奇异期权定价的逆向蒙特卡罗方法

我们参考附录C中的数值实验，以说明安德森加速度在定点迭代收敛速度方面的改善，以及劳埃德I方法在牛顿-拉夫森算法稳定性方面的过度性能。附录C绝不是为了炫耀，因为它在一些例子中说明了安德森加速算法的性能。3.2大时间步长算法LTSA用于恢复与LV模型的时间和空间离散化相关的转移概率矩阵。我们从回顾一些关于马尔科夫过程的已知结果开始，这些结果将用于下面的内容。我们在以下假设下工作：假设1。资产价格过程X遵循方程式（2.1）中的动力学，其中提取和扩散系数b和σ是时间的分段常数函数。让我们考虑等式（2.1）中的马尔可夫过程X，并用p（t，γ| t，γ）表示，0≤ t<t≤ T和γ，γ∈ R、 从时间t的状态γ到时间t的状态γ的转移概率密度。在一些不严格的假设下，已知p作为后向变量t和γ的函数，满足后向Kolmogorov方程（见[40,41]）：Pt（t，γ| t，γ）+（Lp）（t，γ| t，γ）=0表示（t，γ）∈ （0，t）×R，p（t，γ| t，γ）=δ（γ- γ） ，（3.8），其中δ是狄拉克δ，L是与SDE（2.1）相关的微积分算子，即作用于函数f:R+×R的二阶微分算子→ R属于C1,2类，定义如下：（Lf）（t，γ）=b（t，γ）Fγ（t，γ）+σ（t，γ）Fγ（t，γ）。（3.9）方程（3.8）的解可以正式写成asp（t，γ| t，γ）=e（t-t） Lp（t，γ）。（3.10）LTSA包括使用方程（3.10）近似相对于离散时间有限状态马尔可夫链近似X的转移概率。

我们现在报告一个简单的例子来说明LTSA是如何工作的。例1。例如，当方程（2.1）中的b和σ被定义为：b（t，Xt）=b（Xt）11[0，t]（t）+b（Xt）11[t，t]（t），σ（t，Xt）=σ（Xt）11[0，t]（t）+σ（Xt）11[t，t]（t），其中，Tand t=t是两个目标到期日和b，b，σ，σ，σ合适的函数。明确给出了这种情况下的转移概率。特别是，如果我们分别用[0，T]和[T，T]中X的马尔可夫链近似的极小马尔可夫产生器中的LΓ和LΓ表示，任意两个日期T和皮重之间的转移概率由以下公式给出：e（T-t） LΓ代表0≤ T≤ T≤ T、 e（T）-t） LΓe（t）-T） LΓ代表0≤ T≤ T≤ T≤ T、 e（T）-t） LΓ代表t≤ T≤ T≤ T.在实际市场情况下，上述关于b和σ的假设完全没有限制性，我们将在第4节中看到。现在让我们详细介绍一下算法。首先，一旦选择了时间离散网格{u，u，…，um}（例如考虑校准柱或普通选项校准日期的到期日），我们需要获得空间离散网格Γk，0≤ K≤ m、 在这里，这些网格并非源于任何畸变函数的最小化，因为它们定义得非常灵活，如下所示：Γ≡ 山德克≡ Γ.= {γ，…，γN}，k=1，m、 这代表了RMQA方面的一个重大差异。然后，该方法包括适当地离散马尔可夫发生器L，并以有效且准确的方式计算转移概率。关于离散化，[25]给出了构造L的离散对应物的方法——用LΓ表示——从而使X的马尔可夫链近似收敛到weakor分布意义下的连续极限过程[24]。特别是，LΓ对应于方程（3.9）的离散化，通过导数的显式欧拉有限差近似[42]。

在附录D中，我们提供了关于L的离散化的更多细节。一旦LΓ被构造，我们就可以为转移概率矩阵编写一个（矩阵）Kolmogorov方程。特别是，使用算子理论[34]，任意两个任意日期UK和UK之间的转移概率矩阵为0≤ 英国<英国≤ T可以表示为amatrix指数。备注3。对于计算转移概率矩阵所需的计算负担而言，过程X的分段时间齐次特征起着至关重要的作用。事实上，在依赖时间的漂移和波动系数的情况下，它不能再以一种前瞻性的方式表示为（依赖时间的）马尔可夫发生器LΓ的指数（例如，参见[43]）。在对路径依赖型衍生工具进行定价时，LTSA在计算上比RMQA更方便，这些衍生工具的支付规范要求观察预先规定的一组日期的资产价格，例如，{u，u，…，um}。实际上，在这种情况下，我们首先计算图1：使用LTSA采样的一条蒙特卡罗路径的示例，其中u=t、u=t和u=t。如等式（1）所示，对m个转移矩阵进行调整，然后我们通过粗粒度分辨率的蒙特卡罗对衍生产品进行定价。在图1中，我们绘制了一个可能路径的示例，对应于m=3的情况。在图2和图3中，RMQA和LTSA之间的主要差异变得更加明显，我们分别绘制了一个连接初始点X和随机最终点B-Xt的蒙特卡罗模拟，以及一个直接跳到日期模拟到随机点B-XTKW的k=1，分别为5个。图2：使用RMQA在六个时间段计算的时间网格上采样的一条蒙特卡罗路径的示例。图3：从起始点XT到随机点SB\'\'Xtkwithk=1。

，5用RMQA计算。我们强调，RMQA和LTSA都可以通过简单的标量积计算普通期权的价格。实际上，行使K且到期日T=tM的普通看涨期权的价格可以计算为如下nxi=1P（γmi | x）（γmi- K） +.3.2.1 LTSA实施：更多技术细节为了有效、准确地计算矩阵指数，从而恢复LTSA的转移概率，我们使用了所谓的缩放和平方法以及Pad`eapproximation。特别是，我们实现了Higham在[44]中提出的方法版本，因为它在效率和准确性上都优于[45]和[46]中提出的先前实现。现在，我们给出了[44]中实现的算法的简图，概述了其实际功能，但没有给出其背后的所有数学细节。有关该方法的更广泛分析，请参阅原始文件。此外，我们参考[47]对Pad`e近似进行了更广泛的描述。缩放和平方算法利用指数函数的以下平凡特性：eeLΓ=鳗鱼ββ、 （3.11）式中- tk）LΓ=eLΓ，以及eeLΓ在原点附近用Pad`eaproximation很好地逼近的事实，也就是小keLΓk，其中k·k是任何从属矩阵范数。特别是，Pad`e近似估计eeLΓ与两个（矩阵）13次多项式之间的比率。Pad`e近似的数学精妙之处在于，两个近似多项式是明确已知的。标度和平方法的主要提示是，在方程（3.11）中选择β作为2的整数幂，β=2ns，这样ElΓ/β的范数为1阶，通过aPad`e近似来近似eeLΓ/β，然后通过重复n次平方来计算eeLΓ。特别是，我们确定δt=（tk-tk）/2n。

我们使用Pad`e近似，因为L的离散化使用了显式欧拉模式（见附录D）。实际上，我们需要对矩阵δtLΓ施加所谓的保险条件。Courant条件要求kδLΓk∞< 1.这转化为δtδt的以下严格条件<(γ） σ（γi），1.≤ 我≤ N使用Pad`e近似可以放松最后一个约束。尤其是[44]中的实现允许kδLΓk∞要大得多。4金融应用在最后一节中，我们介绍并讨论了如何将前面第2节和第3节中取得的成果应用于金融，尤其是外汇市场中的期权定价，在外汇市场中，现货和远期合同以及普通期权和异国期权都进行交易（例如，有关外汇市场的概述，请参见[48]）。特别是，我们考虑以下类型的路径依赖选项：（i）亚洲呼叫，（ii）向上和向外障碍呼叫，（iii）自动呼叫（或自动呼叫）。我们为基础欧元/美元汇率选择了两种不同的模型：作为基准的LV模型和来自学术文献的恒定方差弹性模型（此后为CEV）[49]。4.1模型和支付规格让我们首先介绍一些与LV模型和CEV模型相关的符号。重申我们在第2节中假设的确定性利率。此外，我们用Xt表示一欧元在t时的现货价格（以美元表示），用Xt（t）表示在t时交货的相应远期价格。

我们引入了所谓的标准化汇率xLVtXt/X（t），全部t∈ [0，T]（上标“LV”明显代表局部波动），我们假设过程xLV=（xLVt）t∈[0，T]遵循SDE（dxLVt=xLVtη（T，xLVt）dWt，xLV=1。因此，在这个LV模型中，XLV对应于第2节中介绍的基本过程X，除了参考方程（2.1），我们还有b（t，xLVt）=0和σ（t，xLVt）=η（t，xLVt）xLVt，其中η：[0，t]×R→ R+对应于局部波动函数。具体来说，它是固定t的三次单调样条∈ [0，T]（有关插值技术的概述，请参见[50]）以及FL外推。要插值的点集在校准过程中以数值方式确定。特别是，这一过程导致了xLV过程的分段齐次动力学。作为第二个例子，我们考虑CEV，也就是说，我们假设资产价格过程X遵循CEV动态（dXt=rXtdt+σXαtdWt，X=X）∈ R+，其中R∈ R+是无风险利率，σ∈ R+表示波动性，α>0表示恒定参数。然后，如第2节所示，给出[0，t]上的时间离散网格{0=t，t，…，tn=t}，并参考等式（2.2）中的Euler-Maruyama格式，我们考虑以下一维支付规范。特别是，我们计算t=0时的价格。i） 亚洲电话。离散监控的亚洲看涨期权的贴现支付函数FA（\'X，\'Xtn）。=E-r（tn）-t） maxn+1nXi=0\'-Xti- K、 0！，其中K为履约价格，T>0为到期日。ii）向上和向外的障碍呼叫。我们考虑欧洲风格的屏障选项。

在到期日T>0时，向上和向外的障碍看涨期权的贴现支付由以下公式得出：e-r（tn）-t） 麦克斯（XT）- K、 0）11{τ>T}（4.1），其中K是履约价格，τ=inf{t≥ 0:Xt≥ B} B是上面的屏障。众所周知——例如参见[15]——每当我们通过定义fB（\'Xt，\'Xtn）来离散方程（4.1）中的连续时间折扣支付时E-r（tn）-t） 最大值（`Xtn）- K、 0）nYk=0{Xtk<B}，我们高估了期权的价格。事实上，我们没有考虑到资产价格可能已经跨越了一段时间的障碍∈ （tk，tk+1），0≤ K≤ N-1.在[14,15]中，作者提出了获得更好近似值的策略。我们使用[12]中提出并在[13]中重新定义的校准程序。这一过程尤其稳健。事实上，由此产生的局部波动表面确保是现货的平滑函数。该数据集可根据请求提供。当采用MC模拟时，等式（4.1）中期权的价格。它包括在每个时间步tk=k进行检查t、 0≤ K≤ N- 1，对于所有MC路径l，1≤ L≤ NMC，无论模拟路径“X（l）tkhas是否到达屏障B。因此，Firstone计算概率（l）k.=1- 经验-σkt（B）-\'X（l）tk（B）-\'X（l）tk+1）,利用σk（tk，tk+1）中标的资产价格的差异系数，然后用参数1模拟伯努利分布的随机变量- p（l）k：如果结果是有利的，则在区间（tk，tk+1）内已达到障碍，与第l条路径相关的价格为零。否则，进一步进行仿真。一致地，离散监控的向上和向外看涨障碍期权的调整贴现支付如下：-r（tn）-t） 最大值（`Xtn）- K、 0）n-1Yk=0pk。iii）自动呼叫（或自动呼叫）。

具有单一名义价值的自动赎回期权的贴现支付由（e）给出-r（tci）-t） Qiif¨Xtcj<Xb≤\'\'X指定所有j<i，e-r（tn）-t） 对于所有i=1，其中，{tc，…，tcm}是一组预先确定的通话日期，b>Xis是预先确定的障碍水平，{Q，…，Qm}是一组预先确定的优惠券。调用日期集{tc，…，tcm}与欧拉格式离散化时间集{t，…，tn}不一致。特别是，后者具有更高的时间分辨率网格。我们在第4.2节中说明，通过使用我们的新算法，可以有效地对所有以前的支付进行定价，即通过还原蒙特卡罗路径，并模拟它们从到期日回到初始日期。4.2数值结果和讨论让我们介绍一些我们将在数值结果汇总表中使用的术语。具体而言，我们将称之为：（i）通过蒙特卡罗程序在过程X中获得的欧拉方案价格，（ii）通过蒙特卡罗程序NB从开始日期到到期日获得的远期价格，（iii）通过计算得出的远期价格，这些价格是法国巴黎银行于2003年8月在美国首次发行的，如[51]所述。反向蒙特卡罗算法，最后，（iv）基准价格是一个欧拉模式价格（在亚洲看涨期权和向上和向外障碍看涨期权的情况下）或一个远期价格（在自动看涨期权的情况下），其估计误差相对于所报告的重要数字可以忽略不计。

此外，在括号中，我们将报告对应于一个标准差的数值估计误差。现在，让我们强调与后向蒙特卡罗算法的实施相关的一些方面，以及第3.1节和第3.2节中描述的程序。为了在Euler方案和反向价格之间以及在正向和反向价格之间进行有意义的比较，对于每个N+点γnin∈eΓnwe生成NinMC随机路径的方式是，NinMC×N+=NMC，其中NMC表示用于计算欧拉格式或远期价格的模拟次数。最终整合领域的选择取决于支付规范。特别是，eΓn.={γni∈Γn:K≤ γni≤ B} 在为向上和向外看涨障碍期权定价时，以及在向上看涨障碍期权（ITM）、在向上看涨障碍期权（ATM）、向上看涨障碍期权（OTM）和自动可赎回期权（Auto callable options）时。关于状态空间离散化的粒度，我们确定了量化器Γk，1的中心度≤ K≤ n、 到100。根据该值，期权价格的误差计算为|σmkt- σalg |（4.2）小于或等于五个基点（回想一下，1bp=10-4） 式中，式（4.2）中，σmk是市场隐含波动率，而σalg是通过反向蒙特卡罗算法计算的隐含波动率。RMQA的停止标准对应于kΓl+1k- Γlkk≤ 10-5, 1 ≤ K≤ n、 式中，Γlk是算法在时间tk计算的量化器∈ 在第l次迭代时，{t，…，tn}。此外，在反向蒙特卡罗算法的情况下，对于每一点，ineΓnwe generateNinMC=NMC÷| N+|=10÷| eΓN |随机路径。现在让我们来讨论数值结果。在表1中，我们报告了LV和CEV的向上和向外障碍看涨期权价格，以及它们的相对估计误差。为了测试我们算法的性能，我们对ITM、ATM和OTM选项进行了定价。

特别是，对于这两种型号，初始现货价格均为“X=1.36”。该值对应于定价日（2014年6月23日）的欧元/美元汇率。此外，对于这两种动力学，ITM、ATM和OTM向上和向外呼叫屏障选项的对击屏障（K，B）值分别设置为（1.35,1.39）、（1.36,1.39）和（1.37,1.39）。到期日T为6个月，欧拉步数n=51。ForCEV模型we fixα=0.5，r=0.32%（后者对应于定价日远期美元曲线隐含的6个月国内利率值）。相反，关于参数σ，我们通过步骤将其从σ=5%变为σ=20%σ = 5%.表1的面板A比较了欧拉方案蒙特卡罗与反向蒙特卡罗在局部波动动力学方面的效率。小组B则比较了两种算法对CEV动力学的效率。对于这两种模型，反向蒙特卡罗算法比欧拉蒙特卡罗算法表现出更好的性能。更准确地说，对于LV，对于ITM、ATM和OTM选项，Euler方案MC的估计误差与向后MC的估计误差之比，即误差比，分别为2.2、2.5和3.1。关于CEV模型，图4总结了结果。特别是，如果我们增加参数σ的值，增益效率更明显。直观地说，这是因为价格路径在期权有效期内达到障碍B的概率随着σ的增加而增加。此外，在为OTM期权定价时，对于固定的σ值，效率增益更为明显。