多元风险测度的一个超鞅关系

首先，我们可以看到（Q，w）∈ Wtt（见提案A.9），提案B.1 yieldsV（Q，w）t（X）=U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rt（X）wTZ+ess infat∈αt（Q，w）-wTat=U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rt（X）wTZ+ess supY∈AtwTEQ[-Y |英尺].现在我们将展示cl-EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）Fti=U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rs（X）wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].“” 右手边的闭合逻辑与命题B.1相同。此外，EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）Fti=nEQ[us | Ft]| us∈ Ms，wst（Q，w）Tus≥ ess infZ∈Rs（X）wst（Q，w）TZ+ess supY∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]nEQ[美国|英尺]|美国∈ Ms，Ehwst（Q，w）TusFti≥Eess infZ∈Rs（X）wst（Q，w）TZ英尺+ E女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]英尺=美国犹他州∈ Mt|wTut≥ ess infZ∈Rs（X）wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].请注意，由于Rs（X）和As的可分解性，我们能够交换必要的内确界/上确界和条件检验。“” 通过矛盾的方式，假设m是右手边的一个元素，而m6是右手边的一个元素∈cl EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）Fti。因为cl EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）fti是封闭凸的，我们可以用一些v把{m}和它分开∈ Lqt。这就是我的想法∈氯当量V（Q，wst（Q，w））s（X）英尺EhvTui=infus∈V（Q，wst（Q，w））s（X）EhvTEQ[us | Ft]i=E“ess infus∈V（Q，wst（Q，w））s（X）wst（Q，V）Tus#，在上面的最后一个等式中，我们可以交换期望值，并且在最小情况下，V（Q，wst（Q，w））s（X）是可分解的。通过结构影响我们∈V（Q，wst（Q，w））s（X）wst（Q，V）Tus=ess infZ∈Rs（X）wst（Q，v）TZ+ess supY∈Aswst（Q，v）TEQ[-D上的Y | Fs]-∞ 在华盛顿，D在哪里=ω ∈ Ohm | GM（wst（Q，v）[ω]）=GM（wst（Q，w）[ω]）. 自从Q~ P、 对于某些λ，我们可以得出v（ω）=λ（ω）w（ω）∈ Lt（R++）（使得λw∈ Lqt）。

因此内耳∈V（Q，wst（Q，w））s（X）wst（Q，V）Tus> -∞ 如果而且只有生命才会影响我们∈V（Q，wst（Q，w））s（X）wst（Q，V）Tus#=E“λess infus∈V（Q，wst（Q，w））s（X）wst（Q，w）Tus#=Eλess infZ∈Rs（X）wst（Q，w）TZ+ess supY∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]= Eλess infZ∈Rs（X）wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].但这意味着λwTmi<Eλess infZ∈Rs（X）wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺],这是一个矛盾，汤姆∈U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rs（X）wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].关于包含（D.1）和（D.2）意味着条件超鞅性质的证明的剩余部分类似于引理3.2的证明。对于相反的含义，现在让我们假设有条件的SuperManingalProperty。我们将证明包含性（D.1），通过证明条件超鞅性质意味着时间一致性，从而得到（D.1）。这个证明与引理3.2 sinceRt（X）=\\（Q，w）中的相应证明进行了总体类比∈Wtth情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i.然后，我们证明了包含（D.2）成立，它遵循与引理3.2相同的逻辑，但使用了A.2节中的标量化结果。让我们简要地总结一下所涉及的步骤。[22，引理3.18]提供了集值动态风险度量作为条件标量化交集的表示，其中可以限制为w∈ recc（Rt（0））+Rt，s（Z）=\\w∈recc（Rt（0））+\\M⊥tnm∈ Mt|wTm≥ ρt，s（Z）o\\W∈recc（Rt（0））+\\M⊥tnm∈ Mt|wTm≥ ρt（Z）o=Rt（Z）=Rt，s（Z）。现在，利用命题A.7和推论A.8中的条件标量化^ρt（Z）和^ρt，s（Z）的对偶表示，我们得到以下结果，因为上面的包含实际上是一个等式。

每一个Z∈ M和每个w∈ recc（Rt（0））+\\M⊥蒂特认为这对所有人来说（Q，m）⊥) ∈ Wt（w）ess infYt，s∈在，s（w+m）⊥)TEQ[Yt，s- Z |英尺]≤ 女秘书长（右、北）⊥)∈Wt（w）ess infYt∈At（w+n）⊥)三[Yt]- Z |英尺]。这是因为每个这样的约束在上述交叉点中都是“活动的”，即，如果任何约束变得更严格，它将收缩集合Rt，s（Z）。因为水的可分解性英菲∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]|（Q，m⊥) ∈ Wt（w）,存在一个几乎肯定收敛到本质上确界的单调递增序列。现在考虑一下m情况下的上述不等式⊥= 0∈ M⊥但也要注意，对于W6∈ recc（Rt（0））+\\M⊥t、 ess infYt，s∈在，s（w+m）⊥)TEQ[Yt，s- Z |英尺]=-∞ 对于任何（Q，m⊥) ∈ Wt（w）。然后，我们可以得出每个Z的结论∈ Msit认为所有人都是这样（Q，w）∈ 存在一个序列（Rk，vk）k∈N 使vk∈ w+M⊥t对于每个k和s infYt，s∈At，swTEQ[Yt，s]- Z |英尺]≤林克→∞ess infYt∈阿特维克[Yt]- Z | Ft]，其中lim表示几乎确定的极限。特别是对于每个（Q，w）∈ 存在一些序列Rk（Q，w，Z）∈ M和vk（Q，w，Z）∈ w+M⊥Tsch that（Rk（Q，w，Z），vk（Q，w，Z））k∈N Wtand情商[-Z | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt，s（Q，w）cl[k∈新罕布什尔州ERk（Q，w，Z）[-Z | Ft]+t（vk（Q，w，Z））∩ Mt-.αt（Rk（Q，w，Z），vk（Q，w，Z））i，其中cl表示几乎确定的闭包。这意味着所需的包含物（D.2）：Rt（X）\\（Q，w）∈Wtcl[Z∈Rs（X）h等式[Z | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i\\（Q，w）∈Wtcl[Z∈Rs（X）cl[k∈新罕布什尔州ERk（Q，w，-Z） [Z | Ft]+t（vk（Q，w，-Z） )∩ Mt-.αt（Rk（Q，w，-Z） ，vk（Q，w，-Z） ）]\\（Q，w）∈Wtcl[Z∈Rs（X）h等式[Z | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.证明的最后一部分是证明（D.1）和（D.2）等价于多端口时间一致性。

多端口时间一致性通过定理2.7中的递推公式将包含项（D.1）和（D.2）包含在内，这是非常正确的，因为（D.2）中的交集的并集包含在并集的交集中。对于逆蕴涵，我们可以使用与引理3.3证明相同的逻辑来证明（D.1）和（D.2）等价于 As+At，s（D.3）At\\（Q，w）∈WtAs+cl在，s+ΓMs（wst（Q，w））（D.4）当（Rt）Tt=0被ΓMs（wst（Q，w））有条件地c.u.c.） 这意味着时间的一致性。D.2推论4.4的证明。证明的大多数方面类似于推论3.6的证明，使用[40]中命题2.4（e1）和（e2）的一个右转扩展，用于条件凸和可分解集，以及命题C.1和C.2的平凡条件版本（在命题D.1中给出）。在这里，我们将只显示Ut=ΓMt（wt（Q，w）），因为这个结果与推论3.6的证明略有不同。定义mXt∈ Mtsuch thatmXt+ΓMt（wt（Q，w））=等式[X | Ft]+t（wt（Q，w））∩ M和定义：=V（Q，wt（Q，w））t（X）+mxtf对于任何时间t。由于ΓM=GMby定义，可以从推论3.6的证明中获得U=ΓM（w）。类似于COLLARY 3.6的证明，我们可以证明 ΓMt（wt（Q，w））在任何时间t。对于相反的情况，我们使用了一个事实，即UT定义了一个超鞅，它遵循V（Q，wt（Q，w））t（X）和mXt的性质。因此，Ut cl E[美国|英尺]。因此，对于任何时间t，我们都得到ΓM（w）=U cl EQ[Ut] 氯当量ΓMt（wt（Q，w））= ΓM（w）乘[23，推论A.6]。让我们假设Ut（ΓMt（wt（Q，w）），也就是说，存在一些δ>0，使得P（ess infu）∈Utwt（Q，w）Tu≥ δ) > 0. 然而，这与cl-EQ[Ut]=ΓM（w）相矛盾，因为0=infu∈cl EQ[Ut]wTu=输入∈乌特赫特（Q，w）图蒂≥ δP（ess infut）∈Utwt（Q，w）Tut）>0。提案D.1。

A，B∈ G（Mt；Mt，+）条件凸和w∈ M+t，+\\M⊥t、 然后A+B+Mt（w）= 氯A+Mt（西）-.ΓMt（西）-.B.此外，i f clA+Mt（西） 氯B+ΓMt（西）然后A+Mt（西）-.氯B+ΓMt（西） ΓMt（西）。参考文献[1]Beatrice Acciaio和Irina Penner。动态风险度量。在Giulia Di Nunnoand BerntOksendal，《金融高级数学方法》编辑，第1-34页。斯普林格，2011年。[2] C,agin Ararat、Andreas H.Hamel和Birgit Rudlo off。设定价值短缺和分歧风险度量。《理论与应用金融国际期刊》，20（5）：1750026，2017年。[3] Yannick Armenti、Stephane Crepey、Samuel Drapeau和Antonis Papantoleon。多元短缺风险分配和系统性风险。暹罗金融数学杂志，9（1）：90-1262018。[4] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。连贯地思考。《风险》，1997年10月68-71日。[5] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。[6] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯、大卫·希思和古惠珍。一致的多周期风险调整值和贝尔曼原理。编年史，152（1）：5-22，2007年。[7] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班和帕布罗·科赫·梅迪纳。风险度量和资本的有效使用。ASTIN Bulletin，39（1）：101–116，2009年。[8] 伊门·本·塔哈尔和伊曼纽尔·伊皮内特。向量值一致风险度量过程。《国际理论与应用金融杂志》，17（2）：145001112014。[9] 弗朗西斯卡·比亚基尼、让-皮埃尔·福克、马可·弗里泰利和蒂洛·迈耶·布兰迪斯。通过接受集对系统性风险度量的统一方法。数学金融，2017年。即将到来的[10] Jocelyne Bion Nadal。条件风险度量和凸风险度量的稳健表示。巴黎理工学院，CMAP，预印本第557号，2004年。[11] Jocelyne Bion Nadal。

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