实时股票交易的数学基础。流动性赤字

这种影响相对较弱，因此很难直接赚钱，但提供的理论可以非常清楚地说明什么样的自动交易机不能赚钱。在最好的情况下，他们将在一段时间内赚很少的钱，然后损失比他们在一个单一事件中赚的更多。具体来说：o任何只使用单一资产价格（可能还有多个资产的价格，但这种情况并不完全清楚）作为输入的系统。价格实际上是次要的，与流动性流量相比，通常每天只影响几个百分点，流动性流量的大小是一个数量级。这也允许估计最大可行时间尺度：执行流至少在一个量级（10倍）上的尺度任何具有内置固定时间标度的系统（例如移动平均o型f系统）。市场没有特定的时间尺度。最小时标数为3（2x2矩阵（21）的时标，使系统某种工作的典型值为13个时标（7x7 matr ix（21）的所有时标）任何只有两个信号“买入”和“卖出”的“对称”系统都无法赚钱。最小信号数为四个：“买入”、“卖出头寸”、“卖空”、“补空”。例如，“买入”和“空头回补”是同一信号的系统，在市场与持有头寸相反的情况下，最终会出现灾难性的亏损任何在流动性过剩（如I>IIH）期间进入头寸的系统（不包括多头或空头）都无法赚钱。在流动性过剩的价格运动是典型的拉格和“反向移动平均线”类型的系统通常使用的情况下，如立场进入信号。流动性过剩事件发生后，市场会反弹一点，然后通常会向同一方向发展。这就给了你一个下注的风险：“小盎司”或“跟随市场”。在流动性过剩事件中，我们应该做的是关闭现有头寸。

这是非常基本的——如果你在市场不确定性期间持有头寸——最终你会赔钱，在流动性过剩期间你必须持有零头寸。这是损益交易策略中非常重要的因素在流动性不足事件（如I<IIL）期间，任何未进入头寸的系统通常会损失大部分资金。流动性不足期的特点是价格变动小，难以通过基于价格的交易系统识别。流动性不足实际上表明，在当前价格下，买卖双方并不匹配，预计价格会出现实质性波动。大多数交易者都很清楚这一点：在大的市场波动（例如，标准差作为其粗略衡量标准）变得非常低之前。在一定程度上，流动性不足事件中的方向（应该做多还是做空）可以由第三节的理论和供需平衡概括（57）确定一个重要的问题是，讨论当市场参与者大规模应用这一策略（进入流动性不足、退出流动性过剩）时，市场会发生什么。与其他交易策略不同的是，这种策略在应用时会降低流动性而不是当前价格（当价格移动到未知区域时，流动性会随着供应或需求的流失而流失，如经典图5所示），这种策略实际上增加了当前价格下的市场流动性。这种对价格价值的不敏感预计不会导致该策略在市场参与者大规模应用时停止工作，而是开始越来越好地工作，并最终稳定市场虽然propo-sed理论主要是在美国股票市场上开发和测试的，但它可以通过相应的时间尺度调整扩展到其他全球市场（国债、FX、主权债务等）。

在第三节B中注意到，DV和| dp |行为之间的相似性可能允许该理论应用于交易量不可用的市场，使用| dp |作为替代。附录A：非单项式多项式基数值算法hms使用单项式基xk。然而，选择其他基对数值稳定性的改善有很大的帮助。一种基本化循环关系的选择。Qk（x）=（αkx- δk）Qk-1（x）- γkQk2（x）（A1）具有一些重要的稳定性性质[12,24]。对于我们的计算，我们使用以下四个基础：o拉盖尔：（见com.polytechnik.utils.Laguerre）kLk（x）=（2k）- 1.- x） Lk-1.- （k）- 1） Lk-2（A2）L=1（A3）L-1=0（A4）o勒让德：（见com.polytechnik.utils.Legendre）kPk=x（2k）- 1） 主键-1.- （k）- 1） 主键-2（A5）P=1（A6）P-1=0（A7）o切比雪夫：（见com.polytechnik.utils.Chebyshev）Tk=2xTk-1.- Tk-2（A8）T=1（A9）T=x（A10）oHermite（实际上是基础）：（见com.polytechnik.utils.Hermite）Hk=xHk-1.- （k）- 1） 香港-2（A11）H=1（A12）H-1=0（A13）要在计算中使用这些基，我们需要能够对这些基F（x）=Pk=nk=0fkQk（x）中的多项式执行标准运算，其中FK现在是Qk的系数，而不是单项式的xkas的系数。1.乘法运算：QiQj=k=i+jXk=0cijkQk（A14）对于上述四个基，已知系数cijkfrom（A14）：对于拉盖尔基：参考文献25。勒让德基础：参考文献26，公式8.915.5，A（9036），第1040页。切比雪夫基：参考文献27，公式2.7.24，第872页。对于Hermite基：参考28或29公式4.5.1.11第569.2页。乘以ax+b。使用三项递归关系。3.给定一组观测值xjand wj，计算力矩asPjQn（xj）wj。使用3项递归关系（参见CalculationsFromSample方法）。展开ax+b参数Qn（ax+b）=Pj=nj=0d（n）jQj（x）。使用三项复发关系来发现d（n）j.5。合成师。

对于给定的多项式，P=Pk=npk=0pkQkand D=Pk=ndk=0dkQk发现多项式R和Q，比如P=Q* D+R。对于nd=1，结果可以直接从三项递推（A1）计算得出，对于nd>1，使用（A14）系数，并求解线性系统的R和Q系数。6.Pk=nk=0fkQk（x）a t x的计算。使用克伦肖递推公式见参考文献30，第e56页。7.函数PK=nk=0fkQk（x）在x处的积分和微分。使用参考文献中的Qk（x）积分和微分公式。然后应用克伦肖复发公式。给定F（x）=Pk=nk=0fkQk（x），找到F（x）=0的根（可能是复数）。构建联合矩阵[31,32]，其特征值给出多项式F（x）根。请参阅GetConfederMatrix（最终双[]系数）方法和com。polytechnik。乌提尔斯。多项式根ConfederateMatrixaBases类。我们有一个数字库，用于实现这些（以及其他一些）多项式运算，用于所讨论的四个基（参见上面提到的扩展com.polytechnik.utils.BasisPolynomials的四个类）。代码由作者提供[33]。为了展示这些基础的简单应用，让我们将它们应用于求积计算。这将在附录B：质量计算中进行说明。在本节中，如果力矩<Qk>u，我们将应用附录A中的运算来计算高斯、拉多、克朗罗德和多重正交正交求积。高斯求积。使用乘法系数（A14）获得矩阵Mu[x]和Mu[1]。第一个是通过x的多次应用获得的，然后使用（A14），第二个是通过直接应用（A14）获得的。求解广义特征值问题Mu[x]|ψ>=λMu[1]|ψ>（B1）特征值是正交节点xk，k=[0..n]，权重wk=1/ψ（k）（xk）,其中ψ（k）（xk）是第k个本征函数在xk处的值，isPj=nj=0ψ（k）jQj（xk）。

因为（23）中的k（x，y，u）和相应的克里斯托弗尔函数在|ψ（k）>基中有一个非常简单的形式：k（x，y，u）=k=nXk=0ψ（k）（x）ψ（k）（y）（B2）ψ（k）（x）等于（常数内）建立在xj上的拉格朗日插值多项式，j=[0..n]节点（ψ（k）（xj）=6=k）。拉多求积。使用乘法系数（A14）获得矩阵Mu[（x-x） x]和Mu[（x- x） ]，然后使用高斯求积进行节点和权重计算。Kronrod quadraur es[34,35]。首先建立高斯求积，然后获得第n个正交多项式Pnon measureu（例如，通过将ψ（k）乘以x）- 然后使用（A14）计算<QkPn>矩，并在这些新矩上再次计算高斯四边形。如果成功-结果将给出Kronrod节点。OnceKronrod节点是已知的Kronrod节点，可以通过第一和第二个高斯正交权重轻松计算出Kronrod权重。请参阅com中的代码。polytechnik。乌提尔斯。正交多项式。GetKronrodquartures。多重正交[36]。请参阅com中的代码。polytechnik。乌提尔斯。正交多项式。Getquard uresForMultipleOrthogonalPolynomialJava代码可从作者处获得[33]。附录C：高斯求积的分布参数估计我们在附录B中建立的求积可用于分布参数估计。对于正定义的量度du和现有力矩[0..2n- 1] 如果∏（x）是2n次的任意多项式，则可以建立n点求积规则，使得关系∏（x）i=k=nXk=1∏（xk）ωk（C1）是精确的-1或更少。节点xk和权重ωkde fine Gaussian quarture[12,15,37]虽然大多数正交应用侧重于使用（C1）进行积分估计，但它可以被视为通过支持正交节点的离散度量对度量du本身进行插值，即。

通过点xk和幅值ωk处的δ函数（参见参考文献[15]了解xk的分布（n-th阶正交多项式相对于测度du的根）在各种情况下的回顾）。正交的一些常见用法可以是使用离散度量ωkas作为替代来估计度量du的分位数（例如中值）。在这个附录中，我们提出了一个新的分布偏态估计。考虑到HQKI；k=0,1,2,3矩可以建立两点求积规则。假设正交节点按升序x<xd排序，将偏度定义为节点权重的不对称度Γ=ω- ωω+ω（C2）0.20.40.60.81.21.41.60 10 20 40 50 60kFIG。8.卡方分布的偏度。实线：常规偏斜度P8/k的一半。虚线：定义（C2）的（C9）的修正偏斜度[-1.1]间隔，因为所有ωkar都是正的。由于数值不稳定，实际的高斯求积计算对于大n可能相当复杂，但对于n=2，计算非常简单，甚至可以在单项式基础上进行。考虑R（a+bx+x）du的词汇问题，什么导致线性系统，a和b的值是：d=hxih1i- hxi（C3）a=hxihxi- hxi/d（C4）b=hxihxi- hxih1i/d（C5）那么节点是a+bx+x根，权重是：x1,2=-b±√B- 4a（C6）ω=h1ix- xx- x（C7）ω=h1ix-xx- x（C8）然后（C2）变成Γ=2x- 十、- xx- x=-2x+b√B- 4a（C9）Γ[x]=（x+x）/2-x（C10）当应用于常用分布时，（C2）中定义并在（C9）中计算的偏度与（C13）中的规则偏度γ非常相似。x=hxi/h1i（C11）σ=h（x-x） ih1i（C12）γ=h（x-x） 图中的ih1iσ（C13）。

8给出了（C13）中的规则偏度γ和（C2）中的“修正”偏度Γ作为自由度k函数的卡方分布图（规则偏度等于精确的Q8/k，在图表上，它被二除，在k处具有与（C9）相同的渐近性）→ ∞). 在某些情况下，需要定义偏度，尺寸为x（例如，非参数偏度中使用的均值和中值之间的差异）。在这种情况下，可以使用（C9）提名人的一半，即（C10）在X、X和meanx的中点之间的差异。注意，x是建立在du和x上的一阶正交多项式P（x）的根，x是建立在du上的二阶正交多项式P（x）的根，因此（C10）是P（x）根和P（x）根中点之间的差异。请看com。polytechnik。乌提尔斯。从任意基的[0..3]矩计算Γ的代码的偏度。第一[0..2n- 1] 正测度的矩可以是一对一映射到n点高斯求积。提出了一种修正的偏斜度估计，即两点高斯权的不对称性。这种修正的偏度还有其他重要的性质，例如[-1..1]区间，并且很好地适用于双模分布，它给出了精确的答案，例如，对于具有两个支撑点的离散分布。注意，离散分布是偏态估计的典型问题[38]。虽然正交法可以很容易地应用于偏度估计，但如果输入矩仅限于经典峰度定义中使用的相同矩，则不可能通过高斯正交进行峰度估计。经典的峰度估计需要[0..4]矩进行估计，但三点高斯求积需要[0..5]矩。

在这种情况下，基于感官特性的偏态估计是一种特殊的估计，因为它可以使用与经典定义的偏态相同的输入矩来构建。在实际应用中，克里斯托夫函数（23）和共感1/K（x，x，u）比峰度更能成功地用于测试“肥尾”上的分布。从技术上讲，可以在（B1）本征函数基（其中K（x，y，u）具有非常简单的形式（B2））中更好地理解基态函数行为，而不是在原始的Qk（x）基中，其中K（x，y，u）具有一般形式（22）。给定分布样本以获得K（x，x，u），从考虑的四个基中选择一个基（为了数值稳定性，选择一个最类似于样本分布的基，并将x标度到基本度量支持），然后使用COM的基实现。polytechnik。乌提尔斯。BasisPo Lynomicals。从样本中计算情感以获得<Qk>矩，然后使用com生成M[1]矩阵。polytechnik。乌提尔斯。正交多项式。获取qqmatr，将其反转（获取G-1） 通过应用例如com。polytechnik。乌提尔斯。林氏系统。获取反相器矩阵，并最终计算多项式Q（x）G-1Q（x）通过使用com。polytechnik。乌提尔斯。正畸性淋巴结炎。getKK。例如，切比雪夫基的Java代码看起来是这样的：/**该方法计算切比雪夫基中的K（x，x）（返回2d-1元素，2d-2阶多项式）*来自观测样本x[]*/static double[]getKxxFromSample（final int d，final double[]x）{final com.polytechnik.utils.OrthogonalPolynomialsABasis Q=new com.polytechnik.utils.OrthogonalPolynomialsChebyshevBasis（）；返回Q.getKK（d，com.polytechnik.utils.Linsystems.getInvertedMatrix（d，d，Q.getQQMatr（d，Q.B.calculationemmentsfromsample（2*d-1-1，x））；）-0.20.20.40.60.8-1-0.8-0.6-0.4-0.20.2 0.4 0.6 0.8 1f（x）ALS（x）ARN（x）图9。

原始龙格函数f，最小二乘近似Als和Radon–Nikodym近似Imation Arn附录D：龙格振荡抑制我们采用龙格函数f（x）=1+25x（D1）并对其进行插值[-1.1]选择测量值du=dx和n=6的间隔。ALS（x）东平方近似（16）和ARN（x）Radon–Nikodym近似（26）。Gij=Z-1dxQi（x）Qj（x）=<Qi（x）Qj（x）>=Mij[1]（D2）ALS（x）=Qi（x）G-1ij<Qj（x）f>=Q（x）G-1<Qf>（D3）ARN（x）=Qi（x）G-1ij<QjQkf>G-1klQl（x）Qi（x）G-1ijQj（x）=Q（x）G-1M[f]G-1Q（x）Q（x）G-1M[1]G-1Q（x）（D4）结果如图9所示。我们可以看到，近边缘的振荡并不严重，当Radon–Nikodym近似作为多项式比率用于f的插值时，可以从图表中看出最小二乘法和Radon–Nikodym近似的典型行为差异：L east squares在测量支撑边界附近有发散振荡，并且随着测量支撑距离的增加趋于一致。Radon–Nikodym在测量支撑边界附近具有会聚振荡，并且随着测量支撑距离的增加趋于常数。根据<Qk>和<fQk>矩计算ARN（x）的代码与附录C末尾计算K（x，x，u）多项式的示例非常相似，不同之处在于，现在必须进行两次计算：第一次计算分母，准确给出K（x，x，u），第二次计算命名子，唯一不同的是，不是矩阵G-1矩阵-1M[f]G-1应该使用。请看com。波利科技公司。乌提尔斯。内瓦伊接线员。GetNevai算子是一个例子，在这个例子中，这些计算是实现的，并且从给定基础中的力矩s计算出了占位符和分母的多项式。另一点值得一提的是，它与衍生品计算有关。

因此，应首先计算力矩hQkdf/dxi（对于（3）或（7）等度量，可使用hQkfi矩和部分积分进行计算），然后才使用导数矩s应用Radon–Nikodym近似，如（D4）。如果不使用hQkdf/dxi矩，而是直接改变f近似表达式（D4），则结果将不正确。附录E：矩阵平均在第二节开始时，我们提到了一种有效的平均和相关计算方法。具体来说，我们需要一种有效的方法来计算<fg>，只给出<Qkf>和<Qkg>信息。第二节中提到的方法实际上是ygij=<QiQj>（E1）fg=<Qf>G-1<Qg><Q>G-1<Q>（E2）（在本附录中，我们混合了向量<Qf>和索引<Qkf>符号来表示符号紧凑性，但这不应误导读者）。表达式（E2）可以被看作是f（t）和g（t）时间序列到向量<Qf>和<Qg>的转换，然后取它们与矩阵g的内积-1定义内积（另一种方法是考虑f（x）和g（x）的最小二乘逼近，然后取两个插值函数乘积的平均值）。Radon–Nikodym导数如何改善函数的插值，从向量<Qkf>到矩阵M[f]的转换同样可以改善平均值的计算。让我们使用（21）中的Mij[f]=<QifQj>，并定义一个平均值f:f=Spur（G-1M[f]）dim G（E3），其中，Spur是mat-rix trace（对角线元素之和）运算符。