奇异期权定价的逆向蒙特卡罗方法

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英文标题：
《A backward Monte Carlo approach to exotic option pricing》
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作者：
Giacomo Bormetti, Giorgia Callegaro, Giulia Livieri, Andrea
  Pallavicini
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a novel algorithm which allows to sample paths from an underlying price process in a local volatility model and to achieve a substantial variance reduction when pricing exotic options. The new algorithm relies on the construction of a discrete multinomial tree. The crucial feature of our approach is that -- in a similar spirit to the Brownian Bridge -- each random path runs backward from a terminal fixed point to the initial spot price. We characterize the tree in two alternative ways: in terms of the optimal grids originating from the Recursive Marginal Quantization algorithm and following an approach inspired by the finite difference approximation of the diffusion\'s infinitesimal generator. We assess the reliability of the new methodology comparing the performance of both approaches and benchmarking them with competitor Monte Carlo methods.
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中文摘要：
我们提出了一种新的算法，该算法允许在局部波动模型中从基础价格过程中采样路径，并在对奇异期权定价时实现显著的方差减少。新算法依赖于离散多项式树的构造。我们的方法的关键特征是——以类似于布朗桥的精神——每条随机路径从终端固定点向后运行到初始现货价格。我们用两种不同的方法来描述这棵树：根据源自递归边际量化算法的最优网格，以及遵循受扩散无穷小生成器的有限差分近似启发的方法。我们评估了新方法的可靠性，比较了两种方法的性能，并将其与竞争对手的蒙特卡罗方法进行了基准测试。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_backward_Monte_Carlo_approach_to_exotic_option_pricing.pdf (1.42 MB)

2022-5-9 10:31:57 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 蒙特卡罗 奇异期权 期权定价 蒙特卡

一种逆向蒙特卡罗方法，用于奇异选项Pricingiacomo Bormettia，Giorgia Callegarob，Giulia Livieric，*,安德烈亚·帕拉维西尼德，2015年11月4日波洛尼亚大学数学系，圣多纳托港广场5号，波洛尼亚港40126号，帕多瓦大学数学系，途经的里雅斯特63号，帕多瓦港35121号，帕多瓦高等师范学院，卡瓦列里广场7号，比萨港56126号，伦敦皇家学院数学系，伦敦SW7 2AZ，联合王国银行，拉戈·马蒂奥利3号，2011年2月21日意大利米兰摘要我们提出了一种新算法，允许在局部波动性模型中对基础价格过程的路径进行采样，并在定价奇异期权时实现显著的方差减少。新算法依赖于离散多项式树的构造。我们的方法的关键特征是——以类似于布朗桥的精神——每条随机路径从一个终端固定点向后运行到初始价格。我们用两种不同的方法来描述这棵树：根据源自递归边际量化算法的最优网格，并遵循由微分的微元生成器的有限差分近似所产生的逼近。我们评估了新方法的可靠性，比较了Bothapproach的性能，并将其与竞争对手的蒙特卡罗方法进行了基准测试。JEL代码：C63，G12，G13关键字：蒙特卡罗，方差减少，量化，马尔可夫发生器，局部波动，期权定价*通讯作者。电子邮件地址：朱利亚。livieri@sns.itContents1引言32反向蒙特卡罗算法53恢复转移概率93.1基于量化的算法。103.1.1最佳量化。

103.1.2递归边际量化算法。113.1.3安德森加速程序。133.2大时间步长算法。153.2.1 LTSA实施：更多技术细节。184金融应用194.1模型和支付规格。194.2数值结果和讨论。215结论27A RMQA 32C稳健性检查中的失真函数和伴随参数31B劳埃德I方法33D马尔可夫生成器LΓ1介绍的构造金融衍生品定价通常需要解决两个主要问题。首先，为基础资产价格的随机演变选择一个灵活的模型。此时，一个常见的交易效应出现了，因为用足够的现实主义描述资产价格的历史动态的模型通常无法精确匹配期权市场中观察到的波动率微笑[1,2]。其次，一旦确定了一个合理的候选者，就需要开发快速、准确且可能灵活的数值方法[3、4、5]。关于前一点，自Dupire[6]和Derman及其合著者[7]引入局部波动率（LV）模型以来，该模型已变得非常流行。尽管LV模型用于描述资产动态的合法性受到高度质疑，但市场隐含的自我一致性产生波动的能力促使他们在从业者中广泛分歧。

由于LV模型的校准[6]假设在不同的罢工和到期日[8]中，香草期权价格的连续性是不现实的，近年来出现了越来越多的关于这个问题的文献（例如，见[8,9,10,11,12,13]）。在本论文中，我们将在最新成果之后进行校准，我们只关注后一个问题。具体而言，我们的目标是设计一种基于蒙特卡罗方法的水平定价算法，能够相对于竞争对手方法实现相当大的方差减少。本文的主要结果是开发了一种灵活高效的定价算法，称为反向蒙特卡罗算法，该算法在多项式树上反向运行。该算法的灵活性允许对通用支付进行定价，而无需为每个支付规格设计定制解决方案。这一特征直接继承自蒙特卡罗方法（参见[14]中关于蒙特卡罗金融方法的几乎详尽的调查）。相反，效率主要与多项式树上的向后运动有关。事实上，我们的方法结合了分层抽样Monte Carlo和Brownian Bridge构造[14,15,16]的优点，将其扩展到比Black、Scholes和Merton[17,18]的简单假设更一般的金融资产动态。本文的第二个目的是研究递归边缘量化算法（以下简称RMQA）的替代实现方案，该算法与firstone的相对而言较小。RMQA是一种递归算法，允许通过在有限点网格上定义的离散时间马尔可夫链来近似连续时间差。

RMQA每一步采用的替代方案基于劳埃德I方法[19]，并结合安德森加速算法[20,21]，该算法用于解决定点问题。加速方案允许加速Lloyd I方法[19]的线性收敛速度，此外，还可以模拟[22]中强调的以前RMQA实施的一些缺陷。更详细地说，资产价格动态的离散时间马尔可夫链近似可以通过在每个时间步引入两个量来实现：（i）可能值的网格，以及（ii）从一个状态传播到另一个状态的转移概率。在文献中讨论的计算这些量的方法中，本文分析并扩展了其中两种。第一种方法通过随机微分方程（SDE）的RMQA theEuler Maruyama近似量化基础资产价格。[23]中引入了RMQA，用于在伪恒定方差弹性（CEV）LV模型中计算普通看涨期权和看跌期权的价格。在[22]中，作者使用它来校准二次正态LV模型。相反，替代方法通过有限差分方案以适当的方式离散基本差分的最小马尔可夫发生器（有关理论收敛结果的详细讨论，请参见[24,25]）。我们将后一种方法命名为大时间步长算法，即LTSA。在[12]中，作者实施了LTSA的修改版本，以在CEV模型中为离散回望期权定价，而在[26]中，他们采用LTSA思想为一类特定的路径依赖型支付定价，称为阿贝尔支付。

更具体地说，它们将路径依赖特性（在特定情况下，无论基础资产价格是否在期权的生命周期内达到特定水平）纳入马尔可夫发生器。然后，将联合转移概率矩阵恢复为特定矩阵方程的解。Thermaqa和LTSA有两个主要区别，可以总结如下：（i）Thermaqa允许恢复最佳的——根据特定标准[27]——多项式网格，而LTSA在先验的用户指定网格上工作，（ii）在对金融衍生品产品进行定价时，LTSA比RMQA需要更少的计算负担，而金融衍生品产品的支付需要在预先确定的一组日期观察潜在风险。不幸的是，这个结果只适用于分段时间齐次局部波动动力学。LV模型在股票和外汇（FX）市场的使用在很大程度上是由该方法的灵活性推动的，该方法允许对整个波动表面进行精确校准。此外，普通普通仪器和大多数流动性欧洲期权的准确重新定价，加上期权对模型参数的敏感性的稳定计算和特定校准程序的可用性，使得LV建模方法成为一种流行的选择。LV模型在实践中也被用于评估亚式期权和其他路径相关期权，尽管通常采用更复杂的随机局部波动（SLV）模型。详情请参阅[28]。然后通过数值求解偏微分方程（PDE）或通过蒙特卡罗方法计算路径相关衍生产品的价格。PDE方法的计算效率很高，但它需要定义一个特定的支付定价方程（参见[4]，了解在金融背景下对PDE方法进行的广泛调查）。

此外，即使在Black、Scholes和Merton框架内，一些具有奇异支付和行使规则的期权也难以定价。另一方面，由于相关数量的抽样路径对期权支付没有贡献，因此标准蒙特卡罗方法从某些效率上得到了支持，尤其是在货币定价（OTM）期权的情况下。然而，蒙特卡罗方法非常灵活，已经引入了几种数值技术来减少蒙特卡罗估计器的方差[5,14]。逆向蒙特卡罗算法完成了这项任务。在本文中，我们考虑外汇市场，在那里我们可以交易现货和远期合约与香草和异国情调的选择。特别是，我们使用LVdynamics对欧元/美元汇率进行建模。校准程序是[12]中针对股票市场和[13]中针对外汇市场所采用的程序。具体而言，我们校准了欧元/美元汇率的随机动力学，以便以一个基点的容差重现观察到的隐含波动率，同时通过分段时间齐次LV模型实现对市场未报价到期日隐含波动率的外推。为了展示反向蒙特卡罗算法的竞争性能，我们计算了不同种类期权的价格。我们不为一揽子期权定价，但我们只关注单一基础资产上的衍生品，考虑亚洲看涨期权、向上看涨期权和自动看涨期权。我们表明，通过模拟从到期日到初始日期的离散时间马尔科夫链近似，这些工具可以更有效地定价。事实上，在这种情况下，反向蒙特卡罗算法可以显著降低蒙特卡罗方差。

我们将我们的分析扩展到SLV模型，这将留给未来的工作。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了多项式树上的反向蒙特卡罗算法的关键思想。第3节介绍了基于RMQA和LTSA的替代实施方案，并详细介绍了测试这两种方法性能的数值研究。第4节介绍了外汇市场的分段齐次LV模型，报告了反向蒙特卡罗算法的定价性能，并用不同的蒙特卡罗算法对其进行了基准测试。最后，在第5节中，我们总结并得出可能的观点。注释：我们使用符号“=”来定义新数量。2反向蒙特卡罗算法首先，让我们介绍一下我们的工作框架。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P），给定的时间范围T>0和随机过程X=（Xt）T∈[0，T]描述资产价格的演变。我们假设市场是完整的，因此在唯一的风险中性概率测度Q下，X具有如下SDE（dXt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，X=X）描述的马尔可夫动力学∈ R+，（2.1）式中（Wt）t∈[0，T]是标准的一维Q-布朗运动，b:[0，T]×R+→ Randσ：[0，T]×R+→ R+是两个满足通常条件的可测函数，确保SDE（2.1）的（强）解的存在唯一性。此外，我们考虑确定性利率。从今往后，我们将始终在风险中性概率度量Q下工作，因为我们专注于X上衍生证券的定价。具体而言，我们对金融衍生产品的定价感兴趣，其收益可能取决于标的资产的整体路径，即路径依赖期权。现在让我们来推动我们新的定价算法的引入。

即使在Classicalback、Scholes和Merton[17,18]框架中，在金融衍生品定价时，实际的可操作性也仅限于普通的看涨期权和看跌期权，以及少数其他情况（例如，见[29,30]中的讨论）。这种情况促使人们寻求通用、可靠的定价算法，以便在更现实的随机市场模型中处理更复杂的未定权益。在这方面，蒙特卡罗（MC）方法代表了一种自然条件。然而，众所周知，MC方法的通用实现可以避免低收敛速度。特别是，为了提高其数值精度，有必要绘制大量路径或实施定制的方差缩减技术。此外，标准MC估计器在考虑资金外（OTM）选项时非常有效，因为抽样路径的相关部分不会影响支付函数。基于这些原因，我们提出了一种新的MC方法，可以有效地减少估计价格的差异。为此，我们将采取以下行动。首先，我们介绍了一个离散时间和离散空间过程B’X，它近似于方程（2.1）中的连续时间（和空间）过程X。然后，我们提出了一种MC方法——backwardMonte Carlo算法——来从B’X中采样路径并计算衍生品价格。特别是，我们首先将时间间隔[0，T]拆分为n个等距子间隔[tk，tk+1]，k∈ {0，…，n- 1} ，t=0，tn=t，我们用Euler-Maruyama格式近似等式（2.1）中的SDE，如下所示：（\'Xtk+1=\'Xtk+b（tk，\'Xtk）t+σ（tk，`Xtk）√t Zk，`Xt=X=X，（2.2）其中（Zk）0≤K≤N-1是一系列i.i.d.标准正态随机变量和t、 =tk+1-tk=T/n。那么，我们假设K∈ {1, . . .

n}每一个随机变量的Xtkin方程（2.2）都可以用离散的随机变量来近似，该随机变量取Γk.={γk，…，γkN}中的值，而fortwe有Γ=γ=x。我们用bΓXtk表示随机变量的离散值近似。通过这种方式，我们限制了离散时间马尔可夫过程（b’Xtk）1≤K≤生活在一棵多项式树上。注意，通过定义| k |=N，所有k∈ {1，…，n}。然而，这并不是最普遍的情况。例如，在RMQA框架内，作者在[23]中进行了数值实验，使空间离散网格中的点数随时间变化。然而，他们强调了随着N的增加，时变情况下的复杂性如何变得更高，尽管结果的差异可以忽略不计。为了确定我们的定价算法，我们需要在时间tk+1，k从一个节点到另一个节点的转移概率∈ {0，…，n- 1} 因此，在下一节中，我们将详细描述两种不同的方法，以一致地近似它们。目前，我们在假设多项式树（Γk）均为0的情况下描述了反向蒙特卡罗算法≤K≤和跃迁概率。如上所述，我们的最终目标是计算到期日T>0的依赖于磷灰石的期权的公平价格。我们用F表示它的一般贴现支付函数。特别是，它是有限数量离散观测值的函数。在这一点上，我们不打算给出精确的F，我们只记得在本文中，我们将重点讨论sian选项、向上和向外障碍选项以及自动调用选项。根据套利定价理论[31]，考虑到时间t的可用信息，价格由风险中性度量Q下贴现收益的条件预期给出。