实时股票交易的数学基础。流动性赤字

如果我们正式替换厄米矩阵（Mπ[1]）-1由非厄米第九代材料（Mu[1]）-1/2（Mν[1]）-1/2及其转换，然后我们会收到原始压力（25）。（26）Radon–Nikodym导数估值器可用于任意函数f的插值。只需将π=u和dν=fdu。参见附录D，作为抑制周期振荡的示例。在这种特殊情况下，表达式（26）π=u和dν=fdu是普通的Nevai算子[19]Gf=RK（x，t）f（t）du（t）K（x，x）（27），可以很容易地以数值形式（参见com.po lytechnik.utils.Nevai operator.getNevai operator r中的代码）作为一个大的io或两个2n阶多项式：（Gf）（x）=）Qi（x）（Mu[1]）-1μmu；jk[f]（Mu[1]）-1klQl（x）Qi（x）（Mu[1]）-1ijQj（x）（28）该Nevai算子与函数逼近中Radon–Nikodym导数的简化形式（π=u）完全匹配，如（D4）。Radon–Nikodym导数方法基于矩阵，而不是像最小二乘法那样基于向量。这种矩阵方法也可以有效地应用于平均值计算，两种股票价格协方差计算示例见附录e。B.已执行订单流量示例在第II A小节中，我们提供了一种理论，允许对已执行订单流量进行数值计算。为了展示这一理论的实用价值，让我们将其应用于2012年9月20日股票AAPL的已执行订单流量I的计算。我们展示的所有图表都是针对这一天的。在我们的分析中，我们实际上分析了大约4年的时间。优化参数，以及力矩的循环计算（给定interva l上的力矩）[-∞, -τ] （旧音乐）间歇的新时刻[-∞, 0]（t=0是“现在”）可以使用旧时刻进行计算，并且仅在[-τ、 0]间隔）。这样的优化允许在不到15分钟的时间内对数百只股票进行整个交易日分析。

但这种海量数据分析并不是本文的重点。如果我们建立一些统计套利模型，这将非常重要。但对于动态模型来说，一天就足以证明该理论的关键要素。选择2012年9月20日的原因很简单，10:00之前有熊市，10:00之后有高波动性的牛市。这样的市场行为几乎总是会导致自动交易机的严重损失，所以这一天是测试的好日子。在图1中，我们给出了执行流程I（t=0时的I），以位移勒让德基函数x=exp（t/τ）、du=exp（t/τ）dt和dν=exp（t/τ）dv计算，然后可以从（24）中估计I 693。5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3tPIFIG。1.2012年9月20日上午10点AAPL股票价格。x轴上的时间是一小时的小数点，例如9.75表示上午9:45。红线AAPL股价。间隔边缘（time=“now”）的黑线执行顺序流I（以任意单位移位以匹配图表）以移位勒让德基计算，n=6，τ=128秒。作为氡–在t=0时计算的Nikodym导数dν/du。在图1中，I（按比例缩放）显示了巨大的波动，低交易活动和高交易活动交替出现。高交易活动事件在I中表现出独特的行为类型，这在价格中表现为一种特殊性，而不是单一性。这使我们能够提出，在市场动态中，执行的交易流量是主要的，价格变化是次要的。对于移位勒让德基，I峰的最小可计算时间标度可估计为τ/（n+1），对于拉盖尔基，可估计为τ。如果我们接受波动会导致市场动态的假设，那么我们就可以估计一台自动化交易机器可能工作的时间尺度。

这个想法是要有大的波动△五/△t（函数可以是多个数量级，但对于我们计算氡–Nikodym导数的方法，它们仅限于最小时间尺度）。如果将最小时间尺度设置得足够大（大约1小时），那么这个尺度上的体积波动就会变小，订单流量的这种小波动不能成为可预测价格变动的来源。同时，太小的时间规模提供的流动性很小，只有拥有非常先进的基础设施的公司才有可能利用如此小的时间规模。这使我们得出结论，可用时间尺度在低价值——可用流动性不足和高价值——和低流动性之间存在界限。人们可以从这张图表中提取一些额外的重要事实，但与Iis有关的主要问题是：要判断我们有流动性过剩（I>IIH）或流动性不足（I<IIL），应该将I与之进行比较的尺度是什么。根据固定时间标度计算的任何值（例如，<I>，使用τ作为时间标度）都不能为IIL和IIL提供可行的值。下一节专门讨论这个问题。C.广义Radon–Nikodym导数和广义特征向量问题等式（26）可以改写为ψ（x）=Q（x）（Mπ[1]）-1Q（x）（29）dνdu（x）=<ψ|ψ>ν<ψ|ψ>u（30），对于最简单的情况，π=uψ（x）=Q（x）（Mu[1]）-1Q（x）qQ（x）（Mu[1]）-1Q（x）（31）dνdu（x）=<ψ|ψ>ν<ψ|ψ>u（32），其中（29）是在x=x处定域的“波函数”，而（30）是在x=x处的Radon–Nikodym导数的值，那么<ψ|ψ>ν<ψ|ψ>u=λ（33）Mν[1]|ψ（j）>=λ（j）Mu[1]|ψ（j）>（34）<ψ（j）|ψ（j）>u=<ψ（j）|Mu[1]|ψ（j）>=1（35）可以看作是具有标量积<a | b><a | M[1]|b>的广义特征值问题。上指数（j）计算特征值和特征向量。如果矩阵Mu[1]为正。

du=ω（t）dt，ω（t）>0），那么（34）正好有dim M=n+1实本征值λ（j），并对应于它们的本征向量|ψ（j）>。这个问题对基变换是不变性的。一个好的基选择（例如（3）或（7））使矩阵Mu[1]对角，而问题（34）被简单地简化为正则特征值问题。一般情况下，广义特征向量问题的问题并不比正则特征值问题更严重，可以使用标准的数值求解，例如LAPACK[20]程序dsygv、DSYGVD和类似程序。这个问题（34）比它的“本地化”Radon-Nikodym版本（26）更为普遍。（34）的简单用法是找到Radon–Nikodym导数的最小/最大值（或者一个函数，对于这个函数来说，就是dν=f（x）du），这将是最小/最大特征值λ。（不，与最小/最大特征值相对应的特征函数具有非常明显的拓扑性质，例如：1.如果特征函数ψ（x）的最高阶多项式系数不为零（如果为零，则可以改变为某个极小值），则ψ（x）（n阶多项式）正好有n个简单的实不同根（但在du或dν的支持下不需要）。除最小/最大特征值外，该性质不适用于与之对应的ψ（x）。2.测度dθ=dν-λmindu（或类似地，对于最大特征值，取dθ=λmaxdu-dν）生成n+1个正交多项式，最后一个是n阶多项式（在一个常数内）正好等于ψ（x），对应于λmin，且其范数的度量dθ正好等于零<ψ|ψ>θ=0。可以在这个度量dθ上建立高斯分布，所有节点都位于ψ（x）根，所有权重都是正的。我们希望对这个有趣的话题单独进行更多的研究。）但在我们开始这个方向之前，让我们展示一些简单的示例，当ν=P（t）du时，其中P是资产价格。

那么所有的特征值就是资产交易量最大的价格。在价格基础（10）中，特征值是建立在测度（11）上的高斯分布的节点。在Laguerre a和移位L-egendre基中，结果非常相似，但不具有正交无des的意义（它现在与Mu[P]矩阵谱有关）。在n=0的情况下，有一个单一的特征值，与测量值du的移动平均值正好相等。因此，这种技术可以被认为是移动平均推广。把价格输入（34）并不能提供任何关于未来的信息。图2只是广义特征值技术的一个例子。D.阈值计算的示例公式（31）中的ψ是一个定域于x的状态。考虑x为区间终点（对于拉盖尔基（4）为x=0，对于移位勒让德基（8））为x=1）。关于测度du，与（31）正交的所有函数ψ（x）都具有ψ（x）=0。然后我们就可以写693了。5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3tPFIG。2.2012年9月20日上午10点左右的AAPL股价。x轴上的时间是一小时的小数点，例如9.75表示上午9:45。红线AAPL股价。其他行-dν=P（t）du的（34）特征值，在n=6（七个值：0..6）和τ=128秒的移位勒让德基中计算。具有“bo undar y条件”的特征值方程（34）：<ψ|ψ>ν<ψ|ψ>u=λ（36）Mν[1]|ψ（j）>=λ（j）Mu[1]|ψ（j）>（37）<ψ（j）|ψ（j）>u=<ψ（j）|Mu[1]|ψ（j）>=1（38）ψ0（39）边界条件（39）可以通过引入两个测度de=（x）来消除-x） du和deν=（x- x） 然后<φ|φ>eν<φ|φ>eu=λ（40）Meν[1]|φ（j）>=λ（j）Meu[1]|φ（j）（41）<φ（j）|φ（j）>eu=1（42）ψ（x）=（x- x） φ（x）（43）693.5694.5695.5696.5697.5698.59.79.759.899.859.99.9510.0510.11010.11510.21010.2510.3tpiiiiiiiiiiiiiIfig。3.

计算了与图1相同的图表，加上IILand iIH阈值和价格（对应于ψIH）。（41）的最小和最大特征值。由于边界条件的存在，相应的矩阵的维数比原矩阵的维数小1。我们得到正则广义特征值问题，并且（43）中的ψ服从所需的边界条件（39）。（41）的任何解ψ都与（31）正交，因为它等于0 atx，例如，它没有关于“现在”的信息，只有关于“过去”的信息。（41）II的最小值/最大值与我们期望的阈值相同[21]。在图3中，我们展示了执行率和阈值IIL（“低”，最小特征值）和IIH（“高”，最大特征值），仅从“pa st”计算得出。人们可以在I<IIL（流动性不足）和I>IIH（流动性过剩）时观察到两种截然不同的行为。重要的是要注意，与IILand IIIS相对应的时间尺度不是固定的，而是从矩阵Mu[I]（f或2d维度的矩阵）中可用的时间尺度中自动选择的- 1.使用时间刻度）。我分享的事件很少发生，正如我们稍后将展示的那样，它们正是要结束的事件组合头寸。这些活动更为常见，我们将在稍后展示，它们正是要开放的活动组合位置。价格PIH（蓝色曲线）是对应于ψIH=<ψIH | pI |ψIH>u/<ψIH | I |ψIH>u的价格（作为一个非常粗糙的方向估计，可以使用上一个价格和PIH之间的差异）。与I=dv/dt类似，同样的理论也可用于计算t=0时的dp/dt和相应的dp/dt阈值。dp/dt的问题是，t=0时对dp/dt的贡献太大，以至于在大多数情况下，它超过了在过去数据上计算的阈值。

这再次证明了我们的说法，即价格本身并不包含关于动态的信息。在图4中，我们又展示了一张图表，显示了不同|ψ>状态下的价格行为。对于n=6和τ=128秒，PIH；n由不使用边界条件ψ（x）=0（矩阵维数为n+1）的广义特征值问题计算得出，PIH由使用边界条件ψ（x）=0的广义特征值问题（41）计算得出（原始矩阵维数为n+1，但边界条件（43）使用相同的元素将其减少1），以及指数移动平均值。我们可以非常清楚地看到，当股价波动总是滞后于固定时间τ时，PIHis变量的延迟取决于ψIH的局部化。这对于市场趋势识别非常重要：不需要等待时间τ来识别趋势变化。妊高征；N、 是一个类似本征问题的解，但没有边界条件ψ（x）=0。当I（I在xor t=0时，即“现在”）较高时，有边界条件和无边界条件的问题的解（一个有ψ（x）=0，另一个在x处本地化）和相应的价格（暗蓝色）也显著不同（根据流动性过剩事件计算的这种差异也可以作为市场趋势方向的粗略估计）。当Iis较低时，则为PIH；Nare几乎是一样的，因为对应的状态|ψ>在x附近没有局部化。最重要的是——对应于最大[22]的状态我在矩阵Mu[I]中的可用状态中自动选择时间尺度，这与移动平均值有很大不同，移动平均值只有固定的时间尺度τ。E.损益运营商和交易策略在继续之前，我们想强调变量选择的重要性。如前所述，价格波动很小（低于百分之几），仅反映流动性波动。

尽管如此，大多数交易机和自动交易机都专注于价格预测。根据我们的观点，价格无法在真实市场上预测。但如果你深入观察，一个交易者实际上对价格不感兴趣，他真正感兴趣的是损益。从我们的观点来看，损益，而不是价格，应该是一个可以预测的价值。Let693。5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3tpaverpih；NPIHIFIG。4.2012年9月20日上午10点左右的AAPL股票。价格P，PIH，PIH；Nand PAV ERA被呈现。美国定义仓位变化dS——在时间间隔dt内买入（dS>0）或卖出（dS<0）的股份数量。那么损益表可以写成以下形式：损益=-ZpdS（44）0=ZdS（45）约束（45）意味着在交易期开始和结束时，总资产头寸应为零。通过部分积分（44），可以获得通过价格变化dp表示的损益：P&L=ZS（t）dp（46）0=S（tstart）=S（tend）（47），其中约束（47）明确表示，在交易区间的开始和结束时，头寸S（t）应为0。现在这个问题可以用以下方式来计算：找到提供正损益的位置函数（t）。有一个简单的解决方案：S=dp/dt to put to（46）ordS=dtdp/dt to put to（44）。这意味着头寸增量dS应该表现为价格的第二个导数。这听起来很平凡（如果你知道未来的价格变化，你可以赚钱），但事实并非如此。非常重要的是位置增量的对称性。头寸增量应具有价格二阶导数的对称性（一阶导数仅适用于整个头寸，而非头寸增量）。

自动转印机在位置增量中移动，但使用一个具有第一价格衍生对称性的变量不会成功）。让我们给出一些其他简单但有用的例子，说明头寸函数S（t）提供正损益。假设我们有足够的流动性在任何时刻购买股票，并在单位长度的两个时刻（出售/购买或购买/出售）交易一股股票。然后我们可以用公式ds=ψbuy（x）du表示位置增量- ψsell（x）du（48）1=<ψ>u（49）对于归一化ψ（49），条件（45）自动满足，问题（44）被归结为以下广义特征值问题：- [<ψ买| Mu[p]|ψ买>- < ψ销售| Mu[p]|ψ销售>]=p&L[<ψ购买| Mu[1]|ψ购买>- < ψsell | Mu[1]|ψsell>]（50）损益→ （50）中最大损益的解相当简单。求解广义特征值问题Mu[p]|ψ>=λMu[1]|ψ>然后取与最小λ对应的ψbuyasψ，取与最大λ对应的ψsellasψ，然后p&L=λmax- λmin.答案是微不足道的低买（p=λmin）和高卖（p=λmax），并不实际（正如我们之前所述，价格不包含未来价格变化的信息），但非常有用：它表明了该技术的威力：损益优化问题被简化为矩阵谱分析。另一个微不足道的例子：保持一定的平均位置。S=ψ（x）（52）1=<ψ>u（53）0=ψ（t=-∞) = ψ（t=0）（54）（53）设定的平均持仓量和边界条件（54）不要求持仓量在交易区间的外侧。然后使用（46）我们得到：<ψ| Mu[dp/dt]|ψ>=P&L<ψ| M[1]|ψ>（55）P&L→ max（56）有一个简单的解：解广义特征值问题Mu[dp/dt]|ψ>=λMu[1]|ψ>，找到λM和λmax，选择一个绝对值最大的，对应的ψ就是答案。

如果市场上涨（dp/dt>0）持有多头头寸，如果市场下跌（dp/dt<0）持有空头头寸，这个答案也无关紧要。此外，这个例子并不实用，它只是说明了损益优化问题是如何简化为矩阵谱分析的。关于损益的另一个注意事项是，它通常是以现金为基础计算的（要求在交易间隔之外持有股份，然后计算损益现金差异），但对于某些交易策略，基于资产的定义可能更有用（不要求在交易间隔之外持有现金，然后将损益计算为股份数量差异）。三、 DYNAMICSA。可观察和不可观察变量哪些变量可能用于市场动态？我们已经使用了价格p和执行订单FLOW I=dv/dt等变量。他们是真实的，他们被交易所报道过。还有一些更难观察的其他变量，例如价差、订单类型（买入/卖出）、订单类型被放入或derboo k的时间、订单簿中的订单分布等，还有其他“虚拟”变量，如供应或需求。供需示意图如图5所示。我们将供应和需求视为流量（单位时间dN/dt中的数量或单位），而不是单位总数。如果某个供需图是固定的，且其形式类似于图5，那么很明显，只有对应于dNbuy/dt=dNsell/dt=I的价格才是平稳解，且仅在该均衡价格下执行。无论出于何种原因，当执行发生在价格上，不同于均衡时，供需失衡通常会随着时间的推移而累积。这种累积实际上从未在实践中发生（无论是订单流动停止还是价格变化），但这种累积可以被正式视为限制订单执行时间的增加。