奇异期权定价的逆向蒙特卡罗方法

通过Euler Maruyama离散化，我们可以将期权价格近似为：F（x，\'Xt，\'Xtn）=ZRnF（x，x，…，xn）p（x，x，…，xn）dx···dxn，其中p（x，x，…，xn）是（`x，`Xt，`Xtn）的联合概率密度函数（PDF）。前面的表达式可以进一步利用过程b′X及其离散性（回想一下，Γk={γk，…，γkN}）：EtF（x，\'Xt，\'Xtn）\' EthF（x，b\'Xt，…，b\'Xtn）i=NXi=1··NXin=1F（x，γi…，γnin）P（x，γi…，γnin），（2.3）其中P（x，γi…，γnin）。=P（b\'Xt=x，b\'Xt=γi，…，b\'Xtn=γnin）。利用b’X的马尔可夫性质，并使用贝叶斯定理，我们用以下等效方式重写方程（2.3）的右侧：NXi=1··NXin=1F（X，γi，…，γnin）P（γi | X）··P（γnin |γn-1英寸-1） ，其中p（γk+1ik+1 |γkik）=P（b\'Xtk+1=γk+1ik+1 | b\'Xtk=γkik），（2.5）所有γkik∈ Γkand all k∈ {1，…，n- 1} 为了计算方程（2.4）中的表达式，直接应用标准MC理论需要模拟所有源自xat timet=0的NMCPath。上述关于连续状态空间情况下MC估计缺乏效率的论点同样适用于离散情况。然而，forcingeach随机变量“Xtk，1≤ K≤ n、 取最多n个值通常会减少蒙特卡罗估计量的方差。对于每个tk∈ {t，…，tn-1} 我们用∏k，k+1（N×N）维矩阵表示，它们的元素是转移概率：∏k，k+1，j.=P（γk+1j |γki），γki∈ Γk，γk+1j∈ Γk+1和i，j∈ {1，…，N}。反向蒙特卡罗算法背后的关键思想是，应用贝叶斯定理，将∏k+1，ki，jas表示为∏k，k+1i，jb的函数：∏k+1，ki，j=∏k，k+1i，jPkiPk+1j（2.6），其中Pki=P（b\'Xtk=γki | Xt=x）和Pk+1j=P（b|Xtk+1=γk+1j|Xt=x）。

迭代地，我们覆盖了所有的转移概率，这些概率允许我们从每个端点向后穿过多项式树到初始节点x。特别是，关系不等式（2.6）允许重新写入方程（2.3）和方程（2.4）中出现的联合概率asP（x，γi，…，γnin）=P（γi | x）·P（γnin |γn-1英寸-1） =n-1Yk=0∏k+1，kik+1，ik！普宁。我们始终得到以下命题，包含我们定价算法的核心：命题1。具有折扣支付的路径依赖期权的价格，等等F（x，\'Xt，\'Xtn）, 可近似为：EthF（x，b\'Xt，…，b\'Xtn）i=NXin=1pinnxi=1··NXin-1=1n-1Yk=0∏k+1，kik+1，ik！F（x，γi，…，γnin）=NXin=1pnif（x，γnin），其中F（x，γnin）是关于从x开始到γnin结束的所有路径的支付函数F的期望值。期望F（x，γnin）可以从（b\'Xt，…，b\'Xtn）的条件allaw中通过采样ninmcc路径来计算-1） 给定x和γnin，从而同时获得与MC估计器相关的误差σ。根据中心极限定理，误差以NinMC的平方根进行缩放，因此NinMC越大，误差越小。特别地，如果我们用eΓn={γn，…，~γnN+}表示，用n表示+≤ N、 对于支付效果不同于零的那些点，我们估计与衍生产品价格的95%置信区间相对应的边界值asN+Xin=1Pnin\\F（x，γnin）±1.96VuTn+Xin=1（Pninσin），（2.7），其中，F（x，γnin）对应于F（x，γnin）的蒙特卡罗估计值。

值得注意的是，等式（2.7）中的误差没有考虑到Γn的不确定性的影响。将等式（2.4）中的n个和拆分为确定性网格Γ点上的外部总和，并使用固定的初始点和终点评估支付效果的预期，会产生相当大的方差减少。该程序与称为分层抽样MC的方差缩减技术相对应[14]。特别是，在[14]中，作者通过分析证明，无分层的MC估计量的方差始终大于或等于分层估计量的方差。正如[14]中所指出的，分层抽样涉及两个问题：（i）选择Γ中的点和分配Ninmc，在∈ {1，…，N}，（ii）从b\'X条件onb\'Xtn生成样本∈ Γnand onbΓXt=γ。我们的程序解决了这两个问题。准确地说，一旦选择了eΓn，后向蒙特卡罗算法允许我们独立于Pnin的值，从所有点ineΓn选择路径数。在这一点上，计算数量不等式（2.7）所需的两个主要成分是：（i）转移概率，（ii）过程B’X的快速反向模拟。出于这两个目的，我们引入了特别的数值程序。关于前一点，我们分析并扩展了文献中已有的两种方法：第一种方法基于随机变量的最佳状态划分概念（在[32]中称为分层，在[33]中称为量化），并采用RMQA[23,22]。第二种方法提供了一种以有效方式计算分段时间齐次过程任意两个任意日期之间转移概率矩阵的方法[12,34]。

关于这两种方法的更多细节将在第3节中给出。关于反向模拟，我们采用了[35]中介绍的Alias方法。更具体地说，对于n中的每k- 1到1，对b¨Xtk条件{b¨Xtk+1=γk+1j}的（反向）模拟相当于在每个时间tk+1从一个离散的非均匀分布中采样，其支持度Γ和概率质量函数等于∏k+1，k的第j行，naive模拟方案包括从区间[0，1]中抽取一个统一的随机数，并递归搜索离散概率的累积和。然而，在这种情况下，相应的计算时间随着状态数N线性增长。相反，Alias方法通过巧妙地预计算一个大小为N的表（别名表），将这种数值复杂性降低到O（1）。我们的实现基于这种方法，从而大大减少了MC计算时间。有关Alias方法的更详细说明，请访问www.keithschwarz。通用域名格式。3转移概率的恢复我们给出了两种用于近似离散时间马尔可夫链转移概率的方法。RMQA在第3.1节中进行了描述和扩展。特别是，我们首先简要概述了随机变量的最佳量化，然后提出了RMQA的替代实现。LTSA在第3.2节中介绍，我们还简要介绍了马尔可夫过程和生成器。3.1基于量化的算法熟悉量化的读者可以跳过以下小节。3.1.1最佳量化我们通过强调随机变量的实际特征，在这里提出了随机变量的最佳量化概念，但没有提供其背后的所有数学细节。可以找到更广泛的讨论，例如。

在[27,36,37,38]中。设X为概率空间上定义的一维连续随机变量(Ohm, F、 P）和P′x由其引起的测量。“X”的量化包括用一维离散随机变量b“X”对其进行近似。尤其是，这种近似是通过量化函数qNof“X”来定义的，也就是说b“X.=qN（\'X），定义为b“X取N”∈ N+R中的许多数值。bΓX的一组数值，用Γ表示≡ {γ，…，γN}是‘X的量化器，而函数qn的图像是相关的量子化。Γ的分量可用作Voronoi细分{Ci（Γ）}i=1，。。。，N.特别是，根据RCi（Γ）中的绝对值设置以下细分 {γ ∈ R:|γ- γi |=min1≤J≤N |γ- γj |}，相关的量化函数qN定义如下：qN（\'X）=NXi=1γiCi（Γ）（\'X）。请注意，在我们的设置中，我们将量化随机变量（`Xtk）0≤K≤公式（2.2）中给出了第九条。这种结构通过利用连续随机变量“X”产生的概率测度，严格定义了随机变量“b”X的概率设置。通过“X”到“b”X的近似值会产生一个误差，其误差——称为L-均值量化误差——定义为“X”-qN（`X）k.=sEmin1≤我≤N | X-γi|. （3.1）方程式（3.1）中的预期值是根据概率测量值计算的，概率测量值表征了随机变量“X”。

最佳量化理论的目的是找到一个由Γ表示的量化器*, 这使得方程（3.1）中的误差在所有可能的量化器上最小化，量化器的大小最大为N。从理论上（例如，参见[36]）我们知道，当网格大小N趋于完整时，平均量化误差消失，其收敛速度由Zador定理决定。然而，在计算上，明确地发现Γ*这可能是一项具有挑战性的任务。这促使引入了与静态量化器概念相关的次优标准[37]：定义量化器Γ≡ {γ，…，γN}导致随机变量'X的量子化qno被称为平稳的\'X | qN（\'X）= qN（`X）。（3.2）备注1。最佳量化器是静止的，反之亦然，一般不成立（例如，参见[37]）。为了计算最优（或次优）量化器，首先引入了随机变量X和量化器d（\'X，Γ）之间距离的概念min1≤我≤N | X-γi |，然后考虑所谓的畸变函数d（Γ）Ed（\'X，Γ）= Emin1≤我≤N | X-γi|=NXi=1ZCi（Γ）|ξ-γi|dP|X（ξ）。（3.3）可以证明（例如，参见[37]）畸变函数与Γ的函数是连续不同的。特别是，结果表明，平稳量化器是失真函数的临界点，也就是说，平稳量化器Γ的OD（Γ）=0。为了找到静态量化器，已经提出了几种数值方法（areview见[38]）。这些方法基本上可以分为两类：基于梯度的方法和定点方法。前一类包括牛顿-拉夫森算法，而第二类包括劳埃德I算法[19]。更具体地说，Newton Raphson算法需要计算畸变函数的梯度OD（Γ）和海森矩阵OD（Γ）。

另一方面，Lloyd I算法不需要计算梯度和Hessian，它包含基于平稳方程的定点算法（3.2）。3.1.2递归边际量化算法RMQA是一种递归算法，最近由G.Pag`es和a.Sagna在[23]中引入。它包括通过一维工作对方程（2.1）中的随机过程X进行量化。如果X的分布与对数凹密度函数是绝对连续的，则可保证最优N量化器的唯一性[37]。关于（边际）随机变量Xtk，都是k∈ {1，…，n}in（2.2）。RMQA背后的关键思想是离散时间马尔可夫过程¨X=（¨Xtk）0≤K≤nin方程（2.2）的完全特征是¨XT的初始分布和跃迁概率密度。我们用B表示随机变量的量子化，用D（Γk）表示相关失真函数。备注2。进程b\'X=（b\'Xtk）0≤K≤一般来说，nis不是离散时间马尔可夫链。然而，我们知道（例如参见[38]）存在离散时间马尔可夫链，即b’Xc（b¨Xctk）0≤K≤n、 由于初始分布和转移概率等于b¨X。因此，在本文的其余部分中，当我们在递归边际量化框架内编写“离散时间马尔可夫链”时，我们将通过默契引用过程b¨Xc。这里我们给出了RMQA的一个快速图。首先，我们介绍了方程（2.2）中与Euler格式相关的Euler算子：Ek（x，TZ） =x+b（tk，x） + σ（tk，x）√t在哪里~ N（0，1），所以从（2.2），\'Xtk+1=Ek（\'Xtk，TZk）。引理1。在事件{Xtk=x}的条件下，随机变量`Xtk+1是一个平均值为mk（x）=x+b（tk，x）的高斯随机变量 和标准偏差vk（x）=√σ（tk，x），所有k=1，N- 1.证据。

它紧跟在等式“Xtk+1=Ek”（“Xtk，TZk），假设Zk是标准正态随机变量。在这一点上，我们可以写下以下关键等式：\'D（Γk+1）=Ed（\'Xtk+1，Γk+1）= EEd（\'Xtk+1，Γk+1）|Xtk= Ed（Ek（\'Xtk，TZk），Γk+1）,（3.4）式中（Zk）0≤K≤nis是一系列i.i.d.一维标准正态随机变量。阿萨德，平稳量化器是失真函数梯度的零点。根据定义，失真函数“D”（Γk+1）取决于“Xtk+1”的分布，这通常是未知的。然而，由于引理1，方程（3.4）中的畸变可以显式计算。等式（3.4）是RMQA的本质。更准确地说，我们开始设置“xto x”的量化，即qN（\'Xt）=x。然后，我们用ext近似“Xt”=E（x，TZ） 与‘XT’相关联的失真函数与与‘XT’相关联的失真函数，即‘D（Γ）≈eD（Γ）E[d（E（x，TZ） ，Γ）]。然后，使用牛顿-拉斐逊-奥尔洛伊德I方法，通过搜索失真函数梯度的零点来寻找平稳量化器Γ。该过程在每个时间步tk，1迭代应用≤ K≤ n、 引导到以下静态（边际）量化器序列：beXt=\'Xt，beXtk=qN（eXtk）和xtk+1=Ek（beXtk，TZk+1），（Zk）1≤K≤镍。i、 d.与“Xt”无关的正态随机变量。在[23]中，作者给出了（二次）误差界k′Xtk的估计-b¨Xtkk，对于fixedk=1，n、 此时，在给定量化网格和引理1的情况下，瞬时获得了近似的跃迁概率（在[23]中称为伴生参数）。特别是∏k，k+1i，j=P（γk+1j |γki）≈ PeXtk+1∈ Cj（Γk+1）|eXtk∈ Ci（Γk）.

（3.5）在附录A中，我们提供了畸变函数（Γk+1）和近似跃迁概率P的显式表达式eXtk+1∈ Cj（Γk+1）|eXtk∈ Ci（Γk）.为了数值计算平稳量化器序列（Γk）1≤K≤nin[22,23]的作者采用了牛顿-拉夫森算法。然而，正如[22]所指出的，当T→ 由于Hessian矩阵OD（Γ）的病态数为0。替代方法基于固定点算法，如劳埃德I法，尽管这种方法以较小的收敛速度收敛到最优解（讨论见[19]）。出于这些原因，作为最初的贡献，我们将其与一种称为安德森加速度的特定加速度方案相结合。3.1.3 Anderson加速程序加速方案称为Anderson加速，最初在Anderson[20]中讨论，并在[21]中概述，以及一些实际实施注意事项。为了完整起见，在附录B中，我们给出了劳埃德I法在RMQ设置中如何工作的一些细节。现在，我们将讨论一般定点算法（及其相关定点迭代）和同一定点方法加上安德森加速法之间的主要差异。我们概述了实际功能，但没有给出与加速方案的数值实现有关的所有技术细节（关于这个问题的详细讨论，请参阅[21]）。一般的定点问题（也称为Picard问题）及其相关的定点迭代定义如下：定点问题：给定g:RN→ RN，findΓ∈ RNs。T

Γ=g（Γ）。给出的算法（定点迭代），用于l≥ 0，l∈ NsetΓl+1=g（Γl）。（3.6）与Anderson加速方案耦合的相同问题修改如下：算法（Anderson加速）给定Γ和m≥ 1米∈ N、 设置Γ=g（Γ），表示l≥ 1，l∈ Nset ml=min（m，l）设置Fl=（Fl-ml，其中fi=g（Γi）- Γidetermineα（l）=（α（l），α（l）ml）t溶剂为αl∈Rml+1kFlα（l）ks。t、 mlXi=0α（l）i=1集Γl+1=mlXi=0α（l）ig（Γl-ml+i）。（3.7）Anderson加速算法存储（最多）m个用户指定的先前函数评估，并将新迭代计算为这些评估的线性组合，系数最小化加权残差的欧几里德范数。特别是关于一般定点迭代，Anderson acceleration利用更多信息来发现新的迭代。在等式（3.7）中，安德森加速算法允许监控最小平方问题的条件。特别是，我们遵循了[21]中使用的策略，其中约束最小二乘问题首先在一个无约束问题中进行铸造，然后使用QR分解进行求解。使用QR分解来解决无约束最小二乘问题代表了精度和效率的良好平衡。事实上，如果我们将Fl命名为leastsquares问题矩阵，它是从其前身Fl中获得的-1通过在右侧添加新列。Fl的QR分解可以有效地从Fl的QR分解中获得-1使用标准QR因子更新技术的INO（mlN）算术运算（见[39]）。Anderson加速方案在不增加计算复杂度的情况下加快了一般定点问题的线性收敛速度。更重要的是，它不支持牛顿-拉斐逊方法对初始点（网格）选择的极端敏感性。