金融学的奇点：参数期权的经验积分

不等式（44）和（45）屈服界sη-, η+由η+=G，η给出-= - M.（46）这两个界限跨越了CGMY模型的单个参数特征函数的解析性条带SR（η），其中η=（η++η）-)/2=（G）- M） /2直径2R=G+M，如图1所示。现在，我们可以将这些发现转化为模型参数集上的条件，从而导出一个紧集QeQ和η的值∈ 确保所有映射ξ7的解析性SR（η）的公共行程→ νT，q（ξ），T∈ T，q∈ Q.根据我们在上述推导过程中的考虑，尤其是（46）中的考虑，我们得出这样的Q和η需要满足（47）max（C，G，M，Y）∈Q-M<η<min（C，G，M，Y）∈QG。我们将此分析的其余部分限制在买入期权的情况下，我们需要（48）η<-1里格η-Mη+η-SR（η）R图1：固定参数化q∈eQ，h-hatched区域显示了在T时CGMY过程特征函数的分析性条带∈ T，XqT。它的边界由G决定≥ 0和M≥ 表1中的0.1。和G≥ 0由于模型参数化（40），第二个不等式（47）通常自动成立。因此，将（47）和（48）结合在一起就得到了条件（49）max（C，G，M，Y）∈Q-M<η<-1.如果最终剥离条件（50）min（C、G、M、Y），则随后出现宽度R>0的剥离∈QM>1+2是令人满意的。换句话说，选择Q满足条件（50）和设置（51）η=- 最小值（C，G，M，Y）∈Q（M+1）/2产生一条解析性SR（η），其直径为2R，所有映射ξ7→νT，q（ξ），T∈ T，q∈ Q、 分享。我们在下面的评论中收集并总结了这些结果。备注5.3（CGMY模型的Q）。让C≤ C∈ R+，G≤ G∈ R+，1≤ M≤M∈ R+和Y≤ Y∈ (1, 2).

设R>0，定义q={（C，G，M，Y）∈ R|C≤ C≤ C、 G≤ G≤ G、 M≤ M≤ M，Y≤ Y≤ Y，（M- 1） Y∈ R、 M+2R>1}。（52）所有φT，q，T∈ T，q∈ Q、 与（53）η=-最小值（C，G，M，Y）∈QM+ 1.虽然由（52）ingeneral的Q参数化的CGMY模型的特征函数不满足定理M4.2的条件（B1），但在经验上我们仍然观察到MagicFT算法的指数收敛性。此外，为了避免强制算法支持不切实际的参数星座，施加以下额外的合理性限制。备注5.4（CGMY模型中Q的合理性约束）。CGMY过程（Xqt）t的隐含方差σCGMYof≥0，q=（C，G，M，Y）∈t=1时的等式由σCGMY=CΓ（2）给出- Y）M2-Y+G2-Y,见卡尔等人（2002年）。对于适当的常数0<σ-< σ+考虑附加条件σ-≤ CΓ（2）- Y）M2-Y+G2-Y≤ σ+表示所有（C，G，M，Y）∈ 注释5.3的Q，从而将支持的方差水平保持在合理范围内。5.3.4单变量正态逆高斯模型我们提出的另一个L’evy模型是单变量正态逆高斯（NIG）模型。参数化由δ、α>0、β组成∈ R、 α>β。因此，模型参数seteQ由（54）式给出=(δ, α, β) ∈ R+×R+×R |α>β，α≥ (β + 1) R.该模型的xqt特征函数由φT，q（z）=exp给出Tibz+δpα- β-pα- （β+iz）（55）对于T∈ T，q∈在无套利条件下需要（56）b=r- δpα- β-pα- (β + 1).（54）中的第二个条件，α≥ （β+1），保证b∈ R.与CGMY模型一样，定理4.2提出的分析性条件（B1）并不能满足所有实际参数选择q∈因此，与CGMY的情况类似，我们推导出了一个通用的分析性条带。备注5.5（单变量NIG模型的Q）。让δ≤ δ ∈ R+，α≤ α ∈ R+和β≤ β ∈ R

设R>0，defineq={（δ，α，β）∈ R |δ≤ δ ≤ δ, α ≤ α ≤ α,β≤ β ≤ β,α> β, α≥ (β + 1),α - β>2R+1，α+β>-1}.（57）所有φT，q，T∈ T，q∈ Q、 与（58）η共用一条解析性SR（η）=最大值（δ，α，β）∈Qβ- α- 1< -1.虽然（57）中的Q通常不满足定理4.2中的（B1），但根据经验，我们将观察MagicFT算法的指数收敛性。备注5.6（单变量NIG模型中Q的合理性约束）。让q∈eQof（54）。t=1，Xq时单变量NIG过程的隐含方差σNIG由（59）σNIG（δ，α，β）=Δα（α）给出- β） ，confer Prause（1999年）。将MagicFT算法支持的波动率保持在合理范围内0<σ-< σ+加上最终限制（60）σ-≤ σNIG（q）≤ σ+，对于所有q∈ 5.3.5单变量Heston模型上述模型均为L’evy模型。我们现在介绍的是byHeston（1993）模型，它不属于这一类，而是一个有效的随机波动模型。在单变量Heston模型中，资产价格过程（Sqt）t≥0遵循随机微分方程dsq=（v，κ，θ，σ，ρ）t=rStdt+qvqtStdWt，dvq=（v，κ，θ，σ，ρ）t=κ（θ- vt）dt+σqvqtdWt，（61）两个布朗运动W，W与ρ相关∈ [-1，1]和q∈由EQ定义的设备=（v，κ，θ，σ，ρ）∈ R+×R+×R+×R+×R+×[-1, 1], σ≤ 2κθ.（62）伐木条件σ≤ （62）的2κθineQ确保了几乎可以肯定的非负波动过程（vt）t≥0.没有∈ T，q∈等式，特征函数φT，qof the log asset pr ice process（log（St/S））T≥0at T由φT表示，q（z）=exp（T irz）expvσ（a）- c） （1）- 经验(-cT）1- g经验(-cT））+κθσ（a）- c） T- 2原木1.- g经验(-cT）1- G,（63）对于所有z∈ R、 支持函数定义为a=a（z）=κ- iρσz，c=c（z）=pa（z）- σ(-子- z） ，g=g（z）=a（z）- c（z）a（z）+c（z），confer Schoutens等人（2004）。

我们只是选择QeQ是参数s速度的有界子集。备注5.7（单变量Heston模型的Q）。为波动过程的初始值选择界限，0<v≤ v、 就其均值回复速度而言，0<κ≤ κ、 长期波动率均值，0<θ≤ θ、 波动过程本身的波动率，0<σ≤ σ、 以及相关参数的一个域，-1.≤ ρ ≤ ρ ≤ 1.定义=（v，κ，θ，σ，ρ）|v≤ 五、≤ v、 κ≤ κ ≤ κ,θ≤ θ ≤ θ, σ ≤ σ ≤ σ, ρ ≤ ρ ≤ ρ,σ≤ 2κθ.（64）尽管上面定义的Q通常可能不满足4.2中的条件（B1），但我们仍然观察到MagicFT算法的指数收敛性。关于Heston模型中分析性条带的分析，请参见Levendoskiy（2012）。6数值实验在前几节中，我们介绍了期权定价的MagicFT算法，并介绍了几种资产模型和期权类型。我们还用MagicFT算法证明了期权定价的理论依据。在本节中，我们对这些理论主张进行了数值验证，并提供了经验证据，表明算法的范围扩展到了比之前的定理所建议的更为广泛的定价应用类别。6.1实现算法在Matlab中的实现引入了一些简化，如Maday等人（2009）的备注3。以下描述的离散化方法的理论论证见Eftang et al.（2010）和Maday et al.（2016）。因此，连续参数空间P被随机采样的离散参数云代替。算法选择的每个魔法参数都是这个离散集的一个成员。因此，算法训练的集合U也被离散集合取代。

此外，韦塔克Ohm 是一个离散集，在每个空间维度上有一定数量的点。每个函数u∈ 然后，U通过其在该离散变量上的求值来表示Ohm 因此，在数值上，andis被有限维向量所取代。因此，从（15）-（17）开始的优化步骤简化为对有限集的搜索。当所有的惠普*M∈ U表示m=1，识别M，并使用Matlab的quadgk例程对其进行集成（绝对公差要求为10-14，相对公差要求为10-12，最大间隔数为200000），并线性组合以得出数量OhmθMm（z）dz，对于m=1，M.模型固定参数自由参数参数K=1 S/K∈ [0.5,2]，T∈ [0.1, 1.5],σ ∈ [0.1,0.9]默顿K=1 S/K∈ [0.5,2]，T∈ [0.1, 1.5],σ ∈ [0.1, 0.7], α ∈ [-1.5, -0.1],β ∈ [0.1, 1], λ ∈ [10-5,1]NIG K=1 S/K∈ [0.5,2]，T∈ [0.1, 1.5],α ∈ [10-5, 3], β ∈ [-3, 3],δ ∈ [0.2,1]CGMY K=1，Y=1.1 S/K∈ [0.5,2]，T∈ [0.1,1.5]，C∈ [10-5,1]，G∈ [0,25]，米∈ [0,30]赫斯顿K=1，κ=2，S/K∈ [0.5,2]，T∈ [0.1,1.5]，σ=0.15 v∈ [0.2, 0.3], θ ∈ [0.15, 0.35],ρ ∈ [-1，1]表2：在数值实验中，我们以欧洲看涨期权定价为例。选择了各种型号。在实现中，算法构造基函数qm的傅里叶积分根据上述区间参数化。对于所研究的每个模型，U由| U |=4000个傅里叶被积函数组成。6.2经验收敛我们研究MagicFT pricingalgorithm实现的经验收敛性。一项资产的普通欧式看涨期权就是一个例子。我们研究了几种模型的收敛性。对于每个模型，我们都设置了一个参数化傅里叶被积函数库，算法从中选取。

对于每个模型，从表2中列出的自由参数范围中选择离散参数池作为| P |=4000的统一样本。值得注意的是，在参数选项定价中不一定要考虑所有模型参数。例如，GMY模型中的参数Y反映了过程路径的粗糙度，原则上可以根据历史股价数据进行估计。与其他模型参数（如决定方差和偏度的参数）相比，路径行为通常被认为是随时间稳定的。因此，我们可以在CGMY模型中确定参数y=1.1。此外，对于NIG和C GMY模型，宽度R=1/2的分析性共享条带被强制执行，以便对于所有研究模型，阻尼系数η可以设置为η=-1.5. 此外，第5.3节中规定的所有模型限制均得到遵守。此外，隐含方差保留在区间[0.01,0.8]。每个傅里叶被积函数都是在离散的Ohm  [0,65]与|Ohm| = 1714.M0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-10-8-6-4-2在U（BS）（默顿）（NIG）（CGMY）（赫斯顿）上的误差衰减图2：在MagicFT算法的初始阶段，对步骤（17）中误差收敛的经验顺序的研究。考虑了五种不同的模型和欧洲看涨期权。根据表2，模型和选项均为参数化。收敛结果在理论上由Black-S choles和Merton模型的定理4.2支持。在NIG和CGMY模型中，对宽度为R=1/2的各Fou rier被积函数进行了共享条带分析。图2显示了在算法的oêine阶段，所有五个考虑的模型在基函数数M中的经验观测误差衰减。

对于每个模型，数量maxz∈Ohm嗯（z）- 感应电动机-1（嗯）（z）该算法已被指示构造基函数qm，直到错误阈值为10-已在步骤（16）中达到10，或在达到值50时达到M h。基于前一节6.1中所述的Matlab实现，每种型号在标准笔记本电脑上使用的时间不到1分钟。我们在所有考虑的模型中都观察到了指数误差衰减。回想一下，定理4.2仅预测Black-Scholes和Merton模型的这种行为，其中相关傅里叶被积函数的分析性与p参数无关。然而，对于其他两个L’evy模型，分析性条带的存在也会导致指数误差衰减。对于赫斯顿模型，这里没有研究U中傅里叶被积函数的解析性问题。不过，我们也观察到了指数误差衰减。图2所示的实证结果表明，如果指数误差衰减超出定理4.2.6.3的范围，则可能有希望研究一个理论结果。在前一段中，我们研究了算法o诖ine阶段的实证收敛性。更准确地说，我们研究了几个模型，如何准确地在其积分区间上逼近给定池U中的所有四个ier被积函数Ohm 通过M个选定的被积函数，或者更确切地说，通过基函数qm，M=1，M、 建造于此。现在我们分析，在样本内被积函数水平上观察到的精度如何转变为样本外期权定价的精度。M5 10 15 20 25 30 35 40 50-10-8-6-4-2定价误差衰减（BS）（默顿）（NIG）（CGMY）（赫斯顿）图3：不同模型1000个样本外参数星座的定价误差衰减研究。

在每个模型中，对于M的取值，L∞对随机抽取的参数集进行误差评估。参数集是根据表2给出的间隔得出的。在这个程度上，我们根据与o菲林阶段相同的规则，为每个模型随机抽取1000个参数星座。对于每个这样的样本，我们通过对[0,65]进行数值积分来计算各自的傅里叶价格，从而包含离散度Ohm MagicFT算法已经过训练。我们使用MATLAB的quadgk进行集成，绝对公差为10-12和20万次集成间隔。此外，在每一个模型中，我们都会估算与兰特-欧姆利参数相关的所有价格，以增加M值，评估L∞如图3所示，以M为单位研究其衰减。我们观察所有考虑的模型的指数率。奇怪的是，误差衰减达到了平台状的形状，尤其是M值越高。我们通过假设每一个平台都与一个特定的单参数实现相关联来解释这种衰变结构，这个单参数实现来自支配L∞误差直到接近它的魔法参数，或者更确切地说，各自的基函数有助于所属价格的近似。由于这些异常值，图2中o形线相位误差衰减的顺序发生了变化。在图4中，我们描述了对样本集0 200 400 600 800 1000×10-11-5abs的绝对值和相对值的评估。差（BS），平均值=1.0e-12超出样本参数设置200 400×10-10-2rel。差异（BS），平均值=4.1e-12样本组外0 200 400 800 1000×10-6-1abs。差（默顿），平均值=2.1e-08超出样本参数设置200 400×10-5-1雷尔。差异（默顿），平均值=2.2e-07，样本集0 200 400 800 1000×10-9-1abs。偏差（NIG），平均值=2.3e-11超出样本参数设置200 400×10-8-2rel。

差异（NIG），平均值=2.3e-10，样本集0 200 400 800 1000×10-8-5abs。差异（CGMY），平均值=7.7e-10超出样本参数设置200 400×10-5-1rel。差异（CGMY），平均值=2.4e-08，样本集0 200 400 800 1000×10-8-4abs。差（Heston），平均值=1.3e-10超出样本参数设置200 400×10-7-2rel。Diff（Heston），平均值=7.0e-10图4：样本外定价活动的结果。对于五个考虑的模型中的每一个，从表2给出的区间中提取了1000个参数集。对于每一套，计算了傅里叶价格和MagicFT价格。左列显示了所有绝对误差。右边显示了相对误差。所有样本外参数集的错误，以个别形式显示。这里，只计算了大于10的价格的相对误差-3排除数字噪音。在每个模型中，M被设置为其在各自模型的oêine阶段分配的最终值，并且可以从图2中读取。这种样本外定价活动的定价精度达到了非常令人满意的水平，尽管所考虑的模型之间实现的精度有所不同。对于所有模型，平均绝对定价精度达到avgmin之间的水平≈ 10-12在Black-Scholes模型和avgmax中≈ 10-8对于默顿模型。平均相对结冰精度在10-12和10-7.我们观察所有模型的个别异常值。然而，即使是偶尔出现的错误结冰，也会保持在小于10的实际可接受范围内-5.下一节将进一步讨论每个模型中最严重的十个绝对误差。6.4个案研究我们对每个模型的数值结果进行了详细研究。为此，我们感兴趣的是每个模型中魔法参数的分布。Black-Scholes在算法f的o-offine p阶段，对于Black-Scholes模型，只有选项K已确定，K=1。

模型参数σ以及其他两个参数S/K和成熟度T允许在表2指定的范围内变化。在Black-Scholes的情况下，单个参数区间是张量化的，这意味着算法可以选择关于单个边界的任何参数值组合。S/K0。6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.80.20.40.60.81.21.4选择参数对（S/K，T），BS（M=49）σ0.1 0.5 0.90.10.50.9σ0.1 0.5 0.90.51.2σ0.1 0.5 0.90.10.81.5S/K0。5.1.2 20.51.2S/K0。5.1.2 20.10.81.5T0。1 0.8 1.50.10.81.5图5：左：在Black-Scholes模型的o*line阶段，通过MagicFT算法选择的参数对（S/K，T）。右图：在Black-Scholes模型（蓝色空圆圈）算法的o诖ine阶段选择的所有魔法参数。填充的橙色圆圈表示在样本外定价过程中导致最大绝对定价误差的十个参数星座。然而，正如图5中的左半部分所示，对于魔法参数选择f orS/K和T，选择了相当极端的星座。图5的右半部分提供了Black-Scholes模型算法oêine阶段选择的所有参数组合的完整概述。除T和σ组合外，选择了相当极端的参数对。这种特殊的行为并不奇怪，因为T和σ在Black-Scholes模型的Fourier被积函数中总是以乘积的形式出现，比较（33）中Black-Scholes模型中特征函数的定义。