具有随机利率和相关跳跃的LSV模型

在我们下面几节中描述的实验中，我们使用β=10 max，v[W（v）- ρs，vW（s）]。（23）对于等式（9）中的第二和第三个方程，可以使用类似的命题来求解这些方程，并保证空间上的二阶近似、时间上的一阶近似、解的正性以及Picard定点迭代的收敛性。然而，由于FSr（τn）的定义，必须对式（9）中的第二个方程进行一个小而重要的改进-1） 包含√v是这个方程的一个dummy变量。因此，由于该方程应在循环onvj中求解，j=1。。。，N、 式中，vjare是v网格上的节点，Nis是这些节点的数量，对于每个这样的步骤，必须根据条件βj>maxS，v[W（v））计算其自身的βj- ρs，vW（s）√vj]。然而，这并没有带来任何问题。下面，为了方便起见，我们提供了非均匀网格上二阶后向D2带前向D2F近似的一阶导数的显式公式。他们读了《海恩斯与因霍特》（2012）D2Bf（x）x=xi=f（xi）嗨-1（hi+hi-1)- f（xi）-1） 嗨-1+你好-1+f（xi）-2） 嗨-1+2hihi（hi-1+hi），D2Ff（x）x=xi=-f（xi）2hi+1+hi+2hi+1hi+2+f（xi+1）hi+2+hi+1hi+2hi+1- f（xi+2）hi+1hi+2（hi+2+hi+1），其中hi=xi- xi-1.基于这一定义，矩阵AB、Af可以根据。2.1.3完全隐式方案为了获得更好的稳定性，HV方案的整个第一步等式（8）可以完全隐式。在这样做的过程中，注意等式（7）中的第一行是等式的Pad’e近似值（0,1）V（τ）τ=[F（τ）+F（τ）+F（τ）+F（τ）]V（τ）。

（24）该方程的解可通过asV（τ）=exp获得{τ[F（τn-1） +F（τn）-1） +F（τn）-1） +F（τn）-1） ]}V（τn-1） （25）=eτF（τn）-1） eτF（τn）-1） eτF（τn）-1） eτF（τn）-1） V（τn）-1） +O(τ).或者，Pad’e近似（1,0）也可以应用于所有指数inEq。（25）提供相同的近似顺序τ，但所有步骤都是隐式的。也就是说，这将导致等式（24）的解的以下拆分方案：[1]- τF（τ）]V=V（τn-1), (26)[1 - τF（τ）]V=V（τn-1),[1 - τF（τ）]V=V（τn-1),[1 - τF（τ）]V（τ）=V（τn-1).我们已经知道如何解决等式（26）中的第一步（这一直是应用这种完全隐式方案的瓶颈）。其余步骤（等式（26）中的第2-4行）可以与HV方案中的步骤2-4（等式（7）中的第2行）类似。因此，HV方案中的整个第一步是隐式的，而节点数具有相同的线性复杂性。此外，我们的实验证明，该方案提供了极大的稳定性，并保持了溶液的敏感性。因此，不需要运行前几个Rannacher步骤。公式（7）中的第三行可以相应地修改如下：~Y=Y+τ[F（τn）Yk- F（τn）-1） 越南-1] ，（27）=Y+[Y+τF（τnY]-[Vn-1+ τF（τn）-1） 越南-1] -Y+Vn-1=Y+hY- Y- Y+Vn-1i。在这里，这个方程的rhs中的所有值都是已知的，除了Y是问题的解决方案Yτ=F（τn）Y。因此，它可以用与我们的完全隐式格式的第一步完全相同的方法求解。请注意，方案A和方案B都可以用作全隐式方案的一部分。如果一个人做出了有利于方案a的选择，那么情况如下。我们用近似O完成了完全隐式格式的第一步(√τmin（hS，hv）），然后是空间中二阶的多个步骤（对于3D问题是六个步骤），因此总体近似值预计接近于两个。

对于高压方案的第二次扫描，这是相同的。如果选择方案B，整个HV方案的严格空间近似将变为2。所提出的方案的一个明显缺点是性能有所下降，因为在计算混合导数步骤时需要一定数量的迭代才能收敛，并且每次迭代都需要解两个线性方程组。尽管总的复杂度在节点数量上仍然是线性的，但它所需的计算时间大约是显式方案的4倍。然而，正如我们已经提到的，在我们的实验中，等式（7）第一步和第三步的显式方案可能会避免不稳定性（当问题的维数增加时，不稳定性变得更加明显），即，要么需要非常小且不切实际的时间步来收敛，要么会爆发。此外，我们的结果表明，在我们的实验中，所提出的方案仅为50-70%。1-2次迭代足以提供10%的相对公差-6.比原始高压方案的显式步骤慢。然而，我们方案的时间步长可能会显著增加，同时仍能保持方案的稳定性，而这对高压方案来说可能是个问题。因此，时间步长的增加可以补偿隐式执行第一步所需的额外时间。例如，在我们的机器上，使用Matlab中编码的HV方案，在时间上运行3D平流扩散问题的一步需要2秒，而完全隐式方案需要2.6秒。相反，HV方案表现出一种不稳定的行为，没有Rannacher阶跃，即使有τ=0.005yrs，而全隐式格式继续工作良好，例如τ=0.05年。

因此，如果由于精度原因，这一步是有效的，它可以将性能提高10倍，而隐式格式的损失约为50-70%并不敏感。注意，同样的方法也适用于基于Itkin（2015）方法的正向方程。更多细节将在其他地方介绍。一旦完成这一步，整个方案方程（7）将保持正性。这是因为对于等式（7）的第一步，我们的完全隐式方案确实保留了积极性。接下来的步骤可以以[1]的形式重新编写- θ Fj（τn）]Yj=Yj-1.- θτFj（τn）-1） 越南-1Soτ总是可以选择得足够小，以使这一步保持正性，如果thelhs矩阵M=1- θ Fj（τn）是一个EM矩阵。后者可以通过采用Itkin（2014a）的Anaproach实现，其中第一空间导数通过使用二阶近似的单侧有限差来离散。公式（7）中分裂步骤的第二次扫描也是如此。2.2跳跃步骤返回到一般分裂方案公式（6），观察在步骤2-4和6-8处理一维跳跃。如Itkin（2014a，b）所示，可以在这些步骤中获得一些流行的L’evymodel的解，如Merton、Kou、CGMY（或GTSP）、NIG、General双曲和Meixnerones。一般来说，这种方法的效率并不比快速傅里叶变换（FFT）差，在许多情况下，其效率与网格点的数量成线性关系。

尤其是默顿、库奥、CGMY/GTSP在α的情况≤ 0和Meixner型号。在本文中，我们使用Meixner模型对所有意识形态融合和公共跳跃进行建模。下面我们依次考虑等式（6）中分裂算法的所有跳跃步骤。2.2.1特殊跳跃请记住，Meixner过程的特征指数为φ（u，a，b，d，m）=2d日志[cos（b/2）]- 日志科什au- ib+ imu，（28）使用与上述相同的β。然而，改变式（23）rhs中的第一个乘数也可以使该方案适用于更高的时间步长值。Meixner过程的L′evy密度u（dy）读数为u（dy）=dexp（by/a）y sinh（πy/a）dy。因此，从式（5）中我们立即得到j=φ(-iO，a，b，d，m=2d日志[cos（b/2）]- 日志余弦aO+b+ mO.（29）Itkin（2014b），命题3.8，3.9给出了该算子的离散化方案，该方案在空间和时间上提供了二阶近似，同时保留了解的正性。在本节末尾，我们还提醒大家，根据Itkin（2014b）的方法，等式（29）中的漂移项（最后一个）可以移到相应的平流扩散算子的漂移项中，也可以离散化τmOχ=（eτmAF2，χ+O（hχ），m>0，eτmAB2，χ+O（hχ），m<0。（30）这是可能的，因为在等式（30）中的两种情况下，指数都是EMmatrix的负值，因此eτmOχ是一个所有特征值|λi |<1.2.2公共跳跃的正矩阵。最困难的步骤是解决问题v（τ+τ） =eτJV（τ）。（31）在Itkin和Lipton（2015）中，我们展示了当普通跳跃由Kou模型表示时，如何使用Peaceman Rachford-ADI方法的修正，见McDonough（2008）。这里我们简要介绍了Meixner模型的算法。记住，根据等式（29）给出的定义，现在O=bsOs+bvOv+brOr。

漂移项mO也可以在微分算子的相应漂移中分割。之后，我们需要求解以下方程（Itkin（2014b））∞Yn=1MκnV（τ+τ） =[cos（b/2）]κV（τ），（32）Mn=1-（aO+b）4π（n）- 1/2），κ=2dτ、 其中，参数a、b、d表示常见跳跃。这个方程可以在n上循环求解。也就是说，我们从n=1和takeV=[cos（b/2）]κV（τ）开始。因为在我们的实验中，0<κ<1，在n中的每一步，我们都运行它，这里EM是最终M-矩阵的缩写，参见Itkin（2014b）。这通常可以通过选择一个相对较小的τ .对于κ=0，1，然后使用线性插值得到κ。在κ=0时，一个明显的解是v（τ+τ） =V（τ）。式（32）中的κ=1是一个三维抛物线方程，可以使用我们的隐式HV格式来求解。事实上，它可以以“1”的形式重新书写- (τ） 千牛O+ba#V=V（τ），Kn=a4π（n- 1/2)(τ).通常a很小，例如在Schoutens（2001）中，a=0.04，所以即使对于n=1 Kn=O（1）。现在使用Pad’e近似理论，我们可以把这个方程改写为v=e(τ） Kn（O+ba）V（τ）+O((τ)).因此，如果我们省略最后一项O((τ），则保留了模式在时间上的总二阶近似。后一个等式相当于五、s=O+ba五、 V（0）=cos（b/2）V（τ），s∈ [0，Tn]，（33）必须在时间范围（到期）Tn=(τ） Kn=a4π（n-1/2). 因为它很小，通常小于τ我们可以一步一步地解决它。当n增加时，这个结论仍然是正确的。一旦得到这个解，我们就进入下一个n。因此，这个方案在aloop中运行，从n=1开始，在某个n=M结束。

与我们对异向跳跃的处理类似，我们根据Itkin（2014b）的论点选择M=10，即：i）期权价格的高阶导数的价值下降得非常快，以及ii）期权价格的前10项∞i=1以1%的准确度近似整个总和。M步后得到的溶液为最终溶液。总体而言，整个分割算法包含11个步骤。每一步的复杂度在N中是线性的，因为在每一步中，我们用一个三对角或五对角矩阵解一些抛物方程。因此，该方法的总复杂度为nnn，其中是i维中的网格节点数，而是某个常数系数，这是276个（如果HV方案的隐式修改使用了2个扩散步骤，那么一个扩散步骤有18个系统，总共36个；每1D跳步10个系统乘以2个步骤估计3个变量，总共60个；每一个3D抛物线PDE解决方案有18个步骤乘以10个步骤，总共180个）。然而，这可能比直接应用FFT更好（在FFT适用的情况下，例如，如果考虑到局部波动性等，则整个特征函数以闭合形式已知，而不是这种情况），后者通常要求FFT节点的数量为2的幂，典型值为2。它也优于传统的方法，即考虑线性非局部跳跃积分J在某个网格上的逼近，然后利用FFT通过向量积计算矩阵。事实上，当使用FFT实现这一目的时，我们需要使用略微扩展的网格对每个维度进行两次扫描（例如，对于普通香草期权，期权价格渐近地受到内在值的限制，因此高阶导数迅速消失。例如，张力系数ξ），以避免环绕效应，d’Halluin等人（2005）。

因此，每个时间步的总复杂度可能至少为O（8ξNNNlog（ξNNN）），对于N=N=N=2048且ξ=ξ=1.3的FFT网格，其速度比我们的方法慢2.5倍。此外，传统方法也遇到了一些其他问题，比如跳跃的有限活动和有限变化，参见Itkin（2014a）中的调查和其中的参考资料。此外，正如我们已经提到的，对公共跳跃步使用快速高斯变换可以显著减少分裂方案中最耗时的部分的时间。3个数值实验由于方程（6）所表示的整个算法的分裂性质，分裂的每一步都使用单独的数值格式进行计算。所有格式在空间和时间上都提供了二阶近似，无条件稳定且保持解的正性。在包含混合导数项的步骤的数值实验中，我们使用了建议的Hundsdorfer-Verwer格式的完全隐式版本。这使得我们可以消除低阶近似的任何附加阻尼方案，例如隐式阻尼方案（如Rannacher方法中所述），或参数θ=1的Do方案（如Haentjens和in\'t Hout（2012）中所建议）。非均匀有限差分网格的构造类似于v和r域中的In\'t Hout和Foulon（2010），以及S域中的Itkin和Carr（2011）所述。对于边界选项，我们通过增加2-3个重影点来扩展S网格，要么在上边界上，要么在下边界下，要么在边界条件与边界条件相同的情况下（折扣或无）。Itkin（2014a）还详细描述了跳跃网格的构造，它是第一步（扩散）中使用的差异网格的超集。通常，扩散网格在每个空间方向上包含61个节点。

扩展的jumpgrid包含额外的20-30个节点。如果t=0时的典型点位值为S=100，则全网格从S=0开始，到S=10结束。我们在一台标准PC上使用英特尔至强E5620 2.4 GhzCPU在Matlab中计算了结果。表1给出了计算无跳跃的纯扩散模型的一个时间步长的典型运行时间：这里k=log[ti/ti-1] /log[Ni/Ni-1] 是计算复杂度C的幂，它回归到C∝ Nk。可以看出，无论节点数量多少，复杂度在所有维度上几乎都是线性的。k的增长可以归因于Matlab处理大型稀疏矩阵的方式。此外，我们的C++实现速度大约是Matlab的15倍。欧式看涨期权在这个测试中，我们在纯粹的差异背景下使用所描述的模型解决了一个欧式看涨期权定价问题，因此所有的跳跃强度都设置为零。此外，为了简单起见，我们假设模型的所有参数与时间无关。正如裁判所述，由于FLOP计数很少能准确预测经过的时间，因此应进一步验证该声明。注意，例如，对于HV方案，我们需要每一步时间进行两次扫描。N个节点平流扩散混合1D步数总计1次扫描K50x5050 0.81 0.38 1.19 60x60x60 1.26 0.59 1.85 2.4270x70x70 1.88 0.86 2.74 2.5480x80x80 2.71 1.28 3.89 2.62100x100x100 4.50 2.22 3.89 3.17表1：计算平流扩散问题的1步时间（秒）。因此，在本测试中，我们的对流扩散FD方案的稳健性得到了验证。本试验中使用的模型参数如表2所示，结果如图1、2、3所示。

我们选择a=b=0.5，c=1，局部波动率函数设置为1，所以在这个测试中，我们的模型基本上是对数正态+双循环模型（随机波动率和随机利率）。差异部分的计算域是S∈ [0,1000]，v∈ [0,3]，r∈ [0,1]，对于跳跃部分S∈ [0,10000]，v∈ [0,50]，r∈ [0, 10].tkκVξVθVκrξrθrqρSvρSrρvrφSva b1100 2 0.3 0.9 3 0.1 0.05 0.5-0.647 0.1 4π/5 0.5 0.5表2：欧洲看涨期权定价的测试参数。我们记得，N个资产的相关矩阵∑可以表示为矩阵元素∑ij=hxi，xji的Gram矩阵，其中xi，xjare表示N个资产上的单位向量- 一维超球面-1.使用3D几何，很容易建立三个资产之间相关性的以下余弦定律：ρxy=ρyzρxz+q（1）- ρyz）（1- ρxz）cos（φxy），其中φxy是x与其在y，z所跨越的平面上的投影之间的角度。如Dash（2004）所述，三个变量ρyz，ρzz，φxy是独立的，但ρxy，ρxz，ρyz不是独立的。因此，使用给定的ρSr、ρvr和φSv计算表2中的值ρSv。由于本例中的整个图片是4D，我们将其表示为一系列3D投影，即：图1表示S- 在相应标签中所示的r坐标不同值处的v平面；图2在S中也是如此-r平面，图3-在V中-r飞机。