实时股票交易的数学基础。流动性赤字

但限制订单执行时间实际上是已知的，这是订单在执行前在订单簿中花费的时间。在订单执行前，订单簿中所花的限价订单的时间与签名I的乘积可作为供需估算器。我们将在另一份出版物中讨论可观测的供求关系，这里只讨论基本性质，其目标是将供需条件转换为仅以可观测变量表示的条件。问题是：在价格不同于均衡价格的情况下，我们能对供需曲线说些什么。答案是：什么都没有。以当前价格流动的订单是不可测量的，而且，我们可以更强烈地说，除了当前执行的订单之外，实际上不存在任何价格流动（未执行的订单簿订单流动不是供求关系，这只是操纵和交易者的梦想）。在股票交易中，如图5所示的平稳图表，甚至非平稳的供求依赖关系，在概念上都是不正确的，因为它是以无法测量甚至估计的值来操作的。理论可以与不可观测的概念一起工作，例如，我们的理论，同样是量子力学，与ψ（x）一起工作，但只有ψ（x）进入可测值。供给=需求的经典方法可以被只适用于可观察变量的方法所取代：I（p）→ max（57）的意思是：“价格趋向于价值，使未来I（p）最大化”。图5中的平稳理论相当于等式（57），反之则不成立，而等式（57）更一般，可以应用于证券交易动力学。非常重要的是（57）PSUPLYDEMANDFIG。5.

供应和需求随价格变化的示意图。仅对可观测变量（可观测事后）进行操作，我们在第二节中计算的I是根据过去（已观测）的值进行计算的，但即使如此，这也比供需经典理论要好得多，后者即使事后也无法测量供需值。B.波动性价格波动性是一个非常古老的概念，“与平均值相反”的理论实际上等同于：价格倾向于价值，在这个价值上波动性（以过去样本计算的标准差衡量）最小。波动率=D（p- PAV-ER）E（58）波动性→ min（59）PAV ER=<p>/<1>（60）虽然这种策略在实践中永远不会起作用（有关原因的描述，请参见第四节），但有一些至关重要的问题：波动率到底是什么？“真实”波动性或多或少与价格波动或波动相对应吗？挥发性是一个和我性质相同的概念，还是完全不同的概念？综上所述，我们可以看到价格波动通常很大，但这可能类似于力学中的运动学到势能变换。波动率的其他定义可以作为价格波动引入，例如波动率=h（dp/dt）i，这种定义的问题在于它在小时间尺度上发散。

（一个导数由积分补偿，另一个导数被转换为测量辅助边界，这会在小时间尺度上导致表达式发散。）Mu[（dp/dt）]矩阵不能直接从price-timeserie样本计算，附录E中的形式展开式Mu[（dp/dt）]=Mu[dp/dt]G-1uMu[dp/dt]不是一个好的方法，因为它在扩展中引入了基最小规模。让我们给出另一种波动率定义：波动率=h | dp/dt | i（61）这个定义使用一阶导数，所以所有的矩都可以直接从价格-时间序列样本asRQk（x）ω（x）| dp |中计算出来，这个表达式基本上与dp/dt矩相同，但价格变化的绝对值应该用在与积分相对应的总和中。从技术上讲，该计算几乎与dv/dt矩计算相同，不同之处在于“交易事件”发生在价格变化点，“交易量”是价格变化的绝对值。在图6中，我们给出了实际执行fl-owI=dv/dt（黑线）和人工执行J=|dp |/dt（绿线）。它们在本质上非常相似。这可能意味着供求和价格波动是同一性质的，至少对股票交易而言是如此。当交易量不可用时，可以用| dp |代替dv。693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9 9.95 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3tPIJFIG。6.一张类似于图。

1，但比较实际执行流量I=dv/dt（黑线）和根据|dp |/dt计算的艺术流量J（绿线）。在我们试图建立动力学方程的过程中，我们花了大量精力试图定义拉格朗日函数L，然后像其他动力学理论一样建立动作S：L=M效用- I（62）S=ZLdt（63）S→ 最小（64）δS→ 0（65）这种方法非常有吸引力：它需要最小化价格波动（如“反向”理论）和最大化执行流量（如供需理论），但可能要求更少。我们花了大量时间使用各种波动模型和行动变化的约束来探索这条路线，与使用justI和仅使用供需函数相比，没有任何改善（57）。这意味着（62）中的“有效质量”m接近于0，至少对于股权交易而言是如此。在这一点上，我们还没有回答关于价格波动作用的基本问题，以及其他类似于波动性质的Therm是否应该与供需条件I=dv/dt一起放在一个范围函数（62）中。在下面的所有计算中，我们假设m=0。请注意，在图5中的平稳y情况下，这些波动性（如术语）不起作用，它们在价格变化的动态情况下起作用，因此我们的方法可以被视为“准静态近似”。我们可以给出另一个原因来解释为什么价格波动（但不是像（dψ/dt）这样的术语，它会导致类似薛定谔方程，这是一个没有太多成功的lso尝试）不应该进入动态方程：正如我们前面讨论的，价格波动是流动性波动的次要因素，应该在不使用价格的情况下计算位置进入/退出条件。然后，只有在最后一步，当需要计算损益时，才应该使用价格来计算方向。C

在过去的样本中，与最大I相对应的价格第III B小节中介绍的价格计算为一段时间（或体积）间隔（60）内的平均值。这个价格（根据过去的样本计算）没有任何可用的自由度，对应于一种策略，即低于价格买入，高于价格卖出，以最大化阅读量（要满足条件（47），必须使用中值，而不是平均价格，但在实际计算中，中值和平均值足够接近）。现在，不要为了交易量最大化而进行交易，而是考虑交易量最大化I，等式（5-7）。不同的是，我们现在有了模糊的M自由度（ψ分量），它们被选择为最大化。计算仍然只使用“图表化”的过去价格（因为测量值Idu和du都是正值），但时间刻度现在是自动选择的。这是从量最大化过渡到I最大化时最关键的改进。相应的价格PIH（图4中已经给出了使用不同边界条件计算的两个版本），但现在我们将进行损益动态分析。问题可以表述为找到一个策略，使损益最大化。让我们呈现一个简单但实用的转换策略，它展示了该理论的所有重要元素。输入：价格p（ti）和交易量dv（ti）的时间执行。连续计算I，IIL，IIH和PIHas，我们在上一节中做过。还有一个变量dir，它决定了位置打开的方向，以及t hr eshold常量th，通常选择0.8-0.9左右。然后应用以下启发式方法：1。如果I<I长仓If dir>th，则输入短仓If dir<-第四，否则不要站稳脚跟。2.如果I>IIH:o重新计算dir。

首先用边界条件nψ（x）=0计算PIH（见第二节D），然后建立矩阵Mu[（p- PIH）I]由Mu[p]和Mu[pI]矩阵直接从可观察样本的矩计算得出。矩阵Mu[（p-PIH）I]对应于情景“在ψIH处输入位置”中的损益表第九条。注意，如果进入位置的时间为单位时间，则这是过去样本在单位时间内可累积的最大体积确定“立即退出”场景对损益运营商有何好处。求解一个数值问题（无边界条件ψ（x）=0）<ψ| Mu[（p-PIH）I]|ψ><ψ| Mu[1]|ψ>=λ损益，最后ψ损益；米南德ψ损益；max，对应于λP&L的最小值和最大值，thendir=<ψ|ψP&L；麦克斯>- < ψ|ψP&L；min>（66），其中ψ来自等式（31）。o记住dir，以便以后在第1阶段使用。oIf dir>th close long position，If dir<-收盘空头仓位。从概念上讲，他所描述的启发式与plast相似-PIH定向交易（所有供需类型的理论都是定向理论），但广义特征值技术用于估计阈值和时间尺度。注意，如果你只需要一个I的预测，结果是非常准确的：如果当前的Iis很大（I>IIH），那么未来的I将很低（I<IIL），如果当前的Iis很低（I<IIL），那么未来的I将很高（I>IIH）。这可能看起来微不足道（流动性可用性高低交替），但这意味着流动性（而非价格！）经历了大起大落，而价格变化只是流动性大幅变化的结果。该战略的关键要素是，它实际上提高了流动性，在亏损期间提供流动性，并在过剩期间获取流动性。

我们的HFT实验将在另一份出版物中详细讨论，这里我们只简单介绍了最重要的定性观测。在测试的许多不同策略中，只有这一个没有提供最终的营养性损益流失（“黑天鹅”[23]——类似事件）。原因很简单：在流动性过剩期间保持零仓位的策略使系统能够适应市场相对于持有仓位变动的情况，但同时在流动性不足期间进入仓位（当波动性很小时），使系统收集了大部分市场变动的能量。我们的实验（尤其是针对股市以外的市场）表明，在人类交易者知道市场方向的情况下，可以根据交易者的观点手动设置dir的值，系统将有效地收集小规模市场波动的损益，同时避免当市场相对于持有的头寸移动时，灾难性的损益流失。在图7中，我们给出了I>IIH的计算dir。流动性过剩期间计算的dir值应保存为流动性不足（I<IIL）时间时刻，以确定头寸开盘方向。该图表显示了时间刻度的自动调整，这与PAV ERon图（4）截然不同，图中的时间刻度正好是τ。结果在某种意义上是稳定的，方向符号变化的时间尺度比Mu[I]矩阵中可用的最小时间尺度大。在真实数据（甚至是纸面交易，更不用说真实交易）上测试策略是一项复杂的任务，因为所有的费用、佣金和延迟都应该考虑在内。在这篇论文中，我们将定性描述四年期间作为“纸上交易”获得的结果，详细结果将在其他地方公布。任何使用PAV ER（对应于最大化过去交易的交易量）的尝试都会造成损失。

当用于交易跟踪策略时，由于趋势转换识别的τ延迟。几乎所有的日子都有相对较小的损失。当使用“反向toPAV ER”策略时，大多数天数都是有利的，但由于灾难性损益下降，趋势天数相对较少（如我们在本演示中使用的天数），总体损益为负值。使用PIH（对应于过去交易中的ma-ximizing I=dv/dt）确定市场方向dir，然后在流动性不足期间使用该方向进入头寸，在流动性过剩期间关闭头寸，通常会在波动日和693日产生收益。5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3tpihdirfig。7.2012年9月20日上午10点左右的AAPL股票。价格P、PIH和dir（在I>IIH时）均已给出。流行日。非常重要的是，这一战略不会带来灾难性的降雨。每天的总交易量约为高流动性股票的几百笔。日均回报率从-1%到2%不等，具体取决于执行价格和交易佣金的建模方式。我们的主要结果是，基于进入/退出条件的自我调整时间尺度和流动性（非价格）对于合理的自动化交易机器至关重要。我们对市场动力学的方法，如最大化I（p），等式（57），（即使是在过去的交易中，我们在本文中所做的，没有第三节B中讨论的波动性术语，这些术语没有得到很好的理解），给出了非常有希望的结果。最重要的是实验证明，流动性交易策略中没有灾难性的损益流失。D.波动性交易在前面的第三节C中，我们尽最大努力构建了定向交易机，它试图预测未来的价格，并取得了一些成功。

但价格预测非常困难，因为正如我们前面所说，价格波动很小，仅次于流动性波动，所以我们在第II E节中的损益交易理论是为了克服这个问题。一个问题是，流动性缺陷是否可以直接交易。如果我们接受第三节B中实验观察到的事实，即流动性损失是一个与波动性性质相同的实体，那么答案是肯定的，并且流动性损失可以通过某种衍生工具进行交易。让我们用一个简单的例子来说明这个方法——期权交易。无论使用何种期权模型，其关键要素都是隐含波动率。隐含的波动性交易策略可以通过交易一些delta–neutral“合成资产”来实施，例如，建立一个资产和一个资产本身的长–短看涨对、看涨–看跌对或类似的“delta–neutral工具”。此类“合成资产”的最佳实施取决于使用情况、可用流动性、外汇准入等，且因基金而异。假设我们已经建立了这种delta中性工具，其价格仅取决于波动性。如何交易？我们有两个相同的要求：1）避免灾难性的损益流失，2）预测波动性的未来价值（远期波动性）。现在，当交易delta–neutralstrategy时，这与我们的理论和交易算法完全匹配。1.如果我们有标的资产，请输入“delta–neutral”合成资产的“长期波动性”头寸。此输入条件意味着，如果当前执行流量较低，则其未来价值将较高，与第三节C中的价格动态完全对应：如果当前价格下，Iis的价值较低，则价格将更改为增加未来I.2。如果对于标的资产，我们有I>I，然后关闭“delta–neutral”合成资产的现有“长期波动性”头寸。

在无法确定I的高未来值时，它可能会下降（通常）或增加更多（非常罕见，但只有少数事件足以导致灾难性损益流失）。根据我们损益交易策略的主要概念，在市场不确定的情况下，一个人应该拥有零头寸。这种策略之所以被认为是可行的，是因为实验表明，隐含波动率在很大程度上取决于价格波动，基础资产的执行流量峰值通常会导致其价格大幅波动，然后隐含“合成资产”的可用性增加。这种策略是典型的“买入低波动率”，然后“卖出高波动率”。与常规情况的关键区别在于，流动性损失不是价格波动，而是用来代表远期波动。所描述的策略永远不会出现短期波动，因此不太可能出现灾难性的损益流失。我们对可用的有限数据（大约1个月的CME数据）进行了策略测试，这比我们对纳斯达克瘙痒[7]数据（4年的数据）的方向性策略进行的测试要多，但影响显然是存在的，但需要更多的测试才能得出关于流动性缺陷作为隐含波动率代理的可行性的最终结论。除此之外，我们想强调的是，尽管我们的理论似乎比价格方向更好地预测隐含波动性，但实际交易实施需要使用“delta–neutra l”合成资产，这会在佣金和执行上产生大量成本，因此，如果没有高频期权交易的现有设置，实际损益很难估计。四、 推测在本文中，我们提出了一种试图描述市场运动学和动力学的理论。