金融学的奇点：参数期权的经验积分

本着同样的精神，莱兹*M:=arg maxz∈Ohm嗯（z）- 感应电动机-1（嗯）（z）,（17） 我们叫z*魔法点。当在新的幻点z处求值时，Mth基函数是残差，标准为1*M、 qM（·）：=uM（·）- 感应电动机-1（嗯）（·）嗯（z）*M）- 感应电动机-1（嗯）（z）*M） 。（18） 请注意，根据假设3.1，迭代步骤中的运算比k s更为精确，并且如果UAR中的所有函数都由插值IM表示，则（18）中的分母仅为零-1，在这种情况下，它们跨越的线性空间为d M- 1或更少，程序就会停止。我们可以从三个不同的角度来看待这种方法：（i）魔点积分是一种积分参数函数的求积规则，其中插值节点是根据手头的被积函数集在预计算中选择的。（ii）考虑m=1，M函数θmm是Napshot被积函数hp的线性组合*系数βm，βm和henceIM（h）（p）=MXm=1hp（z*m） MXj=1βmjZOhm惠普*j（z）dz。（19） 这意味着幻点积分是参数空间中参数积分的插值方法。因此，将截断积分域产生的错误Ohm 考虑到，等式（19）通过快照价格、价格k、T、q的线性组合得出期权价格的近似值~=MXm=1h（K，T，q）（z）*m） MXj=1βmjkj，Tj，qj。（20） （iii）鉴于（7）中期权价格PriceK、T、qas参数傅里叶积分的表示，我们使用魔点积分算法来近似参数傅里叶变换，我们称之为MagicFT，如Gass和Glau（2015）所述。从（i）的角度来看，参数期权定价的魔点积分是标准正交积分的替代。标准的集成程序支持集成域的维度诅咒。

相比之下，在合适的解析性条件下，魔点积分的逼近误差以M为单位呈指数衰减，与积分的维数无关Ohm, 如果参数空间是一维的，参见下面的定理4.2。从（ii）的角度来看，参数期权定价的魔点积分可以与插值参数期权定价的基准方法相比较。参数中的标准插值方法与参数空间的维数有关。相反，在适当的积分和ds分析条件下，幻点积分的近似误差在M中呈指数衰减，与P的增量无关，如果积分域是一维的，参见下面的定理4.3。4幻点积分的收敛性分析为了充分展示该方法的普遍性，我们回顾了Maday等人（2009年）给出的幻点插值的一般收敛性结果。该结果将幻点插值的收敛性与最佳线性n项逼近联系起来，该逼近形式上用Kolmogorov n-宽度表示。对于实或复赋范线性空间X，k·k你呢 Kolmogorov n-宽度由（21）dn（U，X）=infUn给出∈E（X，n）supg∈尤因夫∈Unkg- 其中E（X，n）是X的所有n维子空间的集合。我们用L∞(Ohm, C） ，k·k∞函数映射的Banach空间Ohm  在上确界范数中有界。提议4.1。对于（11）和M中的集合U∈ N（A1）假设Ohm  Cd和假设3.1，（A2）假设存在常数α>log（4）和c>0，因此U、 L∞(Ohm, C）≤ c e-αM.那么对于任意ε>0和C:=ceα+ε，我们有所有u∈ U那（22）U- IM（u）∞≤ CM e-(α-这个命题直接来自Maday等人的定理2.4。

（2009），其中提供了一个略微不同的版本，该版本没有明确使用Kolmogorov n宽度。为了使我们的演示内容保持独立且尽可能透明，我们在附录a中给出了该命题的详细证明，在附录a中，我们还强调了迭代魔点极化过程的基本特征。4.1参数选择原则幻点积分的指数收敛为了建立我们的分析假设，我们定义了Bernstein-ellipseB([-1, 1], ) 带参数 > 1为复杂平面中的开放区域，由焦点为±1且半短轴和半长轴长度总和为 以原点为中心，半长轴在实轴上。此外，我们定义了b<b∈ R广义Bernstein椭圆乘以（23）B（[B，B]，) := τ[b，b]o B([-1, 1], ),其中变换τ[b，b]：C→ C由τ[b，b]给出R（十）:=b+b-B1.- R（十）和τ[b，b]I（十）:=B-BI（x） 每x∈ C.对于任意集合X R、 我们用（24）B（X）定义广义伯恩斯坦椭圆，) := B（[inf X，sup X]，).为了估计幻点插值法产生的误差，我们建立了两个解析性条件。

条件（B1）适用于单变量积分域，条件（B2）适用于单变量参数空间。（B1）函数（p，z）7→ hp（z）在P×上是连续的Ohm 存在函数sh:P×Ohm → C和H:P→ C使所有（p，z）∈ P×Ohm,hp（z）=H（p，z）H（p）和H（p，z）有一个扩展H:p×B(Ohm, ) → C因此，对于所有人而言∈ P映射z7→ H（p，z）在广义伯恩斯坦椭圆B的内部是解析的(Ohm, ).（B2）函数（p，z）7→ hp（z）在P×上是连续的Ohm 存在函数sh:P×Ohm → C和H：Ohm → C使所有（p，z）∈ P×Ohm,hp（z）=H（p，z）H（z）且H（p，z）具有扩展名H:B（p，) × Ohm → C因此，对于所有人而言∈ Ohm 映射p7→ H（p，z）在广义伯恩斯坦椭圆B（p，).4.1.1参数欧式期权、广义矩和其他单一积分在必须对大量不同参数星座的期权价格进行评估的一般情况下，需要计算高维参数空间和单变量积分域的形式（9）的参数积分。这包括许多众所周知的例子，如欧洲和希腊期权的价格，以及希腊人对不同期权和模型参数表示的这些价格的敏感性。此外，VaR和ES等风险度量以及其他广义矩或参数单变量积分也属于本段的范围。定理4.2。允许Ohm  R和P 要紧凑。修正一些η∈ R、 一些 > 4并假设可积条件（Exp）和（Int）以及分析性条件（B1）都满足∈ P和M∈ N惠普- IM（惠普）∞≤ 厘米(/4)-MI（惠普）- IM（惠普）≤ C|Ohm|M(/4)-M、 其中（25）C= - 1max（p，z）∈P×B(Ohm,)H（p，z）maxp∈P | H（P）|。Gass和Glau（2015）提供了证据。

鉴于自我包含的陈述，我们在附录B.4.1.2篮式期权、多元广义矩和其他多元积分中给出了详细证明。例如，以下结果非常适合于单参数篮式期权幻点积分的误差分析。特别是，这对于固定校准资产模型中具有不同行使或不同到期日的篮子期权的实时定价非常有趣。此外，本段适用于广义矩（如协方差）的计算，以及被积函数中具有单个变参数的一般多变量积分。定理4.3。允许Ohm  RDP和 R要紧凑。修正一些η∈ 呃，一些 > 4并假设可积条件（Exp）和（Int）以及分析性条件（B2）都满足∈ P和M∈ N惠普- IM（惠普）∞≤ 厘米(/4)-MI（惠普）- IM（惠普）≤ C|Ohm|M(/4)-M、 其中（26）C= - 1max（p，z）∈B（P，)×OhmH（p，z）马克斯∈Ohm|H（z）|。Gass和Glau（2015）提供了证据。与附录B中定理4.2的证明相比，唯一的不同之处在于，现在我们利用参数p的分析性质来推导U的最佳项近似估计。幻点插值的实现不可避免地涉及附加问题简化和近似，以便执行必要的优化。特别是，不是整个参数空间，而是提前执行训练集。在这种情况下，eorem 4.2和4.3的结果仅是针对函数训练集的陈述。根据Eftang等人提出的幻点插值法的先验误差界，可以直接推导出响应于训练集之外参数的积分的先验误差界。

（2010）。5个例子和案例研究5。1单变量支付的示例表1给出了期权参数K的支付函数的选择，作为隐藏资产对数的函数。我们陈述了可能的重量值η的范围，使得x7→ eηxfK（x）∈ L（R）和相应的广义傅里叶变换存在。类型支付权傅里叶变换FK（x）ηcfK（z+iη）调用（ex- K） +<-1Kiz+1+η（iz+η）（iz+1+η）Put（K- ex）+>0Kiz+1+η（iz+η）（iz+1+η）Digitalx>log（K）<0-Kiz+ηiz+ηdown&outAsset或-exx>log（K）<-1.-Kiz+1+ηiz+1+ηNothing down&outTable 1：单一股票期权的典型收益和相应的广义Fourier变换。通过检查表1中支付函数FK的广义傅里叶变换，我们意识到，对于某些c∈ R.虽然表1中的所有支付函数都不是可区分的，甚至是不连续的，但映射z 7→ Kiz+cis是一个全纯函数，因此完全符合定理4.2.5.2多元支付函数示例的要求。买入期权在最小d资产上的支付函数定义为（28）fK（x）=（ex∧ 前任∧ · · · ∧ exd- K） +，对于x=（x，…xd）\'∈ RDK和strike K∈ R+。重量值η∈ Rd，ηj<-1，j=1。d、 多元fKis（29）cfK（z+iη）的广义傅里叶变换(-1） d-K1+Pdj=1（izj+ηj）Qdj=1（izj+ηj）1+Pdj=1（izj+ηj）.在单变量情况下，可以直接读取（27）中的类似分解。而映射K 7→ fK（x）显示一个扭结，m ap ping K 7→ K1+Pdj=1（izj+ηj）在半空间{K]中是解析的∈ C|R（K） >0}。

这完全符合理论4中提供的收敛结果的d资产最小的赎回权。3.5.3资产模型示例我们提供了一系列资产模型，我们在下文第6节的数值实验中使用这些模型为期权定价。当我们应用MagicFT算法时，该算法对Fourier被积函数s进行运算，该被积函数s由选项文件cfK的广义傅里叶变换以及在成熟时驱动under lyingasset的过程的傅里叶变换组成。理论上，定理4.2要求从条件（B1）意义上的模型的特征函数ηT，qo得到解析性质。然而，对于一些模型来说，满足这一要求意味着严格限制参数空间。这将使我们的参数空间对于实际用途来说过于有限。然而，根据经验，我们观察到条件（B1）可能被一个更弱的条件取代，同时仍保持指数收敛。宽度为R的共享解析性条带SR（η）的存在性∈ (0, ∞)由（30）SR（η）=Rd+i（η）驱动- R、 η+R） Cd，其中所有ξ7→ νT，q（ξ），T∈ T，q∈ Q、 在分析的基础上，给出了算法的指数收敛性。实施这样一个共享str-ip也意味着在模型参数空间Q上施加条件。然而，事实证明，与定理4.2中更强的条件（B1）相比，这些限制更为有限。在以下模型演示中，我们用EQ表示模型定义的参数空间。由此，我们推导出满足条件（B1）的容许参数集Q。如果不可能，则根据（30）选择它们以确保共享分析性条带的存在。

在下面的模型介绍中，常数r>0表示无风险利率。5.3.1多元Black-Scholes模型d变量Black-Scholes模型由d变量布朗运动驱动。模型的参数空间仅由确定基础协方差矩阵σ的值组成∈ Rd×d，wh ich是对称的正定义。对于参数空间的简洁表示，我们将q定义为（31）eQ={q∈ Rd（d+1）/2 | det（σ（q））>0} 函数σ为Rd（d+1）/2的Rd（d+1）/2→ 由（32）σ（q）ij=q（max{i，j}-1） max{i，j}/2+min{i，j}，i，j∈ {1，…，d}。通过构造，σ（q）是对称的。过程的特征函数XqT，T∈ T，q∈eQ，模型中的驱动日志返回值由（33）φT，q（z）=exp给出Tihb，zi-hz，σzi,尽管如此，z∈ 带drif t的RDB=b（q）∈ 遵守无套利条件（34）bi=r-σii，i∈ {1，…，d}。每个q∈由（31）给出的等式，d变量BlackScholes模型的特征函数在Cd的整体上是z解析的。因此，我们可以根据以下注释为MagicFT算法选择参数集Q。备注5.1（多变量Black-S-choles模型的Q）。让我≤σi∈ R+forall i∈ {1，…，d（d+1）/2}。定义（35）Q={Q∈ Rd（d+1）/2 |σi≤ 气≤σ是det（σ（q））>0}，函数σ由（32）给出。参数设置Q如上所述，并压缩T R+，单变量Black-Scholes模型的特征函数满足定理4.2.5.3.2单变量Merton跳跃扩散模型的条件（B1）。在单变量情况下，Merton（1976）的Merton跳跃扩散模型自然地将Black-Scholes模型扩展到跳跃扩散设置。资产价格过程的对数由方差σ>0的布朗-伊恩部分和正态N（α，β）分布跳跃以λ>0的速率组成的复合泊松跳跃部分组成。

因此，模型参数空间由（36）eQ={（σ，α，β，λ）给出∈ R+×R×R+×R+} 将xqt的特征函数与T进行Rand∈ T，q∈eQ计算为（37）φT，q（z）=expTibz-σz+λeizα-βz-1.,尽管如此，z∈ R、 无套利条件（38）b=R-σ- λeα+β-1..在单变量Black-Scholes模型中，f或q∈ Q和T>0时，默顿模型的特征函数是全纯的。备注5.2（默顿模型的Q）。让σ≤ σ ∈ R+，α≤ α ∈ R、 β≤ β ∈ R+和λ≤ λ ∈ R+。定义Q={（σ，α，β，λ）∈ R |σ≤ σ ≤ σ, α ≤ α ≤ α,β≤ β ≤ β, λ ≤ λ ≤ λ}.（39）参数设置Q如上所述，并压缩T R+，默顿模型的特征函数满足定理4.2.5.3.3单变量CGMY模型的条件（B1）。我们考虑的另一个著名的L’evy模型是Carr、Geman、Madan和Yor（2002）提出的单变量CGMY模型。该类在文献中也被称为Koponenand KoBoL，参见例如Boyarchenko和Levendorskii（2002a）和Astempeed s table Process。模型参数空间由（40）eQ={（C，G，M，Y）给出∈ R+×R+×R+×（1,2）|（M）- 1） Y∈ R} R、 xqtt的关联特征函数∈ T，q∈eQ计算为φT，q（z）=expTibz+CΓ(-Y）（M）- iz）Y- 我的+（G+iz）Y- GY,（41）对所有人来说∈ R、 式中，Γ（·）表示伽马函数。对于无套利定价，我们设定了漂移b∈ R到（42）b=R- CΓ(- Y）（M）- 1） Y- 我的+（G+1）Y- GY.条件（M）- 1） Y∈ （40）b中的R∈ R.与Black-Scholes和Merton的模型相反，Cgmy模型的特征函数所分析的C域并不独立于其参数化而存在。因此，定理4.2不适用于CGMY模型中的定价，除非算法可以选择的参数集受到不合理的限制。

然而，在CGMY模型中，当Qandη的选择使得所有ξ7→ νT，q（ξ），T∈ T，q∈ Q、 根据η，共享（30）中介绍的分析性SR（η）的公共条带∈ R和R>0表示所需的条带宽度。在下文中，我们推导出了保证此类旅行存在的条件。我们的分析结果将包括对权重值η的综合建议，该建议符合表1所列的选项选择所构成的限制，以及对参数空间的一系列限制。这些限制保证了如上所述的共享分析性条带，达到了一定的规定宽度R>0。CGMY的分析性条带在我们能够推导出参数空间上产生共享分析性条带的条件之前，让我们首先确定最大宽度R>0的条带，即CGMY模型的单独参数化特征函数φT，q，T∈ T，q∈情商，是分析性的。C中的条带是通过分析特征函数φT，q，T得出的∈ T，q∈不同权重值的命题2.1（5）中积分域的CGMY过程的等式。让eη∈ R并考虑线（43）zeη（ξ）=ξ+ieη，ξ上的特征函数ηT，qo∈ R.eη的值，对于该值，在相关联的线（43）上分析的φT，qis决定了φT，q的分析性条带的宽度。对于这些eη值∈ R、 两个映射都是ξ7→ （M）- izeη（ξ））Y，ξ7→ （G+izeη（ξ））y需要在R上进行分析。通过（43），我们得到了ξ7→ （M）- izeη（ξ））Y=（M+eη- iξ）Y和ξ7→ （G+izeη（ξ））Y=（G- eη- 对于R上这两个量的解析性，我们需要确保bothM+eη>0，（44）G- eη>0，（45）保持。