多元风险测度的一个超鞅关系

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英文标题：
《A Supermartingale Relation for Multivariate Risk Measures》
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作者：
Zachary Feinstein, Birgit Rudloff
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The equivalence between multiportfolio time consistency of a dynamic multivariate risk measure and a supermartingale property is proven. Furthermore, the dual variables under which this set-valued supermartingale is a martingale are characterized as the worst-case dual variables in the dual representation of the risk measure. Examples of multivariate risk measures satisfying the supermartingale property are given. Crucial for obtaining the results are dual representations of scalarizations of set-valued dynamic risk measures, which are of independent interest in the fast growing literature on multivariate risks.
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中文摘要：
证明了动态多变量风险测度的多端口时间一致性与超鞅性质的等价性。此外，集值上鞅是鞅的对偶变量在风险测度的对偶表示中被刻画为最坏情形的对偶变量。给出了满足超鞅性质的多变量风险度量的例子。获得结果的关键是集值动态风险度量的标度化的双重表示，这在快速增长的多元风险文献中具有独立的意义。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_Supermartingale_Relation_for_Multivariate_Risk_Measures.pdf (426.37 KB)

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关键词：Multivariate Presentation Applications Quantitative multivariat

多元风险度量的一个超马尔可夫关系Zachary Feinstein*Birgit Rudlo off+2018年8月28日（原件：2015年10月19日）摘要证明了动态多变量风险度量的多端口对时间一致性与超鞅性质之间的等价性。此外，集值上鞅是鞅的对偶变量在风险测度的对偶表示中被刻画为最坏情形的对偶变量。给出了满足多变量风险度量的例子。获得结果的关键是集值动态风险度量的标度化的双重表示，这在快速增长的多元风险文献中具有独立的意义。关键词：集值超鞅、时间一致性、动态风险度量、交易成本、集值风险度量、多元风险数学主题分类（2010）：91B30、26E25、60G48JEL分类：C61、G15、G18、G28、G321引入风险度量，在[4,5]中以公理化的方式在连贯情况下引入，在[28,30]中推广到凸情况，量化最低资本要求，以覆盖金融投资组合的风险。为了将其扩展到动态、多期环境，即时间t已知信息的演变由过滤（Ft）Tt=0给出，自然要问风险如何随时间而变化。这导致了时间一致性的定义。如果特定时间的风险排序（几乎可以肯定）意味着所有早期时间点的排序相同，则风险度量是时间一致的。对于标量值风险，这一性质已被广泛研究，例如[6,55,19,56,10,27,16,15,1,29]对于离散时间情况和[31,17,18]对于连续时间情况。

为了本文的目的，我们将重点讨论时间一致性和asupermartingale性质的等价性，这在[6,13]中针对一致性风险度量进行了研究*圣路易斯华盛顿大学电气与系统工程系，圣路易斯，MO63108，美国，zfeinstein@ese.wustl.edu.+维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳A-1020，AUT，brudlo ff@wu。在ac。对于[27,11]中的条件凸风险度量。相应的结果如下：具有最小惩罚函数αmint的敏感条件凸风险度量序列（ρt）Tt=0是时间一致的当且仅当过程vqt（X）：=ρt（X）+αmint（Q）是Q-超鞅，即对于任何具有αmin（Q）的Q<∞ 每X∈ L∞（R） ，VQt（X）≥ EQhVQs（X）FtiQ- a、 一直以来都是0≤ t<s≤ 参见[27，定理4.5]，[54，定理2.2.2]和[29，定理11.17]了解有关术语和概念的详细信息。这是一个重要的特征，因为它与约束条件下的一致Doob分解有关，参见[54，定理2.4.6]，[26]，[29，第9章]；将风险度量的时间一致性描述为最便宜的“对冲”-十、∈ L∞（R） 在这种情况下，X在终端时间进行套期保值，并且该套期保值策略在任何时间t+1的增量成本都是可接受的，即t的原始风险度量，见[54，命题2.5.2]；并提供，例如，超边际成本在投资交易约束下的表示，见[54，第4.2节]。在本文中，我们考虑集值或多元风险度量。此类风险度量及其规模化最近在文献中引起了兴趣。当要测量风险的随机变量是多变量而不是单变量时，它们就自然而然地出现了。例如，当多资产市场（参见。

[7,20]）或存在摩擦的市场（例如交易成本[43,35,37,45,52,14]或流动性不足[60]），或者当随机向量的组成部分代表不同的风险类型或集团中不同单位或代理的风险时。后一种情况最近得到了特别多的关注，因为它允许研究银行网络系统性风险的度量和监管，例如[25,3,9]。它还与保险公司集团的偿付能力测试相关，见[33]。在这种多元环境中，人们通常对资本费用分配到不同的机构、代理人、风险类型、资产或货币感兴趣。集值风险度量提供了这些数量，因为它将补偿其风险的所有资本分配的集合分配给随机向量。集值风险度量已在单周期框架内进行了研究，例如[43,38,35,37,14]。例如[21,23,22,24,8]中研究了动态多期集值风险度量。在本文中，我们将主要遵循[21,23]的设置和符号。在动态多变量情况下，使用了一种称为多端口时间一致性的时间一致性。这个属性已经被证明相当于许多相同属性的集值版本，而时间一致性在标量情况下是等效的。在本文中，我们将证明时间一致性的等价性和标量动态风险度量的一个超鞅性质在多变量情况下也是可以证明的。

也就是说，我们将证明满足某些连续性性质的规范化条件凸动态风险度量（Rt）Tt=0的多端口对时间一致性等价于集值随机过程V（Q，w）t（X）：=cl[Rt（X）+αt（Q，w）]是一个超鞅，即满足每个（Q，w）∈ WTX和all X∈ Lp（Rd）V（Q，w）t（X） cl EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）所有时间0≤ t<s≤ T这里，αt表示Rt的集值罚函数。所有的术语和概念将在本文的主要部分中变得精确。注意，和通常的多元设置一样，我们可以在一般的Lp（Rd）空间上工作，而不是在L∞（R） 标量设置的框架。这是因为一个人处理的是上集合，而不仅仅是它们的边界，所以在目前的多元风险框架中，由于使用本质上确界而产生的标量问题消失了。证明超鞅结果的技术与标量情形截然不同。证明主要依赖于本文推导的集值风险测度（条件）标度化的对偶表示。这些结果在标量（但静态）多元风险度量的非常活跃的研究领域中具有独立的意义，参见[7,20,32,49,57]和[3,9,25]了解系统风险的应用。因此，动态案例的结果在这些地区也有影响。所有这些结果都在附录中得到了证实。例如[53，第3章]，[51，第4章]和[42，第8章]对随机闭集定义了集值子鞅和超鞅，并在[51，第4.7章]中给出了Doob分解。

然而，由于这里使用的排序关系，其中SmallerRick对应于一个较大的集合，因此包含较小的资本要求，我们的超鞅概念对应于这些作品中的子鞅。由于集值随机过程在许多研究领域中发挥着重要作用，例如在统计学[59,50]、随机集理论[53]和随机微分包含[46]中，以及在经济学和控制理论[47,48]中的应用，集值超鞅的特征化是非常可取的。此外，所得结果可被视为未来研究集值均匀组合以及多变量索赔的套期保值（w.r.t.多元风险度量）的垫脚石。本文的结构如下。在第2节中，我们将回顾[21,23]中动态多变量风险度量的性质，并为此类风险度量提供一种新的对偶表示。在第3节中，我们给出了凸和相干多元风险测度的多端口时间一致性等价性和集值超鞅性质的结果。最后，在第4节中，我们通过扩展第3节的结果来展示主要结果，重点是条件凸和条件相干的多元风险度量。我们将提供满足这些超级马丁属性的风险度量示例。证据和中间结果收集在附录中。2集值动态风险度量在本节中，我们将介绍关于集值动态风险度量的双重和多端口对时间一致性的表示法、定义和简单结果，可从[21,23]中推导。我们将使用一般的过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）Tt=0，P）满足Ft=F的通常条件。此设置允许离散时间{0，1，…，T}或连续时间[0，T]框架。

考虑线性空间Lpt:=Lp(Ohm, Ft，P；Rd）对于任何p∈ [1, ∞] 表示Lp:=LpT，其中LpT是Ft-可测随机向量X的等价类的线性空间：Ohm → Rd，kXkpp=ROhm|X（ω）|dP<∞ 对于p<∞ 和kXk∞= ess supω∈Ohm|X（ω）|<∞ 对于p=∞, 其中|·|表示Rd中的任意范数。我们将考虑Lpforp上的范数拓扑∈ [1, ∞) L上的弱*拓扑∞当p=∞. 在这项工作中，闭包算子被视为拓扑闭包。设Lpt（Dt）：={Z∈ Lpt | Z∈ DtP-a.s.}表示LPT中的随机向量集，这些向量取DtP-a.s中的值。此外，在本文中，我们有时需要区分随机向量空间和随机变量空间。为此，让我们用有限pnorm X表示随机变量等价类的线性空间：Ohm → 由Lpt（R）得出的R:=Lp(Ohm, Ft，P；R） 。对于不同类型的乘法，我们将使用以下符号：随机变量λ之间的乘法∈ L∞（R） 和一组随机向量D LPI定义元素方向的λD={λY | Y∈ D} Lpwith（λY）（ω）=λ（ω）Y（ω）；由XY表示的随机向量之间的分量相乘：=（XY，…，XdYd）T∈ 对于X，Y∈ L.在整个过程中，我们将使用符号Lpt+：=十、∈ Lpt | X∈ Rd+P-a.s。表示具有P-a.s.非负分量的Ft可测随机向量集。同样，我们将定义Lpt，++：=十、∈ Lpt | X∈ Rd++P-a.s。作为P-a.s.严格正的可测随机向量。与前面的符号一样，我们将定义Lp+:=LpT，+和Lp++:=LpT，++。（In）随机向量（分别为变量）之间的等式在P-a.s.意义上被理解为组成部分。

集合Lp+定义了随机向量空间上的顺序：Y≥ X代表X，Y∈ LPY- 十、∈ Lp+。在金融环境中，随机向量X∈ Lptre表示一个投资组合，其组成部分XI给出了资产i的单位数量∈ {1，…，d}在时间t持有。因此，我们考虑资产的“物理单位”的投资组合，而不是某个数字的组合价值。例如[44,58,45]中使用并讨论了该框架。出于风险度量目的，Fix m∈ {1，…，d}有资格承担投资组合风险的资产。在不丧失一般性的情况下，我们将假设可转让资产集是第一批m资产；这些第一资产可能对应于美元、欧元和日元等储备货币。我们将用M:=Rm×{0}d表示-M合格资产的子空间。合格投资组合的集合由Mt:=Lpt（M）给出；这是一个闭合的（弱*闭合，如果p=∞) Lpt的线性子空间（参见[45]第5.4节和命题5.5.1]）。表示Mt，+：=Mt∩ Lpt，+是非负的eligibleportfolios和Mt，-:= -Mt，+为非正合格投资组合。例如，在应用系统性风险（参见[25]）时，通常会选择符合条件的投资组合，使M=RDD（适用于d银行），因此Mt=LPTF（适用于所有时间t）。我们现在能够引入[21,23]中的条件风险度量。传统风险度量是将投资组合（即d维随机向量）映射到上集合点（Mt；Mt，+）：={d Mt | D=D+Mt，+}，是功率集2Mt的子集。投资组合X的输出是set Rt（X）attime t，它是补偿风险的所有合格投资组合的集合。定义2.1。[23，定义2.1]函数Rt:Lp→ 如果P（Mt；Mt，+）为1，则P（Mt；Mt，+）是时间t的标准化（条件）风险度量。翻译机器翻译：每一个机器翻译∈ Mt:Rt（X+Mt）=Rt（X）- mt；2.Lp+-单调：Y≥ X意味着Rt（Y） Rt（X）；3.

零点时的最终值：Rt（0）6∈ {, Mt}；4.标准化：每X∈ Lpt:Rt（X）=Rt（X）+Rt（0）。此外，对于所有X，Y，时间t的条件风险度量是（有条件地）凸的∈ Lpand所有0≤ λ ≤ 1 (λ ∈ L∞t（R）使得0≤ λ ≤ 1） Rt（λX+（1）- λ） Y） λRt（X）+（1）- λ） Rt（Y），它（有条件地）是正齐次的，如果对于所有X∈ Lp，对于所有λ>0（λ∈L∞t（R++）Rt（λX）=λRt（X），如果它是（条件上）凸的和（条件上）正齐次的，则是（条件上）相干的。如果风险度量图Rt={（X，u），则时间t的条件风险度量是闭合的∈ Lp×Mt | u∈ Rt（X）}，在乘积拓扑中是闭合的。时间t的条件风险测度是凸上连续的（c.u.c.），如果f为任何闭集D∈ G（Mt；Mt，-) := {D Mt | D=cl co（D+Mt，-)}R-1t（D）：={X∈ Lp | Rt（X）∩ D 6=}关门了。定义2.1中给出的属性及其解释在[37,21,23]中详细讨论。简言之，标准化风险度量的四个公理属性保证了将风险解释为“资本要求”（capital requirement），（几乎可以肯定）较高的回报对应较低的风险，且零投资组合具有“零”风险。凸性和一致性解释了多元化如何影响投资组合的风险。闭凸条件风险测度的象空间是g（Mt；Mt，+）={D Mt | D=cl-co（D+Mt，+）}。请注意，任何c.u.c.风险度量均已关闭，任何已关闭的风险度量均已关闭。动态风险度量（Rt）Tt=0是一系列条件风险度量，如果每次t条件风险度量R都是该属性，则称其具有定义2.1中给出的属性之一。对于任何风险度量，存在接受集，反之亦然，请参见[21]中的备注2和命题2.11。

对于条件风险度量，关联接受集由不需要额外资本来掩盖风险的投资组合定义，即At:={X∈ Lp | 0∈ Rt（X）}。假设接受度设置为，相关的条件风险度量由可接受的投资组合定义，当添加到初始投资组合中时，使其可接受，即Rt（X）：={u∈ Mt | X+u∈ 至少。例2.2。基于聚合的风险度量：这里我们将考虑基于聚合的风险度量的一个例子，在静态框架中，它是[25]中介绍的系统风险度量的一个特例。在本文中，我们将回到这个例子，以便为结果提供一致的说明。为简单起见，letp=+∞. 考虑所有时间t的合格资产的完整空间，即Mt=L∞t、 让∧：Rd→ R定义为∧（x）=Pdi=1-斧头-i+bx+i对于任何x∈ Rdand with a≥ b>0（其中x+i:=max{0，xi}和x-i:=(-xi）+）。例如[12]中考虑了这种聚合函数。此外，考虑（标量）最坏情况下的接受设置：=L∞（R+）适用于所有时间t。然后，针对任何X定义基于聚合的风险度量和接受集∈ L∞asR∧t（X）：={u∈ Mt∧（X+u）∈ At}=d-1\\k=0nu∈ Mt|vTku≥ ρW Ct（vTkX）a.s.oA∧t:=-1[At]=L∞(Λ-1[R+]）。在上面，ρW Ct:L∞（R）→ L∞t（R）是标量的最坏情况风险度量，即接受度设置为的风险度量（静态设置见[29，示例4.8]，动态设置见[55，示例4]）。此外，向量vk∈ {a，b}dforeach k=0，1。。。，二维- 1被定义为vk，i=a1{mod(k/2i-1.,2） =0}+b1{mod(k/2i-1.,2） =1}对于i=1，2。。。，d、 此外，根据定义，该风险度量是封闭的、条件一致的，因此也是标准化的。我们将通过将投资组合的范围限制在未来符合条件的资产来定义分级风险度量和接受度。