具有随机利率和相关跳跃的LSV模型

在混合导数项存在的情况下，导出了每种格式参数无条件稳定的必要条件。例如，让我们选择一个高压方案。In\'t Hout和Welfert（2007）的主要结果是，在关于格式参数θ的一些温和条件下，二阶Hundsdorfer和Verwer（HV）格式在任意空间维数k>2的混合导数项的半离散化扩散问题中是无条件稳定的。对于方程式（3）中J=0的3D对流扩散问题，HV方案定义了一个近似值Vn≈ V（τn），n=1，2，3，通过执行一系列（分数）步骤：Y=Vn-1+ τF（τn）-1） 越南-1，（7）Yj=Yj-1+θτ[Fj（τn）Yj- Fj（τn）-1） 越南-1] ，j=1，2，3，k、 ~Y=Y+τ[F（τn）Yk- F（τn）-1） 越南-1] ，~Yj=~Yj-1+ θτhFj（τn）~Yj- Fj（τn）Yki，j=1,2,3，k、 Vn=~Yk，其中F=PjFj，j=0，1。。。k、 对于θ的任何值，该方案在时间上都是二阶的，因此可以选择该参数以满足其他要求，in\'t Hout和Welfert（2007）。该方案的一个优点是，公式（7）中第1行和第3行中处理混合导数的分步通过显式方案求解。同时，这可能会带来一个问题，因为需要非常仔细地逼近混合导数项，以保持解的稳定性和正性。有时这需要时间上的一小步来选择。在2D案例中，为了解决这一相当微妙的问题，inChiarella等人（2008年）、Toivanen（2010年）提出了一个七点模板，用于离散混合导数算子，以保持解的正性，并在Ikonen和Toivanen（2007年、2008年）中提出了正相关性。

然而，在他们的方案中，混合导数项被隐式地处理（这就是为什么他们需要一个离散化的矩阵作为Mmatrix）。在我们的例子中，步骤3,5右侧的整个矩阵应该是一个正矩阵，或者是一个梅茨勒矩阵（在这种情况下是一个M矩阵的负矩阵）。当以相反的顺序使用Chiarella等人（2008）、Toivanen（2010）和Konen以及Toivanen（2007、2008）的近似值时，可以实现后者，即当ρ<0时，使用建议的ρ>0近似值，反之亦然。然而，由于7点模板的性质，它们无法提供混合导数的严格二阶近似。在我们的数值实验中，即使使用这些混合导数的显式类似物，3D情况下的近似也并不总是有效的。实际上，我们要么使用混合导数的实二阶近似，这取决于在HV分裂方案中，Fcome仅作为F的一部分。因此，FCF中的负项可以部分或甚至完全由其他项补偿。不幸的是，在模型参数的某些值下，这可能不足以提供解决方案的总体积极性。或者我们使用7点模板，这对隐式格式很有效（在证明我们的定理时，附录A中会明确说明原因），但仍然不能为显式格式提供必要的稳定性。因此，我们必须在时间上选择一个非常小的步骤，这是不切实际的。因此，在本文中，为了提供整体分裂方案的额外稳定性，我们对该步骤进行了如下修改。其主要思想是为了更好的稳定性，牺牲混合导数项显式表示的简单性。这就是Chiarella等人所做的。

Ikonen和Toivanen（2007年、2008年）、Toivanen（2010年），他们处理了一个2D案例，并使用了混合导数项的animplicit近似。然而，在本文中，我们提出了另一种方法。下面，为了解释的简单性，假设在求解等式（7）时，我们没有考虑跳跃。这种假设很容易放松，因为跳跃只是在等式（4）中Var定义中添加了一个附加项。考虑式（7）中的第一步。由于只需要时间上的一阶近似值，因此可以在两个步骤中重新编写此步骤五、*τ=F（τn）-1) ≡ FSv（τn）-1） +FSr（τn）-1） +Fvr（τn）-1） ，（8）V（τ）=V*(τ) + τ[F（τn-1） +F（τn）-1） +F（τn）-1） ]V*（τ） ，这在时间的最初几步尤其重要，因为支付的阶跃函数性质。因此，通常在第一步应用平滑方案，例如Rannacher（1984），但在这些步骤中，它失去了二阶近似。带fsv（τn）-1） =ρs，vσs（s，τ）Scξv（τ）va+0.5s五、≡ ρs，vW（s）W（v）sv、 FSr（τn）-1） =ρs，rσs（s，τ）Sc√vξr（τ）rbsR≡ ρs，rW（s）W（r）√五、sr、 Fvr（τn）-1） =ρv，rξv（τ）vaξr（τ）rbR五、≡ ρv，rW（v）W（r）√五、Rv、 其中W（S）=σ（S，τ）Sc，W（v）=ξv（τ）va+0.5，W（r）=ξr（τ）rb。因此，在第一个子分裂步骤中，我们可以自由地求解第一个方程ofEq。（8） 如我们所愿，其余部分（第二个子步骤）被明确处理，例如，以与HV方案相同的方式处理。现在，等式（8）中第一个方程的通解可以写成运算符形式asV（τ+τ） =eτ（FSv（τn-1） +FSr（τn）-1） +Fvr（τn）-1） V（τ）。再一次，和O(τ） V（τ+τ） =eτFSv（τn-1） eτFSr（τn-1） eτFvr（τn）-1） V（τ），或使用拆分V（1）=eτFSv（τn-1） V（τ），（9）V（2）=eτFSr（τn-1） V（1），V（τ+τ） =eτFvr（τn）-1） V（2）。拆分步骤的顺序通常并不重要。因此，只考虑等式（9）中的一个步骤是足够的，因为其他步骤可以以类似的方式进行。

例如，下面让我们考虑一下步骤1。首先，我们使用近似（0,1），它提供了公式（9）中第一行的近似值和公式（9）中的倒数τ，并且是隐式的。在近似方面，这相当于等式（7）的第一行。这样一来，等式（9）中的第一个等式就变成了[1]- τρs，vW（s）W（v）OSOv]v（1）=v（τ）。（10） 第二，我们再次使用一个技巧重写它P-√τρs，vW（s）OSQ+√τW（v）OvV（1）（11）=V（τ）+h（pq- 1) - Q√τρs，vW（s）OS+P√τW（v）OviV（1），其中P，Q是一些必须根据某些条件选择的正数，例如，为了提供等式（11）中左方括号中矩阵的对角优势，见下文。这个技巧的动机是建立一个由两个一维步骤组成的ADI方案，因为对于一维方程，我们知道如何使rhs矩阵成为EM矩阵Itkin（2014a）。这种表述的直觉如下。假设我们需要解一些抛物型偏微分方程，并用矩阵指数V（τ+τ） =eτJV（τ）。由于计算矩阵指数可能会很昂贵，因此在τ1可以使用二阶Pad’e近似。在这种情况下，例如，流行的Crank-Nicholson格式仅当负对角元素d0，i，i=1。。。，N ofτJ服从条件d0，i(τJ）+1>0，我∈（1，…，N）。这有效地解决了时间步长的一些限制问题τ . 作为一种解决方案，例如，在Wade et al.（2005）中，提出使用高阶全隐式Pade近似代替Crank-Nicholson方案。

这就解决了从Ey=1开始获得积极解决方案的问题- y+y+O（y）≈[y]- （1+i）][y- (1 - i）]，y≡ τJ，i=√-1，通过使用适当的离散化，括号中的每个矩阵都可以成为一个逆矩阵，它是一个非负矩阵。当J是一个一维抛物面算子时，这可以实现。然而，就性能而言，这会导致求解具有复数的线性方程组的少数系统（例如，在Padèe（0,2）近似的情况下为2）。因此，解决方案的复杂性至少是原来的4倍。我们的表示式（11）旨在利用类似的想法，但被转化为迭代方法。这里的关键点是，我们使用EM矩阵理论（参见Itkin（2014a，2015）和其中的参考文献），并设法提出一阶导数的二阶近似值，使我们的矩阵成为真正的EM矩阵。同样，后者的逆矩阵是正矩阵。公式（11）可通过定点Picard迭代求解。我们可以从方程（11）的rhs中设置V（1）=V=V（τ）开始，然后依次求解两个方程组Q+√τW（v）Ov五、*= V（τ）+hP Q- 1.- Q√τρs，vW（s）OS+P√τW（v）OviVk，P-√τρs，vW（s）OSVk+1=V*. （12） 这里是第k次迭代时V（1）的值。在构造一个有限差分方案来求解这个方程之前，我们需要引入一些定义。定义O的单边正向离散化，我们将其表示为AFx:AFxC（x）=[C（x+h，t）- C（x，t）]/h。还定义了O的单边向后离散化，表示为ABx:ABxC（x）=[C（x，t）- C（x）- h、 t）]/h。这些离散化提供了用h表示的模糊近似值，例如OC（x）=AFxC（x）+O（h）。要提供二阶近似值，请使用以下定义。

定义AC2，x=AFxABx——二阶导数Ox的中心差分近似，ACx=（AFx+ABx）/2——一阶导数O的中心差分近似。还定义一阶导数的单边二阶近似：后向近似AB2，x:AB2，xC（x）=[3C（x）- 4C（x）- h） +C（x）- 2h）]/（2h）和正向近似值AF2，x:AF2，xC（x）=[-3C（x）+4C（x+h）-C（x+2h）]/（2h）。也表示单位矩阵。所有这些定义都假设我们在一个统一的网格上工作，然而这也可以很容易地推广到非统一网格，参见，例如，In\'t Hout和Foulon（2010）。为了求解公式（12），我们提出了两种FD方案。第一个（方案A）由以下命题介绍：命题2.1假设ρs，v≥ 0，并使用以下有限差分方案近似公式（12）的lhs：QIv+√τW（v）AB2，v五、*= α+V（τ）- Vk，（13）P是-√τρs，vW（s）AF2，sVk+1=V*,α+=（pq+1）I- Q√τρs，vW（s）ABS+P√τW（v）AFv。该方案在时间步长上是无条件稳定的τ、 用o近似公式（12）(√τmax（hS，hv））并在Q=β时保持向量V（x，τ）的正性√τ/hv，P=β√τ/hS，其中hv，hS是在v和S方向上相应的网格空间步长，必须选择系数β以遵守以下条件：β>最大值，v[W（v）+ρS，vW（S）]。证明见附录A。公式（13）中的计算方案应按以下方式理解。在等式（13）的第一行，我们首先计算乘积V=α+V（τ）。这可以通过三个步骤完成。首先，乘积V=Q√τρs，vW（s）ABSV（τ）在循环onvi中计算，i=1。。。，N.换句话说，如果V（τ）是一个N×N矩阵，其中行代表坐标，列代表V坐标，那么每一个j列都是矩阵Q的乘积√τρs，vW（s）和V（τ）的第j列。

第二步是计算乘积V=P√τW（v）AFvV（τ），可以在Si上循环完成，i=1。。。，N.最后，等式（13）中第一行的右侧是（pq+1）V（τ）-V+V-Vk。然后在Si的循环中，i=1。。。，N、 N必须求解线性方程组，每个方程组给出V的一个矢量*. 表示式（13）的优点是可以预先计算乘积α+V（τ）。如果√τ ≈ max（hS，hv），则整个方案成为空间中的二阶。然而，这将是明确计划固有的严重限制。因此，在本文中我们不依赖它。注意，在实践中，时间步长通常是√τ  1，因此整个方案预计更接近h中的第二阶，而不是第一阶。正如已经提到的，这与toChiarella等人的结果类似。

（2008），Toivanen（2010）表示相关性ρ<0，Ikonen和Toivanen（2007，2008）表示正相关性，其中七点模板打破了严格的空间二阶近似。在ρs，v的情况下，也可以证明类似的命题≤ 0.为了清晰起见，我们为均匀网格制定了这个命题，但如何将其扩展为非均匀网格应该是非常透明的。命题2.2假设ρs，v≤ 0，并使用以下空间二阶有限差分格式近似公式（12）的lhs：QIv+√τW（v）AB2，v五、*= α-V（τ）- Vk，（14）P是-√τρs，vW（s）AB2，sVk+1=V*,α-= （pq+1）I- Q√τρs，vW（s）AFS+P√τW（v）AFv。该方案在时间步长上是无条件稳定的τ、 用o近似公式（12）(√τmax（hS，hv））并在Q=β时保持向量V（x，τ）的正性√τ/hv，P=β√τ/hS，其中hv，hS是v和S方向上相应的网格空间阶跃，必须选择系数β以遵守以下条件：β>最大值，v[W（v）- ρs，vW（s）]。这个证明与命题2.1的证明完全相似，因此为了简洁起见我们省略了它。2.1.1 Picard迭代的收敛速度估算建议的Picard迭代的收敛速度是很有意思的。为此，让我们定义以下运算符ST=Q+√τW（v）Ov，T=P-√τρs，vW（s）OS，（15）T=pq+1- Q√τρs，vW（s）OS+P√τW（v）Ov。公式（11）的精确解V在应用公式（35）中描述的变换后，可以用这种符号重新书写，形式为TTV=TV（τ）+V，（16）。同样，命题2.1中描述的方案也可以用这种符号表示为asTTVk+1=TV（τ）+Vk。（17） 从式（17）中减去式（16），我们得到Vk+1- V=T-1T-1（Vk- V）≡ T（Vk- V）。

（18） 我们可以估计TkT k=kT的谱范数-1T-1| ≤ kT-1Kt-1k=最小λ1，i最小λ2，i, （19） 其中k·k表示算子的谱范数，λj表示相应算子Ti，j的一组特征值∈ [1, 2, 3]. 基于命题2.1最小λ1，i最小λ2，i=τhShvβ+minvW（v）β+分钟ρs，vW（s）-1.≤hShvτβ. （20） 因此，如果β>hshv，则该图为收缩图/τ、 所以kTk<1。此外，根据公式（38），通过选择较大的γ值，可以使系数β足够大，因此kT kbecomes较小。因此，Picard迭代应该收敛得相当快。此外，收敛速度为线性2。1.2空间中的二阶近似通过使整个方案在HSH和hv中为二阶近似，上述两个命题中得出的结果可以进一步改进。

我们把这个FDscheme称为Scheme B。命题2.3让我们假设ρs，v≥ 0，并使用以下有限差分方案近似公式（12）的lhs：QIv+√τW（v）AB2，v五、*= α+V（τ）- Vk，（21）P是-√τρs，vW（s）AF2，sVk+1=V*,α+=（pq+1）I- Q√τρs，vW（s）AB2，s+P√τW（v）AF2，v.那么这个方案在时间步长上是无条件稳定的τ、 用o（max（hS，hv））近似等式（12），如果Q=β，则保持向量V（x，τ）的正性√τ/hv，P=β√τ/hS，其中hv，hS是在v和S方向上相应的网格空间步长，必须选择系数β以遵守以下条件：β>最大值，v[W（v）+ρS，vW（S）]。公式（21）的方案在每个方向上都具有线性复杂度。证明见附录B.命题2.4让我们假设ρs，v≤ 0，并使用以下空间二阶有限差分格式近似公式（12）的lhs：齐+√τW（v）AB2，v五、*= α-V（τ）- Vk，（22）P是-√τρs，vW（s）AB2，sVk+1=V*,α-= （pq+1）I- Q√τρs，vW（s）AF2，s+P√τW（v）AF2，v.那么这个方案在时间步长上是无条件稳定的τ、 用o近似公式（12）(√τmax（hS，hv））并在Q=β时保持向量V（x，τ）的正性√τ/hv，P=β√τ/hS，其中hv，hS是在v和S方向上相应的网格空间步长，必须选择系数β以遵守以下条件：β>最大值，v[W（v）- ρs，vW（s）]。公式（22）的方案在每个方向上都具有线性复杂度。这个证明与命题2.3的证明完全相似，因此为了简洁起见我们省略了它。我们想再次强调，所描述的处理混合导数项的方法在时间上只提供了一阶近似值。但这也正是高压方案中所做的。然而，整个分裂方案式（7）是二阶的τ.应通过实验选择系数β。