具有随机利率和相关跳跃的LSV模型

根据FD格式的参数值，预计离散化误差应为1%左右。本文不分析FD格式的收敛性和逼近阶，因为FD格式在时间上的收敛性与原来的HV格式相同，而逼近性是由定理证明的。对于跳跃FD格式，Itkin（2014a）考虑了收敛性和近似性。参数值仅用于测试，可能与通过根据当前市场数据校准模型获得的值不同。图1:S中的欧洲看涨期权价格- 不同r值下的vplane.图2:S中的欧洲看涨期权价格- R不同v值的平面。在本测试中，我们使用相同的模型解决了更具挑战性的pricingdouble barrier选项问题，在较低的屏障L=50和较高的屏障H=130时没有跳跃。表3给出了本试验中使用的模型参数，结果如图4、5、6所示。可以观察到，全隐式HV方案的阻尼特性似乎很有效。没有观察到虚假振荡，即使在图3：v中的欧式看涨期权价格附近，解也是单调的- r不同S.T KκVξVθVκrξrθrqρSvρSrρvrφSvαβ0.5 100 2.5 0.3 0.6 0.3 0.1 0.05 0-0.587 0.3 0.4 4π/5 0.5 0.5表3：双屏障看涨期权定价测试参数。图4:S中的双屏障看涨期权价格- 不同r值下的vplane图5：S中的双屏障看涨期权价格- R不同v值下的平面图6：v中的双屏障看涨期权价格- R在S临界点的不同值（接近打击和S空间中的两个屏障）处的平面。

然而，在靠近上势垒的高电压下，会发生一些轻微的振荡。带跳跃的向上和向外看涨期权第三个测试使用Meixnermodel对特殊跳跃和常见跳跃进行处理，如前一节所述。跳跃过程的参数如表4所示，其余参数与表3相同。我们在测试中使用的荷载系数（如命题1.1所定义）为：bS=1、bv=2、br=3。驾驶员a b m dS 0.04-0.33 0.1 52v 0.02-0.5 0.03 40r 0.01-0.2 0.01 30常见跳跃0.03-0.1 0.05 40表4：跳跃模型的参数。表5给出了纯跳跃模型计算一个时间步长的典型运行时间。这里我们定义了幂k，假设复杂度C与（NNN）κ成正比，因此κ可以被发现为κ=log提提-1..日志N1iN2iN3iN1，我-1N2，我-1N3，我-1..我们可以看到，在所有的实验中，κ接近1，因此复杂度在节点数上是线性的。图7、8、9显示了本实验中计算的结果，即有相关跳跃和扩散的完整情况与没有跳跃的情况之间的差异。很明显，跳跃可以在改变期权价格的整个4D利润方面发挥重要作用。改变负荷系数可以改变跳跃之间的相关性，从而在很大程度上影响价格。例如，将本实验中的所有加载因子增加因子10会导致向上和向外期权价格下降近几美分。因此，提出的模型非常灵活。然而，所有模型参数的校准可能非常耗时。因此，最好单独校准模型的各个部分，正如巴洛塔和邦菲格利奥利（2014）中讨论的那样。也就是说，可以使用适当的工具分别将特殊跳跃校准为一些边际分布。

然后，可以将普通跳跃的参数校准为期权价格，同时保持特殊跳跃的参数固定。4.6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.1 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 114x95x123 98.2 5.88 110.0 0.95表5：运行时间计算3D跳跃问题的1个完整时间步长t1的时间（以秒为单位）。图7：有无跳入计算的向上和向外看涨期权价格的差异- 不同r值下的vplane。图8：有无跳转计算的向上和向外看涨期权价格的差异- R不同v值下的平面图。图9：在有和没有跳跃投资的情况下计算的向上和向外看涨期权价格的差异- rplane在不同的S.4值下得出结论在本文中，我们将Itkin和Lipton（2015）的方法应用于信用衍生工具的定价，以解决各种期权定价问题（普通和异国情调），其中作为基础模型，我们使用随机利率的局部随机波动模型和每个随机驱动因素的跳跃。重要的是，所有的跳跃以及布朗运动都是相互关联的。在这里，我们只解决反向问题（解决反向Kolmogorov方程，例如，为衍生产品定价），而正向问题（解决正向Kolmogorov方程以确定基础过程的密度）可以用类似的方式处理，见Itkin（2015）。在Itkin和Lipton（2015）中，给出了Kou和Merton模型的测试示例，但该方法不受这些模型的限制。因此，在本文中，我们演示了如何将类似的方法与Meixner模型结合使用。

同样，这个模型只是一个例子，因为一般来说，使用的方法是相当普遍的。给出了算法和数值实验结果。本文的第二个贡献是对流行的HundsDorfer和Verwer以及改进的Craig-Sneyd有限差分格式进行了新的全隐式修改，该差分格式在空间和时间上提供了二阶近似，无条件稳定，保持了解的正性，同时在网格节点数量上仍保持线性复杂性。该方案具有扩展的阻尼特性，因此，允许消除任何低阶近似的附加阻尼方案，例如隐式Euler方案（如Rannacher方法中所述），或参数θ=1的Do方案（如Haentjens和in’t Hout（2012）中所述）。我们证明了该模式的无条件稳定性、空间和时间上的二阶近似以及解的正性。数值实验结果验证了上述结论。据作者所知，这两种方法在文献中尚未被考虑，因此本文的主要结果是新的。所使用的模型相当普遍，从某种意义上说，if考虑了所有扩散组件的两个（甚至三个）CEV过程，以及所有组件的一大类L’evy过程。因此，使用本文提出的模型，为衍生品定价提供一种稳定、准确且快速的有限差分方法，可能对从业者有益。感谢Peter Carr、Alex Lipton和Alex Veygman的宝贵意见和讨论。另外，我们也非常感谢两位匿名裁判的评论和建议。我们对任何剩余的错误承担全部责任。参考文献巴洛塔，L.和邦菲格利奥利，E.（2014）。

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偏微分方程的数值方法，21（3）：553–573。命题2.1的一个证明是，对于正相关ρs，v≥ 0我们想证明最终的差异模式：QIv+√τW（v）AB2，v五、*= α+V（τ）- Vk，（34）P是-√τρs，vW（s）AF2，sVk+1=V*.α+=（pq+1）I- Q√τρs，vW（s）ABS+P√τW（v）AFv。在时间步长上是无条件稳定的τ、 用O近似等式（12）(√τmax（hS，hv））并在Q=β时保持向量V（x，τ）的正性√τ/hv，P=β√τ/hS，其中hv，hS是在v和S方向上相应的网格空间步长，系数β必须满足以下条件：β>最大值，v[W（v）+ρS，vW（S）]。首先，让我们展示如何将等式（11）转换为等式（34）。注意，等式（11）可以写在表格中P-√τρs，vW（s）OSQ+√τW（v）OvV（1）=V（τ）- V（1）+αV（1）=（α+1）V（τ）- V（1）+α[V（1）- V（τ）]，（35）α=pq- Q√τρs，vW（s）OS+P√τW（v）Ov。根据式（9），V（1）- V（τ）=τFSv（τ）+O((τ)). 同样基于命题陈述，P∝√τ、 Q∝√τ、 因此α[V（1）- V（τ）]=O((τ)). 由于我们只需要公式（9）的一阶近似值，因此可以省略公式（35）中的这一项。这就产生了等式（34）。非负性现在证明解的非负性。考虑第一次迭代atk=0，因此等式（34）中第一行的rhs可以写成MRV，其中≡ P Q- Q√τρs，vW（s）ABS+P√τW（v）AFv是大小为NN的上三角块矩阵。根据命题2.1之前给出的离散算子AF，Ab的定义，可以看出矩阵Mr包含主对角线之外的所有非负元素。主对角线处的元素readd（MR）=pq-√τQρs，vW（s）hS+P W（v）hv,如果P Q>√τQρs，vW（s）hS+P W（v）hv.如果我们把Q=β√τ/hv，P=β√τ/hS。

必须选择系数β来满足以下条件：β>最大值，v[W（v）+ρs，vW（s）]>0，（36），这保证了d（MR）>0。因为我们要求在命题陈述中，等式（34）的therhs是一个非负向量。为了证明解的非负性，考虑等式（34）中的第一行第二行。我们需要证明矩阵MSR≡ P是-√τρs，vW（s）AF2，Sis A EM矩阵，参见Itkin（2014b）中的附录A。如果观察到MSR的对角元素为正，即di，i（MSR），则这可以类似于Itkin（2014b）中引理A.2的证明=√τhSβ+ρs，vW（Si）> 0，i=1。。。，N.（37）由于MSRis是EM矩阵，其逆矩阵是非负矩阵，因此非负矩阵和非负向量的乘积产生非负向量。因此，证明了解的非负性。迭代的收敛性由于MSRis是EM矩阵，它的所有特征值都是非负的。而且，因为这是一个上三角矩阵，它的特征值是di，i（MSR），i=1。。。，N.同样，通过EM矩阵的性质，矩阵k（MSR）-1k是非负的，特征值λi=1/di，i（MSR），i∈ [1，…，N]。现在根据等式（36）引入系数γ>1，使得β=γmaxS，v[W（v）+ρs，vW（s）]。（38）根据式（37）我们有di，i（MSR）>ρs，vW（Si）√τhS（γ+1）。因此，通过适当选择γ，始终可以提供条件di，i（MSR）>1。因此，这就产生了条件|λi |<1，我∈ [1，…，N]。后者意味着谱范数k（MSR）-1k<1，因此，映射Vk→ Vk+1是合同约定的。这是等式（34）中Picard迭代收敛的充分条件。无条件性随之而来。关于EM矩阵和必要引理的其他细节可以在Itkin（2014b）中找到。对于等式（34）的第一行，我们要求相同的陈述，即矩阵MvRis anEM矩阵。