金融学的奇点：参数期权的经验积分

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英文标题：
《Magic points in finance: Empirical integration for parametric option
  pricing》
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作者：
Maximilian Ga{\\ss}, Kathrin Glau, Maximilian Mair
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We propose an offline-online procedure for Fourier transform based option pricing. The method supports the acceleration of such essential tasks of mathematical finance as model calibration, real-time pricing, and, more generally, risk assessment and parameter risk estimation. We adapt the empirical magic point interpolation method of Barrault, Nguyen, Maday and Patera (2004) to parametric Fourier pricing. In the offline phase, a quadrature rule is tailored to the family of integrands of the parametric pricing problem. In the online phase, the quadrature rule then yields fast and accurate approximations of the option prices. Under analyticity assumptions the pricing error decays exponentially. Numerical experiments in one dimension confirm our theoretical findings and show a significant gain in efficiency, even for examples beyond the scope of the theoretical results.
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中文摘要：
我们提出了一种离线在线的基于傅立叶变换的期权定价方法。该方法支持加速数学金融的基本任务，如模型校准、实时定价，以及更普遍的风险评估和参数风险估计。我们将Barrault、Nguyen、Maday和Patera（2004）的经验幻点插值方法应用于参数傅里叶定价。在离线阶段，为参数定价问题的被积函数族定制一个求积规则。在在线阶段，求积规则会产生快速而准确的期权价格近似值。在分析性假设下，定价误差呈指数衰减。一维数值实验证实了我们的理论发现，并显示了效率的显著提高，即使是超出理论结果范围的例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Magic_points_in_finance:_Empirical_integration_for_parametric_option_pricing.pdf (888.62 KB)

2022-5-9 10:36:14 上传

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关键词：金融学 Mathematical Quantitative Applications Acceleration

金融学的奇点：参数期权定价的经验积分*德国慕尼黑工业大学数学系马克西米利安·加什，凯瑟琳·格劳。glau@tum.deJuly2018年11月18日，第一版：2015年11月3日摘要我们提出了一种基于傅里叶变换的期权定价在线程序。该方法支持加速数学金融模型校准、实时定价，以及更普遍的风险评估和参数风险估计等基本任务。我们采用Barrault、Nguyen、Maday和Patera（2004）的经验magicpoint插值方法对参数傅里叶定价进行了调整。在oêine阶段，参数定价问题的被积函数族遵循求积规则。在在线PHA e中，平方法则可以快速准确地得出期权价格的近似值。在分析性假设下，定价误差呈指数衰减。一维数值实验证实了我们的理论发现，并显示了效率的显著提高，即使是超出理论结果范围的例子。关键词参数积分、傅立叶定价、幻点插值、经验插值、在线分解、校准、有效过程、傅立叶变换、稀疏积分2010 MSC 91G60、65D30*我们衷心感谢伯纳德·哈斯顿克、劳拉·亚皮奇诺、伊冯·马代、安东尼·帕特拉和芭芭拉·沃尔穆斯就“魔力点”进行了富有成效的讨论。此外，我们还要感谢恩斯特·埃伯林、谢尔盖·列文多斯基和迪利普·马丹提供的宝贵反馈。此外，我们感谢在特里亚斯特举行的MoRePas2015会议：参数化系统的模型简化III，维也纳数学金融大会-VCMF2016，维也纳。

2016年9月12日至14日，以及纽约第九届单身金融协会世界大会。2016年7月15日至19日。此外，我们感谢巴黎seminarsBachelier Seminaire研究中心的参与者。2016年1月15日，洛桑EPFL计算科学与工程数学研究所。2016年1月13日。Maximilian Gassth an ks是KPM卓越风险管理奖得主，Kathrin Glau感谢TUM Junior FellowFund的财务支持。1简介大多数基于傅立叶变换的期权定价方法都是针对单个期权价格的评估。对于这个用例，现有的定价工具已经取得了令人印象深刻的性能。对于实时应用程序和涉及重复评估的应用程序，特别是快速的运行时间至关重要。因此，在Carr和Madan（1999年）和Raible（2000年）的开创性工作之后，快速傅立叶变换（FFT）在大范围不同的罢工同时需要价格时，已经非常流行，以降低计算复杂性。另见专著《博亚琴科和列文多斯基》（2002b）。在本文中，我们将焦点从一次或多次罢工的定价问题转移到全参数期权定价问题，考虑罢工、成熟度和模型参数等所有参数。对于给定的模型和期权类型，各种应用程序需要针对不同的参数星座反复评估定价例程。我们提到了其中的三个应用：首先，在使用傅里叶方法校准金融模型期间，优化依赖于对不同模型和期权参数的傅里叶积分进行多次评估。其次，每一次（日内）重新校准都会产生新的模型参数，必须实时计算几个期权价格及其敏感性。

第三，需要重复评估不同参数星座的各种其他相关金融量可以通过Fou-rier变换表示，类似于期权价格的傅里叶表示。例如，我们提到Armenti等人（2015年），他们提出了一种量化风险分配的方法。他们算法的核心是一个优化过程，需要重复评估可以表示为四个ier积分的参数预期。他们给出了一些数值例子，结果证明标准的傅里叶方法在实际应用中太慢了。在所有这些情况下，都需要对一组相关参数星座进行快速、准确的傅里叶变换。通常，针对某些固定参数星座，会给出定价程序性能的数值实验，例如von Sydow等人（2015）。这种比较清楚地展示了不同方法中极具价值的见解。然而，需要认识到的是，对于某些特定参数来说效率很高的方法不必对整个相关参数集都很有效。这一现象已经被观察到并被实验所覆盖，见de Innocentis和Levendorskii（2014）。在这篇文章中，我们提出了一种新的定价方法，该方法被设计为对所有感兴趣的参数都非常有效。我们通过在线方案的视角来研究参数期权定价（POP）。其主要思想是在预计算步骤的基础上实现快速、准确的实时定价。这种方法的体系结构分解为两个独立的阶段。在所谓的o形阶段，该算法分析了参数定价问题的复杂性，并提取了包含整个问题所有重要信息的结构。

这是需要计算的部分。理想情况下，对于选定的模型类别和选项类型，o形阶段只执行一次。因此，oêine阶段可以被视为定价方法实施的一部分。直观地说，它代表了算法的学习阶段。在所谓的在线阶段，实时定价是按价格计算的。第二部分得益于预计算，从而产生所需的快速准确的定价结果。文献中针对POP提出了两种类型的o-fregine在线方案：Sachs和Schu（2010），Cont等人（2011），Pironeau（2011）和Haasdonk等人（2012）。o-fregine在线分解被用于求解期权定价的参数偏微分方程。相比之下，Gass等人（2015）提出了参数空间中期权价格的多项式插值。在这篇论文中，我们根据傅立叶定价定制了一个在线方案。在过去的五年里，基于傅立叶变换的期权定价已经成功地应用于学术界和实务界。S tein and Stein（1991）和Heston（1993）率先提出布朗模型，研究人员利用该方法的灵活性，为一大类模型和期权类型创建快速有效的定价算法。（快速）列维欧式期权的傅立叶定价。Carr和Madan（1999年）、Raible（2000年）和Du ffieet al（2000年）首次开发了一大类欧式期权模型。关于路径依赖期权定价的傅里叶方法也有大量且不断增长的文献，如Boyarchenko和Levendorskii（2002c）、Fengand Linetsky（2008）、Kudryavtsev和Levendorskii（2009）、Zhylyevskyy（2010）、Fang和Oosterlee（2011）、Levendorskiy和Xie（2012）、Feng和Lin（2013）、Zeng和Kwok（2014），以及Eberlein等人。

（2010）的一般框架和分析。本文的主要贡献是——提出一个经验求积规则，以有效地评估期权定价的傅里叶积分，——当期权价格满足严格的分析性假设时，发现定价误差的指数收敛性，——从经验上观察方法的指数收敛性，即使是在理论结果的范围内，–从经验上比较我们的方法与Fangand Oosterlee（2008）的余弦方法的效率。我们的数值和理论结果表明，在线分解可以用来找到一个求积规则，该规则在准确性和效率方面提供了非常令人满意的结果。作为另一个优势，oêine在线方案的构建方式是，生成的求积规则满足整个感兴趣参数域的预定精度。我们的单变量结果为进一步研究奠定了基础，并显示了该方法的扩展潜力，尤其是在更高维度上。参数积分也自然出现在许多其他应用数学学科中。我们参考Gass和Glau（2015）了解这一更普遍的关注点。为了实现我们的目标，我们将Barrault等人（2004）开发的经验幻点插值方法应用于参数非线性偏微分方程。当它们对参数算子进行有效分解时，我们对参数傅里叶积分进行分解。根据我们的想法，起点是参数期权价格的傅里叶表示，PriceK，T，q=（2π）dZOhmcfK(-z） ηT，q（z）dz，使用Payoff函数fk的广义傅里叶变换Cfkof和建模变量XqT的广义傅里叶变换ηT，qo。我们遵循Maday等人概述的迭代经验插值程序。

（2009），我们将在下面的第3节中详细描述。为了我∈ N该方法递归地给出幻点sz*, . . . , Z*M∈ Ohm, 基函数q，qm和θMm:=PMj=1（BM）-1jmqjand BMjm:=qm（z）*j） 。由此得出的价格近似值的形式为pricek，T，q~=（2π）dMXm=1cfK(-Z*m） ηT，q（z）*m） ZOhmθMm（z）dz。（1） 该算法自然分解为两个阶段。这是一个o菲林p阶段，用于构建刚才提到的数量；这是一个在线阶段，用于执行实时定价。更准确地说，这两个阶段描述如下。O菲林相位：对于给定的参数s速度，识别魔法点z*, . . . , Z*M∈ Ohm, d–预计算积分OhmθMm（z）dz表示所有m≤ M在线阶段：对于任意参数星座（K，T，q），评估傅里叶积分scfk(-Z*m） ηT，q（z）*m） 尽管如此，我≤ M和–将总和汇总到（1）中。在我们考虑的情况下，d分区中的求和数M已经具有很高的精度。因此（1）对价格的评估是快速而准确的。我们手头问题的以下特征是在线阶段效率的关键：通常是映射（K，T，q，z）7→cfK(-z） ηT，q（z），即（1）（i）中的参数被积函数明确可用，（ii）具有理想的分析性质。由于（i）的原因，对（1）中的单个总和进行评估是很容易的，由于（ii）的原因，一些总和已经产生了很高的准确性。在我们对单变量模型中的期权定价进行的数值实验中，我们获得了平均绝对定价精度，范围为10-6到10-根据所使用的型号，10可获得40到50个魔法点。本文的结构如下：在下一节中，我们将详细回顾傅立叶定价框架。在第3节中，我们将Em-piric魔点插值方法应用于傅里叶定价，并描述了我们称之为MagicFT的算法。基于Maday等人的定理2.4。

（2009），我们在适当的分析性条件下给出了第4组指数收敛结果，并给出了显式误差界。在第5节中，我们研究了不同产品和模型的这些分析性质。在第6节中，我们实现了算法并进行了经验收敛性研究。在几个案例研究中，我们分别研究了几个模型的MagicFT近似。此外，我们还将MagicFT方法与Fang and Oosterlee（2008）流行的余弦方法进行了比较。最后，我们在附录中强调了经验MagicPoint内极化的基本特征，并且为了自足的可读性，给出了收敛结果的详细证明。2.带傅立叶变换的参数期权定价我们计算形式为（2）PriceK，T，q:=E的期权价格fK（XqT）带参数化支付功能fK:Rd→ R和一个参数FT可测RD值随机变量XqT。这里我们使用Payoff和模型参数K∈ KRD，T∈ T RD，q∈ Q Rd表示D=D+D+D。此外，letp=（K，T，q）∈ P，其中P=K×T×Q。为了用傅里叶变换来推导定价公式，我们对η施加以下指数矩条件∈ Rd，EE-hη，XqTi< ∞ 对所有人（T，q）∈ T×Q（Exp），它允许我们定义每个（T，Q）∈ T×Q将xqt的特征函数扩展到复域Rd+iη，νT，Q（z）：=Eeihz，XqTi对于所有z=ξ+iη，ξ∈ 第（3）条我们进一步介绍了以下可积条件x7→ ehη，xifK（x），ξ7→ ηT，q（ξ+iη）∈ L（Rd）代表所有人（K、T、q）∈ P.（Int）此外，我们表示Cfk（ξ+iη）：=ZRdeihξ+iη，xifK（x）dx，（4）fK的广义傅里叶变换。

期权价格的傅里叶表示可以追溯到卡尔、马丹（1999）和雷布尔（2000）的开创性著作。以下版本是Eberlein等人（2010）定理3.2的直接结果。命题2.1（傅立叶定价）。让η∈ Rd使（Exp）和（Int）满足。然后对于每个（K，T，q）∈ P、 PriceK，T，q=（2π）dZRd+iηcfK(-z） νT，q（z）dz。（5） 通常，对于最常见的期权类型，FKI的广义Fourier变换的形式为（6）cfK（z）=Kiz+cF（z），每z∈ 具有常数c的Rd+iη∈ R和函数F:Rd+iη→ C.那么期权价格（5）实际上是参数傅里叶积分，形式为pricek，T，q=（2π）dZRd+iηe-ihz，log（K）iKcF（z）~nT，q（z）dz。（7） 作为（7）数值计算的第一步，我们利用id实体BF的基本对称性(-ξ） =所有ξ的bf（ξ）∈ 与所有实值可积函数f，得到Zrd+iηcfK(-z） νT，q（z）dz=2ZR+×Rd-1+iηRcfK(-z） νT，q（z）dz，（8），将数值效应减少一半。在第二步中，我们将积分域限制为一个紧集Ohm  Rd.由此产生的误差由被积函数的衰减决定，并将在附录C中进一步分析。从现在起，我们开始Ohm := Ohm× . . . × Ohm有界开区间的数据Ohm R++iη和OhmJ R+iηjj=2，d、 3积分的幻点插值我们提出了参数积分的经验幻点插值方法，以逼近formI（hp）：=Z的参数积分Ohmhp（z）dz代表p∈ 参数被积函数shp（z）=h（K，T，q）（z）：=RcfK(-z） νT，q（z）（10） 对于给定参数集p中的每一个p=（K，T，q），我们与p关联：=惠普：Ohm → R | p∈ P} ，（11）所有参数被积函数的集合。

让我们指出，下面的迭代过程是为一组更一般的参数被积函数定义的，这些被积函数不需要采用（10）的形式。在我们密切关注Maday等人（2009）描述插值方法之前，让我们先陈述一下我们的基本假设，以确保迭代过程的精确性。假设3.1。让(Ohm, k、 k∞) 和（P，k.k.）∞) 紧凑点，P×Ohm  （p，z）7→ hp（z）有界与p7→ hpbe序列连续，即对于每个序列pi→ 我们有khpi- hpk∞→ 此外，U在这个意义上是不平凡的，因为集合中包含的元素不是一直为零的函数。为了我∈ N定义从imu到im（h）（p，z）指定的张量的映射：=MXm=1hp（z*m） θMm（z）（12）与m点的魔点积分byIM（h）（p）：=MXm=1hp（z）*m） ZOhmθMm（z）dz（13）与θMm（z）：=MXj=1（BM）-1jmqj（z），BMjm:=qm（z）*j） ，（14）其中我们用（BM）表示-1JM矩阵BM逆的第j行和第m列中的条目。根据定义，BMI是一个具有单位对角线的下三角矩阵，因此是可逆的，参见附录a.1节。魔法点*, . . . , Z*M∈ Ohm 基函数q，qm的递归定义如下：在第一步中，letu:=arg maxu∈Ukuk∞, Z*:= arg maxz∈Ohm|u（z）|，q（·）：=u（·）u（z）*).（15） 请注意，由于假设3.1，这些操作得到了很好的定义。然后，递归地，只要U中至少有M个线性独立函数，uMischosen根据贪婪过程：算法选择uMas作为集合U中的函数，该集合U最差由之前确定的M的近似表示- 1幻点和基函数，uM:=arg maxu∈Uku- 感应电动机-1（u）k∞.（16） 自从每一次美国∈ U是一个参数函数，对于某些p，U=hpp∈ P、 它可以通过相关的P参数P来识别。我们称之为P*M∈ P识别第16个魔法参数。