多元风险测度的一个超鞅关系

也就是说，乘以0≤ t<s≤ T，步进法测量Rt，s:Ms→ P（Mt；Mt，+）由Rt定义，s（X）：=Rt（X）表示任何X∈ M阶跃验收集由At，s:={X定义∈ Ms | 0∈ Rt（X）}=At∩ 女士：关于阶梯式风险措施的详细讨论，请参考[23，附录C]。2.1双重表示在本节中，我们将介绍条件风险度量的稳健表示。在[21,23]中，给出了一种利用负凸共轭的对偶表示，如[34]所述。在本文中，当使用对偶表示w.r.t.时，主要结果简化了[36]中介绍的正凸共轭。下面将推导这种双重表示。为了提供这些结果，我们将首先定义集合A、B的墨考夫斯基减法 姆拜亚-.B={m∈ Mt|B+{m} A} 。该设置的其余部分与[21,23]的设置相同，我们将对其进行快速总结。表示d维概率测度的空间，该空间相对于物理测度P×M绝对连续。出于符号目的 M是向量概率测度的集合，相当于P。我们将考虑Q条件期望的P-a.s.版本（对于Q:=（Q，…，Qd）T）∈ M） 。LetEQ[X | Ft]：=E[ξt，t（Q）X | Ft]对于任何X∈ Lp，式中ξt，s（Q）=ξt，s（Q）。。。，ξt，s（Qd）t对于任何0≤ T≤ s≤ 带ξT的T，s（Qi）：=EhdQidPFsiEhdQidPFtionnω∈ Ohm | EhdQidPFti（ω）>0o1其他，参见例[15,21]。请注意，对于任何概率度量<< P它的结果是dqidp=？ξ0，T（Qi）。我们会说Q=P | Ft，即。

Q等于Ft上的P，如果ξ0，t（Q）=（1，…，1）t∈ Rd.我们将表示半空间Gt（w）和lpt方向w上的条件“半空间”Γt（w）∈ Lqt\\{0}byGt（w）：=nu∈ Lpt | 0≤ 厄特尤，Γt（w）：=nu∈ Lpt | 0≤ wTuo。为了便于记法，对于任何w∈ Lqt\\{0}we writeGMt（w）：=Gt（w）∩ Mt，ΓMt（w）：=Γt（w）∩ Mt.从[23]中，我们可以定义时间t为beWt=n（Q，w）时的对偶变量集∈ M×M+t，+\\M⊥T| wTt（Q，w）∈ Lq+，Q=P | Ftowithwst（Q，w）：=wξt，s（Q）对于任何0≤ T≤ s≤ T我们定义了锥C的正对偶锥 Lpt（尤其是C=Mt，+）byC+=nv∈ Lqt|U∈ C:EhvTui≥ 0o与MtbyM的正交空间⊥t=nv∈ Lqt|U∈ Mt:EhvTui=0o。为了便于阅读，本文分别用β表示正共轭，用α表示条件凸情况，用β表示负共轭（用于屋顶）-β（分别为。-α). 这与[21,23]中使用的符号不同，其中-β、 分别-α、 表示负共轭。正共轭函数和负共轭函数通过βt（Q，w）相互关联：=GMt（w）-.(-βt（Q，w）），αt（Q，w）：=ΓMt（w）-.(-αt（Q，w）），对于任何（Q，w）∈ Wt.推论2.3。函数Rt:Lp→ G（Mt；Mt，+）是一个闭凸风险度量，且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈嗯情商[-X |英尺]+Gt（西）∩ Mt-.βt（Q，w）i，（2.1），其中β是由βt（Q，w）=\\Y给出的最小惩罚函数∈在情商[-Y |英尺]+Gt（西）∩ Mt.（2.2）RTI额外相干当且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈Wmaxt情商[-X |英尺]+Gt（西）∩ Mt，forWmaxt=（Q，w）∈ Wt | wTt（Q，w）∈ A+t.证据结果来自于[23，定理2.3]和βt（Q，w）中的对偶表示：=GMt（w）-.(-βt（Q，w））。推论2.4。

函数Rt:Lp→ G（Mt；Mt，+）是一个封闭的条件凸风险度量，当且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈嗯情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i，（2.3），其中α是由αt（Q，w）=\\Y给出的最小条件惩罚函数∈在情商[-Y | Ft]+Γt（w）∩ Mt.（2.4）RTI附加条件相干当且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈Wmaxt情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt.（2.5）推论2.4的证明比推论2.3的证明更复杂，将在附录第B.1节中给出。例2.5。基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。这个条件相关风险度量的对偶表示由对偶变量集sw∧t给出=（Q，w）∈ Wt | wTt（Q，w）∈ L（λ）-1[R++）.作为一个≥ b>0，在聚合函数∧的定义中，如果（Q，w）∈ W∧tthenQ∈ 我这一额外属性在第4节中变得很重要。此外，我认为（Q，vk）∈ 任意概率测度Q的W∧t∈ 对于每k=0，1，…，平均vkas定义为样本2.2。。。，二维-1自vTkx起≥ λ（x）表示任意选择的x∈ RDBY结构。2.2多投资组合时间一致性[21,23]研究了多投资组合时间一致性，作为集值风险度量时间一致性的有用概念。我们将快速回顾该属性的定义和一些等效特征。特别是，我们将提供（正）罚函数的cycle条件，作为等价于多端口foliotime一致性的条件，因为这一结果将用于本文的主要证明。相比之下，在[23]中，这个结果显示了负惩罚函数。定义2.6。

[23，定义2.7]如果所有时间均为0，则动态风险度量（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的≤ t<s≤ T，全部为X∈ Lpand Allset Y LPS以下含义是令人满意的（X）[Y]∈YRs（Y）=> Rt（X）[Y]∈YRt（Y）。从概念上讲，如果任何补偿X风险的合格投资组合将补偿某些投资组合Y的风险，则风险度量是多端口时间一致的∈ 在某个时间，然后在任何之前的时间，相同的关系成立。定理2.7。[21，定理3.4]对于规范化动态风险度量（Rt）Tt=0，以下是等价的：1。（Rt）Tt=0是多端口对开时间一致的，2。Rtis递归；这是永远的0≤ t<s≤ TRt（X）=[Z∈Rs（X）Rt(-Z） =:Rt(-Rs（X））。(2.6)3. At=At，s+as每次0≤ t<s≤ T如上述定理所示，对于集值风险度量，多端口时间一致性等价于一个草书关系。此外，[24]还讨论了递归形式与Bellman原理的集值形式之间的关系。在离散时间{0，1，…，T}的情况下，步长为1（即设置s=T+1）有助于确定多端口时间一致性和递归关系（2.6）。例2.8。基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。由于验收设定了∧皮重康斯坦丁时间，因此R∧t（X）=R∧t+1（X）∩ L∞T

因此，直接通过定义，我们可以证明这种基于聚合的风险度量是多端口时间一致的，因为对于任何0≤ t<s≤ T，X∈ L∞还有Y L∞这样r∧s（X）SY∈YR∧s（Y）它跟随着R∧t（X）=R∧s（X）∩ L∞T“[Y]∈YR∧s（Y）#∩ L∞t=[Y]∈YR∧s（Y）∩ L∞T=[Y]∈YR∧t（Y）。对于正共轭，我们已经证明了βt=23的正共轭。在这些结果中，βt、sandαt与上述分级风险度量Rt、sde的正凸共轭项相匹配。回想一下[23]中的条件风险度量Rtat时间t被称为条件凸上连续（c.c.u.c.）ifR-1t（D）：={X∈ Lp | Rt（X）∩ D 6=} 对于任何条件凸闭集都是闭的∈ G（Mt；Mt，-).定理2.9。设（Rt）Tt=0为标准化的c.u.c.凸风险度量。那么（Rt）Tt=0是多端口时间一致的当且仅当βt（Q，w）=clβt，s（Q，w）+EQ[βs（Q，wst（Q，w））|Ft]对于每个（Q，w）∈ 而且一直都是0≤ t<s≤ T定理2.10。设（Rt）Tt=0是具有对偶表示的标准化c.c.u.c.条件凸风险度量Rt（X）=\\（Q，w）∈韦特情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）ifor每X∈ Lpwhere Wet:={（Q，w）∈ Wt|Q∈ 我}。那么（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的当且仅当为每（Q，w）∈ 而且一直都是0≤ t<s≤ TαT（Q，w）=clαt，s（Q，w）+EQ[αs（Q，wst（Q，w））|Ft].3超鞅性质在这一节中，我们考虑c.u.c.凸集值测度的超鞅性质。这个性质类似于[27,11]中给出的标量情况。让我们介绍以下符号v（Q，w）t（X）：=cl[Rt（X）+βt（Q，w）]。定理3.1。设（Rt）Tt=0为标准化的c.u.c.凸风险度量。

（Rt）Tt=0ismultiportfolio时间一致当且仅当所有时间为0≤ t<s≤ 满足以下超人关系：对于EVERY X∈ （LPAQ，LPAW）∈ WtV（Q，w）t（X） EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）Fti。（3.1）此外，c.u.c.的假设。在等价性的一侧可以被削弱：如果（Rt）Tt=0是一个标准化的封闭、凸、多端口时间一致性风险度量，那么（3.1）是满足的∈ Wt} Wsand完全刻画了wst<s的对偶集，即任意（R，v）∈ 这里存在a（Q，w）∈所以每X∈ 因此等式[X | Fs]+Gs（wst（Q，w））∩ Ms=ER[X | Fs]+Gs（v）∩ 因此，对于所有（Q，w），多端口对时间的一致性等价于V（Q，wt（Q，w））t（X）的上鞅性质∈定理3.1将通过以下两个引理得到证明。引理的证明可以在附录中找到。引理3.2。在定理3.1的假设下，定理3.1的上鞅关系成立的充要条件是满足（X）[Z]∈Rs（X）Rt(-Z） （3.2）Rt（X）\\（Q，w）∈Wtcl[Z∈Rs（X）h等式[Z | Ft]+Gt（w）∩ Mt-.βt，s（Q，w）i.（3.3）引理3.3。在定理3.1的假设下，（3.2），（3.3）等价于 As+At，s（3.4）At\\（Q，w）∈WtAs+clAt，s+GMs（wst（Q，w））. （3.5）定理3.1的证明。使用引理3.2和3.3，仍然可以证明（3.4）和（3.5）等价于多端口时间一致性。显然，多端口对时间一致性意味着（3.4）和（3.5），参见定理2.7。为了证明相反，让（Rt）Tt=0满足（3.4）和（3.5）。关键的观察结果是{wst（Q，w）|（Q，w）∈ Wt}=nE[Y|Fs]|Y∈ Lq+，E[Y | Ft]6∈ M⊥to，从[21，引理4.5]开始。因为M=Rm×{0}d-m、 Y∈ Lq+意味着[Y |英尺]∈ M⊥t如果且仅当Y∈ M⊥t任何时候t。

因此，获得了一个\\（Q，w）∈WtAs+clAt，s+GMs（wst（Q，w））=\\Y∈Lq+：E[Y | Ft]6∈M⊥TAs+clAt，s+GMs（E[Y | Fs]）=\\Y∈Lq+As+clAt，s+GMs（E[Y | Fs]）\\Y∈Lq+[As+cl（At，s+GT（Y））]\\Y∈Lq+cl[As+At，s+GT（Y）]\\Y∈Lq+cl[cl（As+At，s）+GT（Y）]=cl（As+At，s） cl（At）=At。这里，第三行来自GMs（E[Y | Fs]）=Msif E[Y | Fs]∈ M⊥沙-辛卡斯+Ms\\Y∈Lq+：E[Y | Fs]6∈M⊥sAs+clAt，s+GMs（E[Y | Fs]）.上述方程式和内含物序列的最后一行来自cl（As+At，s）和TY之间的分离∈Lp+cl[cl（As+At，s）+GT（Y）]自∈ Lq+cl[cl（As+At，s）+GT（Y）]=十、∈ Lp | EhYTXi≥ infZ∈cl（As+At，s）EhYTZi.最终包含直接来自（3.4），最终等式来自凸上连续性假设。因此，At=cl（As+At，s），由[23，引理B.4]可知，As+At，s是封闭的。因此（Rt）Tt=0是符合[21，定理3.4]的多端口对开时间。该定理的最后一个结论是，从多端口对时间一致性到（3.4），（3.5）到（3.2），（3.3）到超级艺术属性的关联链，除了封闭性之外，不使用c.u.c。推论3.4。设（Rt）Tt=0为标准化的c.u.c.一致性风险度量。（Rt）Tt=0ismultiportfolio时间一致当且仅当所有时间为0≤ t<s≤ TV（Q，w）t（X）=clRt（X）+GMt（w） EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）每个（Q，w）的FTI∈ Wmaxtand X∈ Lp。Fu rthermore，如果（Rt）Tt=0是一个标准化的封闭、一致、多端口对时间一致的风险度量，则超鞅性质是令人满意的。这是根据定理3.1得出的结论，指出作为相干的结果，βt（Q，w）=（GMt（w）if（Q，w）∈ Wmaxt 其他的If（Q，w）6∈ Wmaxt，那么V（Q，w）t（X）= （回顾Rt（X）+ = ) 超鞅性质是平凡满足的。如果（Q，w）∈ Wmaxt，那么V（Q，w）t（X）=clRt（X）+GMt（w）.例3.5。

基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。由于这是多端口对时间一致的（参见示例2.8），根据推论3.4和示例2.5中提供的聚合basedrisk度量的双重表示，V（Q，w）t（X）：=clR∧t（X）+Gt（w）= clnuR+uG | uR，uG∈ L∞t、 埃赫图吉≥ 0，vTkuR≥ -vTkXk=0，1。。。，二维- 1是任意（Q，w）的集值超鞅∈ W∧t，即（Q，W）∈ 使之（Q，w）∈ L（λ）-1[R++）。特别是在这种情况下，对于某些索引和Q，让w=vkF∈ 我，我们有（Q，vk）∈ W∧和V（Q，vk）t=U∈ L∞t|EvTku≥ EρW Ct（vTkX）是一个Q-超级艺术家。注意与[27，推论4.12]中标量结果的联系，即ρW Ct（vTkX）是任意Q的Q-超鞅∈ 由于最坏情况风险度量的时间一致性，平均值为k。我们将在下面的示例4.3中详细介绍这种连接。现在，我们将把使Vta鞅成为对偶表示中的“worstcase”对偶变量的那些对偶变量标识出来。比较[1]中关于标量情况的命题1.21。推论3.6。设（Rt）Tt=0为标准化c.u.c.凸型多端口对时间一致性风险度量和fix x∈ Lp。V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-鞅，即V（Q，wt（Q，w））t（X）=EQhV（Q，ws（Q，w））s（X）Fti0≤ t<s≤ T、 对于任何（Q，w）∈ 满足两个条件β（Q，w）6= andclR（X）+GM（w）=情商[-十] +G（w）∩ M-.β（Q，w）。此外，（Q，w）的选择是在任何时间t，即cl，X的一对“最坏情况”的对偶变量Rt（X）+GMt（wt（Q，w））=情商[-X | Ft]+Gt（重量（Q，w））∩ Mt-.βt（Q，wt（Q，w））。如果M=Rd，则相反，如果V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-某些（Q，w）的鞅∈ Wwithβ（Q，w）6=, 然后（Q，w）是任意时间t证明的X的对偶变量的“最坏情况”对。见附录C.3节。备注3.7。

负共轭可以给出上鞅关系-βtTt=0（见[21,23]或附录B），但由于clRt（X）+GMt（w）-.(-βt（Q，w））6=cl[Rt（X）+βt（Q，w）]当-βt（Q，w）=Mt（或当βt（Q，w）=) 和clRt（X）+GMt（w）= Mt.例3.8。限制性熵风险度量：考虑所有时间t的合格资产的完整空间，即Mt=Lpt。参数为λ的限制性熵风险测度∈ Rd++Rentt（X）=U∈ Lpt | E[1- 经验(-λ（X+u））]∈ Lpt+是一种多端口时间一致的标准化c.u.c.凸风险度量。详情见[23，示例3.4和第6.2节]和[2]。根据定理3.1，我们得到了条件相对熵^Ht（Q | P）=EQhlogdQdPFti，V（Q，w）t（X）：=cl伦特（X）+λ^Ht（Q | P）+Gt（w）是任意（Q，w）的集值超鞅∈ Wt.示例3.9。组合平均风险值：考虑一个离散时间设置，所有时间t的合格资产的完整空间，即Mt=Lpt。风险平均值AV@Rt（X）（对于任何参数λt∈ L∞t、 ++远离0）定义一个标准化的CUC一致性动态风险度量，它不是多端口对时间一致的。然而，平均风险值的构成^AV@Rt（X）：=AV@Rt-^在Rt+1（X）时的AV多端口对开时间一致。有关详细信息，请参见[21，第5.2节]，[23，示例5.5和第6.1节]和[39]。通过推论3.4，V（Q，w）t（X）：=clh^AV@Rt（X）+Gt（w）是任意（Q，w）的集值超鞅∈fWt，其中fWt:=n（Q，w）∈ Wt|我∈ {1，…，d}s∈ {t，…，t- 1} ：Pwi=0或ξs，s+1（Qi）≤λti= 1..4条件上鞅性质现在我们将上一节的结果推广到条件罚函数α。也就是说，我们给出了集值随机过程v（Q，w）t（X）：=cl[Rt（X）+αt（Q，w）]对于c.u.c.的一个超鞅性质。

条件凸动态风险度量（Rt）Tt=0。推论4.1。设（Rt）Tt=0是一个标准化的c.u.c.条件凸风险度量，其对偶表示仅具有等价概率度量，i。e、 ，Rt（X）=\\（Q，w）∈韦特情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i.Then，（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的当且仅当所有时间为0≤ t<s≤ 电视（Q，w）t（X） cl EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）非常（Q，w）的Fti（4.1）∈ Wetand X∈ Lp。此外，如果（Rt）Tt=0是一个标准化的封闭、条件凸、多端口对时间一致性风险度量，则超鞅性质（4.1）满足推论4.2。设（Rt）Tt=0是一个标准化的c.u.c.条件一致风险度量，其对偶表示仅具有等价概率度量，i。e、 ，Rt（X）=\\（Q，w）∈我们，麦克斯情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ mtwe，maxt:=Wmaxt∩ 潮湿的（Rt）Tt=0是多端口时间一致的当且仅当且仅当所有时间为0时≤ t<s≤ TV（Q，w）t（X）=clRt（X）+ΓMt（w） EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）每个（Q，w）的FTI∈ 我们，麦克斯特。此外，如果（Rt）Tt=0是一个标准化的、封闭的、条件一致的、多端口对时间一致的风险度量，则超主动性是令人满意的。这源自推论4.1，因为αt（Q，w）=（ΓMt（w）if（Q，w）∈ Wmaxt 因此V（Q，w）t（X）=clRt（X）+ΓMt（w）对于任何（Q，w）∈ Wmaxt。例4.3。基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。由于这是多端口对时间一致的（参见示例2.8），根据推论3.4和示例2.5中提供的聚合basedrisk度量的双重表示，V（Q，w）t（X）：=clR∧t（X）+Γt（w）= clnuR+uΓ| uR，uΓ∈ L∞t、 wTuΓ≥ 0，vTkuR≥ -vTkXk=0，1。。。，二维- 1是任意（Q，w）的集值超鞅∈ W∧t，即（Q，W）∈ 使之（Q，w）∈ L（λ）-1[R++）。