集团内转移、集团内多元化及其风险

然而，监管机构可能会对集团内资本的可用性和可替代性提出额外要求，如果模型中未反映出资本的可替代性受到严重限制，监管机构也可能会提出额外要求。有鉴于此，有必要推导出一种恰当且数学上有充分依据的方法来描述集团内的转移可能性，并找到和推导一个框架，该框架允许充分将菌性约束纳入合并框架。通过将合并测试转换为次加性情况下的无约束偿付能力测试，我们可以证明在风险度量中没有考虑可替代性约束。我们还建议建立一个框架，通过简单而明确地限制可接受转移的集合，来表示偿付能力测试中的可替代性约束。3集值投资组合和集值风险A集 如果是y，则RDI较低≤ x（协调）代表x∈ A意味着y∈ A.上集合族与下集合族一致，即A是上集合当且仅当{-x:x∈ A} 是较低的一组。图的拓扑闭包 RDI由cl A表示，其边界由A.表示A+A={x+A:x∈ A} 。修正一个完全概率空间(Ohm, F、 P）。设X是Rd中的下随机闭集，即X是Rd中取下闭集族值的随机元素。X的可测性要求被理解为{ω：X（ω）∩ k6=} ∈ 对于Rd中的所有紧集K，参见[26]。集合X在[27]中被称为aset值投资组合。在我们的环境中，X点描述了一个集团的d家公司的终端资本，毕竟是可接受的IGT。在许多情况下，X几乎肯定是凸的，这意味着它几乎所有的实现都是凸集。设Lp（Rd）是Rd中的p-可积随机向量族，其中p∈ {0} ∪ [1, ∞] 是固定的。

选择p=0将产生所有随机向量的族。用kξkplp表示p的ξ范数≥ 1.RDI中的随机向量ξ称为X ifξ的选择∈ 几乎可以肯定。这种随机向量可被视为在特定IGT后获得的特定终端位置。我们始终假设X是p-可积的，即X至少有一个p-可积选择。换句话说，X的所有p-可积选择的族Lp（X）不是空的。我们用它的所有p-可积选择的族Lp（X）来标识X。事实证明，几乎所有ω∈ Ohm, X（ω）是{ξn（ω），n的闭包≥ 1} 对于序列{ξn，n≥ 1}  Lp（X），见[26，第2.1.2款]。下式中，r=（r，…，rd）表示由货币风险度量组成的向量，其有限值定义在p的空间Lp（r）上∈ {0} ∪ [1, ∞] （称为Lp风险度量）。这类风险度量的典型例子是所有p的风险值，p的平均风险值≥ 1或p=∞.作为有限合伙人风险度量，r的组成部分是有限合伙人规范中的Lipschitz，见[20]。特别是，它们是强连续的。如果p=∞, 另外，假设r的分量满足对应于弱星下半连续性（即关于有界a.s.收敛性）的FatoupProperty。此外，如果r的所有分量都是相干的（分别为凸的）风险测度，则r称为相干的（分别为凸的），在这种情况下，我们让p∈ [1, ∞], 见[20]。必要时，可明确引入相干性或凸性假设。所有凸（和一致）风险度量默认为定律不变，并在非原子概率空间上定义。定义3.1如果集合值投资组合X具有一个p-可积选择，且具有所有单独可接受的边际，即存在ξ，则称其为可接受的集合值投资组合X∈ Lp（X）使得r（ξ）≤ 0

那么ξ被称为X的可接受选择。定义3.2选择风险度量R（X）是setR（X）={a的结束∈ Rd:X+a是可以接受的。等价地，选择风险度量可以定义为r（X）=cl[ξ∈Lp（X）（r（ξ）+Rd+。在[17]中，R（ξ+K）表示ξ∈ Lp（Rd）和锥K被称为监管机构风险度量r的市场扩展。例3.1在这条线上，所有较低的集合都是半条线，因此Ris中的每个集值投资组合byX=(-∞, η] 对于随机变量η。那么X是可接受的，当且仅当η是可接受的。使用半直线X而不是η不会改变财务现实，同时在更高维度的情况下是一个有用的工具。如果X=ξ+Rd-对于p-可积随机向量ξ，则R（X）=R（ξ）+Rd+。例3.2设X={X=（X，…，xd）∈ Rd:x+··+xd≤ η} 对于随机变量η。家族∞(在所有本质上有界的选择中，对于d=2，X的边界在[18]中进行了详细研究，称为可实现分配集，另见[14]。为了找到可接受的X选择，只查看X中不受任何其他X选择协调控制的点是明智的。这些点构成了X表示为+X和称为X的帕累托最优点。引理3.1如果X是凸的，那么+X是一个随机闭集。证明假设xn=（x（1）n，x（d）n）∈ +X是一个收敛到X的序列。通过选择子序列，我们可以假设所有分量单调收敛。设T为强收敛的分量集。假设x/∈ +因为X是闭合的，所以存在y∈ +X使得X≤ 对于某些i，y和y（i）>x（i）。选择y，使得该不等式所适用的所有指数i的集合S是最大的。如果没有 S、 然后，对于足够大的n，y支配xn，这与xn的帕累托最优性相矛盾。

假设j∈ T\\S.通过凸性，~yn=λy+（1）- λ） xn∈ λ的X∈ [0, 1]. 通过使λ充分接近于1，我们可以实现i的∧y（i）n>x（i）∈ 对于足够大的n，由于x（j）n的严格单调性，我们也有y（j）n>x（j），这与S的极大值相矛盾，+X关闭了。对于可测量的+十、 必须检查Γ={（ω，X）：X∈ +X（ω）}，即+十、 是σ-代数F中的一个可测集 B（Rd），其中B（Rd）是Rd中的Borelσ-代数。实际上，Γ=\\q∈Qd+{（ω，x）：x∈ X（ω），X+q/∈ 十} ，其中Q+是正有理数族。这是合理的，因为凸下集必须是规则闭合的，即与其内部的闭合重合。引理3.2凸集值投资组合X允许可接受选择的当且仅当+X允许一个可接受的选择。证明假设X允许一个可接受的选择ξ。如果ξ不是帕累托最优的，考虑随机闭集Y=X∩ （ξ+Rd+）。Y的所有选择都是可接受的，Y∩ +X几乎肯定是非空的，并且有一个可测量的图形。根据可测选择定理[19，Th.5.4.1]，Y∩+X允许自动接受可测量的选择。集值投资组合的标度变换定义为tX={tX:x∈ 十} 。集值投资组合X+Y之和是集值投资组合，是X的所有选择和的闭包。已知[26]此类操作尊重可测量性，即。

tX和X+Y是随机闭集。[27]证明了由一致风险度量组成的r的以下结果，而对于一般货币风险度量，其版本有明显变化。定理3.1选择风险度量的值为上闭集，并且（i）R（X+a）=R（X）- a代表所有人a∈ Rd（现金不变性）；（ii）如果X Y a.s.，然后是R（X） R（Y）（单调性）。如果r是凸的，X，Y几乎肯定是凸集值投资组合，那么r（X）取凸值，是law不变量，并且（iii）r（λX+（1）- λ） Y） λR（X）+（1）- λ） R（Y）对于所有确定性λ∈ [0,1]（凸性）。此外，如果r的分量都是均匀的（即r是相干的），那么（iv）r（tX）=tR（X）对于所有t>0（均匀性）；（v） R（X+Y） R（X）+R（Y），意思是R是一个集值一致风险度量，参见[15,16]。布景+X被称为p-可积有界ifk+Xk=sup{kxk:x∈ +X}∈ Lp（R）。如果p=∞, 当且仅当+几乎可以肯定X是确定性有界集的子集。为了完整性起见，我们提供了一个证明，证明了对于所有不使用[27，Th.3.6]中的相干假设的p，R（X）的封闭性。提案3.1如果+X是p可积有界的∈ [1, ∞] r是凸Lp风险测度，r（X）是闭集。证明∈ R（X）和xn→ x、 根据引理3.2，存在ξn∈ Lp(+十） 使得r（ξn）≤ xn。首先假设p∈ [1, ∞). 自从+X是p-可积有界的，它的所有选择都有统一的L-范数。根据Koml’os定理，参见[19，Th.5.2.1]，并将其传递到子序列，\'ξn=n-1（ξ+··+ξn）收敛于ξ。那么‘ξ’肯定属于+十、 whencek′ξnk≤ K+Xk和kξk≤ K+Xk。因此，ξn→ ξ在Lp中。

r-yieldsthatr（ξ）=limr（¨ξn）分量的Lp连续性≤ 林恩-1（x+···+xn）=x，所以x∈ R（X）。如果p=∞, 上述不等式也适用于假定的Fatou性质，以及‘ξnar’的形式均以k的本质上确界为界的事实+Xk。表示byhX（u）=sup{hu，xi:x∈ 十} X的支持函数，其中h·，·i是Rd中的标量积。那么hX（u）是每个chu的一个随机变量，可以取有限的值。下面的结果为X的选择风险度量提供了一个简单的外界。定理3.2（见第4.6[27]项）假设r=（r，…，r）对于相干LP风险度量r具有所有相同的分量。然后r（X）\\U∈Rd+nx:hx，用户界面≥ r（hX（u））o，（3.1），其中r（hX（u））=-∞ 如果hX（u）=∞ 以正概率。4可接受的IGT、可达到的位置及其风险4。1.请记住，C=（C，…，Cd）表示在Granurbasis上评估的法人实体的最终地位，所有这些都以相同的货币表示。假设C是p-可积的。可容许IGT族被识别为Rd中随机闭集I的p-可积选择族Lp（I）。通常情况下，I取决于终端资本头寸C，在这种情况下，I=I（C）被写成C的函数，也可能取决于额外的随机性，例如随机汇率。这使我们有可能对现实转移可能性取决于经济环境恶化程度这一重要特征进行建模。可容许转移后，在终端时间可达到的财务状况构成随机闭集X（C）=C+I（C）的选择族。对于每个选择η，自然认为可达到位置的集合X=X（C）比另一集合Y=Y（C）更可取∈ Y，有一个选择ξ∈ X使得η≤ ξ的概率为1。

这种偏序可以实现为包含顺序Y X如果可达到位置的集合是Rd中的下集合。为此，我们假设，对于由随机向量ζ给出的每个可容许IGT，集合I（C）还包括在坐标顺序上小于或等于ζ的点，因此I（C）和X（C）是下集合。lowerset假设有助于描述风险的数学性质。虽然最初考虑涉及部分资产处置的IGT似乎不太合理，但riskmeasures的单调性意味着代理人或其团队在任何情况下都不会选择涉及未补偿资产处置的IGT，即使他们会追求此类IGT，那么不进行此类处置的情况也是可以接受的。在本文的其余部分中，我们假设I是一个较低的集合，几乎肯定包含原点andRd- I（C） H=nx∈ Rd:Xxi≤ 0o。（4.1）这意味着零转让是可接受的，且可接受的集团内转让由集团融资。有时假设i（C+y）也是有用的 I（C）- y（4.2）每个y∈ I（C）。相当于X（C） X（C）代表所有C∈ X（C），意思是不能通过用几个小交易代替一个大交易来改善结果。必须强调的是，I（C）不一定是圆锥体。在许多例子中，集合I（C）是凸的，但不一定是凸的，例如对于固定交易成本和不可分割资产。例4.1如果{x（1），…，x（k）}给出了一个固定的容许IGT范围，那么一般来说yi（C）=k[i=1x（i）+Rd-是一个不依赖于C.4.2群风险的非凸集。如果0，则位置C以及由I（C）给出的相应容许IGT（或可达到位置的相应集合x（C））是可接受的∈ R（X（C））。

在集值变量[15,27]中，风险度量的传统定义建议通过考虑所有x的集合，从可接受性标准转移到风险度量∈ rdx，使得X（C+X）是可接受的。定义4.1与可实现性集合X（C）isR（X（·），C）相关的集团风险=十、∈ Rd:0∈ R（X（C+X））. （4.3）备注4.1集团风险可被视为集值函数x7的逆函数→ R（X（C+X）），见[5]。[9]中出现了一个类似的倒数，作为一种对资本水平敏感的方法，其中C表示代理的资本金额集合，X（C）是均衡价格集合，X（C+X）的选择风险度量的倒数（在我们的符号中）决定了与代理系统相关的系统风险。定义4.1可用于确定[27，第2.3节]中的一些多资产组合的风险，这些风险与财务状况呈非线性关系。请注意，（4.3）中R的第一个参数是一个函数。备注4.2如果I（C）=I是一个不依赖于C的凸锥，就像比例交易成本的锥形模型（见[16,19,27]），那么X（C+X）=X（C）+X，因此R（X（C+X））=R（X（C））- x、 其中R（x（·），C）=R（x（C））是一个凸集。正如我们在后面看到的，在评估集团风险的许多情况下，集合I（C）依赖于C，因此X（C+X）可能与X（C）+X存在显著差异。

然后r（X（·），C）可能变成非凸的，因此计算起来要复杂得多。命题4.1（i）如果X（X） Y（x）代表所有x∈ Rd，然后R（X（·），C） R（Y（·），C）。（ii）R（X（·），C）包含R（C）+Rd+。（iii）如果（4.2）成立，那么R（X（·），C）是一个上集，并且作为C的函数不递减，即R（X（·），C）R（X（·），C）如果C≤ Ca.s.证明（i）在这种情况下R（X（C+X）） 所以（4.3）给出的反函数也是单调的。（ii）自- I（C），我们有（X（C）） R（C+Rd）-) = r（C）+Rd+，所以r（X（·），C） （r（C）+Rd+）通过（i）。（iii）假设C≤ C、 所以y=C- C∈ 研发部-. 由（4.1），z∈ I（C），从那里（4.2）产生I（C） I（C）- C+C.因此，X（C） X（C）和R（X（C+X）） R（X（C+X）），总风险是（i）的单调函数。如果x≤ y、 那么上面的公式适用于C+x而不是C，C+y而不是C，所以R（x（C+x））R（X（C+y）），如果0∈ R（X（C+X）），然后也是0∈ R（X（C+y））。如果所有代理都使用相同的货币运营，考虑到集团的最低总资本要求，可以使用单个实数量化风险。定义4.2与X（C）相关的总风险（也称为集团总风险）由∑（X（·），C）=inf（dXi=1xi:0）定义∈ R（X（C+（X，…，xd）））。（4.4）对于Pzi=0的确定性向量z，如果用C+z代替C，则总风险不变。命题4.1，R∑（X（·），C）≤Xri（Ci）。不难看出，总风险是R（X（·），C）在方向上的支持函数(-1.-1). 特别地，X（C）的可接受性产生R∑（X（·），C）≤ 0，但相反的结论不一定正确。总风险的非正性只会产生总资本要求为零的转移（x，…，xd），从而使x（C+x）可接受。如果达到（4.4）中的上限，则向量x=（x。

，xd）中给出了法律实体之间总风险的可能分配。然后有一个可接受的选择ξX（C+X），监管机构可能会要求签订具有法律约束力的转让合同，以便从C到达ξ。集值映射X（C+X）被称为是X的上半连续函数，如果对于所有ε>0，X∈ Rd，以及收敛到x，x（C+xn）的任意序列xn X（C+X）+Bζn，（4.5），其中Bζ是半径ζn的闭合球，以原点为中心，kζnkp→ 这个性质可以等价地表示为I（C+x）。命题4.2设r是一个与p一致的Lp风险度量∈ [1, ∞]. 如果+X（C+X）是所有X的p-可积有界的∈ 如果X（C+X）是X的上半连续函数，那么集合R（X（·），C）是闭合的。如果alsoX（C+x） ξ+x+Rd-至少一个ξ∈ Lp（Rd）和所有x∈ Rd，则达到（4.4）中的最大值。每个x的证明∈ Rd，集合M（x）=R（x（C+x））由命题3.1封闭。假设0∈ M（xn），n≥ 1和xn→ x、 根据定理3.1（ii），M（xn） R（X（C+X）+Bζn）。对于X（C+X）+Bζn的每个选择ξ，存在X（C+X）的选择ξ，使得kξ- ξk≤ ζn.由于r的成分在Lp范数中是Lipschitz（见[20]），因此kr（ξ）- r（ξ）k≤ 常数c的ckζnkp，因此m（xn） M（x）+Bεnεn=ckζnkp→ 0.因此，0∈ 所有n的M（x）+Bε。