奇异期权定价的逆向蒙特卡罗方法

一个人从一个初始猜测Γk+1开始，然后递归地设置一个序列（Γlk+1）l∈确保γk+1，l+1j=EheXtk+1 | eXtk+1∈ Cj（Γlk+1）i，（B.1），其中l表示正在运行的迭代次数。我们可以很容易地检查前面的等式是否暗示ql+1N（eXtk+1）=EheXtk+1 | qlN（eXtk+1）i=EheXtk+1 | eXtk+1∈ Ci（Γlk+1）i1.≤我≤N、 其中qlni是与Γlk+1相关联的量化。已经证明（见[38,52]）{keXtk+1- qlN（eXtk+1）k，l∈ N+}是一个非递增序列，qlN（eXtk+1）收敛到一些随机变量，取N值，因为l趋于一致。从方程（B.1）和RMQA的概念出发，我们得到了γk+1，l+1j=EheXtk+1 | eXtk+1∈ Cj（Γlk+1）i=EheXtk+1{eX∈Cj（Γlk+1）}iP（eXtk+1）∈ Cj（Γlk+1））=ehextk+1{eXtk+1∈Cj（Γlk+1）}eXtkiiEhEh{eXtk+1∈Cj（lk+1）}eXtkii=PNi=1EhEk（γki，TZtk+1）11{Ek（γki，TZtk+1）∈Cj（Γlk+1）}iP（eXtk∈ Ci（Γk））PNi=1P（Ek（γki，TZtk+1）∈ Cj（Γlk+1）P（eXtk∈ Ci（Γk））。上一个方程中的最后一项相当于方程（3.2）中量子化qN（eXtk+1）的平稳条件。然后，静态条件相当于量化器的定点关系。C稳健性检查我们测试Lloyd I方法的收敛性，有无Anderson加速度对标准正态随机变量的量化，该随机变量是从畸变量化器初始化的。我们用Γ表示*N（0,1）标准正态随机变量的最佳量化器，并通过乘以常数c，即c×Γ对其进行校正*N（0,1）。然后，我们监控两种算法收敛到Γ*N（0,1）从c×Γ开始*N（0,1）。误差迭代l定义为kΓ*N（0,1）-ΓlN（0,1）k，其中ΓlN（0,1）是算法在第l次迭代中找到的量化器，k·k是RN中的欧氏范数。

停止标准设置为Γl+1N（0,1）- ΓlN（0,1）k≤ 10-7，量化器的电平为N=10，常数c为1.01。我们的调查结果如图6所示。我们可以通过图形评估这两种算法的收敛速度。在没有加速度的Lloyd I方法的情况下，正如预期的那样，收敛是线性的。对于加速的Lloyd I方法，速率没有得到很好的定义，但图6显示了向已知最佳量化器收敛的显著改进。在达到停止标准所需的迭代次数方面，图7支持相同的结论。然后，我们用数值方法研究了带有安德森加速度和牛顿-拉斐逊算法的劳埃德I方法对初始猜测的灵敏度，作为应用于最优量化器Γ的失真c的函数*N（0,1）。我们的调查结果总结在图8中。四个面板对应不同程度的失真c={1.10,1.20,1.25,1.35}。如前所述，我们设定N=10，而在y轴上，我们报告迭代l，kΓl+1时的残差- Γlk。对于低失真度，牛顿-拉夫森法比劳埃德I法更快地收敛到最优解。这一结果证实了牛顿-拉夫森算法收敛速度的平方性所导致的理论行为。然而，当初始猜测与解决方案相去甚远时——就像在25%和35%失真的情况下一样——算法可能会花费很多周期远离最佳网格。最后，我们考察了Lloyd I和Newton Raphson算法在考虑以下Euler-Maruyama离散格式（\'Xtk+1=\'Xtk+r\'Xtk）时的收敛性t+σ\'-Xtk√t Ztk，X=X，具有r，σ和X三个正实常数，以及t=tk+1- tk对于所有k=1。

N- 1.在www.quantize.com上展示牛顿-拉夫森方法对网格初始化的更高灵敏度。数学。com提供标准单变量高斯分布的二次最优量化器（从N=1到N=1000）的数据库可用。我们记得一个序列（Γl）l∈接近aΓ*6=Γl，因为所有的l都收敛于Γ*如果存在正常数α和λ，则具有阶数α和渐近误差常数λ→∞kΓl+1- Γ*kkΓl- Γ*kα=λ.10-710-610-510-410-310-210-1迭代l10时出错-910-810-710-610-510-410-310-210-1迭代l+1洛伊德I加上加速度时的错误劳埃德I不加加速度图6：标准正态随机变量的量化：劳埃德I方法加上和不加安德森加速度时的收敛性比较。与Lloyd I和Anderson加速度相比，在n=2时停车是有效的t=0.01。我们将量化器Γ和Γ的电平设置为N=30，x=1。通过定义随机变量“Xt”~ N（m（x），v（x））式中，m（x）=x+rxt和v（x）=σx。为了计算¨x的量化器，我们在时间ttom（x）+v（x）Γ初始化算法*N（0,1），带Γ*N（0,1）标准正态随机变量的最佳量化器。一旦我们得到了最佳量化器Γ*= {γ*1, ··· , γ*30}我们在时间t使用以下替代方法之一设置量化器ΓInit={γ，····，γ}的初始化。上一步的最佳量化器ΓInit=Γ*;二、欧拉算子γi=m（γi）+v（γi）Γ*,在（0,1）中，对于i=1，30;iii.欧拉算子和上一步最优量化器之间的中点γi=0.5γi+0.5（m（γi）+v（γi）Γ*,在（0,1）中，对于i=1。

, 30;0 20 40 60 80 100 120 140迭代次数l10-1010-910-810-710-610-510-410-310-210-1带加速度的ResidualLloyd I不带加速度的Lloyd I图7：标准正态随机变量的量化：在带和不带Anderson加速度的Lloyd I方法之间，达到停止标准所需的迭代次数的比较。iv.期望值γi=m（γi），对于i=1，30.图9的左面板显示了与上述规格相对应的四种不同的初始网格。在同一个面板的右侧，我们还绘制了最佳量化器Γ*Lloyd I和Anderson加速法以及Newton-Raphson法都应该收敛。右边的面板报告量化误差——定义为QED（Γl）——作为操作数l的函数。当残差低于10时，我们停止算法-5.数值研究表明，牛顿-拉斐逊法比劳埃德I法更快地收敛到最优网格，唯一的例外是情况Γinit等于中点。然而，当使用Euler算子或中点牛顿-拉斐逊算法初始化时，由于Hessian矩阵的坏条件数（图中未报告相应的线），该算法无法收敛。

这一结果与[53]中的发现一致，作者强调，牛顿-拉斐逊方法可能会失败，即使是对称初始向量，因为Voronoi细分的某些组件的行为异常。根据上述探索，我们最终得出结论，基于定点算法的方法，如Lloyd I方法和Anderson加速度，比aNewton Raphson方法更稳健，在目前的应用中，该方法依赖于矩阵的Hessian计算。0 2 4 6 8 10 12 1410-1410-1210-1010-810-610-410-2100kΓ*N（0,1）- ΓlN（0,1）k2c=1.1Lloyd I，加速度为牛顿-拉斐逊0 2 4 6 8 10 12 1410-1410-1210-1010-810-610-410-2100c=1.20Lloyd I，带加速度牛顿拉斐逊100 200 300 400迭代次数l10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2100kΓ*N（0,1）- ΓlN（0,1）k2c=1.25Lloyd I，加速度为牛顿-拉斐逊0 5 10 15 20 25 35迭代次数l10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2100c=1.35Lloyd I带加速度Newton Raphson图8：标准正态随机变量的量化：Lloyd I方法与Anderson加速度和Newton Raphson算法之间的比较。D马尔可夫产生器LΓWe定义的构造γ.= γi+1- γi，1≤ 我≤ N- 1.方程式（3.9）中第一和第二偏导数的有限差分近似定义为：Uγ（γ，t）≈u（γi+γ、 （t）- u（γi）- γ、 t）2γ,Uγ（γ，t）≈u（γi+γ、 （t）- 2u（γi，t）+u（γi- γ、 （t）(γ） ，0.920.940.960.981.001.021.041.061.08量化器Γinit2:Γ*1Γinit2:欧拉算子Γinit2:中点Γinit2:期望值Γ*20 5 10 15 20迭代次数l0。70.80.91.01.11.2qeD（Γl2）×10-3劳埃德一世：Γ*1Lloyd I:欧拉运算符Lloyd I:中点Lloyd I:期望值Newton Raphson:Γ*1Newton Raphson：预期值图9：与几何布朗运动相关的Euler Maruyama方案的量化。

左面板：四个不同的初始网格Γinit和最佳网格Γinit*分别在左边和右边。右面板：量化误差作为迭代次数的函数。尽管如此，t∈ [0，T]。马尔可夫产生器LΓ是定义为LΓ的N×N矩阵=du0 0··0 ldu0··0······························0 00 0 0 0 0 0 0 0。。。。。。。。。0磅-1dN-1uN-100LNDN,其中li、Dian和Ui的系数为：-b（γi）2γ+σ（γi）(γ） ，di=-σ（γi）(γ） ，ui=+b（γi）2γ+σ（γi）(γ） ，共1人≤ 我≤ N.选择第一行和最后一行的系数，以便马尔科夫链反映在状态域的边界上。如果状态域的范围足够大，边界条件的选择应具有可忽略的影响。