放率的依赖性。

事实上，一个人有一个启发性的关系抵押贷款利率：m==> 预付时间：τ（m）==> 池值：M（M）。因此，在确定M（M）是平价的mso时，存在一个自然而微妙的定点问题。在导出的形式模型中，这种循环依赖性被捕获在强度函数中。这与信用估值形成对比，信用估值通常将违约强度γ表示为潜在经济因素或状态变量X的函数。事实上，尽管强度规格γt=γ（Xt）可能适用于信用衍生品，但适用于MBS估值，允许γ额外依赖于抵押贷款发放利率和当前可用于再融资的抵押贷款利率：即γt=γ（Xt，m，mt）。因此，在时间均匀的马尔可夫环境中，我们假设mt=m（Xt）是潜在经济因素的函数，因此（1.1）γt=γ（Xt，m（X），m（Xt））。内生当前息票3在这种情况下，目标是找到一个当前息票函数m，使得所有值X[20]和[9,11]的组合值m（m（X））=1，首先将内生抵押贷款利率纳入基于强度的框架，考虑到γ对m的依赖性。特别是，[11]提出了在扩散模型中存在当前息票的证明，该模型与目前考虑的模型类似。然而，我们希望指出[11]和当前工作之间的三个关键区别。首先也是最重要的，在[11]中有一个错误（其中的命题4.1对于所考虑的不连续强度显然是不正确的），这虽然不一定会使主要结果无效，但肯定会使它们受到质疑。其次，基于所谓的“Lebesgue集方法”的存在性证明是高度非标准的，而我们的存在性证明使用标准拓扑不动点定理。

第三，我们的证明方法还有一个额外的好处，即我们能够显示当前息票函数的规律性，而在[11]中，只能获得可测量的解。与确定当前优惠券的存在同样重要的是，实际计算当前优惠券。事实上，这是收缩原理的一个简单应用，其中一个函数是初始函数，然后设置mn（X）=M（mn-1（X）），n=1，2。。。有了这个想法→ 1不仅在理论上不合理，而且速度也慢得令人望而却步。为了克服这一问题，[12]将强度仅仅作为潜在因素的函数，并认为这捕获了大部分预付款。然后，对于CIR利率，使用特征函数展开快速计算内生利率。[10]借鉴偏微分方程理论，提出了一种非迭代方法。在目前的论文中，我们采用了一种替代方法，通过摄动分析来逼近当前的优惠券。因此，使用了众所周知的事实（见[11]），即当γt=γ（Xt）仅取决于系数时，存在唯一的电流优惠券函数。具体地说，我们注意到，人们总是可以通过取γ（x）来写γ（x，m，z）=γ（x）+γ（x，m，z）≡ 0，但在假设全强度为恒定强度γ>0加上附加分量的情况下也是如此。然后我们通过γε（x，m，z）=γ（x）+εγ（x，m，z）嵌入这种分解；ε > 0.对于ε=0，存在唯一的当前优惠券函数m（x）。发送ε→ 0我们得到了m（x）的一个唯一的、显式的、封闭形式的表达式，使得mε（x）=m（x）+εm（x）+o（ε）。通过这种分解，对于任何连续固定点mε，我们自然会考虑m（x）的数值近似（ε=1）≈ m（x）+m（x）。

事实证明，这种近似在实践中表现得非常好：不同于≤ 10个基点（绝对利率水平为4%）- 12%）从理论上确定的固定点。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们给出了执行点问题的启发式推导。第3节将定点问题具体化为马尔可夫框架，其中X是Rd中一般状态空间上的非爆炸局部椭圆扩散，对模型系数以及强度函数进行了精确假设。第3节以定理3.9结束，该定理证明了当前优惠券函数的存在性，假设γ（x，m，z）在m中约为常数，为4 ZHE CHENG和SCOTT Robertson的m大值（有关我们主要假设的更多讨论，请参见备注3.7）。第4节利用定理4.3进行扰动分析，明确确定展开式中的前导阶项。第5节给出了一个数值例子，其中通过扰动分析近似的当前试片与通过简单收缩获得的函数进行了比较。附录A-D包含证据。特别是，由于抵押贷款市场通常是不完整的，本文给出了用于定价的特定风险中性度量的严格构造。除了为了数学上的精确性，我们还表明，在对抵押贷款池进行定价时，可以假设物理和风险中性度量之间的强度过程是一致的，因此可以使用观察到的提前还款数据进行估计。2.内生流动耦合考虑在T=0时产生的水平付款、完全摊销的T年固定利率抵押贷款。因此，抵押人在贷款开始时接受Pdollars贷款，并在抵押期间以c>0美元/年的固定利率支付连续的息票流[0，T]。

利息按发起时固定的固定抵押利率计算。在没有预付款的情况下，抵押贷款的计划未偿本金，用p（t，m）表示为0≤ T≤ T和m≥ 满足以下常微分方程（ODE）：（2.1）pt（t，m）=mp（t，m）- Cp（0，m）=p，p（T，m）=0，其中pti是关于T（2.1）的偏导数，其解（2.2）p（T，m）=P1- E-m（T）-t） 一,- E-mT；（m>0），p（t，m）=p1.-tT; （m=0）。由于Pfactors来自上述方程，我们假设P=1，因此（2.3）P（t，m）=1- E-m（T）-t） 一,- E-mT；（m>0），p（t，m）=1.-tT; （m=0）。从（2.1）和（2.3）中，我们可以用m和T来表示息票流支付c：（2.4）c=c（m）=m1- E-mT；（m>0），c（m）=T；（m=0）。我们首先非正式地推导出当前息票m的定点方程式。该论点将在下文第3节和附录D中详细阐述。在没有预付款的情况下，抵押贷款余额p（t，m）根据（2.3）演变。现在考虑一下，当在一个定价测度Q下有一个（随机的）提前还款时间τ时（这里，潜在的概率空间是(Ohm, G、 Q））。换句话说，如果τ≤ T，在τ时抵押物的所有人预付剩余余额p（τ，m）。假设利率r={rt}t≤t抵押贷款的价值为（2.5）M（M）=EQZτ∧Tc（m）e-Rtrududt |{z}息票支付+1τ≤Tp（τ，m）e-Rτrudu |{z}预付款.内生流动息票5下一步，假设利率过程适用于过滤F={Ft}t≤twf=∨T≤TFt τ的强度为γ={γt}t≤关于（Q，F）：（2.6）Qτ>tF*= Qτ>t英尺= E-Rtγudut≥ 0，对于一些非负的、可积的、适应的过程γ。由此，我们得到（见[11,12]）摩尔数的值为（2.7）M（M）=1+EQZTp（t，m）（m）- rt）e-Rt（ru+γu）dudt.如果m（m）=P=1，则抵押贷款利率m称为内生。

考虑到2.7，我们求m，使（2.8）0=EQZTp（t，m）（m）- rt）e-Rt（ru+γu）dudt.3.模型和不动点问题上述分析现在适用于抵押提前还款时间τ的双随机、基于强度的模型。为了精确起见，fix是一个概率空间(Ohm, G、 Q）。我们第一句话：备注3.1。度量Q被解释为一种定价或风险中性度量，我们将E[·]forEQ[·]贯穿其中。在附录D中，我们提供了两个严格的Q构造：一个对“大型”池有效，另一个对单个贷款池有效。特别是，我们将表明，在估计下文假设3.6中所述的提前还款强度函数γ时，可以使用观察到的提前还款数据，而不是根据特定的风险中性度量Q来估计提前还款。然而，为了便于说明，我们推迟了这一结构，只要假设满足（2.8）的抵押贷款利率m是当前息票。设W为Q下的标准d维布朗运动。影响预付款的基本经济因素由满足随机微分方程（SDE）（3.1）dXt=b（Xt）dt+a（Xt）dWt的过程X控制。X的状态空间是一个开放的连通区域D Rd满足假设3.2。D=∪∞n=1dn对于每个n，dn是开放的，并且有光滑的边界。此外，“Dn” Dn+1。关于（3.1）中的系数，我们假设b:D7→ 让A:D7→ Sd++，对称正定d×d矩阵的空间。然后我们坐飞机=√A、 A的唯一正有限对称平方根。我们假设b，A满足以下正则性和局部椭圆假设假设假设3.3.1）A是局部椭圆的：。

对于每个n，存在K（n）>0，因此对于所有ξ∈ Rd\\{0}和x∈ Dnwehaveξ′A（x）ξ≥ K（n）ξ′ξ。*这个等式需要关于τ如何构造的额外假设，并将在当前设置中显示为成立。6 ZHE CHENG和SCOTT Robertson 2）b和A是Lipschitz常数K（n）的局部Lipschitz。假设3.3意味着（3.1）中SDE存在局部解。为了确保全局解决方案的存在，我们假设该过程不会爆发：即假设3.4。为了所有的x∈ D和T>0，我们有Qx[Xt∈ D T≤ T]=1，其中Qxdenotes是给定X=X的条件概率。在假设3.3、3.4下，X有唯一的强解。此外，由于短期利率r在抵押贷款评估中起着关键作用，我们假设X的第一个坐标是利率：即X（1）t=r，X（1）的状态空间为（0，∞): i、 e.假设3.5。r:=X（1）的状态空间为（0，∞).为了精确定义（2.8）中的强度γ，我们采用以下方法。让m:D7→ [0, ∞) bea给定候选当前息票函数，我们希望m（x）是内生当前息票函数∈ D.如引言中所述，我们假设γ是o潜在因素过程X的函数。o合同抵押贷款利率m（X）。o当前抵押贷款利率可通过融资m（X）+获得。因此，在时间t≤ 我们有γT=γ（Xt，m（x），m（Xt）），其中γ：D×[0，∞) × [0, ∞) 是一种外源定义的功能。为了便于我们对γ的主要假设，我们首先定义了辅助函数（3.2）Ξ（x）：=inf0<β<1βe-βx（1）- β)(1 - E-βx）；x>0。通过分析（xf923）可以看出≤ 2.利克斯↑∞Ξ（x）xe-（十）-1)= 1.根据这一定义，我们对γ做出以下假设。为了便于演示，定义E:=D×（0，∞) × (0, ∞) 和En:=Dn×（0，n）×（0，n），n∈ N.假设3.6。