多元风险测度的一个超鞅关系

特别是在这种情况下，对于某些索引k和Q，让w=vk∈ 我，我们有（Q，vk）∈ W∧和V（Q，vk）t=U∈ L∞t|vTku≥ ρW Ct（vTkX）isa Q-超级马丁格尔。这提供了（时间一致性）标量最坏情况风险度量和此处考虑的基于集合值的风险度量的超级主观属性之间的直接比较。也就是说，集值超鞅属性意味着基础标量风险度量的超鞅属性，但反之不一定成立，也就是说，集值超鞅属性提供了更多信息，而不仅仅是单个标量属性，因为它是过度的（Q，w）∈ W∧t不受W的限制∈ {vk | k=0，1，…，2d- 1}.同样，我们可以将Vtis是鞅的对偶变量描述为“最坏情况”对偶变量。推论4.4。设（Rt）Tt=0是一个标准化的c.u.c.条件凸多端口时间一致性风险度量，具有仅具有等效概率度量的双重表示，即Rt（X）=\\（Q，w）∈韦特情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i.固定一些X∈ Lp。对于任何（Q，w）∈ Wesatizingα（Q，w）6= andclR（X）+ΓM（w）=情商[-十] +Γ（w）∩ M-.α（Q，w），随机过程V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-鞅，即V（Q，wt（Q，w））t（X）=cl-EQhV（Q，ws（Q，w））s（X）Fti0≤ t<s≤ T.此外，（Q，w）的选择是在任何时间T，即cl，X的“最坏情况”对偶变量对Rt（X）+ΓMt（wt（Q，w））=情商[-X | Ft]+Γt（wt（Q，w））∩ Mt-.αt（Q，wt（Q，w））。如果M=Rd，则相反，如果V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-某些（Q，w）的鞅∈ α（Q，w）6= 然后（Q，w）是任意时间t的双变量对x的“最坏情况”。例4.5。超级边缘：考虑一个离散时间设置，所有时间t都有可用资产的完整空间，即Mt=Lpt。

定义具有凸偿付能力区域（Kt）Tt=0withint recc（Kt[ω]）描述的凸交易成本的市场 Rd+\\{0}几乎可以肯定，其中recc（C）表示凸集C的衰退锥 Rd.时间t的超边缘投资组合集SHPt（X）表示那些可以从时间t到终端时间t进行交易的合格投资组合，其表现优于输入组合∈ Lp。从这个公式中，我们可以立即定义一个封闭的、条件共凸的多元风险度量Rt（X）：=SHPt(-十） 这是多端口对开时间一致的。有关详细信息，请参见[23，示例5.4]。从偿付能力区域内部的约束来看，惩罚函数仅定义在一组等价概率度量上。虽然SHPtis在一般情况下没有标准化，但我们仍然可以应用本节的结果，因为接受集和惩罚函数表示的总和通过时间倒转的合成（见[23，第5节]），并且所有的证明都是相应的。通过推论4.1，我们得到v（Q，w）t（X）：=clSHPt(-十） +αSHPt（Q，w）定义任意（Q，w）的集值超鞅∈ Wet，其中惩罚函数由αSHPt（Q，w）给出：=TXs=t（u）∈ Lpt | ess supks∈Lps（Ks）-wTEQ[ks | Ft]≤ wTu）。在市场仅具有比例交易成本的特殊情况下，即市场由一系列偿付能力锥（Kt）Tt=0定义，则超边际投资组合集定义了一个多投资组合时间一致的标准化、封闭、条件一致的风险度量。有关详细信息，请参见[21，第5.1节]、[23，示例4.7]和[52]。

然后，通过推论4.2我们得到v（Q，w）t（X）：=cl[SHPt(-十） +Γt（w）]定义任意（Q，w）的集值超鞅∈ W{t，…，t}，其中W{t，…，t}：=（Q，w）∈ 湿| wst（Q，w）∈ Lqs（K+s）s∈ {t，…，t}.类似地，我们可以应用定理3.1（比例交易成本的推论3.4），它也得出V（Q，w）t（X）是集值超鞅。集值风险度量（条件）标度化的对偶表示第3节和第4节主要结果的证明将使用以下关于集值风险度量（条件）标度化对偶表示的结果，这些结果具有独立的意义。A.1集值标量化命题A.1。设RTC为c.u.c.和凸风险度量。以w为例∈ recc（Rt（0））+\\M⊥t、 即wTu≥ 每u 0∈ recc（Rt（0））：={m∈ Mt | Rt（0）+m Rt（0）}并且存在一些m∈ MTE在哪里wTm6= 0. 然后，每X∈ lp以下参数保持ρt（X）：=infu∈Rt（X）EhwTui=sup（Q，m⊥)∈Wt（w）infY∈AtEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i（A.1），其中Wt（w）：=（Q，m）⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt.证据显然，ρt（X）=infu∈cl（Rt（X）+GMt（w））EwTu. 它通过一个分离参数awt:={X成立∈ Lp |ρt（X）≤ 0}=十、∈ Lp | 0∈ 氯Rt（X）+GMt（w）= clM在+GMt（西）.事实上，Awt=clM格林尼治时间+GMt（w+m）⊥)对任何人来说⊥∈ M⊥t、 有关定向闭合clM的讨论，请参见[37，定义2.15]。双共轭态由ρ给出**t（X）=supZ∈LqEZTX- ρ*t（Z）, 其中凸共轭由ρ定义*t（Z）=supX∈LpEZTX- ρt（X）. 让我们计算ρ的有效域*t、 以第一个Z 6为例∈ Lq-. 让我来∈ 阿坦德Y∈ Lp+如此中兴通讯> 0.尤其是^Y+λY∈ 对于任何λ>0的情况。因此，ρ*t（Z）=supX∈LpEhZTXi- ρt（X）≥ supλ>0EhZT（^Y+λY）i- ρt（^Y+λY）≥ supλ>0EhZT（^Y+λY）i=EhZT^Yi+supλ>0λEhZTYi=∞.现在考虑E[Z | Ft]6∈ -w+M⊥t、 让我∈ 格林尼治标准时间（东[Z |英尺]）∩ 格林尼治标准时间（w）ZTm+ EwTm> 0

因此，ρ*t（Z）=supX∈LpEhZTXi- ρt（X）≥ supλ>0EhZT（λm）i- ρt（λm）= -ρt（0）+supλ>0λEhZTmi+EhwTmi= ∞.这意味着ρ*t（Z）6=∞ 仅当Z=-wTt（Q，w+m）⊥) 对于一些（Q，m）⊥) ∈ Wt（w）。仍然需要证明ρ*t(-wTt（Q，w+m）⊥)) = supY∈吃了-（w+m）⊥)TEQ[Y|Ft]对于任何（Q，m⊥) ∈ Wt（w）。我们将用两个不等式来证明这一点。让（Q，m）⊥) ∈ Wt（w）。ρ*t(-wTt（Q，w+m）⊥)) = 好的∈Lp嗯- （w+m）⊥)TEQ[X | Ft]i- ρt（X）≥ supY∈Awt嗯- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i- ρt（Y）≥ supY∈啊- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i≥ supY∈阿泰- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i.对于逆不等式，表示那些X∈ 带有Rt（X）6的LPC= 通过uX∈ Mttherandom变量满足EwTuX= ρt（X）。然后，X+uX∈ Awtandρ*t(-wTt（Q，w+m）⊥)) = 好的∈Lp嗯- （w+m）⊥)TEQ[X | Ft]i- ρt（X）= 好的∈Lp:Rt（X）6=嗯- （w+m）⊥)TEQ[X | Ft]i- ρt（X）= 好的∈Lp:Rt（X）6=嗯- （w+m）⊥)TEQ[X+uX | Ft]i≤ supY∈啊- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i≤ supY∈cl（在+GMt时）w+m⊥))嗯- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i=supY∈阿泰- （w+m）⊥)因此我们得到ρ**t（X）=sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）infY∈AtEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i.Asρtis proper（由推论A.6得出）、由Rt的凸性得出的凸性和下半连续性（由命题A.3得出，自recc（Rt（0））+ M+t，+），芬切尔-莫罗定理使这一断言成立。推论A.2。设Rt、sbe为c.u.c.和凸阶风险度量。以w为例∈recc（Rt（0））+\\M⊥t、 然后，每X∈ Ms.下面是辛夫∈Rt（X）EhwTui=sup（Q，m⊥)∈Wt，s（w）infY∈在，sEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i，（A.3）其中wt，s（w）：=n（Q，m⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt，所以 Wt（w）Wt，s=n（Q，v）∈ M×M+t，+\\M⊥T| wst（Q，v）∈ M+s，+，Q=P | Fto。证据这与命题A.1类似。现在我们将给出一些条件，以确保标量化（A.1）和（A.3）的下半连续性和适当性。以下命题是对[41，命题3.29]的修正，指出证明中所需的唯一开集是带有闭凸集补集的开集。

然而，为了方便读者，这里也提供了一个提示。提案A.3。如果Rtis c.u.c.，则标度化ρt（X）：=infu∈Rt（X）EwTu任意w的islower半连续∈ M+t，+\\M⊥t、 证据。根据定义，Rtis c.u.c.当且仅当R+t（V）：={X∈ Lp | Rt（X） V}对任何V都是开放的 因此补码vc是闭的和凸的。对于任何>0，V=M∈ 东山wTm> -是一个0的开放社区。因此，对于任何X，Rt（X）+V等参，补码通过：[Rt（X）+V]c=nm是凸的∈ Mt | EhwT（米）- u） 我≤ - U∈ Rt（X）o=M∈ 埃赫特米山≤ -+infu∈Rt（X）EhwTui.因此R+t（Rt（X）+V）是开放的，并且平凡地是X的一个邻域。因此，ρt（X）≥ ρt（X）- 对于任何X∈ R+t（Rt（X）+V），这意味着下半连续X。因为这对任何X都是正确的，所以结果得到了证明。提议A.4。设RTR为一个封闭凸风险测度。标量化ρt（X）>-∞ 每X∈ Lpandρt（X）<∞ 为了一些X∈ Lp）当且仅当w∈德克萨斯州∈LpRt（X）6=recc（Rt（X））+。证据显然，ρt（0）<∞ 对于任何w∈ M+t，+自Rt（0）6=. 对于任何X∈ LpwithRt（X）6=, 我们知道ρt（X）>-∞ 当且仅当w∈ recc（Rt（X））+由衰退锥定义。为了X∈ 带有Rt（X）的LPS=, ρt（X）>-∞ 这是千真万确的。推论A.5。如果RTI是一个闭凸风险测度，则X∈ 带有Rt（X）6的LPC=.那么，recc（Rt（X））=T（Q，w）∈WttGMt（西）。证据R∈ recc（Rt（X））当且仅当r∈Tλ>0λ（Rt（X）- u） 对于任何你∈ Rt（X）当且仅当u+λr∈ 对于任意λ>0和任意u∈ Rt（X）。使用（2.1）并注意到可以用Wtt替换Wtt，这相当于EwT（u+λr）≥英菲∈吃了wTEQ[Y- X |英尺]对于每个（Q，w）∈ Wtt，每λ>0和每u∈ Rt（X）。这是真的当且仅当对于每一个（Q，w）∈ WT和u∈ Rt（X）EhwTri≥ supλ>0λ英菲∈AtEhwTEQ[Y]- X | Ft]i- 埃赫图伊= 0，其中自u之后的最后一个等式成立∈ Rt（X）。这就产生了这个断言。推论A.6。

如果RTI是一个闭凸风险度量，那么ρt（X）>-∞对于e非常X∈ Lpandρt（X）<∞ 为了一些X∈ Lp）当且仅当w∈ recc（Rt（0））+=（T（Q，w）∈WttGMt（w））+。证据这是一个推论。A.2条件规模化命题A.7。设RTC为c.u.c.条件凸风险测度。让∈ recc（Rt（0））+\\M⊥t、 然后，每X∈ Lp^ρt（X）：=ess infu∈Rt（X）wTu=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）ess infY∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]，其中Wt（w）：=（Q，m）⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt.证据表示由^Awt设置的验收：={X∈ Lp |ρt（X）≤ 0}. 我们将展示ρt（X）≥ ess sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）ess infY∈^Awt（w+m）⊥)TEQ[Y- X |英尺]。（A.4）如果Rt（X）= 从那时起^ρt（X）=∞ 几乎可以肯定。因此，假设Rt（X）6=. 因为E[^ρt（X）]=infu∈Rt（X）EwTu, 这意味着ρt（X）∈Lt（R）。因此，存在一些用户体验∈ mtsux=ρt（X）。通过翻译性，这意味着X+uX∈^Awt，这反过来意味着（w+m⊥)TEQ[X+uX |英尺]≥ 英菲∈^Awt（w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]每（Q，m⊥) ∈ Wt（w）。减法（w+m）⊥)TEQ[X | Ft]在质量线的两侧，然后在（Q，m）上取基本上确界⊥) ∈ Wt（w）产量（A.4）。现在我们想证明（A.4）中的平等性。结合（A.4），我们将通过显示e[^ρt（X）]≤ E“ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）ess infY∈^Awt（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]#每X∈ Lp。通过可分解性和命题A.1与（A.2）的结合，我们得到[^ρt（X）]=sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）infY∈AwtEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i.自^Awt以来 根据必要集合的可分解性，期望的结果是即时的。这仍然需要证明，我们可以随时替换^Awtwith。首先请注意^Awt At，表示^ρt（X）≤ ess sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）ess infY∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X |英尺]。让我们∈N使wTun^ρt（X）w.r.t.几乎确定收敛。

这种序列的存在源于[29，定理A.33（b）]，因为Rt（X）的可分解性暗示了该定理的假设。因此，ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）ess infY∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X |英尺]≤ ess sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）limn→∞（w+m）⊥)TEQ[（X+un）- X | Ft]=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）limn→∞wTun=ρt（X），其中极限lim几乎是确定的。推论A.8。设Rt，sbe为c.u.c.和条件凸风险度量。让我们∈recc（Rt（0））+\\M⊥t、 然后，每X∈ 英孚大学∈Rt（X）wTu=ess sup（Q，m⊥)∈Wt，s（w）ess infY∈在，s（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]，其中Wt，s（w）：=（Q，m）⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt，s.证据这与命题A.7类似。回想一下符号Wst={（Q，w）∈ Wt |βs（Q，wst（Q，w））6=}. 下一个命题表明这个集合与cwst一致：={（Q，w）∈ Wt |αs（Q，wst（Q，w））6=}.提案A.9。Wst=CWST，适用于任何时间0≤ T≤ s≤ T证据Let（Q，w）∈ Wst，或相当于supY∈AsEwst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]< ∞. 根据[61，定理1]和Asdecomposable，supY∈AsEhwst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]i=E女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs].因此，她是一个超级女巫∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]∈ Ls（R），特别是有一些u∈ Msso那个wst（Q，w）Tu≥ 女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]几乎可以肯定，即（Q，w）∈cWst，见（B.1）。相反，让（Q，w）∈让我们站起来∈ 萨图小姐∈ αs（Q，wst（Q，w））。这将产生wst（Q，w）Tu≥ 女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-几乎可以肯定。因此，根据[61，定理1]和可分解的，Ehwst（Q，w）Tui≥ supY∈AsEhwst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]i.u∈ βs（Q，wst（Q，w））和（Q，w）∈ Wst。备注A.10。根据与推论A.5的证明相同的逻辑和命题A.9，recc（Rt（X））=T（Q，w）∈任何X的WttΓMt（w）∈ 带有Rt（X）6的LPC=.B第2B节的证据。1推论的证明2.4我们将使用以下命题。B.1提案。氯A+Mt（西）=M∈ Mt|wTm≥ 女婴∈AwTa如果 Mtisconvex和可分解。证据

首先，请注意D：=M∈ Mt|wTm≥ 女婴∈AwTa=氯A+Mt（西）,其中cl是关于随机向量集几乎确定收敛的闭包。其次，我们将展示clA+Mt（西） D（回顾closure算子cl是拓扑闭包的w.r.t.）。我们将把它分为两种情况：∈ [1, ∞) p=∞.以p<∞. 为了证明这一点，我们将证明D在正规拓扑中是闭合的。让（mn）n∈N→ M∈ mn的p-范数收敛∈ 埃弗林的D∈ N.由于p-范数收敛意味着概率收敛，我们知道存在子序列（mnk）k∈N→ m几乎肯定会收敛∈ D.这意味着clA+Mt（西） D.考虑p=∞. 为了证明这个说法，我们将证明D是弱闭的。让我∈我→ M∈ 在弱*拓扑中，使mi∈ 尽管我∈ 一、让我 :=ω ∈ Ohm | w（ω）Tm（ω）<[ess infa]∈AwTa]（ω）∈ 假设P() > 0，紧接着就是女婴∈AwTa≤ 林英菲∈耶wTmii=EhwTmi<E女婴∈AwTa.矛盾的是，这意味着P() = 0和wTm≥ 女婴∈AwTa，即D弱*闭合。这意味着clA+Mt（西） D.现在我们将展示clA+Mt（西） D.假设这不是真的，即∈ 那么你6∈ 氯A+Mt（西）. 通过分离论证，存在v∈ lqt使ehvtui<infm∈cl[A+ΓMt（w）]EhvTmi。通过建造ΓMt（w），infm∈cl[A+ΓMt（w）]EhvTmi=（infa∈AEλwTa对于某些λ，如果v=λw≥ 0 a.s。-∞ 其他的注意，由于可分解性（参见[61，定理1]），我们可以交换期望值和最小值，EhλwTui<infa∈AEhλwTai=E女婴∈λwTa= Eλess infa∈AwTa.然而，这与美国的观点相矛盾∈ D.因此clA+Mt（西） D.推论2.4的证明。首先，利用命题B.1，我们可以将条件罚函数重新表示为αt（Q，w）=U∈ Mt|wTu≥ 女超人∈AtwTEQ[-Y |英尺].

（B.1）因此，对于任何（Q，w）∈ Wt情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）=nu∈ Mt | u+αt（Q，w）情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mto=U∈ Mt|M∈ Mt|wTm≥ wTu+ess supY∈AtwTEQ[-Y |英尺]纳米∈ Mt|wTm≥ wTEQ[-X | Ft]oo=U∈ Mt | wTu+ess supY∈AtwTEQ[-Y |英尺]≥ wTEQ[-X |英尺]=U∈ Mt|wTu≥ 英菲∈AtwTEQ[Y- X |英尺]= -αt（Q，w）+情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ 因此，现在的结果直接来自对偶表示[23，定理2.3]w.r.t.负共轭函数。上述等式链是通过对命题B.1的结果明可夫斯基减法的定义、对结论的重新表述，以及对[23]中的负共轭函数的定义来实现的。条件相干情况如[23，推论2.4]所示。B.2定理2.9的证明定理2.9的证明涉及以下两个命题。B.2提案。以w为例∈ M+t，+\\M⊥t、 对于任何一组A，B∈ G（Mt；Mt，+）比如a6= 如果clB+GMt（西）= Mt和b6= 如果clA+GMt（西）= Mt，它认为GMT（w）-.cl[A+B]=cl格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B. （B.2）证据。“” 如果cl格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B= , 其中包含的内容微不足道。假设（B.2）的右边是非空的，考虑一个元素u∈氯格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B. 然后存在一个净（uAi）i∈土地（uBj）j∈Jsuchu=limi，juAi+uBj还有uAi∈ 格林尼治标准时间（w）-.A和uBj∈ 格林尼治标准时间（w）-.B对于每个i，j.立即，通过定义-.我们得到了UAI+uBj+cl[A+B] GMt（w）+GMt（w）=GMt（w）。因此，Ubi+Ubi∈ 格林尼治标准时间（w）-.自格林尼治标准时间（w）起，每i，j.的cl[A+B]-.cl[A+B]由定义决定，一个人有u∈ 格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]。“” 如果格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]=, 其中包含的内容微不足道。假设（B.2）的左边是非空的，考虑u∈ 格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]。根据定义，这相当于EwTu+ 英法∈AEwTa+ 免疫纳米荧光微球∈是wTb≥ 0和u∈ Mt.首先考虑infb∈是wTb∈ R

让乌布∈ 太好了wTuB=- 免疫纳米荧光微球∈是wTb, 其中，线性算子的连续性保证了uBis的存在，Mt为线性空间，w 6∈ M⊥t、 定义uA:=u- uB∈ 由建筑公司建造的山∈ 格林尼治标准时间（w）-.A、 uB∈ 格林尼治标准时间（w）-.B、 u=uA+uB。也就是说，u∈ 氯格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B. 如果infb∈是wTb= ∞ 然后假设∈AEwTa> -∞, 所以格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]=Mt，格林尼治标准时间（w）-.A 6=, 格林尼治标准时间（w）-.B=M，因此包含的内容微不足道。案件正在审理中∈是wTb= -∞ 在当前假设（B.2）的左边是非空的情况下不会发生，因为这意味着infa∈AEwTa< ∞ 根据假设，因此GMt（w）-.cl[A+B]=.B.3提案。设s>t和（Q，w）∈ 对于任何集合A∈ G（Ms；Ms，+）它持有sgmt（w）-.等式[A | Ft]=等式GMs（wst（Q，w））-.A.英尺.证据情商GMs（wst（Q，w））-.A.英尺=nEQ[u | Ft]|u∈ Ms，u+A GMs（wst（Q，w））o=EQ[u | Ft]|u∈ 英法女士∈AEhwst（Q，w）T（u+a）i≥ 0=EQ[u | Ft]|u∈ 英法女士∈AEhwTEQ[u+a | Ft]i≥ 0=U∈ 因法山∈AEhwT（等式[a | Ft]+u）i≥ 0=怒族∈ Mt | u+EQ[A | Ft] GMt（w）o=GMt（w）-.等式[A | Ft]。定理2.9的证明。回想一下[36，备注5.5]，共轭和负共轭是通过βt（Q，w）=GMt（w）关联的-.(-βt（Q，w））和-βt（Q，w）=GMt（w）-.βt（Q，w）表示每（Q，w）∈ Wt.回想一下[23，定理3.2]，多端口时间一致性等价于负共轭上的共循环条件，即。，-βt（Q，w）=cl-βt，s（Q，w）+EQ-βs（Q，wst（Q，w））英尺对于每个（Q，w）∈ 而且一直都是0≤ t<s≤ T