金融学的奇点：参数期权的经验积分

因此，（T，σ）p参数对的均匀分布反映了所有单个参数在eir域上的均匀分布，可在图形主对角线上的元素上观察到。6.5与余弦法的比较一系列有效评估期权定价傅里叶积分的不同方法已成功应用。其中一种方法是Fang和Oosterlee（2008）的流行余弦方法。我们使用余弦方法作为MagicFT方法的相关基准，这也是因为原始作者对Black Scholes、Heston和Merton mo-del（以及其他）的实现在BENCHOP项目中公开，见von Sydow等人（2015）。尽管这两种方法与傅立叶定价程序相似，但在概念上有所不同，因为Magicft是一种在线方案。为了比较Black-Scholes、Heston和Merton模型的MagicFT和余弦方法，我们对每个模型使用第6.3节中的参数样本集。这两种方法的精度都将根据2πZ进行测量Ohm+iηcfK(-z） νT，q（z）dz（65）带Ohm = [0,65]作为长凳方舟。为了对这两种方法进行比较，我们将只考虑本基准不显示截断误差大于εparams>10的参数星座-8.因此，1000个参数元组中有11个是根据标准2π命名的ZOhmc+iηcfK(-z） νT，q（z）dz> ε参数。余弦法允许通过Fang和Oosterlee（2008）方程（49）中的p参数设置特定的积分范围。正如de Innocentis and Levendorskii（2014）中提到的，需要仔细选择该参数，以确保价格参数范围的一致性。

在我们数值研究的准备过程中，我们发现Black-Scholes、Heston和Merton模型的参数L=14、L=18和L=3.1分别导致了最佳的收敛结果。图6显示了两种数值方法在改变节点数M=1 toM=50时的精度。我们没有比较CPU时间的毫秒数，而是使用两种方法的总和数和ds M来衡量两种定价例程的计算复杂度。我们认为，这两种方法中的定价都是由已知系数的总和乘以基础模型的特征函数构成的，这一点证明了这种方法的合理性，对于所有考虑的示例，该函数都是封闭形式。因此，图6可以直接用于提高数值方法的效率。图表显示，从m=15开始，MagicFT方法的误差明显低于余弦方法的误差。在Black-Scholes案例中，两种方法的收敛速度相似，而MagicFT在绝对值上更精确。在Heston5 10 15 20 25 30 35 40 4510-1010-810-610-410-2100102104104106ml∞定价误差余弦和MagicFT定价误差衰减，BS MagicFT（BS）余弦（BS）5 10 15 20 25 30 35 40 4510-1010-810-610-410-2100102104104106ml∞定价误差Cosine和MagicFT定价误差衰减，Heston MagicFT（Heston）Cosine（Heston）5 10 15 20 25 30 35 40 4510-1010-810-610-410-2100102104104106ml∞定价误差余弦和余弦定价误差衰减，Merton MagicFT（Merton）Cosine（Merton）图6:Black Scholes、Heston和Merton模型的MagicFT和余弦方法f的效率研究。图中显示了L∞1000个随机参数星座出现错误。模型中，两种方法都显示出指数收敛速度。在这里，magicftexhib的速度更高，更准确。

对于默顿模型，我们观察到余弦方法在整个参数范围内都不精确。举一个定量的例子：当M=50时，MagicFT的误差达到10级-而余弦法的误差仍为3.8·10-4对于布莱克-斯科尔斯，1.1·10-赫斯顿模型为2，默顿模型为0.13。如前所述，有关基于傅里叶的定价的文献提供了许多其他可靠且有效的方法来评估傅里叶积分。特别是，Levendorskii（2016）建议在离散化之前选择积分轮廓的适当变形。这种方法可以在很少的离散点上得到非常精确的结果，因此特别有吸引力。考虑MagicFT方法和Levendorskii（2016）方法的结合是很有趣的。因此，这两种方法将相互受益，我们预计效率将进一步提高。更准确地说，我们建议首先在分析性方面选择最佳的积分轮廓。然后，作为第二步，MagicFT算法可用于生成的参数积分。这将使MagicFT受益于被积函数分析性的改善区域。7.展望单变量Fou-rier积分的实验结果表明，MagicFT对多变量期权定价的扩展是有希望的。首先，与余弦方法相比，单变量方法受益于o形相位。其次，这种在线方法的体系结构保证了收敛速度，而这种收敛速度本质上不会受到维数灾难的影响，因为它直接与最佳n项近似有关。oêine p阶段的核心是一个优化过程，相比之下，它将直接受到维度诅咒的影响。

然而，重要的是要注意，对于整个模型类别和选项类型，e阶段的oê只需要执行一次。因此，o-松脂酸酶的运行时间可以被视为pricingroutine实施阶段的一部分。对于我们所有的单变量例子，在一台标准笔记本电脑上，oêine相位只需要一分钟。因此，对于中等维度，我们希望该算法的直接扩展仍然会产生一种实用的方法。我们对MagicFT算法的oêine阶段的实现遵循了文献中的标准程序。在这里，需要对参数空间中的大量样本的被积函数进行评估的全局优化例程用于查找幻点和基函数。该优化算法在我们的数值例子中显示了合理的运行时间。对于更高维度的应用，o-fregine阶段实施的条件可能是有益的，目前正在经验整合文献中进行研究，seeMaday等人（2016）。8结论我们引入了参数期权定价（POP）的MagicFT算法。解析性条件从理论上保证了该方法在幻点数量上的指数收敛速度。数值实验证实了这些发现，并表明即使对于超出我们理论结果范围的模型和选项，收敛速度也是指数级的。这给我们带来了进一步建立有价值的理论结果的希望。由于其架构，该方法对于预先指定的感兴趣的参数星座范围非常有效。

与其他插值方法相比，参数空间的选择没有通用的几何约束。我们在实验上比较了MagicFT方法和TheEcosine方法在整个参数范围内的性能。这种比较表明，当整个参数范围的效率至关重要时，MAGICFT方法是有益的。为方便读者，我们陈述了算法的有用特征，并给出了收敛结果命题4.1的详细证明，该命题与Maday等人（2009）的定理2.4基本一致。A.1一般特征幻点插值算法具有一些直接性质，由Barrault et al.（2004）和Maday et al.（2009）确定，并在续集《所有函数的幻点精确插值》中总结∈ U、 插值是在魔法点上精确的，在意义上永远是y m=1，M（66）Im（u）（z）*j） =u（z）*j） 尽管如此，j≤ m、 该地产由qm建筑公司持有。注意qm（z*j） =0表示j<m。幻点作为最大值，基函数qm在幻点z处最大*惯性矩。e、 （67）qm（z）*m） =1=supz∈Ohm|qm（z）|。通过构造矩阵BMI是可逆的，我们得到了二次矩阵BM∈ RM×M，引入（14）asBMjm=qm（z*j） 是一个下三角矩阵，对于所有j，m=1，M.它的反面就是这样存在的。Im的系数等于Im+1的系数αmj=Im（u）=Pmj=1αmjqjof u的系数αmj（u）不依赖于m，即对于所有i<mand j≤ 它认为（68）αmj=αij。这可以从定义线性系统的三角形结构中看出，对于αm=（αmj）j=1，。。。，m、 （69）Bmαm=Bm，其中bmj=u（z*j） 。通过这个表示，我们也得到了Im的线性度，对于allu，v∈ U、 （70）Im（U+v）=Im（U）+Im（v）。幂等性Let 1≤ M≤ M.因为Im（v）=vf或全部v∈ span{q。

，qm}我们为所有人∈ U、 （71）即时通讯-1（u））=Im-1（u）。A.2命题4.1的证明我们给出了Maday等人（2009）定理2.4证明的详细版本，但有一些小偏差。证据回想一下Im-1（嗯）=下午-1j=1αm-1jqj，其中αm-1j=αm-1j（嗯）。为了得到系数αm绝对值的上界-1j，j=1，M-1，我们使用线性系统（69）的三角形结构来获得αm-1j=qm（z）*j）-J-1Xi=1αm-1iqi（z）*j） 。然后我们得到|αm-1| ≤ 对于j=1，M- 1我们推导出（72）|αm-1j|=嗯(z)*j）-J-1Xi=1αm-1iqi（z）*j）≤ 1+j-1Xi=1i-1=2j-1.接下来，我们定义残差（73）rm（z）=um（z）- 伊姆河-1（um）（z）=um（z）-M-1Xj=1αm-1jqj（z）代表所有z∈ Ohm. 我们对Kolmogorov n-width的假设保证了常数c>0和α>log（4）的存在∈ N、 dn（U，X）=infUn∈E（X，n）supg∈尤因夫∈Unkg- f k≤ c e-αn，其中E（X，n）是X=L的所有n维子空间的集合∞(Ohm, C） 。因此，形式∈ 每个c>c都存在一个线性子空间UM-1. X使得对于所有qj，j<m，存在vj∈ 嗯-这样（74）kqj- vjk∞≤ 总工程师-α（M）-1） =ce-αM，c=ceα。此外，还存在虚拟机∈ 嗯-1和kum- vmk∞≤ 总工程师-αM.设置wm:=vm-下午-1j=1αm-1jvjand使用系数αm绝对值的上界-从不等式（72）中我们得到了KRM- wmk∞≤ 总工程师-αM1+m-1Xj=1 |αm-1j|≤ 总工程师-αM1+m-1Xj=1j-1.= 总工程师-αMm-1.通过构造，dim（嗯-1） =M- 1，因此我们可以找到β，βMsuch thatMXm=1βmwm=0，其中|βm |≤ 对于所有m=1，对于一些1，M和βo=1≤ o≤ M

这使我们可以得出这样的结论：MXm=1βmrm∞=MXm=1βm（rm- （西医）∞≤ 总工程师-αMM2M-1.从等式（66）中我们知道，魔点处的相互作用是精确的，因此rm（z）*j） =um（z）*j）- 伊姆河-1（嗯）（z）*j） =0表示j<m，因此|β| r（z）*)| =MXm=1βmrm（z*)≤ 总工程师-αMM2M-1.通过迭代，我们发现|βm | | rm（z*m） |=βmrm（z*m） +m-1Xj=1βjrj（z*m）-M-1Xj=1βjrj（z*m）≤MXj=1βjrj（z*m）+M-1Xj=1βjrj（z*m）≤ 总工程师-αMM2M-1.1+m-1Xj=1j-1.= 2米-1ce-αMM2M-1.利用上一个不等式中的βo=1，我们立即得到（75）| ro（z）*o） |≤ 20-1ce-αMM2M-1.在续集中，我们推导出了krMk的一个界∞在M>o的情况下∈ U Weku- Im（u）k∞≤ 库- 伊姆河-1（u）k∞+ 金（美国）- 伊姆河-1（u）k∞= 库- 伊姆河-1（u）k∞+ 金（u）- 伊姆河-1（u）k∞,我们使用了身份（70）和（71）。方程（68）s表明αmj=αmj（u）独立于m，因此Im（u）-伊姆河-1（u）=αmmqm。通过等式（67），我们知道qm在z处是最大的*通过等式（66）我们得到了Kim（u）- 伊姆河-1（u）k∞= |u（z）*m）- 伊姆河-1（u）（z）*m）|≤ 苏普兹∈Ohm|u（z）- 伊姆河-1（u）（z）|=ku- 伊姆河-1（u）k∞.最后两个结果迭代产生f或j≤ m，ku- Im（u）k∞≤ 2jku- 伊姆河-j（u）k∞.最后，通过不等式（75），我们得出结论- IM（u）k∞≤ 2米-奥库- Io（u）k∞≤ 2米-okrok∞≤ c2M-2M e-这证明了这个说法。B定理4.2的证明以下证明摘自Gass和Glau（2015）。证据原则上，我们利用Hfrom条件（B1）的解析性质来估计集合U的Kolmogorov n-宽度。这可以通过插入一个具有精确误差界的插值方法的示例来方便地实现。我们选择切比雪夫多项式插值来完成这项任务。N次多项式∈ N、 C hebyshev N odes由zk=cos给出π2k+12N+2对于k=0。

N和基函数定义为asTj（z）：=cosj arccos（z）为了z∈ [-1,1]和0≤ J≤ N.（76）用于固定p∈ P、 H（P，·）与N次切比雪夫多项式的切比雪夫插值的形式为切比雪夫（H（P，·））（z）：=NXj=0cjTj（z）（77），系数cj:=j>0N+1PNk=0H（P，zk）cosjπ2k+12N+2, j=0，N.根据Trefethen（2013）中的定理8.2，我们得到了显式误差界（78）supp∈PH（p，·）- 伊切宾H（p，·）∞≤ C（H）-n常数C（H）：=-1max（p，z）∈P×B(Ohm,)H（p，z）.函数族H（p，·），p的切比雪夫插值∈ P诱导函数族h（P，·），P∈ P、 以及N维函数空间UN，只需设置（79）IKolmN即可h（p，·）（z） ：=伊切宾H（p，·）（z） H（z）代表所有z∈ Ohm 和p∈ P.近似Ikolmn继承了误差界（80）sup（P，z）∈P×Ohmh（p，z）- 伊科尔姆h（p，·）（z）≤ C-n带常数C:=C（H）maxz∈Ohm|H（z）|从（78）开始。从（80）中，我们得到了Kolmogorov n-宽度的上界，因此我们可以应用Maday等人（2009）中定理2.4的一般收敛结果。参考他们的证明，分别在附录A.2的不等式（74）中插入（80），我们意识到∈Ph（p，·）- IM（h）（p，·）∞≤ 厘米(/4)-M带C=C. 现在，通过对Fourier PricingWe中的z C截断误差进行积分来估计魔点积分的误差。我们引入了以下条件，这一条件对于一大类模型和支付模型是满足的：对于每N>0，存在常数α，C，C，m>0，从而一致地向前（K，T，q）∈ P=K×T×Q，R对数（ηT，q（ξ+iη））≤ -C |ξ|α表示所有|ξ|>N，（Gard）cfK（ξ+iη）≤ C |ξ| m对于所有的|ξ|>N.（Poly）几乎对于每个支付函数fk，广义傅里叶变换cfk（·+iη）对于某些η存在∈ Rd以多项式形式均匀地衰减在一个相当大的参数集K中。

条件（Gard）已经出现在另一个上下文中，它意味着相关的双线性形式满足所谓的关于α阶分数Sobolev空间的Gard条件。这有助于对相关Kolmogorov方程的相关弱解的解空间进行分类。对于这一含义的证明，以及满足条件的（时间不均匀）L’evy过程类的众多例子，我们参考了Glau（2016b）f，对于η=0的情况，参考了Glau（2016a），对于η6=0的情况，参考了Glau（2016a）。下面的命题是直接的。引理C.1（截断误差）。假设f为每（K，T，q）∈ P、 （Gard）和（Poly）和letOhm  R+×Rd+iη并表示|Ohm| 最大圆球的直径以包含在中的原点为中心Ohm. 对于每一个β<α，存在一个常数c>0，使得对于每一个（K，T，q）∈ PZR+×Rd+iηRcfK(-z） νT，q（z）dz-ZOhmRcfK(-z） νT，q（z）dz≤ c e-β|Ohm|.参考资料：纽约州阿尔门蒂，南卡罗来纳州克雷佩，南卡罗来纳州德雷珀，帕帕潘托伦，2015年。多元短缺风险分配，可在http://arxiv.org/abs/1507.05351.Barrault，M.，纽约州马代，北卡罗来纳州阮，新墨西哥州帕特拉，2004年。“经验插值”方法：应用于偏微分方程的有效缩减基离散化。Comptes R endus Math’ematique 339（9），667–672。博亚琴科，S。I.，列文多斯基I，S.Z.，2002a。Barr-ier期权以及指数型随机过程下的接触期权和输出期权。应用公关能力年鉴12（4），1261-1298。Boyarchenko，S.I.，LevendorskiI，S.Z.，2002b。非高斯莫顿黑Sch-olesTheory。第九卷。《世界科学》博亚琴科，S.I.，列文多斯基，S.Z.，2002c。百慕大永久期权的定价。第2（6）页，第432-442页。卡尔，P.，杰曼，H.，马丹，D.B.，约尔，M.，2002年。资产回报的最终结构：一项实证调查。

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