多重分形随机游走器提供的耦合不确定性

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英文标题：
《Coupled uncertainty provided by a multifractal random walker》
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作者：
Z. Koohi Lai, S. Vasheghani Farahani, S.M.S. Movahed and G.R. Jafari
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The aim here is to study the concept of pairing multifractality between time series possessing non-Gaussian distributions. The increasing number of rare events creates \"criticality\". We show how the pairing between two series is affected by rare events, which we call \"coupled criticality\". A method is proposed for studying the coupled criticality born out of the interaction between two series, using the bivariate multifractal random walk (BiMRW). This method allows studying dependence of the coupled criticality on the criticality of each individual system. This approach is applied to data sets of gold and oil markets, and inflation and unemployment.
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中文摘要：
本文的目的是研究具有非高斯分布的时间序列之间的配对多重分形的概念。越来越多的罕见事件造成了“临界”。我们展示了罕见事件如何影响两个系列之间的配对，我们称之为“耦合临界”。提出了一种利用二元多重分形随机游动（BiMRW）研究两个序列相互作用产生的耦合临界性的方法。这种方法允许研究耦合临界性对每个单独系统临界性的依赖性。这种方法适用于黄金和石油市场以及通货膨胀和失业的数据集。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：不确定性 随机游走 确定性 不确定 Multifractal

多重分形随机walkerZ提供的耦合不确定性。Koohi Lai，S.Vasheghani Farahani，S.M.S.Movahed3,4，G.R.Jafari3+伊斯兰阿扎德大学Firoozkooh分校物理系，Firoozkooh，Tafresh大学伊朗物理系，邮政信箱39518-79611，Tafresh，伊朗物理系，Shahid Beheshti U university，G.C.，Evin，德黑兰，19839，伊朗科斯特拉达，11，的里雅斯特34151，其作者：gjafari@sbu.ac.ir（日期：2018年7月20日）本文的目的是研究具有非高斯分布的时间序列之间的配对多重分形的概念。越来越多的罕见事件造成了“临界”。我们展示了罕见事件对两个系列之间的冲突的影响，我们称之为“政变导致的临界”。提出了一种利用二元多重分形随机游动（BiMRW）研究两个序列相互作用产生的耦合临界性的方法。这种方法允许研究耦合临界性对每个单独系统临界性的依赖性。这种方法适用于黄金和石油市场以及通货膨胀和失业的数据集。PACS编号：02.50-r、 05.40。Fb，89.65。生长激素，89.75。戴。引言当考虑两个或多个系统时，耦合特征的概念就会出现[1-3]。每个人都听说过自然界中的宏观耦合，例如波、界面、现代生活中的社会、经济和政治问题[4-6]，凝聚态物理[7,8]和神经学[9]中的耦合现象就是这方面的典型例子。激励这项工作的耦合最重要的方面是评估临界性，或者换句话说，耦合系统产生的不确定性。

这种耦合存在于公司、股票市场、表面和界面、随机场等之间。多重分形形式主义为研究具有分形几何和/或广义多重分形指数的对象的标度关系和性质提供了几乎充分的工具[10–14]。一旦证实水动力涡轮中的可完全分割叶栅[15–17]在统计上具有s尺度不变性，多重分形公式变得显著的一个重要动机就是[18,19]。多重分形模型已应用于从生物学、地质学、社会到金融等多个科学领域，例如地球和太阳风[20-22]、汇率[23]、股票指数[24,25]、人类心跳波动[26,27]、测井数据[28]地震时间序列[29-32]和溶胶-凝胶转变[33-35]。多重分形模型的应用取得了突破，在乘法随机级联的背景下，湍流和金融之间的关系得以确立[17,23,36]。注意，他们的表现基于他们的结果，即湍流中的速度增量波动和财务回报通过随机因素成比例。这主要取决于流程的规模比。在进一步的研究中，通过发展这一理论，我们发现，由于随机变量的对数存在相关性，连续随机游走模型具有多重分形特性[13,17]。

值得注意的是，从正常情况下的强对数正态偏差导致多重分形的稳健状态，或者换句话说，在基础系统中是一个临界状态。这是因为，由于分布函数具有厚尾，与正态分布中相应的事件相比，低频事件的发生更可能发生。这就是临界性进入系统的原因和方式。在本研究中，我们展示了每个系统的个体不确定性或临界性如何影响其耦合临界性。为此，我们采用二元多重分形随机游走方法研究了耦合系统的临界性。然而，阅读该方法在其他学科中的应用可能会有指导意义[37–41]。本文的组织结构如下：第二节将解释分析方法。第三节对数据描述和方法实施进行了解释。第四节是总结和结论。二、模型和分析考虑一个由x（t）表示的随机过程，它可能是空间和时间的函数。更多的补充解释可以在[13,42,43]中找到。这里我们假设时间是一个动力学参数，因此x（t）只与时间相关。滞后时间x（t）的增加l 定义为lx（t）≡x（t+l) - x（t）。根据级联方法，函数的增量lx（t）≡ x（t+l) -x（t），atscalesl 和η×l 满足以下关系(η×l)x（t）=Wηlx（t）， l, η>0，（1），其中Wη是一个随机变量[15,44]。我们假设级联过程从一个大的规模L开始，在这个规模L中，通过启动迭代过程，最终会发展到小规模(l < 五十） 。

对于从大尺度开始的乘法级联过程，L趋向于小尺度，l, 多重分形随机游走方法的实现使我们能够将函数的增量改写为lx（t）≡ ξl（t） eωl（t） ，其中ξl（t） ωl（t） 是相互独立的，并且具有高斯分布和zer o均值。相应的方差用σ表示(l) λ(l) 对于ξl（t） ωl（t） ，分别为[13]。在这种方法中，带有厚尾的非高斯概率密度函数（PDF）用[15]P表示l(lx） =ZGl（lnσ）(l))σ(l)Fllxσ(l)d lnσ(l), （2） 我们在哪里l（lnσ）(l)) =√2πλ(l)经验-lnσ(l)2λ(l), （3） Fllxσ(l)=√2πexp-lx2σ(l). （4） 简单地说，我们可以证明在λ(l) 倾向于零，Pl(lx） 收敛到高斯函数。增加参数λ(l) 量化非高斯性的效率，即曲线的尾部开始发胖。因此，λ的值很大(l) 表示在数据集中发现大波动的概率较高。这句话让人想起了[24]中提到的系统的临界状态。值得注意的是，长期相关性和/或非高斯性是随机场多重分形性质的来源。本文主要研究概率密度函数的形状，它是λ表示的多重分形的来源(l) [45, 46].由于两个相邻的站点可能相互作用，因此它们之间的相关性的验证将是相互关联的。这就产生了这样一种想法，即耦合行为可能会对每个单独系统的行为及其相互关联做出响应。在这一行中，Muzy et a l.通过推广基于对数正态级联模型的多重分形随机行走方法，考虑了过程之间的cr-oss相关性[47]。

这种推广引入了多元多重分形模型，该模型描述了联合统计特性的尺度不变性。假设x（t）≡ {x（t），x（t）}被表示为一个二元过程，即增量的BiM-RW的二元版本lx（t）=x（t+l) - x（t）读作[47]lx（t）=ξ(1)l（t） eω（1）l（t） ，ξ（2）l（t） eω（2）l（t）, （5） 其中，对于时滞处的每个增量l 存在单独的ξ和ω。注意二元过程[ξ（1）l, ξ(2)l] 和ω（1）l, ω(2)l] 都是相互独立的，两者都有一个联合的Ga-ussian分布和一个zer-omean分布。协方差矩阵∑l和∧l分别变成∑l≡Σ(11)lΣ(12)lΣ(21)lΣ(22)l!=hξ（1）l（t） ξ（1）l（t） i hξ（1）l（t） ξ（2）l（t） ihξ（2）l（t） ξ（1）l（t） i hξ（2）l（t） ξ（2）l（t） 我！，Λl≡Λ(11)lΛ(12)lΛ(21)lΛ(22)l!=hω（1）l（t） ω（1）l（t） i hω（1）l（t） ω（2）l（t） ihω（2）l（t） ω（1）l（t） i hω（2）l（t） ω（2）l（t） 我！。（6） 所提出矩阵的四个诊断元素，即∑（11）l≡ σ(l) , Σ(22)l≡ σ(l), Λ(11)l≡ λ(l), 和∧（22）l≡ λ(l) 为两个单独的过程1和2定义。此外，这些矩阵的对称性意味着以下等式；Σ(12)l= Σ(21)l≡Σlσ(l)σ(l) 和∧（12）l= Λ(21)l≡ Λlλ(l)λ(l). 通常，∑l被称为“马科维茨矩阵”，它显示了ξ∧的方差和相关性l是对ω的非线性进行量化的“多重分形矩阵”[47,48]。在这个框架中，联合PDF的形式将是l(l十、lx） =Zd（lnσ）(l))Zd（lnσ）(l))Gl（lnσ）(l), lnσ(l))σ(l)σ(l)Fllxσ(l),lxσ(l),（7） G在哪里l（lnσ）(l), lnσ(l)) 和Fllxσ(l),lxσ(l)是二元过程的概率密度函数（ω（1）l, ω(2)l) 和（ξ（1）l, ξ(2)l), 分别地

通过考虑两个系统之间的互相关，可以得到它们在积分中的联合概率密度函数l（lnσ）(l), lnσ(l)) =2πλ(l)λ(l)p（1）- Λl)×exp-2(1 - Λl)lnσ(l)λ(l)+lnσ(l)λ(l)- 2Λllnσ(l)λ(l)lnσ(l)λ(l),安德夫llxσ(l),lxσ(l)=2πp（1）- Σl)×exp-2(1 - Σl)lxσ(l)+lxσ(l)- 2Σllxσ(l)lxσ(l). （8） 结果表明，如果互相关系数∧l和∑l都是零，因此是Gl和Fl就是两个独立过程的乘积。这一结果证实，这两个独立过程的产品的任何偏差都将导致这两个过程的耦合。根据式（6）中定义的卵巢矩阵，参数∧l控制两个过程的关节多重分形强度[47]。为了估计参数∧l按比例l, 我们使用贝叶斯统计[50,51]。考虑一个原始数据集和一个理论模型，该模型能够创建N个非高斯数据集和相应的（N）理论P DF。对于原始PDF的每个点，都有N个从理论PDF中提取的等效点，由于中心极限理论，它们的PDF是高斯的。在这一行中，我们将相应的似然函数[49]，L写成多变量高斯函数isL（Pdata（y，l)|p理论（y；∑）l, Λl)) （9） =pDet{F}（2π）N/2exp-T.F。哪里 ≡ Pdata（y，l) - p理论（y；λ）l, Σl) 是一个列向量，F是根据F确定的供应商信息矩阵-1=h（y）（y′）i.y是一个独立的参数，且∧l, Σl) 是一个无模型参数。Pdata（y，l) 直接从数据集计算，Ptheory（y；λ）l, Σl) 是来自Eq的tima ted。

(7).因为没有理由在（y） 对于不同的y，舍尔矩阵是对角的（如果协变量矩阵中存在非零互相关，则可以使用适当的相似性变换来对该厄米矩阵进行对角化）。使用χ检验发现与原始PDF具有最大可能性的所有量表的最佳t。这是χ获得全局最小值χ（λ）的地方l; Σl) =Xy[Pdata（y，l) - p理论（y；λ）l; Σl)]σ数据（y，l) + σ理论（y；λ）l; Σl),（10） 其中σ数据（y，l) σ理论（y；λ）l, Σl) 是Pdata（y）和Ptheory（y；λ）的平均标准偏差l, Σl), 分别地通过边缘化nuisa nc e自由参数，∑l, 我们得到χ（λ）l) =XyZd∑l[Pdata（y，l) - p理论（y；λ）l, Σl)]σ数据（y，l) + σ理论（y；λ）l, Σl)!.（11） 非高斯参数∧的最佳值l通过在边缘化的卡方景观中进行搜索，系统地确定了。通过cjoint得到过程的c-ross相关函数l(τ) ≡ h[？（1）l（一）-h′ω（1）li] [°ω（2）l（i+τ）-h′ω（2）li] i.（12）如前所述，较高的指数“1”和“2”分别指过程（1）和（2），τ在此代表时滞wl < τ. 由于矢量过程是平稳的，所以互相关关系只在τ上存在。参数ω()l（i） 局部方差是由ω定义的吗()l（i） ln=σ()(l, i） ，（13）其大小为σ()(l; （一）=l我lXj=1+（i）-1)ll十、（j） 。（14） 象征() 对于第一个和第二个数据集，应替换为（1）和（2）[2 4,26,27,52]。三、 BIMRW的应用在这种情况下，我们将我们的方法应用于石油和黄金市场的相互影响，这些市场在1995年至2012年期间每天都有记录[53]。无花果

1：面板（a）和（b）表示石油和黄金市场从上到下的概率密度函数，用于每日（方形符号）、每周（三角形符号）、每月（圆形符号）和季节性（菱形符号）时间尺度。面板（c）展示了市场与时滞的关系，l.正如本文前面详细讨论的，在BiMRW中，联合多重分形参数∧l, 描述了两个过程的大波动的耦合[47]。事实上，∧的一个大值l指导致系统中出现耦合临界或不确定性状态的鲁棒联合多重分形。标度参数∧l,这在G中起着重要作用l（lnσ）(l), lnσ(l)),可以写成[47]：λ吗l=Λ(12)lλ(l)λ(l)=hlnσ(l) lnσ(l)iλ(l)λ(l), （15） 其中h···i表示所有大小窗口上的集合平均值l. 可以从式（15）中推导出标度参数∧l, 受两个参数影响，即非高斯参数λ和随机方差s hlnσ的互相关(l)) lnσ(l)i、 注意，由于∧l取决于规模l, 具有∧的标度l必须对上升进行彻底调查。实际上，一个很大的∧l意味着临界性或不确定性的出现。各种情况下∧l可能得出的结论如下：-如果两个基础系统不相关，由于相关个体不确定性的独立性（由λ量化），因此系统不会经历任何耦合。因此，他们之间没有不确定性。-在相关系统的情况下，当至少一个基础系统具有高斯分布时，就会出现耦合临界。在这种情况下，λ趋于零。这种情况是共振的基准。

然而，在这种正常状态下，大波动的弱互相关导致∧减小l.- 如果两个基础系统相互关联，但通过增加λ，它们都处于高临界状态l’s、 耦合不确定性降低。关于这些解释，我们将评估耦合的不确定性是如何存在的，并检查这种耦合的不确定性是否通常是定向的。在原则上，我们期望一个与更不确定状态和大λ关联的系统，会导致大波动的发生，从而导致相邻系统中的不确定状态。这意味着这两个系统是相关的，因此，确定性变大。这意味着t∧l也会增加。接下来，我们可以推断∧l行为类似于一个系统的条件不确定性，这个系统更正常，并且受到另一个系统的影响。相反，如果处于正常状态的系统在处于更高不确定性状态的相邻系统中引起较大的波动，则较大波动的交叉相关关系减小，导致∧减小l.用于进一步调查的相应随机参数是石油和黄金市场x（t）的每日记录[53]。该分析基于市场的平稳增量波动。根据式（5），基本数据集的二元模型已经确定。基于分类方法的概率密度函数如图1所示。该图证实了两个系列在ScalesSaller超过一个月时都存在非高斯行为。黄金市场在更大范围内具有高斯概率密度函数。图1的面板（c）o证明了这一说法，其中绘制了市场的峰度。我们还可以推断，在不到一个月的时间尺度上，市场的峰度大于3。