奇异期权定价的逆向蒙特卡罗方法

这是因为对于OTM期权，相关数量的远期路径对支付没有贡献，并且为了提高Euler方案MC的定价精度，有必要强制路径对支付不同于零的区域进行采样，即在罢工K和障碍B之间。5%10%15%20%参数σ12345678910错误率OUP和障碍外看涨期权TM Euler-BacwardATM Euler-BacwardOTM Euler-BacWard图4：在向上和向上看涨期权时，CEV模型的错误率随参数σ变化的曲线图。初始现货价格为“X=1.36”，而ITM、ATM和OTM期权的配对交易壁垒分别设置为（1.35,1.39）、（1.36,1.39）、（1.37,1.39）。在表2中，我们比较了在LV和CEV模型中，欧拉方案蒙特卡罗和反向蒙特卡罗在亚洲看涨期权定价时的性能。我们将¨X=1.36。与向上和向外障碍呼叫一样，我们在对ITM（K=1.35）、ATM（K=1.36）和OTM（K=1.37）期权定价时测试了我们新算法的效率。

1.063E-3（3.8E-5）4.54E-3（3.8E-5）4.54E-4（2.2E-5）2.2E-4（2.2E-5）2.2E-5）2.2E-5）1.41E-4（1E-5）1.41E-4（1E-5）1.41E-4（1E-5）1.41E-4（1E-4（1E-5）1（1E-5）1（1E-5）5）1（1E-4（1E-5）5）1（1E-4（1E-5）5）5）1（1E-4（1E-5）1）1（1（1E-4（1E-5）5）5）5）1（1.41E-4（1E-4（1E-4（1E-4（1E-4（1E-5）1（1 5）1.116E-3（1.6E-5）3.49E-4（6E-6）基准3.53E-4（3.0E-5）1.86E-4 1.70E-4 1.70E-4 4 1.70E-4 5.49E-4 5 5.49E-5 5 5.49E-5 5 5 5 5 5.49E-5 5 5 5 5 5.49E-5 5 5 5.49E-5 5=15%5.5 5 5 5.31E-5 E-5（7.5E-5）5（7.31E-5（7.5E-5）5（7.5E-5（7.5E-6）6）5 5（7.5E-6）5（7.5E-6）5（7.5（7.5E-6）6）6）5（7.5（7.5E-6）6）6）6）6（7.5（7.5（7.5E-6）6）6）6）6）6（7.5（7.5（6）6）57E-5（2.3E-6）1.64E-5（8E-7）基准1.19E-4 5.56E-5 1.64E-5σ=20%欧拉方案4.85E-5（9.3E-6）2.91E-5（6.8E-6）6.2E-7（4.4E-7）向后5.80E-5（2.6E-6）2.53E-5（1.2E-6）8.1E-7（5E-8）基准5.52E-5 2.43E-5 7.5E-7表1：低压和CEV模型的欧拉方案的数值和向上和向外障碍墙方案的向后价格。误差对应一个标准差。初始现货价格为“X=1.36”，而ITM、ATM和OTM期权的配对履约门槛分别设置为（1.35,1.39）、（1.36,1.39）、（1.37,1.39）。T为6个月，n=51。同样在这种情况下，对于CEV模型，我们确定了无风险利率r=0.32%和α=0.5的值，并逐步将σ的值从5%变为20%σ = 5%. 左室动力学的结果在表2的A组中报告，而B组报告了CEV的结果。表2表明，对于亚洲看涨期权，将MC路径还原并模拟其从到期日回到起始日期的策略是EulerMC的有效替代方案。

在这种情况下，效率的提高源于这样一个事实，即使用向后MC，我们决定从Γn的每个终结点取样的路径数，同时有效地取样那些由于价格过程的不同行为而很少被探索的区域。图5表明，在为OTM期权定价时，这一特性的重要性更为明显。此外，对于固定场景（ITM、ATM或OTM），错误率几乎恒定在σ值上。亚洲callAlgorithm ITM ATM OTMPanel A本地波动率模型欧拉方案0.013628（0.000161）0.009444（0.000142）0.006194（0.000142）向后0.013582（0.000107）0.009384（0.000092）0.006124（0.000090）基准0.01590 0.009398 0.006170B面板CEV模型σ=5%欧拉方案0.015964（0.000174）0.009851（0.000143）0.005826（0.000321）0.024927 0.014927 0.014927 0.014927 0.019448 0.014948 0.014921σ=15%欧拉计划0.019681（0.000288）0.019681（0.000288）0.019681（0.00028288）0.019681（0.000288）0.019681（0.000288）0.0.019681（0.000288）0.0.0.019681（0）0）0.019681（0.000288）0）0（0）0.019681（0.019681（0（0.000288）0）0）0.0）0.0.0.0）0（0）0（0）0）0）0（0）0.019681（0（0）0）0）0.0.0.019681（0（0（0（0.01基准0.0339910.028867 0.024011σ=20%欧拉方案0.043553（0.000604）0.037880（0.000554）0.033989（0.000542）向后0.043117（0.000363）0.037653（0.000341）0.033234（0.000317）基准0.043276 0.033366 0.033367表2：LV和CEV模型的欧拉方案数值和亚洲看涨期权的向后价格。误差对应一个标准差。在表3中，我们报告了LV自动赎回期权的价格。在这种情况下，我们将向后MC与向前MC进行比较。

欧拉方案MC适用于根据预先设定的日期集（如自动调用和欧洲）观察基础数据的支付规格。多项式树和转移概率矩阵为5%10%15%20%参数σ1.501.551.601.651.701.751.80错误率欧式看涨期权M Euler-BacwardATM Euler-BacWardToTM Euler-BacWard图5:pricingAsian看涨期权时CEV模型的错误率随参数σ变化的曲线图。初始现货价格为“X=1.36”，而ITM、ATM和OTM期权的履约价格分别为1.35、1.36、1.37。通过LTSA恢复。为了比较这两种MC方法，我们确定了一组通话日期{tc，…，tc}和一组预先确定的息票{Q，…，Q}，我们改变了屏障b的值。精确地说，{t，…，t}={1,3,6,12}个月，{Q，…，Q}={5%，10%，15%，20%}与单一的名义值，以及b∈ {X，1.05\'X，1.1\'X}。与往常一样，在定价日，欧元/美元的汇率为“X=1.36”。表3中的结果表明，效率的提高与模拟从到期日到开始日期的路径有关，随着屏障b值的增加而增加（在实际市场中，通常有b>X）。特别是，前向MC的估计误差与后向MC的估计误差之间的关系为：≈ 0.8,≈ 2和≈ 5.5对于b=\'X，b=1.05\'X和b=1.1\'X。直觉上，这是因为障碍b的价值增加，使得早期行使期权的可能性降低。

特别是，更多的路径将到达集成的最终领域。因此，由于我们的方法，我们可以在这个领域中预先确定数量的路径区域进行采样，这些区域很少被价格过程探索。自动赎回期权Barrier b b b=\'Xb=1.05\'Xb=1.1\'XAlgorithm局部波动率模型远期0.04107（0.00056）0.01902（0.00074）0.00447（0.00058）远期0.04099（0.00072）0.01856（0.00039）0.00377（0.00011）基准0.04099 0.01820 0.00357表3:LVmodel自动赎回期权的远期和远期价格数值。误差对应一个标准差。5结论在本文中，我们提出了一种新的方法——反向蒙特卡罗法——来模拟连续时间扩散过程。我们利用离散过程量化方面的最新进展，通过定义在有限点网格上的离散时间马尔可夫链来近似连续过程。具体而言，我们考虑了递归边缘量化算法，作为第一个贡献，我们研究了一种定点方案——称为Anderson加速的Lloyd I方法——以稳健的方式计算最优网格。作为一种补充方法，我们考虑了与分段常数波动过程的马尔可夫发生器的显式格式近似相关的网格。后一种方法——被称为大时间步长算法——在定价支付规格方面具有竞争力，这需要在一定数量的预先指定日期上观察价格过程。这两种方法——量化和显式方案——都为我们提供了与近似网格点相关的边缘概率和转移概率。

从离散网格向后采样——从过程的终点到现场值——我们设计了一种简单但有效的机制来绘制蒙特卡罗路径，并实现与蒙特卡罗估值器相关的方差的显著降低。最后一节给出的数值结果广泛支持了我们的结论。参考文献[1]Jean-Philippe Bouchaud和Marc Potters。金融风险和衍生产品定价理论：从统计物理到风险管理。剑桥大学出版社，2003年。[2] 吉姆·加泰尔。《波动表面：从业者指南》，第357卷。约翰·威利父子公司，2011年。[3] 约翰·C·赫尔。期权、期货和其他衍生品。培生教育印度，2006年。[4] 保罗·威尔莫特、杰夫·德温和山姆·豪森。期权定价：数学模型和计算。牛津金融出版社，1993年。[5] Les Clewlow和Chris Strickland。实施衍生模型（金融工程中的威利系列）。1996年[6]布鲁诺·杜皮尔。微笑定价。风险，7（1）：18-202994。[7] E Derman和我Kani。《微笑风险》杂志，7，32-39（1994）。德曼E.，卡尼。，邹JZ，《局部波动表面：解开指数期权价格金融分析师期刊》（1996年7月至8月），第25-36页。[8] 纳比尔·卡哈尔。波动率的无套利插值。《风险》，17（5）：102-1062004年。[9] 托马斯·F·科尔曼、李玉英和阿伦·维尔玛。重构未知的局部波动函数。计算金融杂志，2（3）：77-1021999。[10] 杰斯珀·安德里森和布莱恩·庞格。波动率插值。风险，24（3）：762011年。[11] 亚历克斯·利普顿和阿图尔·塞普。填补空白。《风险》，24（10）：782011年。[12] Adil Reghai、Gilles Boya和Ghislain Vong。局部波动性：平稳校准和快速使用。2012年，ssrn。com/abstract=2008215。[13] 安德里亚·帕拉维奇尼。局部波动模型的校准算法。

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